精品解析：四川省内江市第六中学2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024-2025学年四川省内江六中九年级（上）半期考试 数学试卷 命题人：徐飞 审题人：肖真 一、选择题（本题12小题，每题3分，共36分） 1. 若式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 若和最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（ ） A. B. C. D. 3. 若，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知是正整数，是整数，则的最小值为（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 如图，在纸片中，，将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在四边形中，，点在上，交于点，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 3 C. 5 D. 9 7. 关于的一元二次方程的两实根，，且满足，则的值为（ ） A. 1或5 B. 1或 C. D. 5 8. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，△DEF的面积等于2，则此正方形ABCD的面积等于 （ ） A. 6 B. 12 C. 16 D. 20 10. 已知方程的解是，则另一个方程的解是（       ） A. B. C. D. 11. 如图，设小方形的边长为1，四边形与四边形相似，且它们的顶点都在格点上，则它们的面积比是（ ） A. B. 5 C. 4 D. 3 12. 如图，在正方形中，，点在边上，，把绕点顺时针旋转，得到，连接，交于点，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题4小题，每题5分，共20分） 13. 若关于x的方程：的一个根为1，则另一个根为________． 14. 关于x的一元二次方程有实根，则m的取值范围是________． 15. 如图，网高为0.8米，击球点到网的水平距离为3米，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，且落点恰好在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为___米． 16. 如图，在中，，，点是边上一点（点不与点，重合），将沿翻折，点的对应点为点，交于点，若，则 _______． 三、解答题（本题5小题，共44分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 如图，四边形为平行四边形，为边上一点，连接、，它们相交于点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 20. 某商城在“双十一”期间促销海尔冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000元． （1）商城举行了“感恩新老用户”摸奖活动，中奖者商城将冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率； （2）市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商城要想使海尔冰箱平均每天销售利润达到4800元，为减小库存，则每台冰箱的定价应为多少元？ （3）在条件（2）的背景下，商场应把售价定为多少元才能使海尔冰箱平均每天销售利润达到最大？最大利润是多少元？ 21. 如图，在直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于B、A两点，、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，以为一边作如图所示的正方形，交于点． （1）求直线的解析式； （2）在x轴上是否存在一点Q，使以P、C、Q为顶点的三角形与相似？若存在，求点Q坐标；否则，说明理由； （3）是否存在平面内一点M，使得以A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 四、填空题（每小题6分，共24分） 22. 已知，则 k的值是 _____ ． 23. 形如的根式叫做复合二次根式，有些复合二次根式可以进一步化简，例如，复合二次根式化简的结果是________． 24. 若实数x，y满足，则的值是________． 25. 如图，△ABC中，BC＝1.若AD1＝AB，且D1E1∥BC，则D1E1＝；照这样继续下去，D1D2＝D1B，且D2E2∥BC；D2D3＝D2B，且D3E3∥BC；…；Dn-1Dn＝n－1B，且DnEn∥BC，则DnEn＝____________(用含n的式子表示)． 五、解答题（每小题12分，共36分） 26. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段、，若，则把这种分割叫做黄金分割，点P叫做线段的黄金分割点，这个比值叫做黄金比． （1）如图①，点P是线段的黄金分割点，设，，求黄金比x的值． （2）如图②，在中，，，是的角平分线．求证：点D是线段的黄金分割点． （3）如图③，点E是正方形的边的中点，以点E为圆心以长为半径画弧，交射线于点F，过点F作交射线于点G．若，请求出的长． 27. 我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题： （1）若，是方程的两根，则________，________；若2，3是方程的两根，则________，________； （2）已知两个不相等的实数m，n满足，且，求的值． （3）已知a，b，c，满足，，则正整数c的最小值为________． 28. （1）如图1，在中，E是上一点，过点E作的平行线交于点F．点D是上任意一点．连结交于点G，求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，连结，，若，且、恰好将三等分．求的值； （3）如图3，在等边中，，连结，点在上，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年四川省内江六中九年级（上）半期考试 数学试卷 命题人：徐飞 审题人：肖真 一、选择题（本题12小题，每题3分，共36分） 1. 若式子有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的概念，熟悉掌握二次根式有意义的概念是解题的关键． 根据二次根式有意义时的取值列式运算即可． 【详解】解：有意义， ∴， ∴， 故选：C． 2. 若和最简二次根式是同类二次根式，则m的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，注意：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．根据同类二次根式的定义得，求出m的值即可． 【详解】解：由题意得：， ， 故选：B． 3. 若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比例的性质．根据比例的性质直接计算即可得到答案． 【详解】解：∵， 设 ∴， 故选：A． 4. 已知是正整数，是整数，则的最小值为（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的意义，根据是正整数，是正整数，得出是一个完全平方数，再将分解质因数，即可得出结果． 【详解】解：是正整数，是正整数， 是一个完全平方数， ， 是一个完全平方数， 的最小值为2， 故选：A． 5. 如图，在纸片中，，将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，由于点D，得，则，而，即可证明，可判断A不符合题意；由，得，则，可证明，可判断B不符合题意；由，得，而，可证明，可判断C不符合题意；由，得，，则，而，所以与不相似，可判断D符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1， ∵于点D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故A不符合题意； 如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故B不符合题意； 如图3， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故C不符合题意； 如图4， ∵， ∴，， ∴， 假设， ∵， ∴，与已知条件不符， ∴与不相似， 故D符合题意， 故选：D． 6. 如图，在四边形中，，点在上，交于点，若，，则的长为（ ） A. 6 B. 3 C. 5 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键．根据平行线分线段成比例即可解答． 【详解】解：∵在四边形中，，， ∴， ∴， 即， 解得， 故选：A． 7. 关于的一元二次方程的两实根，，且满足，则的值为（ ） A. 1或5 B. 1或 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系为：，．根据根与系数的关系得到，，整理代入，可求得的值，再根据判别式得出即可求解． 【详解】解：∵，是方程的两实根， ∴，， ， ∴，解得：， ∵， ∴， 整理得， 解得或（舍去）， ∴； 故选：C． 8. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？设每轮传染中平均一个人传染了x个人，下列所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题意列出第一轮传染后患流感的人数，再根据题意列出第二轮传染后患流感的人数，而已知第二轮传染后患流感的人数，故可得方程． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 第一轮传染后患流感的人数是：， 第二轮传染后患流感的人数是：， 而已知经过两轮传染后共有121人患了流感，则可得方程， ．即 故选：A． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，要根据题意列出第一轮传染后患流感的人数，再根据题意列出第二轮传染后患流感的人数，而已知第二轮传染后患流感的人数，故可得方程． 9. 如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，△DEF的面积等于2，则此正方形ABCD的面积等于 （ ） A. 6 B. 12 C. 16 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据正方形的性质推出△AFD∽△EFB，即可得到=，再结合题意推出DF：BF=2：1，则进一步推出S△BEF和S△DEC，最终求出正方形面积即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴△AFD∽△EFB， ∴=， ∵E是BC的中点， ∴AD：BE=2：1， ∴DF：BF=2：1， ∵S△DEF=2， ∴S△BEF=1， ∴S△DEC=S△DBE=S△DEF+S△BEF=3， ∴S正方形ABCD=4S△DEC=12， 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，以及三角形的面积计算等，掌握正方形的性质，相似三角形的判定与性质是解题关键． 10. 已知方程的解是，则另一个方程的解是（       ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，令，则方程即为方程，根据题意可得方程的解是，则或，据此求解即可． 【详解】解：令，则方程即为方程， ∵方程的解是， ∴方程的解是， ∴或， 解得， ∴程的解是， 故选：D． 11. 如图，设小方形的边长为1，四边形与四边形相似，且它们的顶点都在格点上，则它们的面积比是（ ） A. B. 5 C. 4 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形对应边的比等于相似比，面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据相似多边形对应边的比等于相似比，得到它们的相似比是，根据面积比等于相似比的平方即可求得答案． 【详解】解：∵四边形四边形，与是对应边， ， ∴它们的相似比是， ∴它们的面积比是4， 故选：C． 12. 如图，在正方形中，，点在边上，，把绕点顺时针旋转，得到，连接，交于点，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质、正方形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识．根据正方形的性质和勾股定理求出，根据旋转的性质得到 ，，则是等腰直角三角形，得到，证明三点共线，则，证明，则，即可得到答案． 【详解】解：在正方形中，， ∴，， ∵， ∴， ∵把绕点顺时针旋转，得到， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴三点共线， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B 二、填空题（本题4小题，每题5分，共20分） 13. 若关于x的方程：的一个根为1，则另一个根为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，根据“一元二次方程的两个根分别为、，则，”进行求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根为x， ∵的一个根为1， ∴， ∴该方程的另一个根为， 故答案为：2． 14. 关于x的一元二次方程有实根，则m的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式．根据一元二次方程的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：根据题意得，，且， 解得：，且， 故答案为：且． 15. 如图，网高为0.8米，击球点到网的水平距离为3米，小明在打网球时，要使球恰好能打过网，且落点恰好在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为___米． 【答案】1.4 【解析】 【分析】根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得． 【详解】由题意得,， 解得h=1.4． 故答案为1.4． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握性质定理是解题的关键． 16. 如图，在中，，，点是边上一点（点不与点，重合），将沿翻折，点的对应点为点，交于点，若，则 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查翻折变换，相似三角形的判定与性质．首先根据等边对等角及翻折的性质、平行线的性质得出，从而判断出，根据相似三角形对应边成比例得出，再进一步求出的长即可． 【详解】解：∵， ∴， 根据翻折可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题5小题，共44分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算规则和运算顺序是解题的关键． （1）先进行二次根式的化简，负整数指数幂和零次幂，然后从左到右进行计算即可； （2）先利用平方差公式及完全平方公式计算，然后计算二次根式的加减即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可； （2）先把方程化为一般式，再利用公式法解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 19. 如图，四边形为平行四边形，为边上一点，连接、，它们相交于点，且． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）6 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质： （1）证明，即可得证； （2）由（1）的结论，求出的长，证明，列出比例式进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ∵，， ∴，即：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20. 某商城在“双十一”期间促销海尔冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000元． （1）商城举行了“感恩新老用户”摸奖活动，中奖者商城将冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率； （2）市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商城要想使海尔冰箱平均每天销售利润达到4800元，为减小库存，则每台冰箱的定价应为多少元？ （3）在条件（2）的背景下，商场应把售价定为多少元才能使海尔冰箱平均每天销售利润达到最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）每次降价的百分率是 （2）每台冰箱的定价应为元 （3）当售价为元时，海尔冰箱平均每天销售利润最大，最大利润是5000元 【解析】 【分析】该题主要考查了一元二次方程的增长率问题和利润问题，二次函数的应用等知识点，解题的关键是读懂题意． （1）设每次降价的百分率为，根据题意列方程求解即可； （2）假设下调个50元，根据题意列方程求解即可； （3）设海尔冰箱平均每天销售利润为W，根据题意列出，根据二次函数最值求解即可． 【小问1详解】 解：设每次降价的百分率为， 依题意得：， 解得（不合题意，舍去）， 答：每次降价的百分率是； 【小问2详解】 解：假设下调个50元， 依题意得：， 解得：． ∵为减小库存， ∴， 所以下调元，因此定价为元． 【小问3详解】 解：设海尔冰箱平均每天销售利润为W， 则， ∵， ∴当，即定价为元时，海尔冰箱平均每天销售利润W最大，最大利润是5000元． 故当售价为元时，海尔冰箱平均每天销售利润最大，最大利润是5000元． 21. 如图，在直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于B、A两点，、的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，以为一边作如图所示的正方形，交于点． （1）求直线的解析式； （2）在x轴上是否存在一点Q，使以P、C、Q为顶点的三角形与相似？若存在，求点Q坐标；否则，说明理由； （3）是否存在平面内一点M，使得以A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）直线解析式为； （2）点Q的坐标为或或或； （3）点坐标为或或． 【解析】 【分析】（1）由方程可求得和的长，则可求得、的坐标，利用待定系数法可求得直线的解析式； （2）可设，则可表示出的长，分和两种情况，利用相似三角形的性质可分别得到关于的方程，则可求得的值，可求得点坐标； （3）设点坐标为，分三种情况讨论，利用中点坐标的性质求解即可． 【小问1详解】 解：解方程可得或， 、的长是关于的一元二次方程的两个实数根，且， ，， ，， 设直线解析式为， ，解得， 直线解析式为； 【小问2详解】 解：四边形为正方形， ， ， 在中，令，可得， ， 设，则， 以、、为顶点的三角形与相似， 有和两种情况， ①当时，则有，即， 解得或， 此时点坐标为或； ②当时，则有，即， 解得或， 此时点坐标为或； 综上可知存在满足条件的点，其坐标为或或或； 【小问3详解】 解：设点坐标为， ∵，，， 当为对角线时， ∴，， 解得，， ∴点坐标为； 当为对角线时， ∴，， 解得，， ∴点坐标为； 当为对角线时， ∴，， 解得，， ∴点坐标为； 综上，点坐标为或或． 【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及一元二次方程、待定系数法、正方形的性质、相似三角形的性质、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 四、填空题（每小题6分，共24分） 22. 已知，则 k的值是 _____ ． 【答案】2或﹣1##﹣1或2 【解析】 【分析】根据比例的基本性质，三等式相加，即可得出k值． 【详解】解：∵， ∴， 分两种情况： ①若a+b+c≠0，则k=2； ②a+b+c=0时，a+b=﹣c，则k=﹣1； 故答案为：2或﹣1． 【点睛】本题考查比例的性质，掌握并熟练运用比例的基本性质是解题关键． 23. 形如的根式叫做复合二次根式，有些复合二次根式可以进一步化简，例如，复合二次根式化简的结果是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质．根据题目给出的方法结合完全平方公式将转化为，进一步计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 24. 若实数x，y满足，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式．把方程配成关于的一元二次方程，利用根的判别式求得的值，再代入原方程求得的值，从而求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵实数x满足， ∴ ， ∵， ∴， 解得， 把代入原方程，得， ∴， ∴， 故答案为：． 25. 如图，△ABC中，BC＝1.若AD1＝AB，且D1E1∥BC，则D1E1＝；照这样继续下去，D1D2＝D1B，且D2E2∥BC；D2D3＝D2B，且D3E3∥BC；…；Dn-1Dn＝n－1B，且DnEn∥BC，则DnEn＝____________(用含n的式子表示)． 【答案】1- 【解析】 【分析】由相似三角形的对应边成比例，依次求得D2E2，D3E3的长，整理规律即可. 【详解】解：∵D2E2∥BC， ∴△AD2E2∽△ABC， ∴, ∵D1E1=,D1D2=D1B， ∴AD2=AB， ∴D2E2==1-=1-， 同理可得，D3E3==1-， ∴DnEn=1-. 故答案为1-. 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质．发现规律是解题关键. 五、解答题（每小题12分，共36分） 26. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将一条线段分割成长、短两条线段、，若，则把这种分割叫做黄金分割，点P叫做线段的黄金分割点，这个比值叫做黄金比． （1）如图①，点P是线段的黄金分割点，设，，求黄金比x的值． （2）如图②，在中，，，是的角平分线．求证：点D是线段的黄金分割点． （3）如图③，点E是正方形的边的中点，以点E为圆心以长为半径画弧，交射线于点F，过点F作交射线于点G．若，请求出的长． 【答案】（1）黄金比x的值为； （2） 解：∵，， ∴． ∵是的角平分线， ∴． ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴点D是线段的黄金分割点； （3）的长为． 【解析】 【分析】本题考查黄金分割，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的判定和性质： （1）根据黄金比的定义列方程，解方程即可求解； （2）先通过等角对等边证明，再证，根据相似三角形对应边成比例可得，等量代换后得，即可证明点D是线段的黄金分割点； （3）设，则，，根据勾股定理求出，进而可得，再证四边形是矩形，根据列方程，求出x的值即可． 【小问1详解】 解：根据题意得，． 解得，（舍），； 答：黄金比x的值为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵四边形是正方形，点E是边的中点， ∴设，则，， 在中，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴ ∴， 解得， ∴的长为． 27. 我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题： （1）若，是方程的两根，则________，________；若2，3是方程的两根，则________，________； （2）已知两个不相等的实数m，n满足，且，求的值． （3）已知a，b，c，满足，，则正整数c的最小值为________． 【答案】（1），，，6 （2）； （3）3 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式等知识点：若一元二次方程的两个根是，那么，． （1）直接利用根与系数的关系可得和的值，根据根与系数的关系得到，即可得到p、q的值； （2）等式变形为，m、可看作方程的两根，利用根与系数的关系即可解答； （3）利用已知条件变形得到，，根据根与系数的关系，则a、b为一元二次方程的两根，再根据根的判别式的意义得到，然后确定c的最小整数值． 【小问1详解】 解：∵，是方程的两根， ∴，； ∵2，3是方程的两根， ∴，解得． 故答案为：，，，6； 【小问2详解】 解：∵， ∴，即， ∵两个不相等的实数m，n满足，， ∴m、可看作方程的两根， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴，， ∴a、b为一元二次方程的两根， ∵，而， ∴，即． ∴c的最小整数为3． 故答案为：3． 28. （1）如图1，在中，E是上一点，过点E作的平行线交于点F．点D是上任意一点．连结交于点G，求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，连结，，若，且、恰好将三等分．求的值； （3）如图3，在等边中，，连结，点在上，若，求的值． 【答案】（1）证明：， ， ， 同理， ， ； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定及性质． （1）根据，可得，从而得到，同理，进而得到，即可； （2）利用条件证明，，由（1）知，，设，则，，由得，，（负值舍去），； （3）利用相似转化线段之间的关系，设，根据，得，，由，得到，，最后代入． 【详解】解：（1）略 （2）解：∵恰好将三等分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，， 设则， 由得，， ∴（负值舍去）， ∴； （3）解：过G点作的平行线，分别交于E、F， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）中结论知，， 设， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $