4.3指数函数与对数函数的关系同步练习-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

4．3　指数函数与对数函数的关系 必备知识基础练　 1．(5分)下列说法正确的是(　　) A．函数y＝ax与y＝()x的图象关于x轴对称 B．函数y＝logax与y＝x的图象关于y轴对称 C.函数y＝ax与y＝logax的图象关于直线y＝x对称 D．函数y＝ax与y＝logax的图象关于y轴对称 2．(5分)函数y＝3x(0＜x≤2)的反函数的定义域为(　　) A．(0，＋∞) B．(1，9] C．(0，1) D．[9，＋∞) 3．(5分)(易错题)若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝log2x B．f(x)＝ C．f(x)＝x D．f(x)＝2x－2 4．(5分)已知函数f(x)＝1＋2lg x，则f(1)＋f－1(1)＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 5．(5分)方程log3(1＋2·3x)＝x＋1的解x＝________． 6．(5分)当0<x≤时，()x<logax，那么a的取值范围是________． 关键能力综合练 7.(5分)已知2a＝5，则lg 40＝(　　) A． B． C． D． 8．(5分)如果一个点是一个指数函数的图象与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”．在下面的五个点M(1，1)，N(1，2)，P(2，1)，Q(2，2)，G(2，0.5)中，“好点”的个数为(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．(5分)已知函数f(x)＝x2－2ax－3，x∈[1，4)存在反函数，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，1]∪[4，＋∞) B．(－∞，1)∪[4，＋∞) C．(4，＋∞) D．(－∞，1]∪(4，＋∞) 10．(6分)(多选)已知f(x)＝则下列结论正确的是(　　) A．f(f(1))＝ B．f(f(－1))＝ C．f(f(0))＝ D．f(f())＝2 019 11．(5分)已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是________． 12．(12分)已知函数f(x)＝. (1)求y＝f(x)的反函数y＝f－1(x)的值域； (2)若(7，2)是y＝f－1(x)的图象上一点，求y＝f(x)的值域． 核心素养升级练 13.(5分)(易错题) 已知x1是方程x·3x＝4的根，x2是方程x·log3x＝4的根，则x1x2＝(　　) A．16 B．8 C．6 D．4 14．(17分)设a∈R，f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝. (1)试求f(x)的反函数f－1(x)的解析式及f－1(x)的定义域； (2)设g(x)＝log，若x∈时，f－1(x)≤g(x)恒成立，求实数k的取值范围． 参考答案 必备知识基础练　 1．(5分)[2024·诸暨中学高一月考]下列说法正确的是(　　) A．函数y＝ax与y＝()x的图象关于x轴对称 B．函数y＝logax与y＝x的图象关于y轴对称 C.函数y＝ax与y＝logax的图象关于直线y＝x对称 D．函数y＝ax与y＝logax的图象关于y轴对称 答案：C 解析：令a＝2，分别作出对应的图象，由图象可知， 对于选项A，∵函数y＝ax与y＝()x的图象关于y轴对称，故不正确； 对于选项B，∵函数y＝logax与y＝x的图象关于x轴对称，故不正确； 对于选项C，D，∵函数y＝ax与y＝logax的图象关于直线y＝x对称，故C正确，D不正确．故选C. 2．(5分)函数y＝3x(0＜x≤2)的反函数的定义域为(　　) A．(0，＋∞) B．(1，9] C．(0，1) D．[9，＋∞) 答案：B 解析：由于反函数的定义域为原函数的值域， ∵0＜x≤2，∴y＝3x∈(1，9]，故y＝3x(0＜x≤2)的反函数的定义域为(1，9]. 3．(5分)(易错题)若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝log2x B．f(x)＝ C．f(x)＝x D．f(x)＝2x－2 答案：A 解析：函数y＝ax(a>0，a≠1)的反函数为f(x)＝logax，因为f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2，故f(x)＝log2x. 易错提醒：互为反函数的两个函数图象关于直线y＝x对称，将一个点的横、纵坐标互换得到的新坐标对应的点与原来的点关于直线y＝x对称． 4．(5分)已知函数f(x)＝1＋2lg x，则f(1)＋f－1(1)＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：C 解析：根据题意得f(1)＝1＋2lg 1＝1，若f(x)＝1＋2lg x＝1，解可得x＝1，则f－1(1)＝1，故f(1)＋f－1(1)＝1＋1＝2.故选C. 5．(5分)[2024·大连育明高中高一检测]方程log3(1＋2·3x)＝x＋1的解x＝________． 答案：0 解析：由方程log3(1＋2·3x)＝x＋1可得1＋2·3x＝3x＋1，化简可得3x＝1，故x＝0. 6．(5分)[2024·杭州十四中高一检测]当0<x≤时，()x<logax，那么a的取值范围是________． 答案：(，1) 解析：当0<x≤时，要使()x<logax恒成立，则需 解得<a<1. 关键能力综合练 7.(5分)已知2a＝5，则lg 40＝(　　) A． B． C． D． 答案：A 解析：∵2a＝5， ∴a＝log25＝， ∴lg 5＝a lg 2， ∵lg 5＋lg 2＝1， ∴lg 2＝， ∴lg 40＝lg (10×4)＝lg 10＋lg 4＝1＋2lg 2＝1＋＝.故选A. 8．(5分)[2024·成都石室中学高一月考]如果一个点是一个指数函数的图象与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”．在下面的五个点M(1，1)，N(1，2)，P(2，1)，Q(2，2)，G(2，0.5)中，“好点”的个数为(　　) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案：C 解析：当x＝1时，对数函数y＝logax(a>0，a≠1)恒过(1，0)点，故M(1，1)，N(1，2)一定不是好点， 当y＝1时，指数函数y＝ax(a>0，a≠1)恒过(0，1)点， 故P(2，1)也一定不是好点， 而Q(2，2)是函数y＝() x与y＝logx的交点； G(2，0.5)是函数y＝( ) x与y＝log4x的交点； 故好点有2个．故选C. 9．(5分)已知函数f(x)＝x2－2ax－3，x∈[1，4)存在反函数，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，1]∪[4，＋∞) B．(－∞，1)∪[4，＋∞) C．(4，＋∞) D．(－∞，1]∪(4，＋∞) 答案：A 解析：函数f(x)＝x2－2ax－3，x∈[1，4)存在反函数，即函数f(x)＝x2－2ax－3在[1，4)上是一一映射，只需函数f(x)＝x2－2ax－3在[1，4)上单调即可，因为函数f(x)＝x2－2ax－3的对称轴为x＝－＝a，故当a≤1或a≥4时，函数f(x)＝x2－2ax－3在[1，4)上单调，即函数f(x)＝x2－2ax－3，x∈[1，4)存在反函数．故选A. 10．(6分)(多选)已知f(x)＝则下列结论正确的是(　　) A．f(f(1))＝ B．f(f(－1))＝ C．f(f(0))＝ D．f(f())＝2 019 答案：ACD 解析：f(f(1))＝f()＝()＝，选项A正确；f(f(－1))＝f(2)＝0≠，选项B不正确；f(f(0))＝f(1)＝，选项C正确；f(f())＝f(log2)＝＝＝2 019，选项D正确． 11．(5分)已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是________． 答案：② 解析：∵lg a＋lg b＝0， ∴lg ab＝0，即ab＝1， ①∵g(x)的定义域为{x|x>0}，∴①错误； ②由图象知指数函数单调递增，∴a>1，此时g(x)单调递增，满足条件； ③由图象知指数函数单调递减，∴0<a<1，此时g(x)单调递减，不满足条件； ④由图象知指数函数单调递增，∴a>1，此时g(x)单调递增，不满足条件．故答案为②. 12．(12分)已知函数f(x)＝. (1)求y＝f(x)的反函数y＝f－1(x)的值域； (2)若(7，2)是y＝f－1(x)的图象上一点，求y＝f(x)的值域． 解析：(1)y＝f －1(x)的值域即为y＝f(x)的定义域，即{y|y≠1，y∈R}． (2)由题知点(2，7)∈f(x)，则＝7⇒a＝2， f(x)＝＝2＋， 从而得到的值域为{y|y≠2，y∈R}． 核心素养升级练 13.(5分)(易错题) 已知x1是方程x·3x＝4的根，x2是方程x·log3x＝4的根，则x1x2＝(　　) A．16 B．8 C．6 D．4 答案：D 解析：方程x·3x＝4可变形为3x＝，方程x·log3x＝4可变形为log3x＝， ∴x1是y＝3x与y＝的图象的交点横坐标，x2是y＝log3x与y＝的图象的交点横坐标． ∵y＝3x与y＝log3x互为反函数， ∴y＝log3x与y＝的图象的交点横坐标x2等于y＝3x与y＝的图象的交点纵坐标，即(x1，x2)在y＝的图象上， ∴x1x2＝4.故选D. 易错提醒：本题容易出现不会灵活运用反函数的定义而导致出错，注意结合函数零点以及方程根，以及函数图象的对称性进行求解． 14．(17分)设a∈R，f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＝. (1)试求f(x)的反函数f－1(x)的解析式及f－1(x)的定义域； (2)设g(x)＝log，若x∈时，f－1(x)≤g(x)恒成立，求实数k的取值范围． 解析：(1)因为f(x)＝为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝＝0， 所以a＝1，此时f(x)＝，f(－x)＝＝＝－f(x)，满足题意， 令y＝f(x)＝，则2x＝，可得y∈(－1，1)，>0，所以x＝log2， 所以f －1(x)＝log2， 由>0得－1<x<1， 所以f －1(x)的定义域为(－1，1). (2)因为x∈时，f－1(x)≤g(x)恒成立， 所以log2≤log＝log2×恒成立， 所以≤×恒成立，即k2≤1－x2在上恒成立， 令h(x)＝1－x2，x∈，则h(x)在上单调递减，h(x)min＝h＝，所以k2≤，所以0<k≤， 故k的取值范围为(0，]. 学科网（北京）股份有限公司 $$