精品解析：山西省实验中学2024-2025学年上学期期中测评八年级数学试卷

山西省实验中学2024-2025学年第一学期期中质量监测（卷） 八年级数学 （本试卷满分100分，考试时90分钟） 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 9的算术平方根是（ ） A. B. 3 C. D. 81 2. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 1，， C. 4，6，8 D. 5，12，15 3. 我国是最早了解勾股定理的国家之一．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于下列哪部著名数学著作中（ ） A. B. C. D. 4. 已知点在第二象限，且点到轴的距离为，到轴的距离为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，点B，C在数轴上对应的数分别是0，长为半径画弧，交数轴的负半轴于点D，则与点D对应的数为（　　） A. 1 B. C. D. 6. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象过点 B. 图象经过第一、二、四象限 C. y随着x的增大而增大 D. 其图象可由的图象向下平移2个单位长度得到 7. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A，C的坐标分别是，，点B在x轴上，则点B的横坐标是（ ） A. 4 B. C. D. 5 8. 《算法统宗》是我国古代非常重要的数学名著，其中记载了一道题，原文：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤，几多客人几两银？大意为：有若干客人分银若干两，若每人分两，则还多两；若每人分两，则不足两．客人有多少？银有多少两？（题中斤、两是旧制质量单位，斤两），设客人有人，银有两，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 若点在正比例函数的图象上，则m的值是（ ） A. B. C. 1 D. -1 10. 如图，甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后1.5小时追上甲车；④当乙追上甲后，甲乙两车相距50千米时，或．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 将化成最简二次根式的结果为______． 12. 如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”，两点的坐标分别为，，则叶杆“底部”点的坐标为_________ ． 13. 若一次函数的图象经过点和，则关于x的一元一次方程的解为________． 14. 张老师驾车从甲地匀速行驶到乙地，已知行驶中油箱剩余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系用如图的线段表示，那么一箱汽油可供汽车行驶______小时． 15. 如图，将边长为的正方形纸片折叠，使点D落在边的中点E处，点A落在点F处，折痕为，则线段的长度为________． 三、解答题（本题共8个小题，共55分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 解方程组： （1）； （2）． 18. 已知：，，． （1）在坐标系中描出各点，画出； （2）作出关于y轴对称的图形； （3）的面积为________． 19. 2024年10月22日，神舟十九号载人飞船与长征二号F遥十九运载火箭组合体已转运至发射区，计划10月底择机实施发射．神州十九号要冲破地球的万有引力的束缚，围绕地球旋转，它们的速度都必须超过一定的数值，这个速度我们称之为第一宇宙速度，计算这一速度的公式是，其中g为重力加速度，通常取9.8米/秒，R为地球半径，约为米，试计算第一宇宙速度的近似值（参考数据：） 20. 如图，在四边形ABCD中，∠D=90°，AB=15，BC=20，CD=7，AD=24． （1）求对角线AC的长； （2）求四边形ABCD的面积． 21. 佛小伴作为山西大同的热门文创产品，其灵感来源于山西各地寺庙的佛像，巧妙融合了传统与现代的元素．某文创店计划用5400元购进两种款式的佛小伴，一种是经典款，另一种是帽衫款．经典款佛小伴每个进价为15元，标价为28元；帽衫款佛小伴每个进价为25元，标价为40元．按照标价全部售出可获得总利润为3680元，分别求出文创店购进经典款和帽衫款佛小伴的个数． 22. 综合与实践 【项目介绍】 让时间可见 ——古代漏刻 课间时光总是如此美好，美好的时光总是转瞬即逝，当上课铃声响起时，同学们才意识到10分钟已经过去，让人忍不住想要抓住每一刻．恰逢本周数学课上学习了一次函数，课本上提到了中国古代的计时工具——漏刻．这不禁让同学们突发奇想：我们能不能也制作一个计时工具，让时间“看得见”． 【任务一】“今技融古” 阅读课本P81“中国古代漏刻”，了解古代漏刻和它的计时原理．上网查阅资料，学习中国古代其他计时方法和它们的计时原理，体会中国古代文化的博大精深． 【任务二】“古物新做” 利用日常生活中的物品，借助查阅的资料和课堂所学知识，以“1分钟”为一个时间单位，设计并制作计时工具，并讲述制作过程． 如图1是学思小组制作的计时仪器，水流分别经过纸杯1、2、3最后流入纸杯4，记录了流入纸杯4的水面高度与流水时间的关系如表1，同时又记录了水的体积与流水时间的关系如表2． 表1 流水时间 1 2 3 4 5 6 7 水面高度 0.3 0.7 1.05 1.35 1.6 1.8 1.95 表2 流水时间 1 2 3 4 5 6 7 水的体积 3.6 8.4 13.2 18 22.8 27.6 32.4 通过对表中数据的分析，小组同学发现________与流水时间t是一次函数关系． 【任务三】“时间可见” 简述你设计的计时工具让“1分钟”可见的原理，多次实验，收集数据，利用所学的知识建立函数模型，确定自变量和因变量． 通过对学思小组数据的分析，为让时间“看得见”，善思小组改进了实验装置如图2，可以将水的体积直接转化为仪表盘的刻度，小组同学记录了仪表表盘刻度m与流水时间t的数据如表3． 表3 流水时间 1 2 3 4 5 … 表盘刻度m 0.3 0.7 1.1 1.5 1.9 … （1）请根据表3数据求表盘刻度与流水时间的函数关系式； （2）求经过10分钟，表盘刻度是多少？ 23. 综合与实践 【模型呈现】如图1，在中，，，直线m经过点A，过点B作于点D，过点C作于点E，试说明：． 【模型应用】如图2，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点B作线段且，直线交x轴于点D． ①求A，B两点的坐标； ②求点C的坐标与直线的函数关系式； 【模型迁移】如图3，在平面直角坐标系中，点C是点C关于y轴的对称点，点Q是x轴上一个动点，点P是直线上一个动点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省实验中学2024-2025学年第一学期期中质量监测（卷） 八年级数学 （本试卷满分100分，考试时90分钟） 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 9的算术平方根是（ ） A. B. 3 C. D. 81 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求算术平方根， 算术平方根定义为非负数的非负平方根，因此9的算术平方根应为非负数． 【详解】解：9的算术平方根是3． 故选：B． 2. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. 1，， C. 4，6，8 D. 5，12，15 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理可知，两条较小的边的平方和等于第三条边的平方，即可构成直角三角形，依次即可求出答案． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴不能构成直角三角形， 故A不符合题意； B、∵， ∴， ∴能构成直角三角形， 故B符合题意； C、∵， ∴， ∴不能构成直角三角形， 故C不符合题意； D、∵， ∴， ∴不能构成直角三角形， 故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查勾股定理逆定理，根据勾股定理的逆定理判断三边的关系，掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 3. 我国是最早了解勾股定理的国家之一．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于下列哪部著名数学著作中（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的历史渊源，加强教材的阅读，熟记相关知识的来源于出处． 【详解】解：早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被记载于下列哪部著名数学著作《周脾算经》中． 故选：A． 4. 已知点在第二象限，且点到轴的距离为，到轴的距离为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，解题的关键是熟记点的坐标特征．四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 根据点到轴的距离是纵坐标的绝对值，点到轴的距离是横坐标的绝对值，根据第二象限内点的横坐标小于零，纵坐标大于零，可得答案． 【详解】因为点P在第二象限，且点到轴的距离为，到轴的距离为， 所以点P的坐标为， 故选：． 5. 如图，在中，，点B，C在数轴上对应的数分别是0，长为半径画弧，交数轴的负半轴于点D，则与点D对应的数为（　　） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、实数与数轴，熟知实数与数轴上的点是一一对应关系是解题的关键．先利用勾股定理求得，进而根据数轴可求得． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵点B对应的数是0， ∴与点D对应的数为， 故选：D． 6. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象过点 B. 图象经过第一、二、四象限 C. y随着x的增大而增大 D. 其图象可由的图象向下平移2个单位长度得到 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的分布和性质，图象的平移，熟练掌握图象分布，性质，平移是解题的关键．根据图象与点的关系，一次函数的性质，图象的平移，一次函数图象分布解答即可． 【详解】解：A． ∵当时，，∴图象过点，故原说法错误，不符合题意； B． 图象经过第一、二、四象限，正确，符合题意； C． ∵，∴ y随着x的增大而减小，故原说法错误，不符合题意； D． 其图象可由的图像向上平移2个单位长度得到，故原说法错误，不符合题意． 故选：B． 7. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点A，C的坐标分别是，，点B在x轴上，则点B的横坐标是（ ） A. 4 B. C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】分别过点作轴，轴于点，证明，得，从而可得，即可解答此题． 【详解】解：过点作轴，轴于点，如图： ， ∴， ∵点A的坐标是，点C的坐标是 ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 在中 ， ∴ ∴ ∴， ∴点B的横坐标是5， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，矩形的性质等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键． 8. 《算法统宗》是我国古代非常重要的数学名著，其中记载了一道题，原文：隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤，几多客人几两银？大意为：有若干客人分银若干两，若每人分两，则还多两；若每人分两，则不足两．客人有多少？银有多少两？（题中斤、两是旧制质量单位，斤两），设客人有人，银有两，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设客人有人，银有两，根据题意列出方程组即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设客人有人，银有两， 由题意得，， 故选：． 9. 若点在正比例函数的图象上，则m的值是（ ） A. B. C. 1 D. -1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是正比例函数的性质，把代入，从而可得答案． 【详解】解：把代入， 得 故选C． 10. 如图，甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶的时间t（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后1.5小时追上甲车；④当乙追上甲后，甲乙两车相距50千米时，或．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用，由图象所给数据可求得甲、乙两车离开A城的距离y与时间t的关系式，可求得两函数图象的交点，进而判断，再令两函数解析式的差为50，可求得t，可得出答案．掌握一次函数图象的意义是解题的关键，学会构建一次函数，利用方程组求两个函数的交点坐标，属于中考常考题型． 【详解】图象可知、两城市之间的距离为，甲行驶的时间为小时，而乙是在甲出发小时后出发的，且用时小时，即比甲早到小时，故①②都正确； 设甲车离开城的距离与的关系式为， 把代入可求得， ， 设乙车离开城的距离与的关系式为， 把和代入可得，解得， ， 令可得：，解得， 即甲、乙两直线的交点横坐标为， 此时乙出发时间为小时，即乙车出发小时后追上甲车，故③正确； 当乙追上甲后，令， 解得， 当乙到达目的地，甲自己行走时，， 解得， ∴综上所述，当乙追上甲后，甲乙两车相距50千米时，或．故④正确； 综上可知正确的有①②③④，共4个． 故选：D． 二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 将化成最简二次根式的结果为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是最简二次根式，根据最简二次根式定义进行化简即可． 【详解】解：． 故答案为： 12. 如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿．将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”，两点的坐标分别为，，则叶杆“底部”点的坐标为_________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据，两点的坐标分别为，，可以判断原点的位置，然后确定点坐标即可． 【详解】解：如图所示， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查在平面直角系中，根据已知点的坐标，求未知点的坐标，解题的关键是根据已知点的坐标确定原点的坐标． 13. 若一次函数的图象经过点和，则关于x的一元一次方程的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，根据一次函数与一元一次方程的关系，可知方程 的解就是直线与x轴的交点的横坐标，即可求出结果． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点和． 直线与x轴的交点坐标是， ∴关于x的一元一次方程的解为， 故答案为：． 14. 张老师驾车从甲地匀速行驶到乙地，已知行驶中油箱剩余油量y（升）与行驶时间x（小时）之间的关系用如图的线段表示，那么一箱汽油可供汽车行驶______小时． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的应用，观察函数图象，再把代入，解得，令时，解得，即可作答． 【详解】解：设线段的解析式为， 把代入， 得， 解得， ∴， 令时，则， ∴ 即一箱汽油可供汽车行驶小时． 故答案为： 15. 如图，将边长为的正方形纸片折叠，使点D落在边的中点E处，点A落在点F处，折痕为，则线段的长度为________． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】本题考查了翻折的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，解题的关键是利用勾股定理建立方程关系． 连接，证明得，设，则，然后利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：连接， ∵将边长为的正方形纸片折叠， ∴，，， ∴， ∴． 设，则， ∵E是中点， ∴． ∵， ∴， 解得， ， 故答案为：． 三、解答题（本题共8个小题，共55分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算； （1）先把二次根式化为最简二次根式，再计算加减即可； （2）先计算平方差和完全平方，再计算加减即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原式 17. 解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查解二元一次方程组； （1）采用加减消元法，求解即可； （2）采用加减消元法，求解即可． 【小问1详解】 解：， 解：①得：③ ③+②得， 解得 把代入②得：， 解得：， 原方程组的解为； 【小问2详解】 解：， 解：①+②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 原方程组的解为． 18. 已知：，，． （1）在坐标系中描出各点，画出； （2）作出关于y轴对称的图形； （3）的面积为________． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据点的坐标描出点A，B，C，然后顺次连接即可求解； （2）根据轴对称的性质，找到A，B，C的对应点，然后顺次连接，即可求解； （3）根据长方形的面积减去三个三角形的面积，即可求解． 本题考查了作图，轴对称变换，三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图所示，为所求； 【小问2详解】 解：如图所示，为所求； 【小问3详解】 解： 19. 2024年10月22日，神舟十九号载人飞船与长征二号F遥十九运载火箭组合体已转运至发射区，计划10月底择机实施发射．神州十九号要冲破地球的万有引力的束缚，围绕地球旋转，它们的速度都必须超过一定的数值，这个速度我们称之为第一宇宙速度，计算这一速度的公式是，其中g为重力加速度，通常取9.8米/秒，R为地球半径，约为米，试计算第一宇宙速度的近似值（参考数据：） 【答案】7840米/秒． 【解析】 【分析】本题考查了计算器再实际生活中使用和有效数字的知识，把米/秒，代入，然后使用计算器进行开方运算，接下来结合四舍五入法与有效数字的知识进行解答即可． 【详解】解：当，时 答：第一宇宙速度的近似值为7840米/秒． 20. 如图，在四边形ABCD中，∠D=90°，AB=15，BC=20，CD=7，AD=24． （1）求对角线AC的长； （2）求四边形ABCD的面积． 【答案】（1）25（2）234 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理，在直角△ACD中计算即可； （2）首先利用勾股定理逆定理证明△ACD是直角三角形，再利用三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）在Rt△ADC中，∠D=90°， 根据勾股定理得：AC==25； （2）在△ACB中， ∵BC2+AB2=202+152=252=CA2， ∴△ACB是直角三角形，∠ABC=90°， ∴S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=AB•BC+AD•CD=150+84=234． 【点睛】本题考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理是解题的关键.勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方；勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形． 21. 佛小伴作为山西大同的热门文创产品，其灵感来源于山西各地寺庙的佛像，巧妙融合了传统与现代的元素．某文创店计划用5400元购进两种款式的佛小伴，一种是经典款，另一种是帽衫款．经典款佛小伴每个进价为15元，标价为28元；帽衫款佛小伴每个进价为25元，标价为40元．按照标价全部售出可获得总利润为3680元，分别求出文创店购进经典款和帽衫款佛小伴的个数． 【答案】文创店购进经典款佛小伴的个数为110个，帽衫款佛小伴的个数为150个． 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系．文创店购进经典款佛小伴的个数为个，帽衫款佛小伴的个数为个，根据计划用5400元购进和全部售出可获得总利润为3680建立方程组即可． 【详解】解：设：文创店购进经典款佛小伴的个数为个，帽衫款佛小伴的个数为个． 由题意可得：，解得； 答：文创店购进经典款佛小伴的个数为110个，帽衫款佛小伴的个数为150个． 22. 综合与实践 【项目介绍】 让时间可见 ——古代漏刻 课间时光总是如此美好，美好的时光总是转瞬即逝，当上课铃声响起时，同学们才意识到10分钟已经过去，让人忍不住想要抓住每一刻．恰逢本周数学课上学习了一次函数，课本上提到了中国古代的计时工具——漏刻．这不禁让同学们突发奇想：我们能不能也制作一个计时工具，让时间“看得见”． 【任务一】“今技融古” 阅读课本P81“中国古代漏刻”，了解古代漏刻和它的计时原理．上网查阅资料，学习中国古代其他计时方法和它们的计时原理，体会中国古代文化的博大精深． 【任务二】“古物新做” 利用日常生活中的物品，借助查阅的资料和课堂所学知识，以“1分钟”为一个时间单位，设计并制作计时工具，并讲述制作过程． 如图1是学思小组制作的计时仪器，水流分别经过纸杯1、2、3最后流入纸杯4，记录了流入纸杯4的水面高度与流水时间的关系如表1，同时又记录了水的体积与流水时间的关系如表2． 表1 流水时间 1 2 3 4 5 6 7 水面高度 0.3 0.7 1.05 1.35 1.6 1.8 1.95 表2 流水时间 1 2 3 4 5 6 7 水的体积 3.6 8.4 13.2 18 22.8 27.6 32.4 通过对表中数据的分析，小组同学发现________与流水时间t是一次函数关系． 【任务三】“时间可见” 简述你设计的计时工具让“1分钟”可见的原理，多次实验，收集数据，利用所学的知识建立函数模型，确定自变量和因变量． 通过对学思小组数据的分析，为让时间“看得见”，善思小组改进了实验装置如图2，可以将水的体积直接转化为仪表盘的刻度，小组同学记录了仪表表盘刻度m与流水时间t的数据如表3． 表3 流水时间 1 2 3 4 5 … 表盘刻度m 0.3 0.7 1.1 1.5 1.9 … （1）请根据表3数据求表盘刻度与流水时间的函数关系式； （2）求经过10分钟，表盘刻度是多少？ 【答案】【任务二】水的体积；【任务三】（1）；（2）3.9． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用． 任务二：观察表格可知，表1中流水时间每增加 ，水面高度增加不固定，不符合一次函数关系，由表2可知，流水时间每增加，水的体积增加，符合一次函数关系； 任务三：（1）表盘刻度与流水时间的函数关系式为，选取表3中的2组数据代入求解即可； （2）当时代入（1）中的关系式求解即可． 【详解】解：任务二：由表2可知，流水时间每增加，水的体积增加，符合一次函数关系， 故答案为：水的体积 任务三：（1）设：表盘刻度与流水时间的函数关系式为：． 根据题意，将，代入 ，解得： 表盘刻度与流水时间的函数关系式为：； （2）当时， 答：表盘刻度指针所指数字为3.9． 23. 综合与实践 【模型呈现】如图1，在中，，，直线m经过点A，过点B作于点D，过点C作于点E，试说明：． 【模型应用】如图2，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点B作线段且，直线交x轴于点D． ①求A，B两点的坐标； ②求点C的坐标与直线的函数关系式； 【模型迁移】如图3，在平面直角坐标系中，点C是点C关于y轴的对称点，点Q是x轴上一个动点，点P是直线上一个动点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点Q的坐标． 【答案】 （模型呈现）：证明：直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （模型应用）：①点的坐标为，点的坐标为；②点的坐标为，；（模型迁移）：或 【解析】 【分析】（模型呈现）根据证明即可； （模型应用）①令和令即可求出点A和点的坐标． ②过点作轴于点，证明，根据全等三角形的性质即可求出点的坐标为，根据待定系数法即可求出直线的解析式； （模型迁移）：根据题意可得，设，画出图象，当时，证明，根据全等三角形的性质列出等式即可求解． 【详解】（模型呈现）：略 （模型应用）：①解：把代入中，得， 点的坐标为． 把代入，得，解得：， 点的坐标为． ②如图中，过点作轴于点， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 则有， 解得：， 直线的解析式为； （模型迁移）：根据题意可得， 设， 则当时， 如图，过点作直线轴交于点E，过点P作， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：或， ∴或． 【点睛】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，一次函数的解析式求解，一次函数的图象和性质，点的对称，三角形内角和定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，数形结合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $