专题09 二元一次方程组的解法-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学上册压轴题攻略（湘教版2024）

专题09 二元一次方程组的解法的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、二元一次方程的整数解 2 类型二、代入消元法解二元一次方程组 3 类型三、加减消元法解二元一次方程组 6 类型四、二元一次方程组的错解复原问题 8 类型五、构造二元一次方程组求解 12 类型六、二元一次方程组的特殊解法 13 压轴能力测评（14题） 16 解题知识必备 1. 代入消元法解二元一次方程组 1)代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示，再代入另一个方程，实现消元，转化为一元一次方程，进而求解这个二元一次方程组的方法. 2)代入消元法的步骤：①在方程组中选取一个系数较简单的方程，将这个方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数；②将这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，转换为一元一次方程，并求解该一元一次方程.③利用已求解的未知数，代入关系式中，求解出另一个未知数的解. 2. 加减消元法解二元一次方程组 1）加减消元法：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相同时，将这两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法. 2）加减消元法步骤：①确定消元对象，并把该对象的系数化为相等或相反形式；②将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程，并求解；③将求解出来的值代入任意原方程中，求解出另一个未知数的值. 压轴题型讲练 类型一、二元一次方程的整数解 例题：（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）二元一次方程共有 组正整数解． 【变式训练1】（23-24七年级下·全国·期末）写出二元一次方程的一个正整数解 ． 【变式训练2】（22-23八年级上·浙江湖州·开学考试）二元一次方程的正整数解为 ． 类型二、代入消元法解二元一次方程组 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）解方程组： (1) (2) 【变式训练1】（23-24七年级下·全国·期末）用代入法解方程组： (1) (2) 【变式训练2】（2024七年级上·全国·专题练习）用代入消元法解方程组 (1)； (2) 类型三、加减消元法解二元一次方程组 例题：（24-25八年级上·广东深圳·期中）解二元一次方程方程组： (1)； (2) 【变式训练1】（2024七年级上·全国·专题练习）用加减消元法解方程组： (1) (2) 【变式训练2】（2024七年级上·全国·专题练习）解二元一次方程组： (1) (2) 类型四、二元一次方程组的错解复原问题 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）解方程组： 解：解法一：由①，得．③ 将③代入①，得，即， 所以原方程组无解． 解法二：由①，得．③ 将③代入②，得， 解得． 将代入③，得． 上面的两种解法正确吗？若不正确，请说明理由，并写出正确的解答过程． 【变式训练1】（23-24八年级上·山西忻州·期末）下面是淇淇同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组: 解：由①，得③…..第一步 ③-②，得，……第二步 将代入①，解得，…...第三步 所以，原方程组的解为，……第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_________法；以上求解步骤中，第一步的依据是__________． (2)第_______步开始出现错误，具体错误是___________． (3)直接写出该方程组的正确解：____________． 【变式训练2】（23-24八年级上·宁夏银川·期末）下面是小马同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①得③………………第一步 ②③得……………第二步 ……………第三步 将代入①得………………第四步 所以，原方程组的解为……………第五步 (1)上述材料中小马同学解二元一次方程组的数学方法是 （填序号即可）； A．公式法      B．换元法      C．代入消元法      D．加减消元法 (2)上述材料中第二步和第四步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”， 在此过程中体现的数学思想是 （填序号即可）； A．转化思想    B．类比思想    C．分类讨论    D．数形结合 (3)第 步开始出现错误，请你直接写出原方程组的解 ． 类型五、构造二元一次方程组求解 例题：（23-24七年级下·湖南郴州·阶段练习）已知单项式和是同类项，则 ， ． 【变式训练1】（23-24七年级下·全国·单元测试）若，则的值为 ． 【变式训练2】（23-24七年级下·云南保山·阶段练习）已知，则等于 ． 类型六、二元一次方程组的特殊解法 例题：（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面都有广泛的应用． (1)解方程； (2)在（1）的基础上，求方程组的解． 【变式训练1】（23-24七年级下·云南红河·期末）学习完“代入消元法”解二元一次方程组后，老师在黑板上写下一个方程组． 让同学们解答，爱动脑筋的小敏想到一种新的方法： 解：将②变形为，③ 把①代入③，得，解得． 把代入①，解得． 方程组的解为． 这种把某个式子看成一个整体，从而使问题得到简化的方法叫做“整体代换”法，请你模仿小敏的“整体代换”法解方程组 【变式训练2】（23-24八年级上·四川眉山·开学考试）阅读探索 （1）知识累计 解方程组 解：设，，原方程组可变为 解方程组得：，即 所以 此种解方程组的方法叫换元法． （2）拓展提高 运用上述方法解下列方程组： （3）能力运用 已知关于，的方程组的解为，直接写出关于、的方程组的解为 ． 压轴能力测评（14题） 一、单选题 1．（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）方程的正整数解的个数是（    ） A．4 B．1 C．2 D．3 2．（2024七年级上·全国·专题练习）有下列方程组： ①；②；③；其中用加减消元法解较为简便的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．（2024七年级上·全国·专题练习）已知与是同类项，则的值是（   ） A．4 B．1 C． D． 4．（23-24七年级下·全国·期中）两位同学在解方程组 时，甲同学正确地解出，乙同学因把抄错了解得 ，则，，正确的值应为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程组时，把第一个方程代入第二个方程，可以得到的值为 ，这时 ． 6．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）已知 ，则的值为 ． 7．（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）已知,是二元一次方程组的解，那么的值是 ． 8．（22-23七年级下·浙江湖州·阶段练习）若关于、的二元一次方程组的解为，则关于、的二元一次方程组的解为 ． 三、解答题 9．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）计算： (1) (2) 10．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）解方程组： (1) (2) (3) (4) 11．（2024七年级上·全国·专题练习）利用换元法解下列方程组： (1)； (2)． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）利用换元法解下列方程组： (1) (2) 13．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）数学老师在黑板上出了一道习题：解方程组，以下是淇淇的板演步骤： 解：②①，得，    第一步 解得，        第二步 把代入①，得，    第三步 所以这个方程组的解是    第四步 (1)淇淇的方法是______消元法； (2)以上解法，从第______步开始错误； (3)请你用代入消元法求出方程组的解． 14．（23-24七年级下·广东汕头·期末）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组时，爱思考的慧慧同学发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，她采用下面的解法则比较简单： 得：，即．③ 得：．④ 得：，代入③得．所以这个方程组的解是． (1)请你运用慧慧的方法解方程组 (2)规律探究：猜想关于、的方程组的解是_______． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 二元一次方程组的解法的六种考法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 2 类型一、二元一次方程的整数解 2 类型二、代入消元法解二元一次方程组 3 类型三、加减消元法解二元一次方程组 6 类型四、二元一次方程组的错解复原问题 8 类型五、构造二元一次方程组求解 12 类型六、二元一次方程组的特殊解法 13 压轴能力测评（14题） 16 解题知识必备 1. 代入消元法解二元一次方程组 1)代入消元法：把二元一次方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的式子表示，再代入另一个方程，实现消元，转化为一元一次方程，进而求解这个二元一次方程组的方法. 2)代入消元法的步骤：①在方程组中选取一个系数较简单的方程，将这个方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数；②将这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，转换为一元一次方程，并求解该一元一次方程.③利用已求解的未知数，代入关系式中，求解出另一个未知数的解. 2. 加减消元法解二元一次方程组 1）加减消元法：两个二元一次方程中，同一未知数的系数相反或相同时，将这两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数的方法. 2）加减消元法步骤：①确定消元对象，并把该对象的系数化为相等或相反形式；②将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，转化为一元一次方程，并求解；③将求解出来的值代入任意原方程中，求解出另一个未知数的值. 压轴题型讲练 类型一、二元一次方程的整数解 例题：（24-25七年级上·湖南衡阳·阶段练习）二元一次方程共有 组正整数解． 【答案】2 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，先求出，再根据、都是正整数，确定的值，进而确定的值即可，． 【详解】解：∵， ∴， ∵、都是正整数， ∴当时，， 当时，， 当时，（不符合题意，舍去）， ∴二元一次方程共有2组正整数解， 故答案为：2． 【变式训练1】（23-24七年级下·全国·期末）写出二元一次方程的一个正整数解 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程的解，采用“给一个，求一个”的方法进行枚举，利用枚举法进行求正整数解是解题的关键．由，可得出，再进行枚举即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，， ∴是方程的一组正整数解； 故答案为：（答案不唯一）． 【变式训练2】（22-23八年级上·浙江湖州·开学考试）二元一次方程的正整数解为 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程的解 【分析】要求二元一次方程的正整数解，首先将方程做适当变形，确定其中一个未知数的取值范围，分析解的情况．本题考查了二元一次方程的解，本题是二元一次方程的整数解，先将方程做适当变形，然后列举出适合条件的所有整数值，再求出另一个未知数的值． 【详解】解：由已知得， 要使，都是正整数， 必须满足：①大于0；②是3的倍数． 根据以上两个条件可知，合适的值只能是，相应的， 即二元一次方程的正整数解为． 故答案为：． 类型二、代入消元法解二元一次方程组 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】代入消元法 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）利用代入消元法即可解方程求解； （2）利用代入消元法即可解方程求解； 【详解】（1）解：， 把②代入①，得， 解得． 把代入②，得， 所以原方程组的解为． （2）解：， 由①，得③． 把③代入②，得， 解得． 把代入③，得， 所以原方程组的解为． 【变式训练1】（23-24七年级下·全国·期末）用代入法解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】代入消元法 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）方程组利用代入消元法求出解即可； （2）方程组整理后，利用代入消元法求出解即可． 【详解】（1） 解：（1）， 把①代入②得：， 去括号得：，即， 把代入①得：， 则方程组的解为； （2） 解： ， 由①得：③， 把③代入②得：， 去分母得：， 移项合并得：，即， 把代入③得：， 则方程组的解为． 【变式训练2】（2024七年级上·全国·专题练习）用代入消元法解方程组 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】代入消元法 【分析】本题主要考查了代入消元法解二元一次方程组， （1）由可得，再代入计算求出，再把代入计算即可； （2）由可得，再代入计算求出，再把代入计算即可． 【详解】（1）解：由可得， 将代入得， 解得， 把代入得， 方程组的解为； （2）解：整理可得， 将代入得， 解得， 把代入得， 方程组的解为． 类型三、加减消元法解二元一次方程组 例题：（24-25八年级上·广东深圳·期中）解二元一次方程方程组： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法：加减消元法和代入消元法． （1）方程组由得，，再求解即可； （2）方程组由得：解得，，再求解即可． 【详解】（1）解： ， 得，， 把代入①得，， 解得，， ∴方程组的解为； （2）解：， 得：， 解得，， 把代入①得，， 解得，， 所以，方程组的解为． 【变式训练1】（2024七年级上·全国·专题练习）用加减消元法解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键； （1）根据加减消元法可进行求解； （2）根据加减消元法可进行求解 【详解】（1）解：将①化简，得．③ ，得，解得． 将代入②，得，解得， 所以原方程组的解是； （2）解：，得．③ ，得．④ ，得．⑤ ，得，解得． 把代入③，得，解得． 故原方程组的解是 【变式训练2】（2024七年级上·全国·专题练习）解二元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法和代入消元法是解题的关键． （1）消去，用加减消元法求解即可； （2）先化简，再用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：，得，③ ，得， 解得． 把号代入①，得， ∴原方程组的解为：； （2）解：原方程组化简，得 ，得， 解得． 把代入③，得， ∴原方程组的解为： 类型四、二元一次方程组的错解复原问题 例题：（2024八年级上·全国·专题练习）解方程组： 解：解法一：由①，得．③ 将③代入①，得，即， 所以原方程组无解． 解法二：由①，得．③ 将③代入②，得， 解得． 将代入③，得． 上面的两种解法正确吗？若不正确，请说明理由，并写出正确的解答过程． 【答案】上面的两种解答均不正确，理由和过程见解析 【知识点】代入消元法 【分析】本题考查了代入消元法求解二元一次方程组，需要注意的是运用这种方法需满足其中一个方程为用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，若不具备这种特征，则根据等式的性质将其中一个方程变形，使其具备这种形式．根据二元一次方程组的解法分析即可． 【详解】解：上面的两种解答均不正确．理由如下： 解法一：犯了循环代入的错误，即③是由①变形得到的，再将其代入①，肯定恒等，应将③代入②． 解法二：最后没有写出方程组的解． 正确的解答过程如下： 由①，得③ 将③代入②，得，解得． 将代入③，得， ∴原方程组的解为． 【变式训练1】（23-24八年级上·山西忻州·期末）下面是淇淇同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组: 解：由①，得③…..第一步 ③-②，得，……第二步 将代入①，解得，…...第三步 所以，原方程组的解为，……第四步 (1)这种求解二元一次方程组的方法叫做_________法；以上求解步骤中，第一步的依据是__________． (2)第_______步开始出现错误，具体错误是___________． (3)直接写出该方程组的正确解：____________． 【答案】(1)加减消元；等式的基本性质 (2)一，等式右边没有乘3 (3) 【知识点】加减消元法 【分析】此题考查了解二元一次方程组，掌握代入消元法与加减消元法是关键． （1）根据加减消元法，解二元一次方程组的步骤进行解答； （2）根据加减消元法判断即可； （3）根据加减消元法，解二元一次方程组求解． 【详解】（1）这种求解二元一次方程组的方法叫做加减消元法；以上求解步骤中，第一步的依据是等式的基本性质； 故答案为：加减消元；等式的基本性质 （2）第一步开始出现错误，具体错误是等式右边没有乘3， 故答案为：一，等式右边没有乘以3； （3）解方程组: 解：由①，得③ ③②，得， 将代入①， 解得， 所以，原方程组的解为， 故答案为：． 【变式训练2】（23-24八年级上·宁夏银川·期末）下面是小马同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①得③………………第一步 ②③得……………第二步 ……………第三步 将代入①得………………第四步 所以，原方程组的解为……………第五步 (1)上述材料中小马同学解二元一次方程组的数学方法是 （填序号即可）； A．公式法      B．换元法      C．代入消元法      D．加减消元法 (2)上述材料中第二步和第四步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”， 在此过程中体现的数学思想是 （填序号即可）； A．转化思想    B．类比思想    C．分类讨论    D．数形结合 (3)第 步开始出现错误，请你直接写出原方程组的解 ． 【答案】(1)D (2)A (3)二， 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了数学常识和解二元一次方程组，理解数学常识是解题的关键； （1）根据解二元一次方程组的基本方法求解； （2）将“二元”转化为“一元”是转化思想； （3）利用加减消元法解方程． 【详解】（1）解： 小马同学解二元一次方程组的数学方法是加减消元法， 故选：D； （2）解：第二步和第四步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是：转换思想， 故选为：A； （3）解：从第二步开始出现错误， 解方程组： 解：①得③ ②③得 将代入①得 所以，原方程组的解为 故答案为：二，． 类型五、构造二元一次方程组求解 例题：（23-24七年级下·湖南郴州·阶段练习）已知单项式和是同类项，则 ， ． 【答案】 /0.5 0 【知识点】已知同类项求指数中字母或代数式的值、构造二元一次方程组求解 【分析】本题考查了利用同类项的定义求字母的值，熟练掌握同类项的定义是解答本题的关键．根据同类项的定义构建方程组求解即可． 【详解】单项式和是同类项， 可列方程组 解得即的值为，的值为0． 故答案为：，0． 【变式训练1】（23-24七年级下·全国·单元测试）若，则的值为 ． 【答案】 【知识点】绝对值非负性、构造二元一次方程组求解、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了非负数的性质、求代数式的值．根据非负数的性质可求出的值，再代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：，，， ∴， 解得：，， ， 故答案为：0． 【变式训练2】（23-24七年级下·云南保山·阶段练习）已知，则等于 ． 【答案】1 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、构造二元一次方程组求解 【分析】本题考查了二次一次方程组的应用、代数式求值等知识，正确建立方程组是解题关键．先根据绝对值和偶次方的非负性可得，再解方程组可得的值，代入计算即可得． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 则， 故答案为：1． 类型六、二元一次方程组的特殊解法 例题：（23-24八年级上·广东佛山·阶段练习）整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，发现问题的整体结构特征，用“整体”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，进行有目的、有意识的整体处理整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程（组）、几何证明等方面都有广泛的应用． (1)解方程； (2)在（1）的基础上，求方程组的解． 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法、二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的步骤及巧用整体思想是解题的关键． (1)根据解二元一次方程组的步骤对所给方程组进行求解即可； (2)将和看作一个整体，得出关于，的二元一次方程组，再对其进行求解即可． 【详解】（1）解：， 得， ， ， 将代入①得， ， ， 所以原方程组的解为； （2）解：由题知， 将和看作一个整体， 则， 解得， 所以原方程组的解为． 【变式训练1】（23-24七年级下·云南红河·期末）学习完“代入消元法”解二元一次方程组后，老师在黑板上写下一个方程组． 让同学们解答，爱动脑筋的小敏想到一种新的方法： 解：将②变形为，③ 把①代入③，得，解得． 把代入①，解得． 方程组的解为． 这种把某个式子看成一个整体，从而使问题得到简化的方法叫做“整体代换”法，请你模仿小敏的“整体代换”法解方程组 【答案】 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查的是代入法解方程组，先把方程②化为，再利用代入法解方程组即可． 【详解】解：， 由②得：③， 把①代入③得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为； 【变式训练2】（23-24八年级上·四川眉山·开学考试）阅读探索 （1）知识累计 解方程组 解：设，，原方程组可变为 解方程组得：，即 所以 此种解方程组的方法叫换元法． （2）拓展提高 运用上述方法解下列方程组： （3）能力运用 已知关于，的方程组的解为，直接写出关于、的方程组的解为 ． 【答案】（2）  （3） 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握换元法解方程组，是解题的关键． （2）利用换元法解方程组即可； （3）设，进而得到，求解即可． 【详解】（2）设，， 原方程可变为：， 解方程组得，即， 解得：； （3）原方程化为， 设则方程可化为， 则方程的解为，即， 解得：． 压轴能力测评（14题） 一、单选题 1．（23-24七年级下·四川宜宾·阶段练习）方程的正整数解的个数是（    ） A．4 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题主要是考查了二元一次方程的解，准确计算是解题的关键．要求二元一次方程的正整数解，就要先将方程做适当变形，根据解为正整数确定其中一个未知数的值，再求得另一个未知数的值即可． 【详解】解：由，得， ∵，都是正整数， ∴是正整数， 满足条件的值只能是，，， 分别与之对应：，，， ∴，，． ∴有3组， 故选：D． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）有下列方程组： ①；②；③；其中用加减消元法解较为简便的是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查解二元一次方程组－加减消元法．通过观察所给的方程组中各式子特点，②和③的方程组，可以直接利用加减进行消元． 【详解】解：①宜用代入消元法； ②中，的系数相同，宜用加减消元法； ③中，的系数互为相反数，宜用加减消元法； 故选：C． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）已知与是同类项，则的值是（   ） A．4 B．1 C． D． 【答案】A 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知同类项求指数中字母或代数式的值、加减消元法 【分析】本题考查了同类项的定义，解二元一次方程组，解题的关键熟练运用同类项的定义． 先根据同类项的定义列出方程组，求出的值，再代入代数式，即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得：， 所以． 故选：A． 4．（23-24七年级下·全国·期中）两位同学在解方程组 时，甲同学正确地解出，乙同学因把抄错了解得 ，则，，正确的值应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】加减消元法、二元一次方程组的错解复原问题 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解问题，解题的关键理解题意得出正确的方程组．把甲的结果代入方程组两方程中，乙的结果代入第一个方程中，分别求出， ，的值，即可求出所求． 【详解】解：把代入方程组得： 把代入得： ， 联立得解得： ， 由，得到， 故选：． 二、填空题 5．（2024七年级上·全国·专题练习）解方程组时，把第一个方程代入第二个方程，可以得到的值为 ，这时 ． 【答案】 2 3 【知识点】代入消元法 【分析】此题考查了方程组的解法，关键是熟练掌握代入消元法解方程组的方法； 先将第一个方程代入第二个方程消去，从而可得关于的方程，解方程可得的值；然后把的值代入求的值即可． 【详解】解：， 把①代入②得，， 解得：， 把代入①，得． 故答案为：2，3． 6．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）已知 ，则的值为 ． 【答案】 【知识点】加减消元法、绝对值非负性 【分析】本题考查的是非负数的性质，解二元一次方程组，由题意得，求解即可，掌握当几个非负数相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ 解得：， ∴， 故答案为：． 7．（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）已知,是二元一次方程组的解，那么的值是 ． 【答案】5 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，理解方程组解的定义是解题关键．两个二元一次方程相加可得，两边同时除以4即可得到结果． 【详解】解：， 两式相加可得，即， ， 故答案为：5． 8．（22-23七年级下·浙江湖州·阶段练习）若关于、的二元一次方程组的解为，则关于、的二元一次方程组的解为 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，结合题意，利用整体代入法求解即可． 【详解】令，， ∵关于、的二元一次方程组的解为， 则， ∴关于、的二元一次方程组的解为， ∴关于、的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法 【分析】本题主要考查的就是二元一次方程组的解法，属于基础题型．解决这个问题的关键就是利用加减法进行消元． （1）利用求出的值，然后代入①求出的值，从而得出方程组的解； （2）首先将方程组进行化简，然后利用加减消元法得出方程组的解． 【详解】（1）解：， 得：，解得：， 将代入①可得：， 解得：， ∴原方程组的解为：； （2）解：将方程组进行变形可得：， 得：，解得：， 将代入①可得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 10．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）解方程组： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】代入消元法、加减消元法 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用加减消元法求解即可； （2）用代入消元法求解即可； （3）用加减消元法求解即可； （4）整理后用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： ，得 ， ∴， 把代入②，得 ， ∴， ∴； （2）解：， 把①代入②，得 ， ∴， 把代入①，得 ， ∴； （3）解： ，得 ， ∴， 把代入①，得 ， ∴， ∴； （4）解： 整理，得 ， ，得 ， ∴， 把代入②，得 ， ∴， ∴． 11．（2024七年级上·全国·专题练习）利用换元法解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了整体代换法解二元一次方程组的解法． （1）设，利用加减消元法求得，即，再利用加减消元法即可求解； （2）设，利用加减消元法求得，即，再利用加减消元法即可求解． 【详解】（1）解：， 设， 则原方程组可化为， 得，解得， 将代入②，得，解得， 解得， 即， 解得； （2）解：， 设， 则原方程组可化为， 得，解得， 将代入②，得，解得， 解得， 即， 解得． 12．（2024七年级上·全国·专题练习）利用换元法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法、二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查了解二元一次方程组，换元法，灵活运用换元法是解题的关键． （1）令，，原方程组化为，解出和的值代入，，即可求出和的值； （2）令，，原方程组化为，解出和的值代入，，即可求出和的值． 【详解】（1）解：令，， 原方程组化为， 解得， 把代入，， 得， 解得，， 原方程组的解为； （2）解：令，， 原方程组化为， 解得， 将代入，， 得， 解得， 原方程组的解为． 13．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）数学老师在黑板上出了一道习题：解方程组，以下是淇淇的板演步骤： 解：②①，得，    第一步 解得，        第二步 把代入①，得，    第三步 所以这个方程组的解是    第四步 (1)淇淇的方法是______消元法； (2)以上解法，从第______步开始错误； (3)请你用代入消元法求出方程组的解． 【答案】(1)加减 (2)三 (3) 【知识点】加减消元法、代入消元法 【分析】本题考查了加减消元法、代入消元法解二元一次方程组．熟练掌握加减消元法、代入消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）根据加减消元法解二元一次方程组求解作答即可； （2）根据加减消元法解二元一次方程组求解作答即可； （3）根据代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：由题意知，淇淇的方法是加减消元法， 故答案为：加减； （2）解：由题意知，以上解法，从第三步开始错误， 故答案为：三； （3）解：， 由②得，， 将③代入①得，， 解得，， 将代入③得，， ∴． 14．（23-24七年级下·广东汕头·期末）阅读下列解方程组的方法，然后解答问题： 解方程组时，爱思考的慧慧同学发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，她采用下面的解法则比较简单： 得：，即．③ 得：．④ 得：，代入③得．所以这个方程组的解是． (1)请你运用慧慧的方法解方程组 (2)规律探究：猜想关于、的方程组的解是_______． 【答案】(1) (2) 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题主要考查二元一次方程组的求法，理解题意，熟练掌握运用二元一次方程组的解法是解题关键． （）根据题意，利用例题方法求解即可； （）根据题意，利用例题方法求解即可得． 【详解】（1）解：， 得：，即，③ 得：，④ 得：，即， 把代入③得， 所以这个方程组的解是． （2）解：， 得：，即，③ 得：，④ 得：，即， 把代入③得， 所以这个方程组的解是． 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$