精品解析：山东省淄博市淄博实验中学（创新班）2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷

淄博实验中学高一年级第一学期第一次模块考试（1班､2班）用 数学 一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1. 已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数为奇函数，则的值是（ ） A. 0 B. 0或10 C. 4或68 D. 68 3. 已知幂函数的图象过点，则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 4. 已知命题，，命题，恒成立.若和至多有一个为真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知正四面体P-ABC的棱长为3，动点M满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 6. 已知直线与圆相交于，两点，当面积最大时，实数的值为（ ） A. 1或 B. 或 C. 或 D. 或 7. 已知函数，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数，且关于x的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. 向量在向量上投影向量为 D. 向量与向量共面 10. 已知圆，点是圆上的点，直线，则（ ） A. 直线与圆相交弦长 B. 的最大值是 C. 圆上恰有3个点到直线的距离等于1 D. 过点向圆引切线，为切点，则最小值为 11. 设函数，则下列说法正确是（ ） A. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是 B. 若函数有3个零点，则实数a的取值范围是 C. 设函数的3个零点分别是，，（），则的取值范围是 D. 任意实数a，函数在内无最小值 四､填空题（本大题共3小题，每小题5分.共15分.） 12. 已知，为非负实数，且，则的最小值为______. 13. 已知点为直线上动点，为圆上的动点，则的最小值为__________. 14. 已知实数x，y满足，则________． 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知偶函数和奇函数的定义域均为，且． （1）求函数和的解析式； （2）若，不等式恒成立，求实数取值范围． 16. 某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元． （1）求a，b； （2）写出年利润W（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式； （3）当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 17. 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 18. 已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于两点，是的中点，直线与相交于点． （1）求圆的方程； （2）当时，求直线的方程． （3）否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由． 19. 已知函数． （1）若，求的取值范围； （2）若有两个不相等的实根，且 ①求的取值范围； ②证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 淄博实验中学高一年级第一学期第一次模块考试（1班､2班）用 数学 一､单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.） 1. 已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】讨论的正负数分布情况判断对应代数式的值，即可确定集合M，进而确定正确的选项. 【详解】当均为负数时，代数式的值为； 当一负一正时，代数式的值为； 当均为正数时，代数式的值为； ∴，故只有B正确. 故选：B. 2. 已知函数为奇函数，则的值是（ ） A. 0 B. 0或10 C. 4或68 D. 68 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数性质求得，进而求对应函数值. 【详解】由题设，的定义域为R，且为奇函数，则， 所以或， 当，则，满足，此时； 当，则不是奇函数，不合题设； 故选：D 3. 已知幂函数的图象过点，则函数的值域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用待定系数法求出幂函数的解析式，然后利用配方法可求得函数的值域. 【详解】因为函数为幂函数，设，其中为常数， 则，可得，则， 所以，，当且仅当时，等号成立， 故函数的值域为. 故选：A. 4. 已知命题，，命题，恒成立.若和至多有一个为真命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，先求出命题和命题同时为真命题时的取值范围，再求其补集，即可求解. 【详解】当命题为真命题，即，使成立，得到，即， 当命题为真命题，即对，恒成立，得到， 即， 所以当命题和命题同时为真命题时，有，即， 又命题和命题至多有一个为真命题，所以或， 故选：D. 5. 已知正四面体P-ABC的棱长为3，动点M满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量共面定理得点M在平面ABC内，当平面ABC时，最小，利用勾股定理求解即可. 【详解】因为，， 所以，所以， 因为，不共线，所以，，共面，所以点M在平面ABC内， 所以当平面ABC时，最小，如图，取BC的中点D，连接AD， 则点M在AD上，且， 所以，即的最小值为. 故选：B 6. 已知直线与圆相交于，两点，当面积最大时，实数的值为（ ） A. 1或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆心和半径，利用垂径定理和点到直线距离公式表达出的面积，并利用基本不等式求出面积的最大值为，此时圆心到直线的距离为，从而得到方程，求出的值. 【详解】的圆心为，半径为1， 圆心到直线的距离， 故， 则的面积， 当且仅当，即时，等号成立， 即，解得. 故选：A 7. 已知函数，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先得出为奇函数，且易知在上单调递增，再解不等式即可. 【详解】令 为奇函数，且易知在上单调递增． 原不等式可转化为，，解得． 故选：D. 8. 设函数，且关于x的方程恰有3个不同的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，，和为方程的两个根，进而可得，结合的取值范围，可得，进而可得. 【详解】 如图，由题意可知，，， 和为方程即的两个根， 故，， 当时，，其对称轴为，故， 故，故，可得， ， 设， 则其对称轴为，故，因， 故， 故选：D 二､多选题（本大题共3小题，每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. 向量在向量上的投影向量为 D. 向量与向量共面 【答案】BD 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标运算、空间向量的夹角、投影向量、共面向量定理对选项逐一分析即可. 【详解】对于：， 所以， 所以向量与向量的夹角为，故错误； 对于：，， 所以，故正确； 对于：向量在向量上的投影向量为，故错误； 对于：，所以， 所以向量与向量共面，故正确. 故选：. 10. 已知圆，点是圆上的点，直线，则（ ） A. 直线与圆相交弦长 B. 的最大值是 C. 圆上恰有3个点到直线的距离等于1 D. 过点向圆引切线，为切点，则最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据点到直线的距离判断弦长及圆上的点到直线的距离，根据的几何意义可得最值，再根据切线长的计算公式可得最值. 【详解】 如图所示， 由已知圆，则圆心，半径， A选项：圆心到直线的距离， 则弦长为，A选项正确； B选项：可表示点与点连线的斜率， 易知当直线与圆相切时，斜率取得最值， 设斜率，则直线，即， 则，解得， 所以，其最大值为，错误； C选项：，，所以圆上恰有个点到直线的距离等于，正确； D选项：由圆可知圆心，半径， 由切线长可知， 所以当取得最小值时，取最小值， 又，即的最小值为， 所以的最小值为，D选项正确； 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：常见的非线性目标函数的几何意义： （1）：表示点与点连线的斜率； （2）：表示点到点的距离； （3）：表示点到直线的距离的倍. 11. 设函数，则下列说法正确是（ ） A. 若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是 B. 若函数有3个零点，则实数a的取值范围是 C. 设函数的3个零点分别是，，（），则的取值范围是 D. 任意实数a，函数在内无最小值 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性列出不等式组求解即可判断A；由函数有3个零点，得当时有2个零点，当时有1个零点，列出不等式组，求解即可判断B；根据B的结论，结合韦达定理，函数单调性即可求得的范围，即可判断 C；分类讨论的值，求得当时，函数的最小值与时的最小值比较，即可判断D． 【详解】对于A，若函数在上单调递增，则，解得，故A错误； 对于B，若函数有3个零点，则当时，有2个零点， 所以，解得， 当时，有1个零点，则， 所以，故B正确； 对于C，设函数的3个零点分别是，，（）， 由B知，，， 令，解得，即， 设，，得在上单调递减， 所以，故C正确； 对于D，当时，单调递增，， 当时，，对称轴为直线， ①当，即时，，无最小值； ②当，即时，， 若有最小值，则，解得，与矛盾，故无最小值； 综上任意实数a，函数在内无最小值，故D正确； 故选：BCD． 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解． 四､填空题（本大题共3小题，每小题5分.共15分.） 12. 已知，为非负实数，且，则的最小值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】首先根据题意求出，，然后将原式变形得，最后利用1的妙用即可求出其最值. 【详解】，为非负实数，且，结合目标式，有，， ，解得，，解得， ， ， 当且仅当即时等号成立， 故. 故答案为：2. 13. 已知点为直线上的动点，为圆上的动点，则的最小值为__________. 【答案】9 【解析】 【分析】取点，计算出，，数形结合得到的最小值为，从而得到的最小值. 【详解】可知圆的圆心为，半径， 设，，则， 所以 ， 所以，， 过点作⊥，交圆于点， 故的最小值为， 所以的最小值为. 故答案为：9. 14. 已知实数x，y满足，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】设，利用同构结合二次方程的解可得，故可求的值. 【详解】设，则， 故即， 整理得到：， 故为方程的正根， 故，故，故， 故答案为：3. 【点睛】思路点睛：与对数有关的求值问题，应该利用指对数的转化把对数问题转化指数问题来处理，转化过程中注意观察所得代数式的结构便于利用同构策略处理, 四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 15. 已知偶函数和奇函数的定义域均为，且． （1）求函数和的解析式； （2）若，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程组求解； （2）利用换元思想，令，则可将原不等式化为恒成立，其中，再令，，分类讨论二次函数的单调性求最值即可求解. 【小问1详解】 由题，， 则有， 又因为偶函数和奇函数，所以， 所以联立， 解得 【小问2详解】 因为， 由， 可得， 即， 令， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以， 又因为，所以， 所以，即恒成立，其中， 令，， 则函数在时恒成立， 当，即时，在单调递增， 所以，符合题意； 当，即时， 函数在对称轴处取得最小值，则， 则，即， 解得，又因为，所以， 综上，， 所以的取值范围是. 16. 某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元．设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且．当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元． （1）求a，b； （2）写出年利润W（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式； （3）当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润． 【答案】（1） （2） （3）当年产量为万部时所获得的利润最大，最大利润为万元. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列出关于的方程组求解出结果； （2）根据利润的计算公式分别考虑当，时的解析式，由此可求解出结果； （3）利用二次函数性质分析时最大值，利用基本不等式分析时的最大值，由此可确定出结果. 【小问1详解】 由题意可知，解得； 【小问2详解】 当时，， 当时，， 综上所述，； 【小问3详解】 当时，， 此时由二次函数单调性可知； 当时，， 当且仅当，即时取等号， 且， 综上所述，当年产量为万部时所获得的利润最大，最大利润为万元. 17. 如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见详解； （2） 【解析】 【分析】（1）结合已知易证四边形为平行四边形，可证，进而得证； （2）作交于，连接，易证三垂直，采用建系法结合二面角夹角余弦公式即可求解. 【小问1详解】 因为为的中点，所以， 四边形为平行四边形，所以，又因为平面， 平面，所以平面； 【小问2详解】 如图所示，作交于，连接， 因为四边形为等腰梯形，，所以， 结合（1）为平行四边形，可得，又， 所以为等边三角形，为中点，所以， 又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以， 四边形为平行四边形，， 所以为等腰三角形，与底边上中点重合，，， 因为，所以，所以互相垂直， 以方向为轴，方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系， ，，， ，设平面的法向量为， 平面的法向量为， 则，即，令，得，即， 则，即，令，得， 即，，则， 故二面角的正弦值为. 18. 已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于两点，是的中点，直线与相交于点． （1）求圆的方程； （2）当时，求直线的方程． （3）是否为定值，如果是，求出定值；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）； （2）或； （3）定值，﹒ 【解析】 【分析】(1)设出圆的半径，根据以点为圆心的圆与直线相切．点到直线的距离等于半径，我们可以求出圆的半径，进而得到圆的方程； (2)根据半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们可以结合直线过点，求出直线的斜率，进而得到直线的方程； (3)由直线过点，我们可分直线的斜率存在和不存在两种情况，分别讨论是否为定值，综合讨论结果，即可得到结论． 【小问1详解】 设圆的半径为，由于圆与直线相切， 圆的方程为． 【小问2详解】 ①当直线与轴垂直时，易知符合题意 ②当直线与轴不垂直时， 设直线的方程为，即， 连接，则 ，， 则由，得，直线． 故直线的方程为或 【小问3详解】 ， ①当与轴垂直时，易得，则，又， ②当的斜率存在时，设直线的方程为， 则由，得，，则 综上所述，是定值，且． 19. 已知函数． （1）若，求的取值范围； （2）若有两个不相等的实根，且 ①求的取值范围； ②证明：． 【答案】（1） （2）① ；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）得到不等式，结合函数单调性得到不等式，求出答案； （2）①变形得到，即与有两个不同的交点，根据的单调性和图象，数形结合得到答案 ②根据①得到，，且满足，即，计算出， 又，代入后求出. 小问1详解】 由可得，所以， 即，解得． 小问2详解】 ①因为有两个不相等的实根，即有两个不相等的实根， ， 即，设，即与有两个不同的交点， 其中当时，单调递减， 当时，单调递增， 其中，当时，， 结合图像可知； ②由①可知，所以，， 且满足，，即． ， ， 又， 所以 ， 因为，所以，， 故． 【点睛】函数零点问题：将函数零点问题或方程解的问题转化为两函数的图象交点问题，将代数问题几何化，借助图象分析，大大简化了思维难度，首先要熟悉常见的函数图象，包括指数函数，对数函数，幂函数，三角函数等，还要熟练掌握函数图象的变换，包括平移，伸缩，对称和翻折等，涉及零点之和问题，通常考虑图象的对称性进行解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$