2024-2025学年高一上学期数学强基竞赛训练（1）

高一数学强基竞赛训练（1） 1、 填空题： 1.已知数列满足，，则           ． 2.设满足：对任意，均存在，使得，则实数的取值范围是          ． 3.已知，集合则集合中所有元素的和为           4.已知集合，在平面直角坐标系中，点集，从集合中任取三个点，这三个点能构成等腰直角三角形的概率是          ． 5.已知，关于的方程有四个复数根，，，若这四个复数根在复平面内对应的点是一个正方形的四个顶点，则实数的值为          ． 6.设若的一个三元子集满足，则称具有性质．的所有具有性质的三元子集的个数为           7.定义，已知集合，，则           8.已知平面上单位向量垂直，为任意单位向量，且存在，使得向量与向量垂直，则的最小值为          ． 二、解答题： 9.集合，，求集合的所有元素之积． 10.设是一个给定的元集合，，，，为集合的个两两不同的非空子集，满足：对于任，要么，要么与中的一个为另一个的子集，求的最大值． 11.定义在上的函数，满足，对于任意的，都有成立，并且，使得． 判断函数的单调性，并证明 若，不等式恒成立，求实数的取值范围． 12.设，均为非零实数，且满足． 求的值； 在中，若，求的最大值． 高一数学强基竞赛训练（1） 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了根据数列的递推公式求通项公式，裂项相消法求和，属于中档题． 根据裂项，结合累加法即可求解． 【解答】 解：由  可得  ， 所以  ，  ， ，    ，  累加可得  ，  ，即 ， 当  时，  也符合上式， 所以  ． 故答案为． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查二次函数的最值，考查对于函数的理解和应用，考查转化思想，是基础题． 设，根据题意知，由二次函数的最值列出不等式，可得的范围． 【解答】 解：令由题意，的值域是值域的子集． 且函数，，均存在最小值，没有最大值， 从而有，即， 解得， 即的取值范围是． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查求函数的零点方程的根，属于基础题． 由，可得，求解出的值即可． 【解答】 解：注意到，方程即，  即，  所以，  解得，，，， 即 ． 所以集合中所有元素的和为． 故答案为：． 4.【答案】   【解析】【分析】 本题考查了古典概型及其计算，属于基础题． 根据古典概型得到集合中任取三个点构成三角形的情况，其中可以构成等腰直角三角形的情况，即可求解． 【解答】 解：集合中共有个点，如图所示：  若以为等腰直角三角形的直角顶点，可作出、，  同理，对、、点也可分别作出个，共个；  若以为直角顶点，可作出、、，  同理，对、、点也可分别作出个，共个；  若以为直角顶点，可作出、、、、、、、共个，  故所求概率为． 故答案为：． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查复数范围内的方程问题，复数的代数表示及其几何意义，属于难题． 先判断判别式中至少有一个为负，若判别式一正一负，则可根据可求，当判别式均为负时，可根据实系数方程的虚数根为共轭复数可判断此时不合题设条件． 【解答】 解：设根为的根为，，， 由题意，，即且． 当时，，，，均为实数，则四个实数根均在实轴上，矛盾； 当时，，为实数且，为虚数且， 所以； 此时，故或， 且或， 这四个点为以为中心．且对角线的方程分别为，，对角线的长度为的正方形的顶点． 当时，，，，均为虚数， 因为为实数，故，为共轭复数且，故，的实部为， 同理，的实部为，即四个对应点均在直线，这与题设矛盾． 综上：． 故答案为：． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查集合的子集、真子集以及个数，组合和组合数公式，属于中档题． 令，可求出、，若具有性质，并对，的范围分别进行讨论即可． 【解答】 解：令其中， ，，． 则，． 若具有性质，则，，或、中一个属于，另一个属于． 当、均属于且时，无序对有个； 当与中一个属于，另一个属于时，无序对有个． 故满足的无序对共有个． 但其中或的不同的无序对使或得不到三元集，这样的无序对共个． 因此，具有性质的三元子集的个数为． 故答案为：． 7.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了函数的新定义问题，解不含参的一元二次不等式，属于中档题． 先求出集合与，再根据函数的新定义得到的取值范围，即可求解． 【解答】 解：由题意得，或， 故 要使得，则有两种可能， ，或 若，则或， 若，则， 综上所述，  故答案为：． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查向量模的最值问题，向量线性运算的坐标表示，属于中档题． 建系，由为任意单位向量，可令，，进而表示出所求向量的模，利用三角函数最值求解即可． 【解答】 解：令，，， 于是，， 由向量与向量垂直，得到， ， 当，时，取到最小值． 故答案为． 9.【答案】解：由，可得，，，， 即，，，， 又因为， 所以，故，，，， 故集合， 所以集合的所有元素之积为．   【解析】本题考查了元素与集合的关系，属于基础题． 根据题意求出集合，再将其中所以元素相乘即可． 10.【答案】解：设．  当时，令；  当时，令．  这样取出的个集合，满足题意．  下面用数学归纳法证明：．  当时，结论显然．  假设当时，结论成立．  当时，考虑，中不为全集且元素个数最多的集合记为，并设中有个元素，则．  将，，，分为三类：  全集；  不为全集，且与的交集不为空集；  与的交集为空集．  由的选取，知中的集合均为的子集，且依然满足条件，由归纳假设，知中的集合个数不超过，  而中的集合均为的子集，由归纳假设，知集合个数不超过．  故，即当时，结论也成立．  所以，对于任意的元集合，均有， 则的最大值为．   【解析】本题考查集合的子集、真子集及其个数，数学归纳法，属于较难题． 根据数学归纳法证明步骤，验证时，结论成立，假设当时，结论成立，再证明  当时，结论成立即可求得的最大值． 11.【答案】解：函数在上单调递减． 证明如下： 由得，， 则，，，且，， ， 因为，所以，则， 故， 所以函数在上单调递减． 不等式可等价变形为， 因为，所以， 则不等式可变为， 由知，函数在定义域内单调递减， 故，恒成立， 则，， 又当时，， 所以， 因此实数的取值范围是  【解析】本题考查函数的单调性的应用，不等式恒成立条件的转化，属于中档题． 判断得函数在上单调递减，利用函数的单调性的定义证明即可． 不等式可等价变形为，利用函数的单调性转化求解即可． 12.【答案】解：，均为非零实数，且满足， 令，则，即， ，， 即，． 在中，若，则， ， ， 故当，即时，取得最大值为．  【解析】本题主要考查两角和的正切公式，三角恒等变换，二次函数的性质，属于较难题． 令，利用两角和的正切公式化简条件可得，可得，，由此求得的值； 在中，若，利用三角恒等变换化简为，再利用二次函数的性质，求得它的最大值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$