第19章 几何证明 易错题-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂(沪教版2024)

第19章 几何证明 易错题 一、单选题 1．（22-23八年级上·广东惠州·阶段练习）三角形中到三条边距离相等的点是（   ） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】D 【分析】此题考查了三角形角平分线的性质．角平分线上的点到这个角的两边距离相等，据此得到解答． 【详解】解：三角形中到三条边距离相等的点是三条角平分线的交点， 故选：D 2．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据即，只需作线段的垂直平分线即可． 本题考查了线段的垂直平分线的基本作图，熟练掌握作图是解题的关键． 【详解】解：根据题意，即，只需作线段的垂直平分线即可． 故选B． 3．（21-22八年级上·上海青浦·期末）下列命题的逆命题是真命题的命题有（ ） ①全等三角形的对应角相等；②对顶角相等；③等角对等边；④两直线平行，同位角相等；⑤全等三角形面积相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了逆命题的定义及真假性，首先写出各个命题的逆命题，再进一步判断真假． 【详解】①逆命题是：三个角对应相等的两个三角形全等，假命题； ②逆命题是：相等的角是对顶角，假命题； ③逆命题是等边对等角，真命题； ④逆命题是同位角相等，两条直线平行，真命题； ⑤逆命题是面积相等两三角形全等，假命题． 故选：B． 4．（23-24八年级上·上海静安·期末）用下列长度的三条线段为边能构成直角三角形是（   ） A． B．4，5，6 C．17，8，15 D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理逐个判断即可．注意：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 【详解】A．，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意． B．，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； C．，能组成直角三角形，故本选项符合题意； D．，不能组成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 5．（23-24八年级上·上海·期末）下列命题中，真命题的有（    ）个． 到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的角平分线； 以为底边的等腰三角形顶点的轨迹是线段的垂直平分线； 反比例函数，随着的增大而增大； 过原点的一条直线一定是正比例函数的图象． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了命题，根据命题的概念判断真假即可，解题的关键是熟练掌握掌握知识点的应用和正确理解命题． 【详解】在角的的内部且到这个角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的的平分线（端点除外），故该命题是假命题； 底边为定长的等腰三角形的顶角顶点的轨迹是底边的垂直平分线，底边的中点除外，故该命题是假命题； 反比例函数，在每一象限内，随着的增大而增大，故该命题是假命题； 过原点的一条直线不一定是正比例函数的图象，经过原点的可能是或轴，故该命题是假命题； 所以真命题的有个， 故选：． 6．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）下列命题的逆命题是假命题的是（    ） A．关于某一条直线对称的两个三角形全等 B．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 C．在一个角的内部，在角平分线上的点到这个角两边的距离相等 D．直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 【答案】A 【分析】本题考查了逆命题，命题真假，熟练掌握判定是解题的关键． 【详解】A. 关于某一条直线对称的两个三角形全等的逆命题是两个全等的三角形关于某条直线对称，不正确，符合题意； B. 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上逆命题是垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，正确，不符合题意； C. 在一个角的内部，在角平分线上的点到这个角两边的距离相等的逆命题，在一个角的内部，到这个角两边的距离相等的点在角平分线上，正确，不符合题意； D. 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方的逆命题是如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，正确，不符合题意， 故选A． 7．（23-24八年级上·上海黄浦·期末）如图，两点分别在射线上，点在的内部，且，垂足分别为点，且，若，则的长为（    ） A．10 B．13 C．15 D．17 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，先证明得到，则，进一步证明得到，则． 【详解】解：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选B． 8．（19-20八年级上·河北石家庄·期末）下列条件中，不能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形的内角和，以及勾股定理的逆定理．根据三角形的内角和为，即可判断A、D；根据平方差公式和勾股定理，即可判断C；根据勾股定理，即可判断B． 【详解】解：A、∵，， ∴，解得：， 能判定是直角三角形，不符合题意； B、设， ， 能判定是直角三角形，不符合题意； C、∵， ∴， 能判定是直角三角形，不符合题意； D、∵， ∴，，， 不能判定是直角三角形，符合题意； 故选：D． 9．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，是的角平分线，若，，则点到的距离为（    ）    A．9 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题考查的是角平分线的性质定理的应用，本题过作于，再证明，从而可得答案． 【详解】解：如图，过作于，    ∵，是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点到的距离为4． 故选D 10．（22-23八年级下·吉林松原·阶段练习）下列说法错误的是（       ） A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理 C．命题的逆命题不一定是真命题 D．定理的逆定理一定是真命题 【答案】B 【分析】本题考查命题与定理，逆定理、互逆定理、原命题、逆命题、互逆命题等知识，解题的关键是掌握基本概念，根据命题，定理的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、任何命题都有逆命题，正确，故本选项不符合题意； B、任何定理不一定都有逆定理，故本选项符合题意； C、命题的逆命题不一定为真命题，故本选项不符合题意； D、定理的逆定理一定是真命题，故本选项不符合题意； 故选：B． 11．（20-21八年级下·陕西榆林·期末）判断两个直角三角形全等的方法不正确的是(   ) A．两条直角边对应相等 B．斜边和一锐角对应相等 C．斜边和一条直角边对应相等 D．两个锐角对应相等 【答案】D 【分析】利用全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、两条直角边对应相等，判定两个直角三角形全等，不符合题意； B、斜边和一锐角对应相等，判定两个直角三角形全等，不符合题意； C、斜边和一条直角边对应相等，判定两个直角三角形全等，不符合题意； D、两个锐角对应相等，，没有边长对应相等，不能判定两个直角三角形全等，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判断方法，是解题的关键． 12．（20-21八年级上·上海金山·期末）下列四组数据为三角形的三边，其中能构成直角三角形的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、（） 【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理：“如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形”判定即可． 【详解】解： A．，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； B．，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； C．，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； D．，能构成直角三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而做出判断． 13．（22-23八年级上·上海青浦·期末）如图，在中，，，平分，，则以下结论错误的是（   ） A．点C到直线的距离为1 B．点D到直线的距离为1 C．点A到直线的距离为 D．点B到直线的距离为 【答案】A 【分析】根据，，易证，得到，根据三角形的内角和得到，根据角平分线的定义得到，过点作于，点C到直线的距离为，过作于，求得点到的距离为1，，点B到直线的距离为，过作交的延长线于，得到点到的距离为． 【详解】解：过作于，∵平分， ∴，， ∴，则， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 过点作于， ∵，， ∴，则， ∴，则， ∴点C到直线的距离为，故A选项结论错误； 过作于， ∴， ∴点到的距离为1，故选项B结论正确； ， ∴点B到直线的距离为，故选项D结论正确； 过作交的延长线于， ∴， ∴点到的距离为，故选项C结论正确． 故选：A． 【点睛】本题考查的是含的直角三角形，勾股定理，直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，多次利用含的直角三角形求边的长度是解决问题的关键． 14．（22-23八年级上·上海青浦·期末）美国数学家伽菲尔德在1876年提出了证明勾股定理的一种巧妙方法，如图，在直角梯形中，，，是边上一点，且，．如果的面积为1，且，那么的面积为（    ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】由题意求得，根据的面积为梯形面积减去两个直角三角形的面积，列式计算即可求解． 【详解】解：∵的面积为1， ∴，即， ∵，即， ∴，即， ∴的面积． 故选：C． 【点睛】本题考查了完全平方公式的应用，解题关键是利用面积关系，完全平方公式的变形求解． 15．（20-21八年级上·上海·期末）下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．同位角相等，两直线平行 C．对顶角相等 D．若，，则 【答案】B 【分析】分别写出原命题的逆命题，然后判断真假即可． 【详解】解：A、若，则的逆命题是若，则，逆命题是假命题，不符合题意； B、同位角相等，两直线平行的逆命题是两直线平行，同位角相等，逆命题是真命题，符合题意； C、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题，不符合题意； D、若，，则的逆命题是若，则，，逆命题是假命题，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是正确的写出一个命题的逆命题，难度不大． 16．（20-21八年级上·上海浦东新·期末）在中，、、的对应边分别是a、b、c，下列条件中不能说明是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形的定义和勾股定理逆定理逐项判断即可． 【详解】A．，即，根据勾股定理逆定理可知是直角三角形，故A不符合题意． B．根据三角形内角和与，得出，即，所以是直角三角形，故B不符合题意． C．设，则，，根据三角形内角和，即，解得，即、、．所以不是直角三角形，故C符合题意． D．设，则，，由可知，根据勾股定理逆定理可知是直角三角形，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查直角三角形的判定，利用勾股定理逆定理判断是否为直角三角形是解题的关键． 17．（19-20八年级·上海静安·课后作业）下列给出的三条线段中，不能构成直角三角形的是（    ） A．4、8、 B．4、8、 C．7、24、25 D．7、14、15 【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理对四个选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵42+（）2=64=82,∴能够成直角三角形,故本选项可构成直角三形； B、∵42+82=80=（）2,∴能够成直角三角形,故本选项错误； C、∵72+242=625=252,∴能够成直角三角形,故本选项错误； D、∵72+142=245≠152,∴不能够成直角三角形,故本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查的是如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形． 18．（2020·湖北宜昌·中考真题）如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且，我们知道按如图所作的直线为线段的垂直平分线．下列说法正确的是（    ）．    A．是线段的垂直平分线 B．是线段的垂直平分线 C．是线段的垂直平分线 D．是的垂直平分线 【答案】A 【分析】根据垂直平分线的定义判断即可． 【详解】   ∵为线段的垂直平分线, ∴FO=GO, 又∵EF=GH, ∴EO=HO, ∴是线段的垂直平分线,故A正确 由上可知EO≠QO,FO≠OH,故B、C错误 ∵是直线并无垂直平分线，故D错误 故选：A． 【点睛】本题考查垂直平分线的定义,关键在于牢记基础知识． 19．（19-20八年级上·上海浦东新·期末）下列各组数据是线段长，其中不能作为直角三角形的三边长的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】比较较小的两边的平方和是否等于较长边的平方来判定即可. 【详解】A. ，此三角形是直角三角形，故不符合题意； B. ，此三角形是直角三角形，故不符合题意； C. ，此三角形是直角三角形，故不符合题意； D. ，此三角形不是直角三角形，故符合题意； 故选：D. 【点睛】此题考查勾股定理的逆定理，三角形的两边的平方和等于第三边的平方，则此三角形为直角三角形. 20．（17-18八年级上·上海徐汇·阶段练习）如图在Rt△ABC=90，如果CD、CM分别是斜边上的高和中线，AC=2，BC=4，那么下列结论中错误的是（    ） A．∠ACD=∠B B．CM= C．∠B=30 D．CD= 【答案】C 【分析】根据同角的余角相等判断A；根据勾股定理和直角三角形的性质判断B；根据三角形的面积公式计算，判断D． 【详解】∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°． ∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠B，故A正确，不符合题意； 在Rt△ACB中，AB2． ∵∠ACB=90°，CM是斜边上的中线，∴CM，故B正确，不符合题意； 在Rt△ACB中，AB=2，AC=2，∴∠B≠30°，故C错误，符合题意； 2×42CD，解得：CD，故D正确，不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质和勾股定理，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 21．（17-18八年级上·上海徐汇·阶段练习）下列定理中，没有逆定理的是（     ） A．两直线平行，同旁内角互补； B．两个全等三角形的对应角相等 C．直角三角形的两个锐角互余； D．两内角相等的三角形是等腰三角形 【答案】B 【分析】先写出各选项的逆命题，判断出其真假即可解答． 【详解】A．其逆命题是“同旁内角互补，两直线平行”，正确，所以有逆定理； B．其逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”，错误，所以没有逆定理； C．其逆命题是“两个锐角互余的三角形是直角三角形”，正确，所以有逆定理； D．其逆命题是“等腰三角形的两个内角相等”，正确，所以有逆定理． 故选B． 【点睛】本题考查了命题与定理的区别，正确的命题叫定理． 二、填空题 22．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）我们把有两个相邻的内角是直角且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形．如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，且点D也在格点上，那么边的长为 ． 【答案】或1 【分析】本题考查了新定义，网格与勾股定理，正确理解新定义是解题的关键． 根据直邻四边形的定义结合网格作出图形，再根据勾股定理与网格求出的长即可． 【详解】解：若，如图1所示； 则； 若，如图2所示， 则． 故答案为：或1． 23．（23-24八年级上·上海长宁·期末）在直角坐标平面内点与点的距离等于 ． 【答案】 【分析】本题考查两点间的距离公式：设有两点，，则这两点间的距离为，直接利用两点间的距离公式求解，熟练掌握两点间的距离公式是解此题的关键． 【详解】解：∵、， ∴点和点的距离， 故答案为：． 24．（23-24八年级上·上海宝山·期末）如图，四边形中，，，，，那么的面积是 ． 【答案】24 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质得到．过作于，由角平分线的性质得到，而，即可求出的面积． 【详解】解：过作于， ，， ， ， 的面积． 故答案为：24． 25．（23-24八年级上·上海金山·期末）已知直角坐标平面内两点和，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两平行线交于点C，则是直角三角形，由点和可得，从而，，根据根据定理即可求得线段的长． 【详解】过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两平行线交于点C， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴在中，． 故答案为：5． 26．（17-18八年级下·全国·课后作业）《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，其中记载了一道“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？译为：如图中，，与的和为10尺，为3尺，求的长， 尺． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设尺，则尺，在中，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设尺，则尺， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴尺， 故答案为：． 27．（23-24八年级上·上海嘉定·期末）定理“全等三角形的对应角相等” （填“有”或“没有”）逆定理． 【答案】没有 【分析】本题考查了定理和逆定理之间的关系，要注意，一个命题肯定有逆命题，但一个定理不一定有逆定理，只有当一个定理的逆命题经过推理是正确的命题，这个定理的逆命题才是逆定理，据此写出命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题，再判断真假即可得到答案． 【详解】解：命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题为“对应角相等的两个三角形全等”，这是一个假命题， ∴定理“全等三角形的对应角相等”没有逆定理， 故答案为：没有． 28．（23-24七年级上·湖北·阶段练习）如图，D，E是的边上的两点，分别垂直平分，垂足分别为M，N，若，则的度数为 . 【答案】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，是解题的关键． 【详解】解：在中，， 则， ∵分别垂直平分、， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 29．（22-23八年级上·上海杨浦·期末）、、是三角形的三个顶点，则是 三角形． 【答案】等腰直角 【分析】求出的长，再利用勾股定理逆定理，进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴是等腰直角三角形； 故答案为：等腰直角． 【点睛】本题考查三角形的判定，勾股定理以及逆定理．解题的关键是掌握两点间的距离公式． 30．（22-23八年级上·上海杨浦·期末）在中，，的平分线交于点，，，那么到的距离是 ． 【答案】3 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得解． 【详解】解：如图，过点作， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴； 即：到的距离是3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键． 31．（2013·江苏南京·一模）命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是： ． 【答案】两个锐角互余的三角形是直角三角形 【分析】找出原命题的条件和结论，再把原命题的条件变为逆命题的结论，把原命题的结论变为逆命题的条件即可求解． 【详解】解：命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是：两个锐角互余的三角形是直角三角形， 故答案为：两个锐角互余的三角形是直角三角形． 【点睛】本题考查了写出原命题的逆命题，熟练掌握命题的条件和结论是解题的关键． 32．（16-17八年级上·浙江嘉兴·期中）定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆定理是： 【答案】到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上 【分析】根据线段垂直平分线的性质的逆定理求解即可． 【详解】定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆定理是：到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上． 故答案为：到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上． 【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质的逆定理，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质的逆定理． 33．（21-22八年级上·上海奉贤·期末）已知：点A，点B，则 ． 【答案】 【分析】直接根据两点间的距离公式计算即可． 【详解】∵A，点B， ∴ ， 故答案为． 【点睛】本题考查了两点间的距离及数形结合的数学思想，任意两点，，之间的距离为． 34．（22-23八年级下·全国·假期作业）已知在中，，点D在延长线上，且，若，则 ． 【答案】/25度 【分析】根据题意画出对应图形，作的斜边中线，可以得出，结合，可以得出，利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】如图所示：取的中点E，， ∵在中，，E为的中点， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等腰三角形的性质与判定，根据题意画出对应图形，作的斜边中线是解题的关键． 35．（18-19八年级下·福建漳州·期中）命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题是 ． 【答案】有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形 【分析】根据逆命题的定义写出即可． 【详解】解：命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题是“有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形”． 故答案是：有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形． 【点睛】本题考查了互逆命题的知识，掌握逆命题的定义是解题的关键．两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 36．（21-22八年级下·上海青浦·期末）如图，在等腰直角中，，，将沿某直线翻折，使得点落在的中点上，如果折痕与的交点为，那么的长为 ． 【答案】 【分析】作，由题意可得AD=3,根据翻折变换的性质可得≌，由全等三角形的性质可得DM=MB；然后根据等腰三角形的性质可得AG=DG，再根据勾股定理可得；设GM=x，则MB=DM=，可根据AB=AG+GM+MB求得GM，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图，折到的中点处，折痕为，作， ∴AD=CD=3 是翻折而成， ≌， ∴DM=MB ∵等腰直角中 ， ∴AG=DG ∵作 ∴ ,即,解得： 设GM=x，则MB=DM= ∵AB=AG+GM+MB ∴，解得：x=2 ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是图形翻折变换的性质、勾股定理、线段的和差等知识点，掌握折叠和全等三角形的关系是解答本题的关键． 37．（21-22八年级上·上海崇明·期末）如图，在中，，，斜边BC的垂直平分线交边AB于点E，垂足为点D，取线段BE的中点F，联结DF，如果，则 ． 【答案】 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得AE=BE，再利用直角三角形斜边中线的性质得DF=BE，最后根据直角三角形30度的性质得AC=AE，从而得出，即可得出答案． 【详解】证明：如图，联结CE， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE=BE,∠EDB=90°， ∴∠EAB=∠B=15°， ∴∠AEC=30°， Rt△EDB中，∵F是BE的中点， ∴DF=BE， Rt△ACE中,∵∠AEC=30°， ∴AC=AE， ∴AC=DF=4． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，直角三角形斜边上的中线的性质以及30°所对的直角边的性质，熟练掌握这些基本性质得出线段关系是解题的关键． 38．（21-22八年级上·上海崇明·期末）在直角坐标平面内，已知点、，且，那么m的值是 ． 【答案】 【分析】由、，再根据长度公式可得出AB的距离表达式，由即可求得的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了利用勾股定理求两点距离，掌握两点间的距离公式是解决此题的关键． 39．（21-22八年级下·湖南岳阳·期中）一个直角三角形两条直角边的比是3：4，斜边长为10cm，那么这个直角三角形面积为 ． 【答案】/24平方厘米 【分析】设两直角边是3x、4x，利用勾股定理求出两直角边的长即可得到答案． 【详解】根据题意，设两直角边是3x、4x， 则（3x）2+（4x）2=102， 解得x=2，所以两直角边为6cm，8cm， ×6×8=24， 所以它的面积是， 故答案为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟知勾股定理是解题的关键． 40．（20-21七年级下·上海静安·期末）如图，的面积为，的平分线与垂直，垂足为点，，那么的面积为 ． 【答案】 【分析】延长交于，根据，为的角平分线，可得，，可证 ，则有，得，，即有，再根据，且的角平分线到与的距离相等，可得，则，再根据求解即可． 【详解】如图延长交于， ∵， ∴， ∵为的角平分线， ∴， 在与中， , ∴ ， ∴， ∴，， ∴ ∵，且的角平分线到与的距离相等， ∴， 则． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查面积及等积变换的知识点，熟悉相关性质是解题的关键． 41．（17-18八年级上·浙江嘉兴·期中）“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是 【答案】若一个三角形两条边上的高相等，则三角形是等腰三角形 【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题. 【详解】解：命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题：若三角形两边上的高相等，则这个三角形是等腰三角形． 故答案为：若三角形两边上的高相等，则这个三角形是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查命题与定理的知识点，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 42．（21-22八年级上·上海浦东新·期末）已知：如图，在中，，线段AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，如果，那么 ． 【答案】32°/32度 【分析】先根据等腰三角形的性质求出∠ABC＝∠ACB，再根据线段垂直平分线的性质求出∠A与∠ABE的关系，根据三角形内角和定理列方程解答即可． 【详解】解：∵△ABC中，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴∠A＝∠ABE， 设∠A＝x°，则∠ABC＝∠ACB＝x°＋42°， ∴∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°， 即x°＋x°＋42°＋x°＋42°＝180°， 解得，x＝32°． 故∠A＝32°． 故答案为：32°． 【点睛】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．①线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；②可得到等腰三角形，再利用等腰三角形的知识解答． 43．（20-21八年级上·上海浦东新·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，如果CD＝1，那么BD＝ ． 【答案】 【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE＝CD，再求出△BDE是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形斜边等于直角边的倍解答． 【详解】解：如图，过点D作DE⊥AB于E， ∵AD平分∠CAB，∠C＝90°， ∴DE＝CD＝1， ∵AC＝BC，∠C＝90°， ∴∠B＝45°， ∴△BDE是等腰直角三角形， ∴BD＝DE＝． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，等腰直角三角形的直角边与斜边的关系． 44．（17-18八年级上·上海徐汇·阶段练习）以线段MN为底边的等腰三角形的顶角顶点的轨迹是 ． 【答案】线段MN的垂直平分线（线段MN的中点除外） 【分析】满足△MNC以线段MN为底边且CM＝CN，根据线段的垂直平分线判定得到点C在线段AB的垂直平分线上，除去与MN的交点（交点不满足三角形的条件）． 【详解】解：∵△MNC以线段MN为底边，CM＝CN， ∴点C在线段MN的垂直平分线上，除去与MN的交点（交点不满足三角形的条件）， ∴以线段MN为底边的等腰三角形的顶点C的轨迹是：线段MN的垂直平分线（线段MN的中点除外）． 故答案为：线段MN的垂直平分线（线段MN的中点除外）． 【点睛】此题主要考查垂直平分线的判定，解题的关键是熟知等腰三角形的性质及垂直平分线的判定定理． 45．（18-19八年级上·辽宁本溪·阶段练习）如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞 m． 【答案】10 【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出． 【详解】两棵树的高度差为8m-2m=6m，间距为8m 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离m． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解． 46．（17-18八年级下·北京·课后作业）和线段AB两个端点距离相等的轨迹是 ． 【答案】线段AB的垂直平分线 【分析】根据线段垂直平分线的性质解题即可． 【详解】到线段AB两个端点的距离相等的点的轨迹是线段AB的垂直平分线， 故答案为：线段AB的垂直平分线． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，是重要考点，难度容易，掌握相关知识是解题关键． 47．（19-20八年级·上海静安·课后作业）若A(8，4)和点B(5，)间的距离是5，则＝ ． 【答案】8或0 【分析】根据两点的距离公式解答即可. 【详解】根据两点的距离公式得（8-5）2+（k-4）2=52，解得k=8或0， 故答案为：8或0. 【点睛】此题考查直角坐标系中点与点间距离的计算公式，勾股定理，正确掌握计算公式是解题的关键. 48．（18-19八年级下·广东江门·期末）“全等三角形的对应角相等”的逆命题是 ． 【答案】对应角相等的两个三角形全等 【分析】根据逆命题的概念，交换原命题的题设与结论即可得出原命题的逆命题． 【详解】解：命题“全等三角形的对应角相等”的题设是“两个三角形是全等三角形”，结论是“它们的对应角相等”，故其逆命题是对应角相等的两个三角形是全等三角形． 故答案为：对应角相等的两个三角形是全等三角形． 【点睛】此题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题． 49．（18-19八年级下·江苏南通·阶段练习）在Rt△ABC中，∠C＝90°，两锐角的度数之比为2：1，其最短边为1，射线CP交AB所在的直线于点P，且∠ACP＝30°，则线段CP的长为 ． 【答案】或1 【分析】先根据题意得出两个锐角的度数，再分两种情况：（1）∠A＝60°，∠B＝30°，CA＝1；（2）∠A＝30°，∠B＝60°，CB＝1．分别画图并求解即可． 【详解】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，两锐角的度数之比为2：1 ∴两锐角的度数为：60°，30°. 分两种情况：（1）∠A＝60°，∠B＝30°，CA＝1, ∵∠ACP＝30°， ∴∠APC＝90°， ∴PA＝， ∴CP＝＝ ； （2）∠A＝30°，∠B＝60°，CB＝1， ∵∠ACP＝30°， ∴∠BCP＝60°， 又∵∠B＝60°， ∴△BCP为等边三角形， ∴CP＝CB＝1. 故答案为：或1． 【点睛】此题考查直角三角形的定义，等边三角形的判定及性质，30角所对的直角边等于斜边的一半，根据两个角度的比求得度数后要分为两种情况解答，这是此题解题的关键. 50．（19-20八年级上·上海·阶段练习）如图，在△ABC中，已知点O是边AB、AC垂直平分线的交点，点E是∠ABC、∠ACB角平分线的交点，若∠O+∠E＝180°，则∠A＝ 度． 【答案】36. 【分析】连接AO并延长，由垂直平分线和三角形外角的性质可得∠BOC=∠OBA+∠OCA+∠BAC=2∠BAC，由角平分线和三角形内角和定理可得∠BEC=90°+∠BAC，再根据已知条件∠O+∠E＝180°即可求解． 【详解】解：如图，连接OA并延长． ∵点O是AB，AC的垂直平分线的交点， ∴OA=OB=OC， ∴∠OAB=∠ABO，∠OAC=∠OCA， ∵∠BOC=∠ABO+∠OAB+∠OCA+∠OAC=2∠BAC， ∵点E是∠ABC、∠ACB角平分线的交点， ∴∠E=180°-（∠ABC+∠ACB） =180°-（180°-∠BAC） =90°+∠BAC， ∵∠BOC+∠E=180°， ∴2∠BAC+90°+∠BAC=180°， ∴∠BAC=36°， 故答案为36． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理，线段的垂直平分线的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 51．（18-19八年级上·上海·期末）如图,在中，，AB的垂直平分线EF分别交BC、AB于点E、F，∠AEF=65°，那么∠CAE= . 【答案】 【分析】根据垂直平分线的性质和三角形内角和的性质进行计算，即可得到答案. 【详解】因为AB的垂直平分线EF分别交BC、AB于点E、F，所以三角形AEB是等腰三角形，∠EAF=∠EBF，∠EFA=∠EFB；又因为∠AEF=65°，所以∠EAF =180°-∠EFA -∠AEF=25°，；因为∠EAF=∠EBF，所以∠EAF=∠EBF=25°.所以∠CAE=90°-∠EAF- EBF =40°. 【点睛】本题考查垂直平分线的性质和三角形内角和的性质，解题的关键是掌握垂直平分线的性质和三角形内角和的性质. 52．（18-19八年级·上海普陀·期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，CE是边AB上的中线，如果CD=BE，∠B=40°，那么∠BCE= 度． 【答案】20． 【分析】连接ED，再加上AD⊥BC,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，很容易可以推出△ECD为等腰三角形，根据等腰三角形的性质：等边对等角，以及外角性质即可求出∠BCE的度数. 【详解】 如图，连接ED， ∵AD⊥BC， ∴△ABD是直角三角形， ∵CE是边AB上的中线， ∴ED= AB=BE， ∴∠EDB=∠B=40°， 又∵CD=BE， ∴ED= CD， ∴∠DEC=∠DCE， ∵∠EDB是△DEC的外角， ∴∠EDB=∠DEC+∠DCE=2∠DCE=40°, ∴∠DCE=∠EDB=20°， ∵∠DCE即∠BCE， ∴∠BCE=20°. 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 三、解答题 53．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图所示，在中，平分，于，于，厘米，厘米．已知的面积为平方厘米，求的长度． 【答案】厘米 【分析】此题主要考查角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，以及三角形面积的求法． 由角平分线的性质可得，，又，据此求解． 【详解】解：平分，于，于， ， ，厘米，厘米， ， 解得 即的长度为3厘米． 54．（23-24八年级上·上海·期末）如图，中，，，，点分别是边、上的一个动点，且，过点作交射线于点，交线段于点，设    (1)如图1，当点和点重合时，求的面积； (2)如图2，设当点在的延长线上时，，求关于的函数解析式，并求出定义域； (3)若为直角三角形，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】本题是三角形综合题目，考查了勾股定理、直角三角形的性质、含角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握含角的直角三角形的性质和勾股定理，进行分类讨论是解题的关键． （1）由含 角的直角三角形的性质得再由勾股定理得然后再证最后由三角形面积关系即可得出答案； （2）由含角的直角三角形的性质得，再由勾股定理得然后由得 则求出的范围即可； （3）分两种情况： ①当时，②当时，由含角的直角三角形的性质好勾股定理分别得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解： 的面积的面积． （2）解： ∵点在的延长线上， ∴点不与点重合， ∵点是边上的一个动点，， 即关于的解析式为． （3）解：分两种情况： ①当时，如图3所示：    则 由（2）得： 解得： ②当时， 如图4所示：    是等边三角形， 解得： 综上所述，若为直角三角形，的值为或． 55．（22-23八年级·江苏宿迁·阶段练习）已知：如图，于点D，于点E，且，交于点O．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、角平分线的判定定理，能求出是解此题的关键．利用已知条件证得，根据全等三角形的性质得出，根据角平分线性质得出结论即可． 【详解】证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴平分． 56．（21-22七年级下·上海·期末）在直角坐标系中有和两点，是轴上的任意一点，则长度的最小值是？ 【答案】 【分析】先做出P点关于x轴的对称点P＇，连接与x轴的交点就是M点，此时PM+QM的最小值就是的长，根据两点之间的距离公式即可求出的长，即可知PM+QM的最小值． 【详解】解：如图， 作点关于轴的对称点P＇， 则p＇(-2,-2) 连接 则线段的长就是PM+QM长度的最小值， ∵Q(5,8) 则PM+QM长度的最小值是． 【点睛】本题主要考查了在坐标轴上找一点使它到已知两点的距离之和最小，实质是将军饮马问题，掌握这一模型并且会用两点之间距离公式计算是解题的关键． 57．（20-21八年级上·上海浦东新·期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°． （1）在BC边上求作一点N，使得AN＝BN；（不要求写作法，但要保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：CN＝2BN． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【详解】（1）作线段AB的垂直平分线交于点，点即为所求； （2）根据等腰三角形的性质计算出∠C的度数，再计算出∠CAN的度数，然后根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得CN＝2AN，进而得到CN＝2BN． 【解答】（1）解：如图，点即为所求； （2）证明：连接AN． ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝30°． ∴∠BAC＝180°﹣2∠B＝120°． ∵AN＝BN， ∴∠BAN=∠B＝30° ∴∠NAC＝∠BAC﹣∠NAB＝120°﹣30°＝90°． ∵∠C＝30°， ∴CN＝2AN． ∴CN＝2BN． 【点睛】此题主要考查了作图，等腰三角形的性质以及含30度角的直角三角形，关键是正确画出图形，掌握在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． 58．（18-19八年级上·山东菏泽·期中）如图，在ΔABC中，CD⊥AB于点D，AC=20，BC=15，DB=9， （1）求DC的长； （2）求证：ΔABC是直角三角形． 【答案】（1）12 ；（2）证明见详解． 【分析】（1）直接根据勾股定理求出CD即可； （2）根据勾股定理的逆定理即可证明出△ABC是直角三角形． 【详解】解：（1）∵CD⊥AB， ∴∠CDB=∠CDA=90°， 在Rt△CDB中，∵BC=15，DB=9， ∴根据勾股定理，得CD==12； （2）证明：Rt△CDA中，CD2+AD2=AC2， ∴122+AD2=202， ∴AD=16， ∴AB=AD+BD=16+9=25， ∴AC2+BC2=202+152=625=AB2 ∴△ABC是直角三角形． 【点睛】本题考查勾股定理、勾股定理逆定理的内容，求出AB是解题的关键． 59．（17-18八年级上·上海·期末）如图,AD是△ADC中∠A的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,联结EF．求证：AD⊥EF    【答案】见解析 【分析】由角平分线的性质可知，再利用三角形全等证明，根据线段垂直平分线的判定定理可得结论. 【详解】解：∵是中的平分线，， ∴， ∵，， ∴ ∴点、D都在的垂直平分线上 ∴ 【点睛】本题综合考查了角平分线及线段的垂直平分线，熟练掌握角平分线的性质定理及线段垂直平分线的判定定理是解题的关键. 60．（18-19八年级上·上海浦东新·期末）已知：∠O、点A及线段a（如图），求作：点P，使点P到∠O的两边的距离相等，且PA=a．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】答案见解析. 【分析】先利用尺规作图作出∠O的平分线，再以点A为圆心，线段a的长度为半径画弧，与角平分线的交点即为所求． 【详解】解：如图所示，点P1和点P2即为所求． 【点睛】考查作图-复杂作图，解题的关键是熟练掌握角平分线的尺规作图和角平分线的性质． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19章 几何证明 易错题 一、单选题 1．（22-23八年级上·广东惠州·阶段练习）三角形中到三条边距离相等的点是（   ） A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三条角平分线的交点 2．（22-23八年级上·浙江宁波·期末）已知，用尺规作图的方法在上确定一点P，使，则符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 3．（21-22八年级上·上海青浦·期末）下列命题的逆命题是真命题的命题有（ ） ①全等三角形的对应角相等；②对顶角相等；③等角对等边；④两直线平行，同位角相等；⑤全等三角形面积相等 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（23-24八年级上·上海静安·期末）用下列长度的三条线段为边能构成直角三角形是（   ） A． B．4，5，6 C．17，8，15 D． 5．（23-24八年级上·上海·期末）下列命题中，真命题的有（    ）个． 到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的角平分线； 以为底边的等腰三角形顶点的轨迹是线段的垂直平分线； 反比例函数，随着的增大而增大； 过原点的一条直线一定是正比例函数的图象． A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）下列命题的逆命题是假命题的是（    ） A．关于某一条直线对称的两个三角形全等 B．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 C．在一个角的内部，在角平分线上的点到这个角两边的距离相等 D．直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 7．（23-24八年级上·上海黄浦·期末）如图，两点分别在射线上，点在的内部，且，垂足分别为点，且，若，则的长为（    ） A．10 B．13 C．15 D．17 8．（19-20八年级上·河北石家庄·期末）下列条件中，不能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·河北廊坊·期中）如图，在中，，是的角平分线，若，，则点到的距离为（    ）    A．9 B．6 C．5 D．4 10．（22-23八年级下·吉林松原·阶段练习）下列说法错误的是（       ） A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理 C．命题的逆命题不一定是真命题 D．定理的逆定理一定是真命题 11．（20-21八年级下·陕西榆林·期末）判断两个直角三角形全等的方法不正确的是(   ) A．两条直角边对应相等 B．斜边和一锐角对应相等 C．斜边和一条直角边对应相等 D．两个锐角对应相等 12．（20-21八年级上·上海金山·期末）下列四组数据为三角形的三边，其中能构成直角三角形的是（    ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、（） 13．（22-23八年级上·上海青浦·期末）如图，在中，，，平分，，则以下结论错误的是（   ） A．点C到直线的距离为1 B．点D到直线的距离为1 C．点A到直线的距离为 D．点B到直线的距离为 14．（22-23八年级上·上海青浦·期末）美国数学家伽菲尔德在1876年提出了证明勾股定理的一种巧妙方法，如图，在直角梯形中，，，是边上一点，且，．如果的面积为1，且，那么的面积为（    ） A．1 B．2 C． D．5 15．（20-21八年级上·上海·期末）下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．若，则 B．同位角相等，两直线平行 C．对顶角相等 D．若，，则 16．（20-21八年级上·上海浦东新·期末）在中，、、的对应边分别是a、b、c，下列条件中不能说明是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 17．（19-20八年级·上海静安·课后作业）下列给出的三条线段中，不能构成直角三角形的是（    ） A．4、8、 B．4、8、 C．7、24、25 D．7、14、15 18．（2020·湖北宜昌·中考真题）如图，点E，F，G，Q，H在一条直线上，且，我们知道按如图所作的直线为线段的垂直平分线．下列说法正确的是（    ）．    A．是线段的垂直平分线 B．是线段的垂直平分线 C．是线段的垂直平分线 D．是的垂直平分线 19．（19-20八年级上·上海浦东新·期末）下列各组数据是线段长，其中不能作为直角三角形的三边长的是（    ） A． B． C． D． 20．（17-18八年级上·上海徐汇·阶段练习）如图在Rt△ABC=90，如果CD、CM分别是斜边上的高和中线，AC=2，BC=4，那么下列结论中错误的是（    ） A．∠ACD=∠B B．CM= C．∠B=30 D．CD= 21．（17-18八年级上·上海徐汇·阶段练习）下列定理中，没有逆定理的是（     ） A．两直线平行，同旁内角互补； B．两个全等三角形的对应角相等 C．直角三角形的两个锐角互余； D．两内角相等的三角形是等腰三角形 二、填空题 22．（23-24八年级下·上海奉贤·期末）我们把有两个相邻的内角是直角且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形．如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形，且点D也在格点上，那么边的长为 ． 23．（23-24八年级上·上海长宁·期末）在直角坐标平面内点与点的距离等于 ． 24．（23-24八年级上·上海宝山·期末）如图，四边形中，，，，，那么的面积是 ． 25．（23-24八年级上·上海金山·期末）已知直角坐标平面内两点和，则线段的长为 ． 26．（17-18八年级下·全国·课后作业）《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，其中记载了一道“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？译为：如图中，，与的和为10尺，为3尺，求的长， 尺． 27．（23-24八年级上·上海嘉定·期末）定理“全等三角形的对应角相等” （填“有”或“没有”）逆定理． 28．（23-24七年级上·湖北·阶段练习）如图，D，E是的边上的两点，分别垂直平分，垂足分别为M，N，若，则的度数为 . 29．（22-23八年级上·上海杨浦·期末）、、是三角形的三个顶点，则是 三角形． 30．（22-23八年级上·上海杨浦·期末）在中，，的平分线交于点，，，那么到的距离是 ． 31．（2013·江苏南京·一模）命题“直角三角形两锐角互余”的逆命题是： ． 32．（16-17八年级上·浙江嘉兴·期中）定理“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆定理是： 33．（21-22八年级上·上海奉贤·期末）已知：点A，点B，则 ． 34．（22-23八年级下·全国·假期作业）已知在中，，点D在延长线上，且，若，则 ． 35．（18-19八年级下·福建漳州·期中）命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的逆命题是 ． 36．（21-22八年级下·上海青浦·期末）如图，在等腰直角中，，，将沿某直线翻折，使得点落在的中点上，如果折痕与的交点为，那么的长为 ． 37．（21-22八年级上·上海崇明·期末）如图，在中，，，斜边BC的垂直平分线交边AB于点E，垂足为点D，取线段BE的中点F，联结DF，如果，则 ． 38．（21-22八年级上·上海崇明·期末）在直角坐标平面内，已知点、，且，那么m的值是 ． 39．（21-22八年级下·湖南岳阳·期中）一个直角三角形两条直角边的比是3：4，斜边长为10cm，那么这个直角三角形面积为 ． 40．（20-21七年级下·上海静安·期末）如图，的面积为，的平分线与垂直，垂足为点，，那么的面积为 ． 41．（17-18八年级上·浙江嘉兴·期中）“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是 42．（21-22八年级上·上海浦东新·期末）已知：如图，在中，，线段AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，如果，那么 ． 43．（20-21八年级上·上海浦东新·期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，如果CD＝1，那么BD＝ ． 44．（17-18八年级上·上海徐汇·阶段练习）以线段MN为底边的等腰三角形的顶角顶点的轨迹是 ． 45．（18-19八年级上·辽宁本溪·阶段练习）如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞 m． 46．（17-18八年级下·北京·课后作业）和线段AB两个端点距离相等的轨迹是 ． 47．（19-20八年级·上海静安·课后作业）若A(8，4)和点B(5，)间的距离是5，则＝ ． 48．（18-19八年级下·广东江门·期末）“全等三角形的对应角相等”的逆命题是 ． 49．（18-19八年级下·江苏南通·阶段练习）在Rt△ABC中，∠C＝90°，两锐角的度数之比为2：1，其最短边为1，射线CP交AB所在的直线于点P，且∠ACP＝30°，则线段CP的长为 ． 50．（19-20八年级上·上海·阶段练习）如图，在△ABC中，已知点O是边AB、AC垂直平分线的交点，点E是∠ABC、∠ACB角平分线的交点，若∠O+∠E＝180°，则∠A＝ 度． 51．（18-19八年级上·上海·期末）如图,在中，，AB的垂直平分线EF分别交BC、AB于点E、F，∠AEF=65°，那么∠CAE= . 52．（18-19八年级·上海普陀·期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为点D，CE是边AB上的中线，如果CD=BE，∠B=40°，那么∠BCE= 度． 三、解答题 53．（23-24八年级上·上海崇明·期末）如图所示，在中，平分，于，于，厘米，厘米．已知的面积为平方厘米，求的长度． 54．（23-24八年级上·上海·期末）如图，中，，，，点分别是边、上的一个动点，且，过点作交射线于点，交线段于点，设    (1)如图1，当点和点重合时，求的面积； (2)如图2，设当点在的延长线上时，，求关于的函数解析式，并求出定义域； (3)若为直角三角形，求的值． 55．（22-23八年级·江苏宿迁·阶段练习）已知：如图，于点D，于点E，且，交于点O．求证：平分． 56．（21-22七年级下·上海·期末）在直角坐标系中有和两点，是轴上的任意一点，则长度的最小值是？ 57．（20-21八年级上·上海浦东新·期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°． （1）在BC边上求作一点N，使得AN＝BN；（不要求写作法，但要保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求证：CN＝2BN． 58．（18-19八年级上·山东菏泽·期中）如图，在ΔABC中，CD⊥AB于点D，AC=20，BC=15，DB=9， （1）求DC的长； （2）求证：ΔABC是直角三角形． 59．（17-18八年级上·上海·期末）如图,AD是△ADC中∠A的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,联结EF．求证：AD⊥EF    60．（18-19八年级上·上海浦东新·期末）已知：∠O、点A及线段a（如图），求作：点P，使点P到∠O的两边的距离相等，且PA=a．（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$