江苏省江阴市某校2024-2025学年高三上学期第一次学情调研（10月）数学试题

2024 年秋学期高三第一次学情调研 数 学 一、选择题：本题共 8小题，每小题 5 分，共 40分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合  1 , 4 12A x x B x y x           ，则 A B  A. 1, 2     B. 10, 2      C. 1 1, 4 2      D. 1 , 4    2. 已知向量  0,4a   ，  3, 3b     ，则 a  在b  上的投影向量的坐标是 A.  2,2 B.  2, 2  C.  0, 3 D.  0,3 3. 函数   2 3 cos 1 x xf x x   的部分图象大致为 A B C D 4. 将函数 ( ) sin 2 3 cos2f x x x  的图象向左平移 π 6 个单位后得到 ( )y g x 的图象，则 A. ( ) 2sin 2g x x B. π( ) 2sin 2 6 g x x      C. π( ) 2sin 2 3 g x x      D. 2πg( ) 2sin 2 3 x x      5. “ 0 1x  ”是“ 1 52 22 x x  ”的 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 6. 荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是 日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把  3651 1% 看作是每天的“进 步”率都是 1%，一年后是 3651.01 37.7834 ；而把  3651 1% 看作是每天“退步”率都是 1%， 一年后是 3650.99 0.0255 ；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的 365 365 1.01 1481 0.99  倍．那么当 “进步”的值是“退步”的值的 3倍，大约经过_________天． （参考数据： lg101 2.0043 ， lg99 1.9956 ， lg3 0.4771 ） A. 19 B. 35 C. 45 D. 55 7.数列 na 、 nb 满足： 1 8a  ，  *1 8 , 2n na a n n n   N ， 91 10 n n nb a        ，则数列 nb 的最大项是 A．第 7项 B．第 9项 C．第 11项 D．第 12项 8. 若曲线  lny x a  的一条切线为 y ex b  （ e为自然对数的底数），其中 ,a b为正实数， 则 1 1 ea b  的取值范围是 A． 2,e B．  , 4e C． 2,  D． ,e  二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中， 有多项符合要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9. 已知向量  cos ,sina   ，  3,4b    ，则 A.若 //a b  ，则 4tan 3    B.若 a b  ，则 3sin 5   C. a b  的最大值为 6 D.若   0a a b    ，则 2 6a b   10. 设正项等比数列 na 的公比为 q，前 n项和为 nS ，前 n项积为 nT ，则下列选项正确的 是 A. 49 4 5S S q S  B. 若 2025 2020T T ，则 2023 1a  C. 若 1 9 4a a  ，则当 2 2 4 6a a 取得最小值时， 1 2a  D. 若 21( ) n n na T  ，则 1 1a  11.定义在 R 上的函数  f x 满足        2 , 1 2, 3 2f x f x f f x    为奇函数，函数   Rg x x 满足    4g x g x   ，若  y f x 与  y g x 恰有 2025 个交点  1 1,x y ,      32 2 2025 2023 5, , , , ,x y x y x y ，则下列说法正确的是 A．  2024 2f  B． 1x  为  y f x 的对称轴 C．  0 0f  D．   2025 1 4050i i i x y    三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12.若命题“ 2, 0x R x x a     ”为假命题，则实数 a的取值范围为___________________. 13.已知 0, 4 x     ， 3sin +cos 5 5 x x  ，则 3tan 4 x       ________________. 14.已知函数   2 e , 0 , 0 x x f x x x      ，若函数  f x 的图象在点    1 1 1, 0A x f x x  和点    2 2 2, 0B x f x x  处的两条切线相互平行且分别交 y轴于M N､ 两点，则 AM BN 的最小值为 __________. 四、解答题：本题共 5小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。 15.（13分） 已知 2,a   4,b   2 3a b    . （1）若    2 2a kb ka b      ，求实数 k的值； （2）求 a  与 3 6a b   的夹角的余弦值 . 16.（15分） 已知    23sin cos cos 0f x x x x      的最小正周期为 π . （1）求 2π 3 f      的值； （2）在 ABC 中内角，角 A，B，C所对应的边分别为 a，b，c，若 3a c ， 2b  ，   1 2 f B  ， 求 c的值. 17.（15分） 已知函数    21 2 1 2ln 2 f x ax a x x     a R （1）当 0a  时，求函数  f x 的单调递增区间； （2）当 0a  时，求证：   2 4xf x e x   .（其中 e为自然对数的底数） 18.（17分） 在 ABC 中，角 A，B，C所对应的边分别为 a，b，c，若  tan 3 tan 3 tan 1C B C   ， （1）求角 A. （2）若 3a  ， ABC 所在平面内有一点 D满足 2 π 3 BDC  ，且 BC平分 ABD ，求 ACD 面积的取值范围. 19.（17分） 已知函数   lnaf x x x   ，   ln 2g x ax x   . （1）若 0a  ，当  f x 与  g x 的极小值之和为 0 时，求正实数 a的值； （2）若      1 2 1 22f x f x x x   ，求证： 1 2 1 1 2 x x a   . 2024年秋学期高三第一次学情调研 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A={sB=纯=x-可则AnB 答案：C 2.已知向量a=(0,4),b=(-3,-3),则a在b上的投影向量的坐标是 A.(2,2) B.(-2,-2) C.(0,-3) D.(0,3) 答案：A 3.函数f()=3xcs的部分图象大致为 x2+1 答案：D 4.将函数f)=sin2x+5cos2x的图象向左平移”个单位后得到y=gm)的图象，则 6 A.g(x)=2sin 2x 8=2m2x+ C. g6=2sin2x+ =22x+ D. 答案：D 5.“0≤x<1"是“2r+ 2r2 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案：B 6.荀子《劝学》中说：“不积眭步，无以至千里：不积小流，无以成江海.”所以说学习是 日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把(1+1%)看作是每天的“进 步”率都是1%，一年后是1.01≈37.7834：而把(1-1%)6看作是每天退步”率都是1%， 年后是09：025：这样，-年后的进步值是退步值的9网3141倍.那么当 “进步”的值是“退步”的值的3倍，大约经过 天 (参考数据：1g101≈2.0043，lg99≈1.9956，lg3≈0.4771) A.19 B.35 C.45 D.55 答案：D 7数列a水、}满是：=8，a-a=8eN,n≥2斗，6=a,+品· 则数列{b} 的最大项是() A.第7项 B.第9项 C.第11项 D.第12项 答案：B 8.若曲线y=ln(x+a)的一条切线为y=er-b(e为自然对数的底数)，其中a,b为正实数， 则亡+的取省范国是 A.[2,e) B.(e,4] C.[2+oo） D.[e,+o) 答案：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中， 有多项符合要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知向量a=(cos0.sin0),b=(-3,4),则 A.若a6,则tan0=-4 B.若a⊥b,则sin0= C.a-的最大值为6 D若a(a-b)=0,则a-=26 答案：ACD 10.设正项等比数列{an}的公比为q,前n项和为S。,前n项积为T,则下列选项正确的 是 A.S=S+gSs B.若T025=T2020,则a2023=1 C.若a4,=4,则当a+a取得最小值时，a,=V2 D.若(an)>T2,则a<1 答案：AB 11.定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)=f(x),f(1)=2,f(3x+2)为奇函数，函数 g(x)(x∈R)满足g(x)=-g(4-x),若y=f(x)与y=g(x)恰有2025个交点 (x,),(x2》2),(x3y3)…,(x025y2025),则下列说法正确的是 A.f(2024)=2 B.x=1为y=f(x)的对称轴 C.f(o)=0 D. 26+小-0w 答案：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若命题“3x∈R,x2+x-a=0”为假命题，则实数a的取值范围为 答案：a<- 13.已知x∈0， 4 血os名5，则m- 答案：3 14.已知函数f(x)= e,x20 ,若函数f(x)的图象在点Ax,f(x)(:<0)和点 -x2,x<0 AM B(2,f(:2)(x2>0)处的两条切线相互平行且分别交y轴于MN两点，则 BN 的最小值为 答案：月 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。 15.(13分) 已知=2，=4，后+=25. (1)若(2a-kd)⊥(ka+2b),求实数k的值： (2)求a与3a+6而的夹角的余弦值 解析：(1)a+=25,则6+=a2+2ab+62=12 又：同=2，同=4..万=4… 4…3 (2a-k场)1(ka+2b),∴(2a-kka+2b=0, 2ka+(4-k2）a.i-2k62=0, 即4k2-24k-16=0,… 4…51 解得k=3士仍 *…6 (2)a-(3a+66)-3a2+6a.i=-12… 4…8 (3a+6=9a+36a-万+3652=468，}3a+6d-613,…10 设a与3a+66的夹角为0， a(3a+6) .'cos0= -12 3 a+6网 2x613-13 …13 16.(15分) 已知f(x)=√3 sin@xcoswx-cos2.x(o>0)的最小正周期为π. 的值： (2)在a4BC中内角，角B,C所对应的边分别为a,,c若a=,b=反，(B)= 求c的值. 解析：(1) ()=3sinrosco 2 sin2or-1c 6厂2 …4' 由函数儿)的最小正周期为T,即经=石，得@=，…5 20 哥}片f劉 (2)由8)-得，s28-=1, ~角B为三角形ABC的内角，：B= 44444…4444…10 3 a=c,b=万，coB=子由余弦定理cosB=+c- 2ac 得13+c2-(2 …12 2 2×3c×c 即c2-2 …15 17.(15分) 已知函数/)-r2-(2a+r+2nx(ae风) (1)当a>0时，求函数f(x)的单调递增区间： (2)当a=0时，求证：2e-x-4>f(x).(其中e为自然对数的底数) 解折：（1)f付=m-(2a+1)+2_-2a+r+2_（a-lx-2.…1 x 当a=号时，f()20在(Q+o)恒成立，f八)的单词递增区间为@+m)…g 当0<a<号时，f)2≥0解得，0<x<2或x>日 之儿的单调造湖区同为包2小仁树小-写 当a>时，f()20解得，0<x<或r>2 的单调递增区间为0》2+) (2)当a=0时，由(2e-x-4-f(x)=2e-2lnx-4 要证2e-x-4>f(x),即证e-hx-2>0…8 设函数hx)=e-nx-2,则i()=e-=g), g(=d+宁>0，g()在区间（0)上单调遥增…10 又s8}6-2<0,e0e-10 .存在x∈ 行使得g6)0,即e=,6-n=-n12 .h(x)在(0，x)单调递减，在(xo+o)单调递增。 云A(m=h()=e-ln0-2=+0-2>2。-2=0…14 .h(x)=e-lnx-2>0,从而2e-x-4>f(x)…l5' 法二：设g(x)=e-(x+1),则g(x)=e-1 x>0,∴g(x)=e-1>0,g(x)=e-(x+1)在(0，+o)上单调递增 .g(x)=e-(x+1)>g(0)=0,所以e>x+1①…10' 设h()=x-1-hx,则方()=1-=x一， 所以，h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增 所以，h(x)=x-1-nx之h()=0,即x-1≥lnx,从而可得x+1≥nx+2②…13' 所以，由①②，e-lnx-2>0,从而2e-x-4>f(x)…15' (注：e>r+1和x-1≥lnx未经证明，直接使用结论不给分) 18.(17分) 在△ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若tanC+V5=tanB(5tanC-)）. (1)求角A 2 (2)若a=√5，△ABC所在平面内有一点D满足∠BDC=三π，且BC平分∠ABD,求 △ACD面积的取值范围. 解析：(1)由题tanC+V5=tanB(V5tanC-l, 即tanB+ianC=-√5(l--tan Btanc,)即anB+anC =-5, 1-tan Btan C 所以a如(B+C）=-5,…4 即tan(π-A)=5,所以tanA=5,…5 又A∈(0，，所以A= 3 (2)由题(1)知∠BAC=交， =骨又∠BDC-号，设∠BC=∠CBD=x, 由△BCD中，∠BDC=2x,故xe0 0写引，则∠4CD=2-于2红-2x=x-2, 33 由正弦定理有 BC AC BC DC sin∠BAC sinx sin∠BDC sinx 则AC=CD=2sinx,… 44…10 故a4cD面积50m2sn-sn(-2)=4sn2xos,1 令p(x)=4sin3 xcoS.x, (x)=12sin2 xcosx-4sinx=4sin2x(3cosx+sinx)(3cosx-sinx), 又re0胃}所以p'>0, 知函数p()=4sim3xe0sx在0号 上单调递增，…14 又p(0)=0, ）-35 3W5 3 故△ACD面积的取值范围为 0. …17 4 4 19.(17分) 已知函数f(x)=2+nx,g()=ar-lnx-2. (1)若a>0,当f(x)与g(x)的极小值之和为0时，求a的值： (2)若f(x)=f（x)=2(x≠x),求证： 1+1,2 解析：(1)(x),g(x定义域均为(0，+o), ”(x)=-a+1=二ax,令"(x0，解得：0，…1 所以f(x)在(0，a)单调递减，在(a,+∞)单调递增， 在x=a取极小值，且f(a)=1+na:…3 又8)=a-子令g)0,解得：日 所以g()在0单调递减，在仁+树)单调递增。 在x取极小值，且日 =-1+lna: …6 解得：a=1.… 0……7 (2)令m=一，n=一，因为x≠x2,所以m≠n, x a+lnxi=2 am-Inm=2..(1) 由f(x)=f(x)=2(g≠x)可得： → …8 a+nx2=2 an-lnn=2(2）' (1)-(2)得：a(m-m)=nm-nn,所以l m-n a Inm-Inn 要证：1+1>2 ,只要证：m+n>2 只要证：m+m>2m-，…12 Inm-Inn 不妨设0<n<m,所以只要证：n”,2(m-, n m+n 2m- 即证：n> 令1=>1，只要证：nt>2->1小，…14 +1 1+ 令0=m-2-e>1),h0=2+-2-_4=-g +1 (+1) t(+1)+1)2 所以h()在t∈(L,+o)上单调递增，所以h()>h(1)=0 即有n1>2->1)成立，所以上+>2成立.…17 t+1