精品解析：广东省江门市台山市第一中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

台山一中2024—2025学年度第一学期中段考试 高一数学试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生请用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液. 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合,，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集的定义即可. 【详解】因，又， 所以. 故选：B 2. 设命题：，，则p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】由含有一个量词的命题的否定知识进行判断即可. 【详解】全称量词命题：，，它的否定是存在量词命题：，. ∴命题：，，它的否定为：，. 故选：C. 3. 一个面积为100 cm2的等腰梯形，上底长为x cm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y表示成x的函数为(　　) A. y＝50x(x>0) B. y＝100x(x>0) C. y＝(x>0) D. y＝(x>0) 【答案】C 【解析】 【分析】利用梯形的面积公式列方程，化简可求得高关于上底长的函数式. 【详解】由梯形的面积公式得，化简得.故选C. 【点睛】本小题主要考查函数的表示方法，考查梯形的面积公式，解题过程中要注意上底长是正数.属于基础题. 4. “，”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】充分性可利用不等式性质进行证明，可举出反例得到必要性不成立. 【详解】因为，故，充分性成立， 若，不妨令，满足，但不满足，必要性不成立， 故“，”是“”的充分不必要条件. 故选：A 5. 已知二次函数满足，且，则的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设二次函数，利用待定系数法解得即可. 【详解】设，则， 由，得， 化简得， ，解得 ， 由，得， 故. 故选：A 6. 关于的一元二次不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次不等式恒成立列出不等式组求解即可. 【详解】因为不等式为一元二次不等式，所以, 若一元二次不等式恒成立， 则，可得，此时不等式恒成立. 故选：C 7. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用指数函数的单调性即可. 【详解】由指数函数的单调性可知，即， 又，即， 所以. 故选：D. 8. 已知函数，在上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分段函数，结合二次函数的性质即可. 【详解】因为在上递减，所以，解得. 故选：D 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，至少有两项符合要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）. 9. 下列不等式的解集是空集的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次不等式与二次方程、二次函数的关系，结合判别式可判断各选项. 【详解】A选项：， 对应二次方程为，，方程无解， 又对应二次函数开口向上，不等式解集为，A选项错误； B选项：，即， 对应二次方程为，， 方程有两个解分别为，， 对应二次函数与轴有两个公共点为，， 故不等式的解集为，B选项错误； C选项：，即， 对应二次方程为，，无解， 又对应二次函数开口向上，不等式解集为，C选项正确； D选项：，即， 对应二次方程为，，方程有两个解，， 对应二次函数与轴有两个公共点，， 即对于二次不等式解集为，D选项错误； 故选：C. 10. 下列各式正确的是（ ） A. 设，则 B. 已知，则 C. 若，，则 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A：将根式化为分数指数幂，再结合指数幂运算求解；对于B：根据指数幂运算求解；对于C：将对数式化为指数式，再结合指数幂运算求解；根据对数运算求解. 【详解】对于选项A：因为，则，故A正确； 对于选项B：因为，所以，故B正确； 对于选项C：若，，则， 所以，故C正确； 对于选项D：，故D错误； 故选：ABC. 11. 若a，b均为正实数，且满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为4 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据基本不等式以及“1”的妙用求解判断各选项即可. 【详解】对于A，由，得， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故A正确； 对于B，，，则， 当且仅当，时取等号，又当，时，， 故等号能取到，则的最小值是2，故B错误； 对于C，，b均为正数，且满足， ， 当且仅当，即时取等号，则的最小值是4，故C正确； 对于D，观察知. 故， 当且仅当，即时取等号，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 函数的定义域为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据开偶次方根被开方数不小于0，即可求解. 【详解】函数有意义需， 解得， 所求函数的定义域为. 故答案为:. 【点睛】本题考查求函数的定义域，熟记函数定义域限制条件，属于基础题. 13. 若幂函数，且在上是增函数，则实数______． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据幂函数的定义列方程求的值，再验证是否满足题意. 【详解】由幂函数的解析式可得，即，解得或， 当时，在上是减函数，不符合题意； 当时，在上是增函数，符合题意. 综上可知，. 故答案为：2. 14. 定义：对于函数，若定义域内存在实数满足：，则称为“局部奇函数”．若是定义在区间上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“局部奇函数”的定义便知，若函数是定义在上的“局部奇函数”，只需解决方程有解即可． 【详解】根据题意，由“局部奇函数”的定义可知： 若函数是的“局部奇函数”， 则方程有解，即有解； 变形可得， 即有解即可. 设，，易知为偶函数且在上单调递增， 所以可得，所以有解时，． 故答案为：． 四、解答题：本大题共5小题，满分77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合,. （1）当时，求及； （2）若,求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用交集和并集的定义即可. （2）利用子集的定义即可. 【小问1详解】 当时，集合，集合， 所以， . 【小问2详解】 由题意可得，因，则，解得， 所以实数的取值范围为. 16. 函数是定义在上的奇函数，且. （1）求，的值； （2）判断并证明在的单调性. 【答案】（1）， （2） 函数在上单调递减，证明如下： 由（1）得 ， 任取， ， 又，则，， 所以， 即函数在上单调递减. 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性，利用特值法可得解； （2）利用定义法判断并证明函数单调性. 【小问1详解】 由已知是定义在上的奇函数，且， 则， 即，解得， 则，即，满足奇函数， 所以，； 【小问2详解】 略 17. 以人工智能、航空航天、生物技术、光电芯片、信息技术、新材料、新能源、智能制造等为代表的高精尖科技，属于由科技创新构成的物理世界，是需要长期研发投入，具有极高技术门槛和技术壁垒，最近十年，某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2023年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需固定投入固定成本500万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且，每百台高级设备售价为80万元，且高级设备年产量最大为10000台． （1）求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式； （2）当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润． 【答案】（1） （2）当年产量为30百台时，最大利润为400万元 【解析】 【分析】（1）分和两种情况讨论，即可求解函数关系式； （2）根据基本不等式和二次函数的性质求解最大值即可． 【小问1详解】 当时，； 当时，， 所以企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式为： ． 【小问2详解】 当时，，当时，取得最大值为400； 当时，， 当且仅当时取等号，故当时，取最大值为325； 综上所述：当年产量为30百台时，最大利润为400万元． 18. 已知是定义在上的奇函数，当时，． （1）求及； （2）求函数在上的解析式； （3）若，恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由奇函数的性质即可求解； （2）由奇函数构造方程求解即可； （3）通过函数奇偶性、单调性去求解； 【小问1详解】 因为是定义在上的奇函数，所以，即， 由题意知，解得 所以当时，， ， 所以 【小问2详解】 当，则，所以， 又为奇函数，所以， 故当时， 综上： 【小问3详解】 由，得 因为是奇函数，所以 当时，，所以函数在上单调递增， 由是奇函数，所以函数在上单调递增， 所以对恒成立 即对恒成立， 当时，，当且仅当时等号成立， 所以． 所以实数m的取值范围为 19. 已知，函数． （1）当，请直接写出函数的单调递增区间（不需要证明）； （2）记在区间上的最小值为，求的表达式； （3）对（2）中的，当，时，恒有成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当时，将函数的解析式表示为分段函数的形式，可直接写出函数的单调递增区间； （2）分、两种情况讨论，分析函数在上的单调性，即可得出的表达式； （3）令，分、两种情况讨论，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 解：当时，， 所以，函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 解：由题意可知， ①当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，； ②当时，函数在上单调递减，则. 综上所述，. 【小问3详解】 解：当，时，令，则， ①若，当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 且，， 此时，，此时； ②若时，当时，函数在上单调递减， 此时，，此时. 综上所述，. 【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法： （1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论； （2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析； （3）将分类讨论的结果整合得到最终结果. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 台山一中2024—2025学年度第一学期中段考试 高一数学试卷 本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分 考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生请用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液. 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合,，则（ ） A. B. C. D. 2. 设命题：，，则p的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 一个面积为100 cm2的等腰梯形，上底长为x cm，下底长为上底长的3倍，则把它的高y表示成x的函数为(　　) A. y＝50x(x>0) B. y＝100x(x>0) C. y＝(x>0) D. y＝(x>0) 4. “，”是“”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知二次函数满足，且，则的解析式是（ ） A. B. C. D. 6. 关于的一元二次不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，在上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的四个选项中，至少有两项符合要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分）. 9. 下列不等式的解集是空集的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列各式正确的是（ ） A. 设，则 B. 已知，则 C. 若，，则 D. 11. 若a，b均为正实数，且满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为4 C. 的最小值为4 D. 的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，满分15分. 12. 函数的定义域为______. 13. 若幂函数，且在上是增函数，则实数______． 14. 定义：对于函数，若定义域内存在实数满足：，则称为“局部奇函数”．若是定义在区间上的“局部奇函数”，则实数m的取值范围是________． 四、解答题：本大题共5小题，满分77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知集合,. （1）当时，求及； （2）若,求的取值范围. 16. 函数是定义在上的奇函数，且. （1）求，的值； （2）判断并证明在的单调性. 17. 以人工智能、航空航天、生物技术、光电芯片、信息技术、新材料、新能源、智能制造等为代表的高精尖科技，属于由科技创新构成的物理世界，是需要长期研发投入，具有极高技术门槛和技术壁垒，最近十年，某高科技企业自主研发了一款具有自主知识产权的高级设备，并从2023年起全面发售．经测算，生产该高级设备每年需固定投入固定成本500万元，每生产百台高级设备需要另投成本万元，且，每百台高级设备售价为80万元，且高级设备年产量最大为10000台． （1）求企业获得年利润（万元）关于年产量（百台）的函数关系式； （2）当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润． 18. 已知是定义在上的奇函数，当时，． （1）求及； （2）求函数在上的解析式； （3）若，恒成立，求实数m的取值范围． 19. 已知，函数． （1）当，请直接写出函数的单调递增区间（不需要证明）； （2）记在区间上的最小值为，求的表达式； （3）对（2）中的，当，时，恒有成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $