专题3.4 二元一次方程组的解法（举一反三讲义）数学湘教版2024七年级上册

专题3.4 二元一次方程组的解法（举一反三讲义） 【湘教版2024】 【题型1 用代数式表示某个字母】 3 【题型2 代入消元法解二元一次方程组的步骤判断】 4 【题型3 代入消元法解二元一次方程组】 6 【题型4 加减消元法解二元一次方程组的步骤判断】 8 【题型5 某个未知数的系数互为相反数，用加法消元】 9 【题型6 某个未知数的系数相同，用减法消元】 11 【题型7 某个未知数的系数成a倍关系，变形用加减法消元】 13 【题型8 换元法解二元一次方程组】 15 【题型9 整体代入法解二元一次方程组】 18 【题型10 解含参的二元一次方程组】 20 知识点1 代入消元法 1. 定义：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法． 2. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤 名称 具体做法 目的 注意事项 （1）变形 用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，得到变形的方程 变形为的形式 选系数简单的方程变形 （2）代入 把代入另一个没有变形的方程中 消去一个未知数，转化为一元一次方程 代入时要“只代不算” （3）求解 解代入后的一元一次方程 求出一个未知数的值 去括号时不漏乘，移项时要变号 （4）回代 把求得的未知数的值代入步骤（1）中变形后的方程中 求出另一个未知数的值 一般代入变形后的方程 （5）写出解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为的形式 要用大括号将x，y的值联立起来 知识点2 加减消元法 1. 定义：通过两式相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法． 2. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤 名称 具体做法 目的 （1）变形 根据绝对值较小的未知数（同一个未知数）的系数的最小公倍数，用适当的数去乘方程的两边 使两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数 （2）加减 加减法消去系数相等或系数互为相反数的同一未知数 转化为一元一次方程 （3）求解 解消元后得到的一元一次方程 求出一个未知数的值 （4）回代 把求得的未知数的值代入方程组中某个较简单的方程中 求出另一个未知数的值 （5）写出解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为的形式 知识点3 换元法解二元一次方程组 把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，从而使问题简化，这叫做换元法． 例如解方程组时， 令， 原方程组可化为解得则解得 【题型1 用代数式表示某个字母】 【例1】（24-25七年级下·江西宜春·期末）已知用含有的代数式表示是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先从x的方程解出t，再代入y的方程中即可． 本题考查了代入消元法，熟练掌握方法是解题的关键． 【详解】解： 将方程①变形为： 将③代入方程②得： 整理，得： 即：， 故选：A． 【变式1-1】将方程变形为用关于的代数式表示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查用一个未知数表示另一个未知数，将看作常数，解关于的方程即可． 【详解】解：， ∴； 故答案为：． 【变式1-2】方程，用x的代数式表示y，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了用含有一个未知数的代数式表示另外一个未知数，将x看作已知数求出y．将x看作已知数，先移项，再系数化为1，即可求出y． 【详解】解：， 移项得， ∴． 故答案为：． 【变式1-3】已知，则用含的代数式表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】消去t，确定出x与y的关系式即可． 【详解】解：， ①×2+②得：2x+y=9，即y=-2x+9， 故选：A． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 【题型2 代入消元法解二元一次方程组的步骤判断】 【例2】（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的四个成员每人做一步，每人只能看到前一人给的步骤，并进行下一步计算，再将结果传递给下一个人，用合作的方式完成该方程组的解题过程，过程如图所示，合作中出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丙和丁 【答案】C 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法与加减消元法是解题的关键； 观察四位同学的解题过程，找出出错的即可． 【详解】解：， 由①得：， 把③代入②得：， 去分母得：， 解得：， 由③得： 则合作中出现错误的同学为丙； 故答案为：C 【变式2-1】用代入消元法解二元一次方程组时，下列对方程①的变形正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用等式性质将①变形即可． 【详解】解：由①得：， 故选：C． 【变式2-2】对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了代入消元法求解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法是解题的关键． 将①式代入②式消去去括号，即可求得结果． 【详解】解：将①式代入②式，得 ， 即． 故选D． 【变式2-3】（24-25七年级下·河北唐山·期中）下面是老师在黑板上展示的某同学用代入消元法解方程组的步骤，其中开始出现错误的是（   ） 解： 由①得③；步骤一 把③代入②得；步骤二 去分母得；步骤三 解得，再由③得.步骤四 A．步骤一 B．步骤二 C．步骤三 D．步骤四 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握和运用解二元一次方程组的方法是解题的关键． 根据解二元一次方程组的方法—代入消元法的步骤，即可判定． 【详解】解： 步骤三中去分母应为：， 原解法中，去分母，等号右边漏乘2， 故选：C． 【题型3 代入消元法解二元一次方程组】 【例3】（24-25七年级下·福建厦门·期中）解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组的知识，解答本题的关键是熟练掌握“消元法”的应用． 利用代入消元法即可解答． 【详解】解：， 把①代入②可， 解得， 把代入①可得， 是原方程组的解． 【变式3-1】（24-25七年级下·北京昌平·阶段练习）解方程： 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解法，仔细观察二元一次方程组的特点，灵活选用代入法或加减法是解题关键． 本题利用代入消元法求解方程即可． 【详解】解：， 把②代入①得：， 解得：， 把代入②得：， 方程组的解为：． 【变式3-2】解方程组 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组． 用代入法解二元一次方程组即可． 【详解】解： 整理可得出： 由②式得：， 把代入①式可得出：， 解得：， 把代入， 可得出：， ∴原方程组的解为： 【变式3-3】（24-25七年级上·安徽安庆·期末）解方程组 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组等知识点，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 利用代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】解：， 由可得：， 将代入，得：， 解得：， 将代入，得：， 解得：， 方程组的解为． 【题型4 加减消元法解二元一次方程组的步骤判断】 【例4】解方程组 下列解法步骤中不正确的是 （     ） A．用加减法消去，①② 得 B．用代入法消去，由①得 C．用代入法消去，由②得 D．用加减法消去，①②得 【答案】A 【分析】本题考查了加减消元法和代入消元法； 根据加减消元法和代入消元法，结合等式的性质判断即可． 【详解】解：A.用加减法消去，①－②得，原计算错误； B.用代入法消去，由①得，计算正确； C.用代入法消去，由②得，计算正确； D.用加减法消去，①②得，计算正确； 故选：A． 【变式4-1】用加减法解二元一次方程组，下列步骤可以消去未知数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 观察两方程中m的系数，找出两系数的最小公倍数，然后把两方程相减即可． 【详解】解：A、既不能消去m，也不能消去n，此选项不符合题意； B．既不能消去m，也不能消去n，此选项不符合题意； C．能消去未知数m，此选项符合题意； D、不能消去m，也不能消去n，此选项不符合题意． 故选C． 【变式4-2】（24-25七年级下·山东淄博·开学考试）用加减消元法解方程组，下列方法中，无法消元的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查加减消元法，根据加减消元法，逐个进行判断即可，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 【详解】解：A、得：，能消元，故选项不符合题意； B、得：，不能消元，故选项符合题意； C、得：，能消元，故选项不符合题意； D、得：，能消元，故选项不符合题意； 故选：B． 【变式4-3】用加减消元法解方程组时，第一步②×5，得10x-5y=15③；第二步：③-①，得x=1；第三步：把x=1代入②，得y=-1，则上述步骤中开始出现错误的是（    ） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．无法确定 【答案】B 【分析】用加减消元法解方程组即可得． 【详解】解： ②×5，得， ③-①，得， 把代入②得，， ∴方程组的解为：， 则上述步骤中开始出现错误的是第二步， 故选：B． 【点睛】本题考查了用加减消元法解方程组，解题的关键是掌握加减消元法并正确计算． 【题型5 某个未知数的系数互为相反数，用加法消元】 【例5】解方程组 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法解二元一次方程组的一般步骤是解题的关键． 利用加减消元法求解即可； 【详解】解： ，得， 解得， 将代入，得， ∴方程组的解为． 【变式5-1】（24-25七年级下·青海·期中）解方程组：； 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法． 先用加减消元法求出的值，再求出的值即可． 【详解】解：， ①②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：． 【变式5-2】（24-25七年级下·辽宁铁岭·期末）解方程组：． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，利用加减消元法，解方程组即可． 【详解】解： ，得：， 解得； 把代入①，得， 解得：； ∴方程组的解为． 【变式5-3】（25-26八年级上·湖南衡阳·开学考试）解方程（组）：． 【答案】 【分析】本题主要考查加减消元法解二元一次方程组，掌握加减消元法的计算是关键． 根据题意，消去未知数，解一元一次方程得到，再把代入①即可求解． 【详解】解：， 得，， 解得， 把代入①得， 解得， ∴原方程组的解为． 【题型6 某个未知数的系数相同，用减法消元】 【例6】（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）解方程组 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用加减消元法解二元一次方程组即可； 【详解】解：， ，得， 解得：， 将代入①，得， 解得：， ∴方程组的解为 【变式6-1】解方程组：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．利用加减消元法解二元一次方程组即可. 【详解】 解：得：， ， 将代入①式得：， 解得， 原方程组的解为． 【变式6-2】解方程组． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题关键．方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】解：， 由①②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 所以方程组的解为． 【变式6-3】解方程组 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握代入法和加减消元法解方程组是解题关键． 首先把方程组去括号，化简，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：， 整理得：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：． 【题型7 某个未知数的系数成a倍关系，变形用加减法消元】 【例7】（2025八年级上·全国·专题练习）解方程组：． 【答案】 【分析】本题主要考查加减消元法解二元一次方程组，掌握加减消元法的方法是关键． 根据题意，①，②，得到未知数x的系数相同，运用加减消元法解得，由此即可求出． 【详解】解：， ①，得③， ②，得④， ④－③，得， 解得， 把代入②，得， 解得， 故原方程组的解是． 【变式7-1】解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法，要根据方程特点选择合适的方法简化运算． （1）方程组利用加减消元法求出解即可； （2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：． 把代入②得： ∴， 则方程组的解为． （2）解：整理得： 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴方程组的解为． 【变式7-2】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组： （1）先整理，再利用加减消元法解答，即可求解； （2）先整理，再利用加减消元法解答，即可求解． 【详解】（1）解： 由②得到，③ 由得：， 解得 把代入得：， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解： 整理得：， 由得：， 解得：， 把代入，得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 【变式7-3】（2025八年级上·全国·专题练习）解方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的求解，熟练掌握方程组的求解方法是解决本题的关键，直接根据二元一次方程组的求解方法解方程组即可． 【详解】解：令， 得，． 两边都除以4049，得．③ ，得④． ，得，解得． 将代入③，得． 所以原方程组的解是． 【题型8 换元法解二元一次方程组】 【例8】（2025八年级上·全国·专题练习）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，设，利用换元法解出，再解即可． 【详解】解：设， 则原方程组可化为， 解得， 所以， 解得， 所以原方程组的解是． 【变式8-1】已知方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是观察题目特点，灵活运用换元法求解．两个方程组除未知数不同外其余都相同，所以可用换元法进行解答，即可获得答案． 【详解】解：对于方程组，可设，， 可得， 结合题意可知， 解得． 故选：C． 【变式8-2】（24-25七年级下·贵州毕节·阶段练习）解方程组：． 【答案】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，先设，进行换元构造新的方程组，求解后再求原方程组的解． 【详解】解：设，，则原方程组变形为， ， 得，， 解得， 将代入得，， 解得， ， 解得， 原方程组的解为． 【变式8-3】利用换元法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，换元法，灵活运用换元法是解题的关键． （1）令，，原方程组化为，解出和的值代入，，即可求出和的值； （2）令，，原方程组化为，解出和的值代入，，即可求出和的值． 【详解】（1）解：令，， 原方程组化为， 解得， 把代入，， 得， 解得，， 原方程组的解为； （2）解：令，， 原方程组化为， 解得， 将代入，， 得， 解得， 原方程组的解为． 【题型9 整体代入法解二元一次方程组】 【例9】已知关于的二元一次方程组的解为，若满足二元一次方程组则的值为 ． 【答案】3 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，代数式的值，弄清题中方程组解的特征是解题的关键． 根据关于，的二元一次方程组的解为，得到，求解即可解答． 【详解】解：∵关于，的二元一次方程组的解为， ∴把关于，满足二元一次方程组看作关于和的二元一次方程组， ∴， 解得， ∴． 故答案为：3． 【变式9-1】已知方程组，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键．将方程组中的两个方程相加可得，由此即可得． 【详解】解：， 将两个方程相加得：， 则， 故答案为：． 【变式9-2】若方程组的解是，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解的知识，能灵活将方程组变形是解题的关键． 先将方程组变形得到，再根据方程组的解是，可得方程组的解为，然后即可求解； 【详解】解：方程组，变形得，， ∵方程组的解是， ∴方程组的解为， 解得：， 故答案为：． 【变式9-3】（2025七年级下·全国·专题练习）若关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程组的解，方程组之间的关系，熟练掌握方程组之间的关系是解题的关键． 根据两方程组各方程间的关系，可得出方程组的解为，进而可得出结论． 【详解】解：∵关于x，y的方程组（a，b是常数）的解为， ∴方程组的解为，即． 故答案为：． 【题型10 解含参的二元一次方程组】 【例10】（25-26八年级上·全国·单元测试）若关于的方程组的解中的值比的值的相反数大2，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查由二元一次方程组解得情况求参数，熟练掌握二元一次方程组的解法是解决问题的关键．根据题意，得到，构建新的二元一次方程组求解得到，代入求解关于的一元一次方程即可得到答案． 【详解】解：关于的方程组的解中的值比的值的相反数大2， ， 即， 解得， 将代入得， 解得， 故答案为：． 【变式10-1】如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值是互为相反数，我们称这个方程组为“关联方程组”，若关于，的方程组是“关联方程组”，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，相反数的定义，把两个方程相加可得，再根据相反数的定义可得，据此即可求解，使用整体法解方程组是解题的关键． 【详解】解：， 得，， ∴， ∵互为相反数， ∴， ∴， 故选：． 【变式10-2】（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）是关于，的方程组的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，解二元一次方程组，代数式求值，把代入原方程组得到关于a、b的方程组，解方程组求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵是关于，的方程组的解， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【变式10-3】（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）关于，的方程组与有相同的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程组，解二元一次方程组，代数式求值，关于，的方程组与有相同的解，则，解得：，然后代入得，求出，最后代入求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵关于，的方程组与有相同的解， ∴与有相同的解， 由，解得：， 把代入得， 解得：， ∴， 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.4 二元一次方程组的解法（举一反三讲义） 【湘教版2024】 【题型1 用代数式表示某个字母】 2 【题型2 代入消元法解二元一次方程组的步骤判断】 3 【题型3 代入消元法解二元一次方程组】 4 【题型4 加减消元法解二元一次方程组的步骤判断】 4 【题型5 某个未知数的系数互为相反数，用加法消元】 4 【题型6 某个未知数的系数相同，用减法消元】 5 【题型7 某个未知数的系数成a倍关系，变形用加减法消元】 5 【题型8 换元法解二元一次方程组】 5 【题型9 整体代入法解二元一次方程组】 6 【题型10 解含参的二元一次方程组】 6 知识点1 代入消元法 1. 定义：将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法． 2. 用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤 名称 具体做法 目的 注意事项 （1）变形 用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，得到变形的方程 变形为的形式 选系数简单的方程变形 （2）代入 把代入另一个没有变形的方程中 消去一个未知数，转化为一元一次方程 代入时要“只代不算” （3）求解 解代入后的一元一次方程 求出一个未知数的值 去括号时不漏乘，移项时要变号 （4）回代 把求得的未知数的值代入步骤（1）中变形后的方程中 求出另一个未知数的值 一般代入变形后的方程 （5）写出解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为的形式 要用大括号将x，y的值联立起来 知识点2 加减消元法 1. 定义：通过两式相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法． 2. 用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤 名称 具体做法 目的 （1）变形 根据绝对值较小的未知数（同一个未知数）的系数的最小公倍数，用适当的数去乘方程的两边 使两个方程中某一个未知数的系数相等或互为相反数 （2）加减 加减法消去系数相等或系数互为相反数的同一未知数 转化为一元一次方程 （3）求解 解消元后得到的一元一次方程 求出一个未知数的值 （4）回代 把求得的未知数的值代入方程组中某个较简单的方程中 求出另一个未知数的值 （5）写出解 把两个未知数的值用大括号联立起来 表示为的形式 知识点3 换元法解二元一次方程组 把某个式子看成一个整体，用一个字母去代替它，从而使问题简化，这叫做换元法． 例如解方程组时， 令， 原方程组可化为解得则解得 【题型1 用代数式表示某个字母】 【例1】（24-25七年级下·江西宜春·期末）已知用含有的代数式表示是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】将方程变形为用关于的代数式表示，则 ． 【变式1-2】方程，用x的代数式表示y，则 ． 【变式1-3】已知，则用含的代数式表示为（　　） A． B． C． D． 【题型2 代入消元法解二元一次方程组的步骤判断】 【例2】（24-25七年级下·河北邢台·阶段练习）老师设计了一个解方程组的接力游戏，学习小组的四个成员每人做一步，每人只能看到前一人给的步骤，并进行下一步计算，再将结果传递给下一个人，用合作的方式完成该方程组的解题过程，过程如图所示，合作中出现错误的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丙和丁 【变式2-1】用代入消元法解二元一次方程组时，下列对方程①的变形正确的是（    ）． A． B． C． D． 【变式2-2】对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25七年级下·河北唐山·期中）下面是老师在黑板上展示的某同学用代入消元法解方程组的步骤，其中开始出现错误的是（   ） 解： 由①得③；步骤一 把③代入②得；步骤二 去分母得；步骤三 解得，再由③得.步骤四 A．步骤一 B．步骤二 C．步骤三 D．步骤四 【题型3 代入消元法解二元一次方程组】 【例3】（24-25七年级下·福建厦门·期中）解方程： 【变式3-1】（24-25七年级下·北京昌平·阶段练习）解方程： 【变式3-2】解方程组 【变式3-3】（24-25七年级上·安徽安庆·期末）解方程组 【题型4 加减消元法解二元一次方程组的步骤判断】 【例4】解方程组 下列解法步骤中不正确的是 （     ） A．用加减法消去，①② 得 B．用代入法消去，由①得 C．用代入法消去，由②得 D．用加减法消去，①②得 【变式4-1】用加减法解二元一次方程组，下列步骤可以消去未知数的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25七年级下·山东淄博·开学考试）用加减消元法解方程组，下列方法中，无法消元的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】用加减消元法解方程组时，第一步②×5，得10x-5y=15③；第二步：③-①，得x=1；第三步：把x=1代入②，得y=-1，则上述步骤中开始出现错误的是（    ） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．无法确定 【题型5 某个未知数的系数互为相反数，用加法消元】 【例5】解方程组 【变式5-1】（24-25七年级下·青海·期中）解方程组：； 【变式5-2】（24-25七年级下·辽宁铁岭·期末）解方程组：． 【变式5-3】（25-26八年级上·湖南衡阳·开学考试）解方程（组）：． 【题型6 某个未知数的系数相同，用减法消元】 【例6】（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）解方程组 【变式6-1】解方程组：． 【变式6-2】解方程组． 【变式6-3】解方程组 【题型7 某个未知数的系数成a倍关系，变形用加减法消元】 【例7】（2025八年级上·全国·专题练习）解方程组：． 【变式7-1】解方程组： (1) (2) 【变式7-2】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）解方程组 (1) (2) 【变式7-3】（2025八年级上·全国·专题练习）解方程组： 【题型8 换元法解二元一次方程组】 【例8】（2025八年级上·全国·专题练习）解方程组： 【变式8-1】已知方程组的解是，则方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25七年级下·贵州毕节·阶段练习）解方程组：． 【变式8-3】利用换元法解下列方程组： (1) (2) 【题型9 整体代入法解二元一次方程组】 【例9】已知关于的二元一次方程组的解为，若满足二元一次方程组则的值为 ． 【变式9-1】已知方程组，则的值为 ． 【变式9-2】若方程组的解是，则方程组的解是 ． 【变式9-3】（2025七年级下·全国·专题练习）若关于x，y的方程组的解为，则方程组的解为 ． 【题型10 解含参的二元一次方程组】 【例10】（25-26八年级上·全国·单元测试）若关于的方程组的解中的值比的值的相反数大2，则的值为 ． 【变式10-1】如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值是互为相反数，我们称这个方程组为“关联方程组”，若关于，的方程组是“关联方程组”，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25八年级上·甘肃张掖·期末）是关于，的方程组的解，则的值为 ． 【变式10-3】（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期末）关于，的方程组与有相同的解，则的值为 ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $