精品解析：重庆市青木关中学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

重庆市青木关中学校高2023级高二上期半期考试试卷 第I卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 在平面直角坐标系Oxy中，直线的倾斜角等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直线方程化为斜截式，得出直线的斜率，利用斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】直线化为斜截式，设其倾斜角为， 则直线的斜率为， 因为，所以， 故选：A. 2. 已知点，，，若，，三点共线，则，的值是（ ） A. ，3 B. ，3 C. 1，3 D. ，2 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标表示及共线向量的坐标关系求解即得. 【详解】依题意，， 由，，三点共线，得，则， 所以. 故选：B 3. 已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直径求出圆心、半径即可得解. 【详解】因为为直径，所以圆心为， 半径， 所以圆的方程为. 故选：C. 4. 设k为实数，直线与圆交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】找到直线所过定点坐标，判断点与圆的位置关系，即可确定交点数. 【详解】由，即直线恒过，而圆可化为， 所以，即点在圆内，则直线与圆恒有2个交点. 故选：C 5. 已知点，，若直线与线段（含端点）有公共点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线的定点，再结合直线的斜率公式，即可求解． 【详解】直线，即， 则直线过定点， ，，， ，， 直线与线段（含端点）有公共点， 或，解得或， 故实数的取值范围为． 故选：D． 6. 已知正四面体的棱长为6，空间中一点满足，其中，，，且.则的最小值为（ ） A. B. 4 C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】对结合化简得，从而可知点在平面内，所以当平面时，最小，从而可求得结果. 【详解】 因为，， 所以， ， 所以， 所以， 因为不共线，所以共面， 所以点在平面内， 所以当平面时，最小， 取的中点，连接，则点在上， 且， 所以， 即的最小值为. 故选：D 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义， 可求得的长，根据三角形的几何性质，即可求得答案， 【详解】由椭圆的定义可得，又， 所以， 在椭圆中，， 所以，即， 又，所以， 所以该椭圆离心率的取值范围是. 故选：B 8. 如图，正方体的棱长为，的中点为，则下列说法不正确的是（ ） A. 直线和所成的角为 B. 四面体的体积是 C. 点到平面的距离为 D. 到直线的距离为 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间角和空间距离的向量法计算ACD，利用割补法求出四面体的体积，即可判断B． 【详解】建立如图所示空间直角坐标系， 则,0,，,2,，,2,，,0,，,0,，,2,，,2,， 对于A，， 故， 故， 即直线和所成的角为，故A正确； 对于B，易得四面体为正四面体， 则，故B正确； 对于C，， 设平面的法向量为， 则，有， 令，则， 故点到平面的距离，故C错误； 对于D， 则到直线的距离为，故D正确． 故选：C 二、多选题（每题6分，选全得满分，选部分得部分，共18分） 9. 设，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则下列说法中正确的是（ ） A. ， B. 离心率为 C. 的面积为12 D. 的面积为24 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合椭圆的定义及离心率，逐项计算判断. 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴，半焦距， 对于A，，而，解得，，A正确； 对于B，离心率，B正确； 对于C，，，即， 的面积，C错误，D正确. 故选：ABD 10. 下面四个结论正确的是（ ） A. 已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 B. 已知向量，，则在上的投影向量为 C. 已知是圆外一点，直线的方程是，则直线与圆相离 D. 若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用空间基底的意义判断A；求出投影向量判断B；利用点到直线的距离公式判断C；转化为两圆相交问题判断D. 【详解】对于A，由是空间的一组基底，得不共面，假定共面， 即存在实数，使得，而，则， 共面，矛盾，因此不共面，也是空间的一组基底，A正确； 对于B，向量，，，则在上的投影向量为，B正确； 对于C，圆的圆心到直线的距离， 而点是圆外一点，则， 于是，直线与圆相交，C错误； 对于D，与点的距离为1的点在圆上， 依题意，圆与圆相交， 而，由，解得，D正确. 故选：ABD 11. 已知实数，满足方程，则（ ） A. 的取值范围是 B. 的取值范围是 C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 【答案】BC 【解析】 【分析】求出给定方程表示的几何图形，再结合各选项中的目标函数的几何意义求解判断即得. 【详解】方程，即， 因此方程表示以原点为圆心，1为半径的圆在轴及右侧的部分，其中， 对于A，表示半圆上的点到点的距离的平方， 显然为所求最小值，最小值为1，或为所求最大值，最大值为， 因此的取值范围为，A错误； 对于B，表示半圆上的点与点确定直线的斜率， 设过点的直线为，由，解得，此时为最小斜率， 直线的斜率为最大值，即，的取值范围是，B正确； 对于C，令，则为直线与轴的交点的纵坐标， 当与半圆相切于，取得最小值，取得最大值， 由，而，解得，当过点时，取得最大值，取得最小值， ，解得，因此的取值范围是，C正确； 对于D，表示半圆上的点到直线距离的倍， 过点作垂直于直线于点，与半圆交于点， 则即为半圆上的点到直线的距离最小值， 此时，， 过点作垂直于直线于点， 则即为半圆上的点到直线的距离最大值，最大值， 因此的取值范围是， 所以的取值范围为，D错误. 故选：BC 第II卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知直线，，若，则实数_____. 【答案】或 【解析】 【分析】根据给定条件，利用直线垂直的充要条件列式计算即得. 【详解】直线，，由，得， 所以或. 故答案为：或 13. 如图，四面体中，，，，，，分别是，的中点，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】选择，，做空降向量的基底，表示出，再用向量法求向量的模. 【详解】设，，， 故答案为： 14. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点，，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据求出点的轨迹方程，根据题意可得两个圆有公共点，根据圆心距大于或等于半径之差的绝对值小于或等于半径之和，解不等式即可求解. 【详解】设，因为点，，， 所以，即， 所以，可得圆心，半径， 由圆可得圆心，半径， 因为在圆上存在点满足， 所以圆与圆有公共点， 所以，整理可得：， 解得， 所以实数的取值范围是， 故答案为：. 四、解答题. 15. 已知两直线， （1）求过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程； （2）已知两点，，动点在直线运动，求的最小值. 【答案】（1）或； （2）2. 【解析】 【分析】（1）求出直线的交点，再按相等截距是否为0分类，结合直线的截距式方程求解. （2）求出点关于直线对称的点，再结合对称的性质及两点间线段最短求出最小值. 【小问1详解】 由，解得，则直线交于点， 直线在两坐标轴上截距都为0，且过点，符合题意， 当相等的截距不为0时，设直线方程为，由， 得，方程为， 所以所求直线方程为或. 【小问2详解】 点在直线同侧，令点关于直线对称的点坐标为， 则，解得，因此点关于直线对称的点为原点， ，当且仅当是线段与直线为交点时取等号， 所以的最小值为2. 16. 已知圆. （1）过点作圆的切线，求的方程； （2）若直线方程为与圆相交于、两点，求. （3）在（2）的前提下，若点是圆上的点，求面积的最大值. 【答案】（1）或． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）讨论切线斜率是否存在设方程，利用相切时圆心到直线的距离等于半径列关系计算即得结果； （2）计算到直线的距离，再利用弦三角形的勾股定理，即得弦长； （3）求出点到直线的距离最大值，再求出三角形面积． 【小问1详解】 圆方程可化为，则圆心，半径为1， 由可得点在圆外， 当过点的直线斜率存在时，设的方程为，即， 则圆心到直线的距离为，解得， 此时的方程为，即， 当过点的直线斜率不存在时，的方程为，此时与圆相切， 所以直线的方程为或． 【小问2详解】 直线方程为， 则圆心到直线的距离， 直线与圆相交，． 【小问3详解】 圆的圆心，半径， 点到直线的距离， 点到直线距离的最大值为， 所以面积的最大值为． 17. 如图，在四棱锥中，平面，且. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在棱上是否存在点（与不重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值，若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明：因为平面平面， 所以， 又因为， 所以，而平面， 所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的性质定理，结合线面垂直的判定定理进行证明即可； （2）根据线面的垂直关系，建立空间直角坐标系，利用空间向量平面间夹角公式进行求解即可； （3）利用空间向量线面角夹角公式进行求解即可. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 因为平面平面， 所以，而， 于是建立如图所示的空间直角坐标系， ， 由（1）可知：平面， 所以平面的法向量为， 设平面的法向量为，， 则有， 设平面与平面夹角为， ； 【小问3详解】 设，设， 于是有， ，由（2）可知平面的法向量为， 假设与平面所成角的正弦值为，则有，或舍去， 即. 18. 已知椭圆的左焦点为，上､下顶点分别为，且，点在上. （1）求椭圆的方程； （2）过左焦点的直线交椭圆于两点，交直线于点，设，，证明：为定值. 【答案】（1） （2） 由已知得直线的斜率必存在，可设直线的方程为， 代入椭圆方程，整理得，， 设，则， 又，由得. 所以， 因为， 所以为定值. 【解析】 【分析】（1）由，得，再把点代入椭圆方程求出即可； （2）设出直线的方程，代入椭圆方程，设，由，，表示出，利用韦达定理化简得定值. 【小问1详解】 由题意可知，，所以， 因为点在上，所以， 解得，故， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 19. 已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作.定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量都垂直，它的模.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面为上一点，. （1）求的长； （2）若为的中点，求平面与平面所成角的余弦值； （3）若为上一点，且满足，求. 【答案】（1）2 （2） （3）10 【解析】 【分析】（1）证明，为直线与所成的角，设，结合“向量积”的模的定义由条件列方程求可得的长； （2）法一，作交的延长线于点，连接，证明为二面角的平面角，解三角形求得平面与平面所成角的余弦值； 法二，建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，然后利用向量法求解； （3）利用向量的向量积的定义可证平面，在平面内过点作，垂足为，证明平面，过点作交于点，证明，结合条件可求. 【小问1详解】 因为底面为矩形，所以， 因为底面底面，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，所以， 因为， 所以为直线与所成的角，即， 设，则， 在中， 又，所以，解得或（舍去）， 所以； 【小问2详解】 法一：在平面内过点作交的延长线于点，连接， 因为底面底面，所以， 又平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角， 因为为的中点， 所以， 所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为； 法二：以为坐标原点，所以直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量为， ， 令，得， ， 设平面的一个法向量为， ， 平面与平面所成角的余弦值为. 【小问3详解】 依题意，又， 所以，又，所以， 又平面，所以平面， 在平面内过点作，垂足为， 由平面平面，所以， 又平面，所以平面， 在平面内过点作交于点，在上取点，使得，连接， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，又，即， 所以. 【点睛】思路点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市青木关中学校高2023级高二上期半期考试试卷 第I卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 在平面直角坐标系Oxy中，直线的倾斜角等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知点，，，若，，三点共线，则，的值是（ ） A. ，3 B. ，3 C. 1，3 D. ，2 3. 已知点，，则以线段为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 设k为实数，直线与圆交点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 无法确定 5. 已知点，，若直线与线段（含端点）有公共点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 已知正四面体的棱长为6，空间中一点满足，其中，，，且.则的最小值为（ ） A. B. 4 C. 6 D. 7. 已知椭圆的左、右焦点分别为、，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方体的棱长为，的中点为，则下列说法不正确的是（ ） A. 直线和所成的角为 B. 四面体的体积是 C. 点到平面的距离为 D. 到直线的距离为 二、多选题（每题6分，选全得满分，选部分得部分，共18分） 9. 设，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则下列说法中正确的是（ ） A. ， B. 离心率为 C. 的面积为12 D. 的面积为24 10. 下面四个结论正确的是（ ） A. 已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 B. 已知向量，，则在上的投影向量为 C. 已知是圆外一点，直线的方程是，则直线与圆相离 D. 若圆上恰有两点到点的距离为1，则的取值范围是 11. 已知实数，满足方程，则（ ） A. 的取值范围是 B. 的取值范围是 C. 的取值范围是 D. 的取值范围是 第II卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 已知直线，，若，则实数_____. 13. 如图，四面体中，，，，，，分别是，的中点，则__________． 14. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元首262～公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，已知点，，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是______． 四、解答题. 15. 已知两直线， （1）求过两直线的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程； （2）已知两点，，动点在直线运动，求的最小值. 16. 已知圆. （1）过点作圆的切线，求的方程； （2）若直线方程为与圆相交于、两点，求. （3）在（2）的前提下，若点是圆上的点，求面积的最大值. 17. 如图，在四棱锥中，平面，且. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）在棱上是否存在点（与不重合），使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值，若不存在，说明理由. 18. 已知椭圆的左焦点为，上､下顶点分别为，且，点在上. （1）求椭圆的方程； （2）过左焦点的直线交椭圆于两点，交直线于点，设，，证明：为定值. 19. 已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作.定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量都垂直，它的模.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面为上一点，. （1）求的长； （2）若为的中点，求平面与平面所成角的余弦值； （3）若为上一点，且满足，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $