精品解析：北京市广渠门中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

北京市广渠门中学2024-2025学年度第一学期期中试题 高一年级数学学科 2024.11 本试卷共3页.150分.考试时长为120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，且，则等于（ ） A. －3或－1 B. -3 C. 1 D. 3 2. 如果实数，满足，那么下列不等关系成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是定义在上的偶函数.且当时，，则等于（ ） A. 3 B. -3 C. D. 4. 已知函数，，则实数（ ） A. 1 B. C. D. 0或1 5. 下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 设，是实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，在直角坐标系的第一象限内，是边长为2的等边三角形，设直线截这个三角形可得位于此直线左方的图象的面积为，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数，，两者的定义域都是，若对于任意，存在，使得，，且，则称，为“兄弟函数”，已知函数，是定义在区间上的“兄弟函数”那么函数在区间的最大值为 A. 3 B. C. D. 13 10. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么满足不等式的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（每小题5分，共计25分） 11. 已知集合M满足，那么这样的集合M的个数为_____________． 12. 函数的定义域为________；函数的定义域为_______________________. 13. 关于不等式的解集为，关于的不等式的解集是______ 14. 设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________． 15. 同学们，你们是否注意到：自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中，是非零常数，无理数），对于函数以下结论正确的是___________________. ①如果，那么函数为奇函数； ②如果，那么为单调函数； ③如果，那么方程无解； ④如果，那么函数的最小值为2. 三、解答题（共6题，合计85分） 16. 已知全集，集合． （1）求,； （2）已知集合，若，求实数的取值范围． 17. （1）求值： （2）解不等式组 18. 已知函数 （1）判断函数奇偶性，并证明； （2）判断函数在区间上单调性，并证明； （3）求满足的实数的取值范围. 19. 已知函数，满足. （1）求值； （2）在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方，试确定实数m的取值范围； （3）设当时，函数的最小值为，求的解析式. 20. 已知函数. （1）画出下列函数图象，并写出各自值域； ①；②. （2）不等式的解集______________，求的取值范围. （①是空集；②不是空集；③是全体实数，在横线处填写其中一个条件，并完成题目要求.） 21. 若集合，其中为非空集合，，则称集合为集合A的一个n划分． （1）写出集合的所有不同的2划分； （2）设为有理数集Q的一个2划分，且满足对任意，任意，都有．则下列四种情况哪些可能成立，哪些不可能成立？可能成立的情况请举出一个例子，不能成立的情况请说明理由； ①中的元素存在最大值，中的元素不存在最小值； ②中的元素不存在最大值，中的元素存在最小值； ③中的元素不存在最大值，中的元素不存在最小值； ④中的元素存在最大值，中的元素存在最小值． （3）设集合，对于集合A的任意一个3划分，证明：存在，存在，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市广渠门中学2024-2025学年度第一学期期中试题 高一年级数学学科 2024.11 本试卷共3页.150分.考试时长为120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效. 第一部分（选择题 共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合，且，则等于（ ） A. －3或－1 B. -3 C. 1 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系列式求解，再代入检验即可. 【详解】因为集合，且， 则或，所以或； 当时，不合题意舍； 当时，符合题意； 故选：B. 2. 如果实数，满足，那么下列不等关系成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用举反例方法,即可判断错误选项.根据不等式性质,即可证明正确选项. 【详解】对于A,由,当时,不成立,所以A错误; 对于B,由,当时,不成立,所以B错误; 对于C,由,当时,不成立,所以C错误. 对于D, 由,则,所以,即D正确. 综上可知,D为正确选项. 故选:D 【点睛】本题考查了根据条件判断不等式是否成立,不等式性质的应用,属于基础题. 3. 已知是定义在上的偶函数.且当时，，则等于（ ） A. 3 B. -3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数性质得到. 【详解】是定义在上的偶函数，故. 故选：A 4. 已知函数，，则实数（ ） A. 1 B. C. D. 0或1 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数，再由给定函数值求出. 【详解】令，则，由，得， 于是， 由，得，，所以. 故选：A 5. 下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】逐个判断函数是否为奇函数以及是否为增函数即可. 【详解】对于A，先判断奇偶性： 设，则. 因为，，所以不是奇函数. 再判断单调性： 一次函数的斜率，所以它是增函数，但由于不是奇函数，不符合要求. 故A错误. 对于B, 先判断奇偶性： 设，则，所以，该函数是偶函数，不是奇函数，不符合要求. 再判断单调性： 二次函数的图象开口向下，对称轴为轴，在上是增函数，在上是减函数，不是在定义域上的增函数. 故B错误. 对于C, 先判断奇偶性： 设，则，所以是奇函数. 再判断单调性： 在和上分别是增函数，但在整个定义域上不是单调递增的，因为当，时，，但，，. 故C错误. 对于D, 先判断奇偶性： 设，当时，；当时，. 则，且定义域关于原点对称，所以是奇函数. 再判断单调性： 当时，是增函数；当时，是增函数. 并且时，左右函数值连续，所以在定义域上是增函数. 故D正确. 故选：D. 6. 设，是实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分与必要条件的性质判断即可. 【详解】当时，. 则，，故，即. 故“”是“”的充分条件； 当时有， 故当时，，即或， 当时，，即. 故“”不是“”的必要条件； 综上有“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数的性质来比较大小.先将化简，再分别比较、、与特殊值、的大小关系，从而确定、、的大小顺序. 【详解】化简的值，. 对于指数函数，因为底数，所以函数单调递增. ，所以，即. 又因为，. 对于，，即. 则. 故选：B. 8. 如图所示，在直角坐标系的第一象限内，是边长为2的等边三角形，设直线截这个三角形可得位于此直线左方的图象的面积为，则函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件列出分段函数的解析式，再判断函数的图象. 【详解】当时，，此段为开口向上的抛物线的一部分， 当时，， 此段为开口向下的抛物线的一部分，对称轴为， 满足条件的只有C. 故选：C 9. 已知函数，，两者的定义域都是，若对于任意，存在，使得，，且，则称，为“兄弟函数”，已知函数，是定义在区间上的“兄弟函数”那么函数在区间的最大值为 A. 3 B. C. D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】结合“兄弟函数”的定义,可求得在时取得最小值,再结合二次函数的性质可求得的解析式,进而可求得在区间的最大值. 【详解】由题意,,易知在上单调递减,在上单调递增, 则在上的最小值为. 所以在时取得最小值3. 故函数满足,解得, 则, 故当时,取得最大值为. 故选:C. 【点睛】本题考查新定义,考查了函数单调性的应用,考查了学生的计算求解能力,属于中档题. 10. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么满足不等式的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用奇函数性质作出函数的图象，再作出函数的图象，利用图象求出不等式的解集. 【详解】函数是定义在上的奇函数，则函数的图象关于原点对称， 作出函数在上的图象，并在此坐标系中作出函数的图象，如图， 函数的图象与函数的图象交于点， 观察图象知，当或时，函数的图象不在函数的图象下方， 即当或时，不等式成立， 所以不等式的的取值范围是. 故选：B 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题（每小题5分，共计25分） 11. 已知集合M满足，那么这样的集合M的个数为_____________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据子集的性质进行求解即可. 【详解】因为，所以，又因为， 所以，或或，或，或者，或，或，或，共8个， 故答案为： 12. 函数的定义域为________；函数的定义域为_______________________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用函数有意义列式求出的定义域；再利用抽象函数定义域列式求解即可. 【详解】函数有意义，则，解得， 所以的定义域为； 在函数中，，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：； 13. 关于不等式的解集为，关于的不等式的解集是______ 【答案】或 【解析】 【分析】由题意可得，且方程的解为，从而可求出的关系，再根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】因为关于不等式的解集为， 所以，且方程的解为， 所以，即， 则由不等式，得， 得，解得或， 所以关于的不等式的解集是或. 故答案为：或. 14. 设函数若存在最小值，则a的一个取值为________；a的最大值为___________． 【答案】 ①. 0（答案不唯一） ②. 1 【解析】 【分析】根据分段函数中的函数的单调性进行分类讨论，可知，符合条件，不符合条件，时函数没有最小值，故的最小值只能取的最小值，根据定义域讨论可知或， 解得 . 【详解】解：若时，，∴； 若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求； 若时， 当时，单调递减，， 当时， ∴或， 解得， 综上可得； 故答案为：0（答案不唯一），1 15. 同学们，你们是否注意到：自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为（其中，是非零常数，无理数），对于函数以下结论正确的是___________________. ①如果，那么函数为奇函数； ②如果，那么为单调函数； ③如果，那么方程无解； ④如果，那么函数的最小值为2. 【答案】②③ 【解析】 【分析】结合函数的奇偶性、单调性以及指数函数性质，基本不等式逐项判断； 【详解】①如果，，故函数为偶函数，故①错误； ②如果，单调性一致，为单调函数，故②正确； ③如果，当时，恒成立，方程无解； 当时，恒成立，方程无解，故③正确； ④如果，结合基本不等式，当时， 故函数的最小值为2； 当时， 故函函数的最大值为-2，故④错误； 故答案为：②③. 三、解答题（共6题，合计85分） 16. 已知全集，集合． （1）求,； （2）已知集合，若，求实数的取值范围． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的交并补运算，即可得到本题答案； （2）结合题意，列出不等式组求解，即可得到本题答案. 【小问1详解】 全集，集合； ∴； ， ∴； 【小问2详解】 ∵， 又集合，且， ∴，解得， ∴实数的取值范围是． 17. （1）求值： （2）解不等式组 【答案】（1）73；（2）； 【解析】 【分析】（1）根据指数幂运算； （2）根据分式不等式、绝对值不等式求解； 【详解】（1） ； （2）因为，可得：， 解得：或； 得：解得： 然后取交集 综上不等式解集为：； 18. 已知函数 （1）判断函数奇偶性，并证明； （2）判断函数在区间上单调性，并证明； （3）求满足的实数的取值范围. 【答案】（1）为奇函数，证明如下： 由题意可知，函数定义域为，关于原点对称， ， 由此可知，函数为奇函数. （2） 函数在区间上单调递减，证明如下： 任取令， ， 因为， 所以， 故函数在区间上单调递减； （3）或 【解析】 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义判断即可； （2）利用函数单调性的定义，结合作差法判断并证明； （3）利用函数的奇偶性与单调性解不等式即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 根据函数的奇偶性，结合（2）可知，函数在区间上单调递减， 又因为， 可得， 解得，得或； 综上，实数的取值范围或. 19. 已知函数，满足. （1）求值； （2）在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方，试确定实数m的取值范围； （3）设当时，函数的最小值为，求的解析式. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题中条件，列出方程组求解，即可得出结果； （2）根据题意可得：在上恒成立，结合二次不等式的恒成立问题分析求解； （3）分别讨论，，三种情况，结合二次函数的性质，即可得出结果. 【小问1详解】 因为二次函数满足， 则，解得. 【小问2详解】 由（1）可知：， 若在上，函数的图象总在一次函数的图象的上方， 则在上恒成立，即在上恒成立， 因为开口向上，对称轴为， 可知在上单调递减，则，可得， 所以实数m的取值范围为. 【小问3详解】 因为是对称轴为，开口向上的二次函数， 当时，在上单调递增，则； 当，即时，在上单调递减，则； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 可知； 综上所述：. 20. 已知函数. （1）画出下列函数图象，并写出各自值域； ①；②. （2）不等式的解集______________，求的取值范围. （①是空集；②不是空集；③是全体实数，在横线处填写其中一个条件，并完成题目要求.） 【答案】（1） （2） 若选①，.若选②，或.若选③，. 【解析】 【分析】（1）函数图象的绘制，需要先根据原函数的性质来分析翻折变换后的函数.对于函数，先求出的表达式，再根据表达式的特点绘制图象并确定值域.对于同理. （2）不等式，需要先将不等式两边化为同底数的指数形式，再根据指数函数的单调性来求解不等式，最后根据给定的解集条件确定的取值范围. 【小问1详解】 ①当，即，根据指数函数单调递减，可得时，. 当，即，可得时，. 当时，；当时，. 所以的值域是. 图像如下： ②因为. 当时，；当时，，且. 所以的值域是. 图像如下： 【小问2详解】 若选①空集， 已知，，则. 不等式可化为. 因为单调递减，所以. 若解集为空集，则恒成立. 则， 解得. 当不等式解集为空集时，的取值范围是. 若选②不是空集，则由①，得到的取值范围是或. 若选③是全体实数，则由①，恒成立，即恒成立. 则，解得. 当不等式解集为全体实数时，的取值范围是. 21. 若集合，其中为非空集合，，则称集合为集合A的一个n划分． （1）写出集合的所有不同的2划分； （2）设为有理数集Q的一个2划分，且满足对任意，任意，都有．则下列四种情况哪些可能成立，哪些不可能成立？可能成立的情况请举出一个例子，不能成立的情况请说明理由； ①中的元素存在最大值，中的元素不存在最小值； ②中的元素不存在最大值，中的元素存在最小值； ③中的元素不存在最大值，中的元素不存在最小值； ④中的元素存在最大值，中的元素存在最小值． （3）设集合，对于集合A的任意一个3划分，证明：存在，存在，使得． 【答案】（1） （2）①可能成立，举例如下：，； ②可能成立，举例如下：，； ③可能成立，举例如下：，； ④不可能成立，证明如下：假设④成立，不妨设中元素的最大值为S，中元素的最小值为t，由题可知：s<t，所以， 因为s为中元素的最大值，所以， 因为t为中元素的最小值，所以， 因为，所以， 这与矛盾， 所以假设不成立，即④不可能成立； （3）证明：由于集合A中有16个元素，所以中至少有一个集合至少包含6个元素， 不妨设中至少包含6个元素， 设且， 假设对任意，对任意，都有， 那么， 又因为， 所以， 则，中必有一个集合至少包含中的3个元素， 不妨设这3个元素为， 由假设可知：， 对任意，存在， 都有， 又因为，而，与假设矛盾， 所以假设不成立， 所以存在，存在，使得 【解析】 【分析】（1）根据题意写出含有3个元素的2划分即可； （2）①②③可以举出反例，④可以利用反证法进行证明； （3）用反证法进行证明, 【小问1详解】 集合的所有不同的2划分为 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】对于集合新定义证明类题目，要能正确理解题意，再采取合适的方法进行求解，列举法和反证法是经常使用的方法，先假设条件不成立，再通过逻辑推理得到矛盾，从而证明出结论. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $