第19章 几何证明（单元测试）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（沪教版）

第19章 几何证明 章末复习巩固卷 （时间：90分钟，满分100分） 一、单选题（共12分） 1．（本题2分）（24-25八年级上·上海·阶段练习）下列命题中，逆命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．个位数字是5的数能被5整除 C．等腰三角形两腰上高相等 D．不相等的两个角不是对顶角 2．（本题2分）（24-25八年级上·上海·阶段练习）若点O到的三边的距离相等，则点O为（   ） A．三角形三条边上中线的交点 B．三角形三边上高的交点 C．三角形三个内角平分线的交点 D．三角形三条边的垂直平分线的交点 3．（本题2分）（22-23八年级上·上海浦东新·期末）下列四组线段（每组3条）中，不能构成直角三角形的是（   ） A．1，，2 B．1，2， C．7，14，15 D．3，4，5 4．（本题2分）（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，中，，如果要用尺规作图的方法在上确定一点，使，那么符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 5．（本题2分）（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，在中，，，点D是的中点，过点D作交于点E，，则的长度为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 6．（本题2分）（24-25八年级上·上海徐汇·期中）如图是5×5的正方形网格，以点D．E的两个顶点作位置不同的格点三角形（顶点在网格横线与竖线的交点上的三角形称为格点三角形），使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画几个（   ） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 二、填空题（共24分） 7．（本题2分）（24-25八年级上·上海·阶段练习）一个命题是由 两部分组成． 8．（本题2分）（11-12七年级下·安徽芜湖·期中）将命题“对顶角相等”改写成“如果．．．．那么．．．．”的形式： ． 9．（本题2分）（2024八年级上·上海·专题练习）直角坐标平面内的点，，则 ． 10．（本题2分）（22-23八年级上·上海浦东新·期末）在中，，那么 度． 11．（本题2分）（22-23八年级上·上海浦东新·期末）若直角三角形中有两边长分别为6和8，那么斜边长为 ． 12．（本题2分）（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知面积为，边上的高为，且，则 ． 13．（本题2分）（24-25八年级上·上海·期中）如图，在中，，D在上，且，，则 ． 14．（本题2分）（24-25八年级上·上海·期中）一个直角三角形两条直角边的比是，斜边长为，则此直角三角形的面积是 ． 15．（本题2分）（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图是一块四边形绿地的示意图，其中，，，，．则此绿地的面积为 ． 16．（本题2分）（24-25九年级上·上海嘉定·期中）由7个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，，若的面积为1，则的面积为 17．（本题2分）（24-25九年级上·上海杨浦·期中）如图，在中，，，点在边上，，点在射线上，将沿着翻折，点落在点处，如果点在同一直线上，那么 ． 18．（本题2分）（2024八年级上·上海·专题练习）如图，是边长的等边三角形，动点同时从两点出发，分别在边上均速移动，它们的速度分别为，当点P到达点B时，两点停止运动，设点P的运动时间为，则当 s时，为直角三角形． 三、解答题（共64分） 19．（本题7分）（24-25九年级上·上海·期中）点是边上的任意一点，且，试过点作一条直线，使得分成的两部分面积相等，并说明理由． 20．（本题7分）（24-25八年级上·上海·阶段练习）若点A的坐标为，点B在直线上，若为直角三角形，求点B的坐标．      21．（本题8分）（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，已知：． (1)尺规作图：在边上求作一点，使得点到的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若点是的中点，求证：． 22．（本题8分）（24-25八年级上·上海·期中）如图，在中，点A在边的垂直平分线上，直线l经过点A，、分别垂直于直线l，垂足分别为点D、E，且． (1)判断的形状，并证明． (2)取边的中点F，联结，求证：平分． 23．（本题10分）（22-23八年级上·上海浦东新·期末）如图，已知在中，，点是的中点，连接，过点作，且，在取点，使，分别连接． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 24．（本题12分）（22-23八年级上·上海浦东新·期末）（1）如图1，在中，，，平分交边于．求证：点在斜边的垂直平分线上； （2）如图2，在（1）的条件下，如果点是斜边上一点（不与点、重合），过点分别作，垂足分别是． 求证：； （3）如图3，在中，，点在边上，，点是斜边上一点（不与点重合），过点分别作，垂足分别是．那么结论“”还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． 25．（本题12分）（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，已知是以为斜边的等腰直角三角形，且，射线，，点E为边上一动点，连接，将沿着翻折后，点D落在点F处，与线段BD相交于点G，连接BF并延长交边于点H．    (1)如图1，当时，求的度数． (2)如图2，当时，求的长． (3)当点F是的中点时，求的长． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第19章 几何证明 章末复习巩固卷 （时间：90分钟，满分100分） 一、单选题（共12分） 1．（本题2分）（24-25八年级上·上海·阶段练习）下列命题中，逆命题是真命题的是（   ） A．若，则 B．个位数字是5的数能被5整除 C．等腰三角形两腰上高相等 D．不相等的两个角不是对顶角 【答案】C 【分析】本题考查的是命题的逆命题，真假命题的判断，有理数的乘法运算的理解，对顶角的含义，等腰三角形的定义，整除的含义，先把每个命题的逆命题写出来，再逐一判断即可． 【详解】解：A、若，，则的逆命题为：若，则，，错误，为假命题； B、个位数字是5的数能被5整除的逆命题为：能被5整除的数的个位数为5，错误，为假命题； C、等腰三角形两腰上高相等的逆命题为：两条边上的高相等的三角形是等腰三角形， 已知：如图，为上的高，， 求证：为等腰三角形， 证明：∵为上的高，， 而， ∴， ∴为等腰三角形， ∴逆命题为真命题；符合题意， D、不相等的两个角不是对顶角的逆命题为：若两个角不是对顶角，则这两个角不相等，错误，为假命题， 故选：C． 2．（本题2分）（24-25八年级上·上海·阶段练习）若点O到的三边的距离相等，则点O为（   ） A．三角形三条边上中线的交点 B．三角形三边上高的交点 C．三角形三个内角平分线的交点 D．三角形三条边的垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】此题主要考查三角形的内角的角平分线的性质，解题的关键是熟知角平分线的性质． 根据三角形的内角角平分线的性质即可判断． 【详解】解：到三角形三边距离相等的点应是这个三角形的三个内角的平分线的交点， 故选：C． 3．（本题2分）（22-23八年级上·上海浦东新·期末）下列四组线段（每组3条）中，不能构成直角三角形的是（   ） A．1，，2 B．1，2， C．7，14，15 D．3，4，5 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，即能组成直角三角形，故本选项不合题意； B、，即能组成直角三角形，故本选项不合题意； C、，即不能组成直角三角形，故本选项合题意； D、，即能组成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：C． 4．（本题2分）（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，中，，如果要用尺规作图的方法在上确定一点，使，那么符合要求的作图痕迹是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，线段垂直平分线的基本作图．根据题意得出，即点在的垂直平分线上，结合垂直平分线的作法即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴点在的垂直平分线上， 即点为的垂直平分线与的交点． 故选：D． 5．（本题2分）（23-24八年级上·北京海淀·期中）如图，在中，，，点D是的中点，过点D作交于点E，，则的长度为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】此题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，连接，先求出，，再根据线段垂直平分线的性质得，，由此得，进而利用直角三角形的性质得，然后求出，再利用直角三角形的性质即可求出的长． 【详解】解：连接，如图： 在中，，， ， ， 点是的中点，， 是线段的垂直平分线， ， ， 在中，，， ， ，， ， 在中，，， ． 故选：B． 6．（本题2分）（24-25八年级上·上海徐汇·期中）如图是5×5的正方形网格，以点D．E的两个顶点作位置不同的格点三角形（顶点在网格横线与竖线的交点上的三角形称为格点三角形），使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画几个（   ） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】B 【分析】本题考查了网格作图，全等三角形的判定，勾股定理等知识，取格点，，，，分别连接，，，，，，，，由可得，，，，即可得出答案，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：如图，取格点，，，，分别连接，，，，，，，， 由图可知，， ， ， ， ， ∴，， 在和中， ， ∴， 同理：，，， ∴共有个与全等， 故选：B． 二、填空题（共24分） 7．（本题2分）（24-25八年级上·上海·阶段练习）一个命题是由 两部分组成． 【答案】题设（或条件）和结论 【分析】此题考查了命题的组成．命题有两部分组成，即题设（或条件）和结论．据此回答即可． 【详解】解：一个命题由题设（或条件）和结论两部分组成． 故答案为：题设（或条件）和结论 8．（本题2分）（11-12七年级下·安徽芜湖·期中）将命题“对顶角相等”改写成“如果．．．．那么．．．．”的形式： ． 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等， 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，原命题的题设是两个角是对顶角，放在“如果的后面”，结论是这两个角相等，放在“那么”的后面，据此可得答案． 【详解】解：将命题“对顶角相等”改写成“如果．．．．那么．．．．”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等， 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 9．（本题2分）（2024八年级上·上海·专题练习）直角坐标平面内的点，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查两点间的距离公式：设有两点，，则这两点间的距离为，直接利用两点间的距离公式求解，熟练掌握两点间的距离公式是解此题的关键． 【详解】解：∵点，， ． 故答案为：． 10．（本题2分）（22-23八年级上·上海浦东新·期末）在中，，那么 度． 【答案】 【分析】取的中点D，连接，得到，结合，判定是等边三角形，利用直角三角形的两个锐角互余解答即可． 本题考查了直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：取的中点D，连接， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（本题2分）（22-23八年级上·上海浦东新·期末）若直角三角形中有两边长分别为6和8，那么斜边长为 ． 【答案】8或10 【分析】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了分类讨论思想，直角三角形中斜边为最长边，无法确定边长为8的边是否为斜边，所以要讨论：边长为8的边为斜边；边长为8的边为直角边． 【详解】解：当边长为8的边为斜边时，该直角三角形中斜边长为8； 当边长为8的边为直角边时，则根据勾股定理得斜边长为． 故该直角三角形斜边长为8或10． 故答案为：8或10． 12．（本题2分）（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知面积为，边上的高为，且，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查勾股定理，三角形面积公式，先根据三角形面积公式求出，进而得出，再分是锐角三角形和钝角三角形两种情况，利用勾股定理求解． 【详解】解：由三角形面积公式得， 解得， ， ， 分两种情况：当是锐角三角形时，如图，为边上的高线， 在中，， ， 在中，； 当是钝角三角形时，如图，为边上的高线， 同理，在中，， ， 在中，； 综上可得，的长为或． 故答案为：或． 13．（本题2分）（24-25八年级上·上海·期中）如图，在中，，D在上，且，，则 ． 【答案】/105度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边上的中线，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．取的中点E，连接，根据垂直定义可得：，再利用直角三角形斜边上的中线的性质可得，从而可得：，然后利用三角形的外角性质可得，再根据等量代换可得：，从而可得，最后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答． 【详解】解：取的中点E，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（本题2分）（24-25八年级上·上海·期中）一个直角三角形两条直角边的比是，斜边长为，则此直角三角形的面积是 ． 【答案】120 【分析】本题考查了勾股定理以及三角形的面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设两条直角边分别为、，根据勾股定理得，解得，则两条直角边分别为、，然后由三角形面积公式列式计算即可． 【详解】解：设两条直角边分别为、， 根据勾股定理得：， 解得：（负值已舍去）， ∴两条直角边分别为、， ∴此直角三角形面积， 故答案为：120． 15．（本题2分）（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图是一块四边形绿地的示意图，其中，，，，．则此绿地的面积为 ． 【答案】234 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的相关知识，通过勾股定理的逆定理由边与边的关系可证明直角三角形，正确分割四边形的面积是解题关键． 连接，先根据勾股定理求出的长，再由勾股定理的逆定理判定为直角三角形，则四边形的面积直角的面积+直角的面积． 【详解】解：连接．如图所示： ， ， 在中，， ，即， ∴是直角三角形，． ， 即绿地的面积为234． 故答案为：234． 16．（本题2分）（24-25九年级上·上海嘉定·期中）由7个有公共顶点O的直角三角形拼成如图所示的图形，，若的面积为1，则的面积为 【答案】64 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 先确定所有的直角三角形均为等腰直角三角形， 由于的面积为1，设，则，解得，依次用勾股定理求出各边长，即可求解． 【详解】解：∵ ∴所有的直角三角形均为等腰直角三角形， ∵的面积为1，设 ∴， 解得， 在等腰中，由勾股定理得， 同理，， ∴， ∴． 故答案为：64． 17．（本题2分）（24-25九年级上·上海杨浦·期中）如图，在中，，，点在边上，，点在射线上，将沿着翻折，点落在点处，如果点在同一直线上，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，翻折的性质，角平分线的性质等知识，根据三角形的面积公式与，可求出，根据翻折与已知可得出，根据角平分线性质定理和三角形面积公式可求出，设，则，，在中，根据勾股定理求出即可求解，根据题意正确画出图形是解题的关键． 【详解】解：如图， 设到的距离为， 则， 由翻折的性质可知，， ∵在同一直线上， ∴， ∴点到、的距离相等，设此距离为， 则， 设，则，， ∵，， ∴，即， 解得， ∴， 故答案为：． 18．（本题2分）（2024八年级上·上海·专题练习）如图，是边长的等边三角形，动点同时从两点出发，分别在边上均速移动，它们的速度分别为，当点P到达点B时，两点停止运动，设点P的运动时间为，则当 s时，为直角三角形． 【答案】或 【分析】本题考查了等边三角形的性质的运用，30°角的直角三角形的性质的运用，利用分类讨论是解题的关键．先分别表示出的值，当和分别为直角时，由等边三角形的性质就可以求出结论． 【详解】是等边三角形， ， 当时，， ， ， ， 解得， 当时，， ， ， 解得， ， ， 故答案为：或． 三、解答题（共64分） 19．（本题7分）（24-25九年级上·上海·期中）点是边上的任意一点，且，试过点作一条直线，使得分成的两部分面积相等，并说明理由． 【答案】作图见解析 【分析】线段的垂直平分线交于点，连接、，作交于点，作直线即可． 【详解】解：作线段的垂直平分线交于点，连接、，作交于点，作直线， ∴点是线段的中点，， ∴，， ∴， ∴， 则直线即为所作． 【点睛】本题考查作图—应用设计作图，考查了基本作图—作线段的垂直平分线，作一个角等于已知角，三角形中线的性质，平行线判定和性质，三角形的面积及等积变换．解题的关键是理解题意，利用数形结合的思想解决问题． 20．（本题7分）（24-25八年级上·上海·阶段练习）若点A的坐标为，点B在直线上，若为直角三角形，求点B的坐标．      【答案】点B的坐标为或 【分析】该题主要考查了勾股定理和一元二次方程，解题的关键是分类讨论． 设点B的坐标为，表示出，，分为当时，当时，当时，分别解答即可． 【详解】解：设点B的坐标为， ∵点A的坐标为， ∴，， ∵为直角三角形， 当时，则， ∴，解得：（舍去）； 当时，则， ∴，解得：或（舍去）； 当时，则， ∴，解得：； 综上，或， ∴点B的坐标为或． 21．（本题8分）（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，已知：． (1)尺规作图：在边上求作一点，使得点到的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若点是的中点，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了尺规作图—作角平分线、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）首先以点为圆心，以任意长度为半径作弧，交于点，再分别以点为圆心，以大于的长度为半径作弧，交于点，作射线交于点，则为的角平分线，根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”，即可获得答案； （2）由（1）可知，为的角平分线，过点作，垂足为，结合点是的中点，证明，由全等三角形的性质可证明结论． 【详解】（1）解：如下图，点即为所求； （2）由（1）可知，为的角平分线， 过点作，垂足为，如图， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 22．（本题8分）（24-25八年级上·上海·期中）如图，在中，点A在边的垂直平分线上，直线l经过点A，、分别垂直于直线l，垂足分别为点D、E，且． (1)判断的形状，并证明． (2)取边的中点F，联结，求证：平分． 【答案】(1)是等腰直角三角形，见解析 (2)见解析 【分析】（1）先根据线段垂直平分线的性质得，依据“”判定和全等得，进而得，由此即可判定的形状； （2）连接，过点F作于M，于N，根据等腰直角三角形的性质得，，，进而得，再依据“”判定和全等得，然后根据角平分线的性质可得出结论． 【详解】（1）解：是等腰直角三角形，证明如下： ∵点A在边的垂直平分线上， ∴， ∵直线l，直线l， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形； （2）证明：连接，过点F作于M，于N，如图所示： 则， ∵是等腰直角三角形，点F是斜边的中点， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴点F在的平分线上， ∴平分． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，理解角平分线的性质，线段垂直平分线的性质是解决问题的关键． 23．（本题10分）（22-23八年级上·上海浦东新·期末）如图，已知在中，，点是的中点，连接，过点作，且，在取点，使，分别连接． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一： （1）根据直角三角形斜边中线的性质求出，，可证； （2）证出，得出，证出，根据等腰三角形三线合一即可得出结论． 【详解】（1）证明： ，，点是的中点， ，， ； （2）证明：， ， ，， ， ， ， 是的角平分线， 又， ，平分， 垂直平分． 24．（本题12分）（22-23八年级上·上海浦东新·期末）（1）如图1，在中，，，平分交边于．求证：点在斜边的垂直平分线上； （2）如图2，在（1）的条件下，如果点是斜边上一点（不与点、重合），过点分别作，垂足分别是． 求证：； （3）如图3，在中，，点在边上，，点是斜边上一点（不与点重合），过点分别作，垂足分别是．那么结论“”还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）成立，理由见解析 【分析】本题考查角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、30度直角三角形的性质、 （1）根据题意和角平分线的定义，可以得到和的关系，然后即可得到和的关系，再根据线段垂直平分线的性质，即可证明结论成立； （2）根据30度直角三角形的性质得，，进而得出结论； （3）利用面积法得到求证即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴点在斜边的垂直平分线上； （2）证明：∵，， ∴， 由（1）可得， 又∵， ∴，， ∴， ∴； （3）成立，理由如下： 连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 25．（本题12分）（24-25八年级上·上海·阶段练习）如图，已知是以为斜边的等腰直角三角形，且，射线，，点E为边上一动点，连接，将沿着翻折后，点D落在点F处，与线段BD相交于点G，连接BF并延长交边于点H．    (1)如图1，当时，求的度数． (2)如图2，当时，求的长． (3)当点F是的中点时，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出，再根据求出，结合，根据即可得解； （2）设与交于点，运用折叠的性质和平行线的性质得到，得到， 根据等腰三角形三线合一性质，得到，设，则点E到的距离等于，运用等面积法求出，从而得解； （3）过点F作，则，过点F作，证明得到，从而得到，过点E作于P，得到，从而求出，从求出． 【详解】（1）解：根据折叠可得， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：设与交于点，    由折叠可知：，平分， ∵，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则点E到的距离等于， ∴，即， ∴ ∴； （3）解：过点F作，则，过点F作， 则四边形，四边形，四边形都是长方形， ∴，，    ∵点F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点E作于P，    又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，平行公理的推论，平行线的性质等，含30度的直角三角形的性质等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$