专题 平面直角坐标系中求图形的面积（5大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（浙教版）

（浙教版）八年级上册数学《第4章 图形与坐标》 专题 平面直角坐标系中求图形的面积 题型一 直接利用面积公式求图形的面积 解题技巧提炼 当三角形的三边中有一条边落在坐标轴上，或者有一边与坐标轴平行时，可以直接求出边和其对应的高的长度，就直接利用三角形的面积公式求三角形的面积. 1．（2023秋•南岗区期末）如图，把△ABC向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度得到△A'B'C'，其中点A，B，C的对应点分别为点A'，B'，C'． （1）在图上画出△A'B'C'，请直接写出点A'，B'，C'的坐标； （2）在图上，连接A′A，A'C，请直接写出△A'AC的面积． 2．（2023春•营口期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，4），B（﹣2，1）．C（﹣4，1），将三角形ABC向右平移3个单位再向下平移2个单位得到三角形A1B1C1，点A、B、C的对应点分别是点A1、B1、C1． （1）画出三角形A1B1C1，并直接写出点A1、B1、C1的坐标； （2）直接写出三角形A1B1C1的面积； （3）点M（2a﹣b，b）在线段BC上．其平移后的对应占为M1（a+b．a），求点M的坐标． 3．（2024•南岗区校级开学）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（3，1）． （1）C点的坐标为 　　； （2）将三角形ABC先向下平移4个单位，在向左平移3个单位，它的像是三角形A1B1C1，画出三角形A1B1C1； （3）三角形A1B1C1的面积为 　 　． 4．（2023秋•宝丰县期末）平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（3，4），C（3，﹣1）． （1）试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点； （2）求△ABC的面积． （3）若△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，写出A1、B1、C1的坐标． 5．（2023春•雄县期末）如图，在直角坐标平面内，点A的坐标是（0，3），点B的坐标是（﹣3，﹣2）． （1）图中点C关于x轴对称的点D的坐标是　 ． （2）如果将点B沿着与y轴平行的方向向上平移5个单位得到点B1，那么A、B1两点之间的距离是　3　． （3）求三角形ACD的面积． 6．如图所示，将图中的点（﹣5，2），（﹣3，4），（﹣1，2），（﹣4，2），（﹣2，2），（﹣2，3），（﹣4，3）做如下变化： （1）横坐标不变，纵坐标分别减4，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图形与原来的图形相比有什么变化？ （2）纵坐标不变，横坐标分别加6，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图形与原来的图形相比有什么变化？ （3）求出以点（﹣5，2），（﹣3，4），（﹣1，2）为顶点的三角形的面积？ 题型二 利用割补法求三角形的面积 解题技巧提炼 1.当三角形的三边不与坐标轴平行时，无法直接求出边和高的长度，就不能直接利用三角形的面积公式求三角形的面积，可把图形补成一个边与坐标轴平行的长方形或直角梯形来求解. 2.由图形中一些点的坐标求面积时，需要过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 3.利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的关系，同时运用面积的和差计算不规则的图形的面积． 1．如图，已知：A（3，2），B（5，0），E（4，1），求△AOE的面积． 2．如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，6），C（2，），求△ABC的面积． 3．（2023春•肇州县期末）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A （1，4），B（4，2），C（3，5），请回答下列问题： （1）写出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1的顶点坐标． （2）求△ABC的面积． 4．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的单位长度均为1，△ABC的三个顶点恰好是正方形网格的格点． （1）写出图中所示△ABC各顶点的坐标． （2）求出此三角形的面积． 5．（2024春•洪山区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，2），B（2，0），C（3，3），P（a，b）是三角形ABC的边AC上的一点，把三角形ABC经过平移后得三角形DEF，点P的对应点为P'（a﹣2，b﹣4）． （1）写出D，E，F三点的坐标； （2）画出三角形DEF； （3）求三角形DEF的面积． 6．（2023春•来凤县期中）如图，△ABC的三个顶点坐标为：A（﹣3，1），B（1，﹣2），C（2，2），△ABC内有一点P（m，n）经过平移后的对应点为P1（m﹣1，n+2），将△ABC做同样平移得到△A1B1C1． （1）画出平移后的三角形A1B1C1； （2）写出A1、B1、C1三点的坐标； （3）求三角形A1B1C1的面积． 7．（2023•温州模拟）已知△ABC中，点A（﹣1，2），B（﹣3，﹣2），C（3，﹣3） ①在直角坐标系中，画出△ABC； ②求△ABC的面积． 8．（2023秋•东莞市期末）△ABC在如图的直角坐标系中， （1）写出点A，B，C的坐标：A：　 　，B：　 　，C：　 　． （2）写出△ABC中点A，B，C关于y轴对称的△A′B′C′的对称点A′，B′，C′的坐标分别是A′：　 　，B′：　 　，C′：　 　． （3）求出△ABC的面积． 9．（2023秋•梅县区期末）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，已知点A的坐标是（﹣4，3）． （1）点B的坐标为（　 　，　 　），点C的坐标为（　 　，　 　）． （2）△ABC的面积是　 ． （3）作点C关于y轴的对称点C'，那么A、C'两点之间的距离是　 　． 题型三 利用割补法求四边形的面积 解题技巧提炼 1、当四边形的其中有一边在坐标轴上（或与坐标轴平行）时，可以用分割法； 2、当四边形没有一边在坐标轴上（或与坐标轴平行）时，可以补形法； 3、不规则四边形面积的求法是利用割补法把其分割成规则且容易求的面积的图形，从而求出整个图形的面积． 1．（2023春•长安区校级月考）如图所示，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（3，4），C（0，2），则四边形ABCO的面积为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 2．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD各顶点都在格点上． （1）写出四边形ABCD各顶点的坐标； （2）请计算四边形ABCD的面积． 3．（2023春•湖北期末）已知：如图，把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A′B′C′． （1）在图中画出△A′B′C′； （2）写出点A′、B′的坐标； （3）连接A′A、C′C，求四边形A′ACC′的面积． 4．如图，面积为12cm2的△ABC向x轴正方向平移至△DEF的位置，相应的坐标如图所示（a，b为常数）， （1）求点D、E的坐标； （2）求四边形ACED的面积． 5．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），线段MN的位置如图所示，其中M点的坐标为（﹣3，﹣1），点N的坐标为（3，﹣2）． （1）已知点N关于x轴的对称点为点B，则点B的坐标为 　 ； （2）在（1）的条件下，求四边形ABNM的面积． 6．已知A（0，3），B（﹣4，0），C（﹣2，﹣3），D（4，﹣1），求图中四边形ABCD的面积． 7．（2024春•淮阳区月考）如图所示，四边形PQMN在平面直角坐标系中，且点P（﹣2，1），Q（﹣3，﹣2），N（1，2），点M是点Q关于y轴的对称点，求四边形PQMN的面积． 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（2，4），B（6，6），C（8，2），求四边形OABC的面积． 题型四 与图形面积相关的点的存在性问题 解题技巧提炼 1.上面题主要考查坐标与图形性质，解题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答． 2.由于点的位置不明确，因此在解题时要注意分情况讨论. 1．（2023春•余干县期中）已知点A（1，0），B（0，2），点P在x轴上，且△PAB的面积为5，则点P的坐标是（　　） A．（﹣4，0） B．（6，0） C．（﹣4，0）或（6，0） D．（0，12）或（0，8） 2．（2023秋•泰山区校级月考）已知点O（0，0），点A（﹣3，2），点B在y轴的正半轴上，若三角形AOB的面积为12，则点B坐标为（　　） A．（0，8） B．（0，4） C．（8，0） D．（0，﹣8） 3．已知点A（1，0），B（0，2），点P在x轴的负半轴上，且△PAB的面积为5，则点P的坐标为（　　） A．（0，﹣4） B．（0，﹣8） C．（﹣4，0） D．（6，0） 4．如图，已知，在平面直角坐标系中，S△ABC＝24，OA＝OB，BC＝12． （1）求出△ABC三个顶点的坐标． （2）在y轴上存在点D，使得S△ACD＝S△ABC，求出D点的坐标． 5．（2024春•惠阳区期末）已知：如图，把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A′B′C′． （1）写出A′（ 　 　，　 ）、B′（ 　 　，　 　）、C′（ 　 　，　 　）的坐标； （2）求出△ABC的面积＝　 　； （3）点P在y轴上，且△BCP是△ABC的面积的2倍，求点P的坐标． 6．（2024春•江油市期末）已知A（﹣3，﹣2），B（2，﹣2），C（3，1），D（﹣2，1）四个点． （1）在图中描出A，B，C，D四个点，顺次连接A，B，C，D，A； （2）直接写出线段AB，CD之间的关系； （3）在y轴上是否存在点P，使S△PAB＝S四边形ABCD若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由． 7．（2024春•夏邑县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（a，0），（b，0），且a，b满足，将线段AB沿直线一次性平移到DC的位置，分别得到点A，B的对应点D，C，且点D的坐标为（0，4），连接AD，BC，CD． （1）点C的坐标为 　 　． （2）在x轴上是否存在点P，使△PAD的面积等于8？若存在求出点P的坐标；若不存在请说明理由． 8．（2024春•下陆区期中）如图，A（﹣3，2），B（﹣1，﹣2），C（1，﹣1）．将△ABC向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，可以得到△A1B1C1． （1）△A1B1C1的顶点A1的坐标为 　 　；顶点C1的坐标为 　 　． （2）求△A1B1C1的面积． （3）已知点P在x轴上，以A1、C1、P为顶点的三角形面积为3，则P点的坐标为 　 　． 9．（2023秋•盐湖区校级期中）已知△ABC在如图所示的平面直角坐标系中． （1）将A、B、C三点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘﹣1，得到点A1、B1、C1，在图中描出点A1、B1、C1，并画出△A1B1C1． （2）判断△ABC与△A1B1C1的位置关系 　 　． （3）若M（x，y）是△ABC内部的一点，则△A1B1C1内部的对应点M1的坐标是 　 ． （4）在y轴上找一点P，使，则点P的坐标 　 　． 10．（2024秋•浦东新区校级期中）在数学研究课上，研究小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重合的两点M（x1，y1）和点N（x2，y2），若x1＝x2，则MN∥y轴，且线段MN的长度为|y1﹣y2|，若y1＝y2，则MN∥x轴，且线段MN的长度为|x1﹣x2|． 【实践操作】 （1）若点M（﹣1，1），N（2，1），则MN∥x轴，MN的长度为　 　；若点M（1，0），且MN∥y轴，且MN＝2，则点N的坐标为　 　． 【拓展应用】 （2）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣4，0），B（0，2），C（0，﹣3）． ①如图1，△ABC的面积为　 ； ②如图2，点D在线段AB上，将点D沿x轴正方向向右平移3个单位长度至E点，若△ACE的面积等于14，求点D坐标． 题型五 平面直角系中与面积有关的综合运用 解题技巧提炼 本题考查的是坐标与图形的性质以及三角形的面积的计算，平行线的性质，以及非负数的性质，根据图形正确确定点的坐标是解题的关键，注意坐标符号的确定要正确． 1．（2023春•红谷滩区校级期中）如图，平面直角坐标系中，A（﹣3，﹣2）、B（﹣1，﹣4） （1）直接写出：S△OAB＝　 ； （2）延长AB交y轴于P点，求P点坐标； （3）Q点在y轴上，以A、B、O、Q为顶点的四边形面积为6，求Q点坐标． 2．（2023春•青羊区校级月考）在外面直角坐标系中，O为原点，点A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0）． （1）如图1，△ABC的面积为 　 　； （2）如图2，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D． ①求△ACD的面积； ②已知点P（1，m）是一动点，若△PAC的面积等于△ACD的面积，请求出点P的坐标． 3．（2023春•梁平区期中）如图1，以长方形ABCD的中心O为原点，平行于BC的直线为x轴建立平面直角坐标系，若点D的坐标为（6，3）． （1）直接写出A、B、C的坐标； （2）设AD的中点为E，点M是y轴上的点，且△CME的面积是长方形ABCD面积的，求点M的坐标； （3）如图2，若点P从C点出发向CB方向匀速移动（不超过点B），点Q从B点出发向BA方向匀速移动（不超过点A），且点Q的速度是P的一半，P、Q两点同时出发，已知当移动时间为t秒时，P点的横坐标为6﹣2t，此时 ①CP＝　 　，AQ＝　 　（用含t的式子表示）． ②在点P、Q移动过程中，四边形PBQD的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围． 4．（2023春•全南县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a、b满足a1，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD． （1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC． （2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S△PAB＝S四边形ABDC？若存在这样一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由． （3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）的值是否发生变化，并说明理由． 5．（2024春•西平县期末）如图1，已知，点A（1，a），AH⊥x轴，垂足为H，将线段AO平移至线段BC，点B（b，0），其中点A与点B对应，点O与点C对应，a、b满足． （1）填空：①直接写出A、B、C三点的坐标A（ 　 　）、B（ 　 　）、C（ 　 ）； ②直接写出三角形AOH的面积 　 ． （2）如图1，若点D（m，n）在线段OA上，证明：4m＝n． （3）如图2，连OC，动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点Q从点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过t秒，三角形AOP与三角形COQ的面积相等，试求t的值及点P的坐标． 6．（2024春•襄州区期末）如图1，在平面直角坐标系内，O为坐标原点，线段AB两端点在坐标轴上，点A（﹣4，0），点B（0，3），将AB向右平移4个单位长度至OC的位置． （1）点C的坐标是 　 　； （2）如图2，过点C作CD⊥x轴于点D，在y轴上有一动点P，求三角形PCD的面积； （3）如图3，在（2）的条件下，连接AC，是否存在点P，使得三角形ACP的面积为22，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（2024春•潮安区期末）如图1，点A（0，a），B（b，0），且a，b满足（a﹣4）20． （1）求点A和点B的坐标； （2）如图2，点C（m，n）在线段AB上，且满足n﹣m＝5，点D在y轴负半轴上，连接CD交x轴负半轴于点M，且S△MBC＝S△MOD，求点D的坐标； （3）平移直线AB，交x轴正半轴于点E，交y轴于点F，P为直线EF上且位于第三象限内的一个点，过点P作PG⊥x轴于点G，若S△PAB＝20，且GE＝12，求点P的坐标． 8．（2023春•漳平市期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，﹣1）、B（﹣2，1），将线段AB平移至线段CD，使点A的对应点C在x轴的正半轴上，点D在第一象限． （1）若点C的坐标（k，0），求点D的坐标（用含k的式子表示）； （2）连接BD、BC，若三角形BCD的面积为5，求k的值； （3）如图2，分别作∠ABC和∠ADC的平分线，它们交于点P，请写出∠A、和∠P和∠BCD之间的一个等量关系，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！23 学科网（北京）股份有限公司 $$ （浙教版）八年级上册数学《第4章 图形与坐标》 专题 平面直角坐标系中求图形的面积 题型一 直接利用面积公式求图形的面积 解题技巧提炼 当三角形的三边中有一条边落在坐标轴上，或者有一边与坐标轴平行时，可以直接求出边和其对应的高的长度，就直接利用三角形的面积公式求三角形的面积. 1．（2023秋•南岗区期末）如图，把△ABC向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度得到△A'B'C'，其中点A，B，C的对应点分别为点A'，B'，C'． （1）在图上画出△A'B'C'，请直接写出点A'，B'，C'的坐标； （2）在图上，连接A′A，A'C，请直接写出△A'AC的面积． 【分析】（1）根据点坐标的平移规律，先得到A、B、C对应点A'，B'，C'的坐标，然后描出A'，B'，C'，再顺次连接A'，B'，C'即可； （2）利用割补法求解即可． 【解答】解：（1）如图所示，△A'B'C'即为所求， ∵把△ABC向上平移4个单位长度，再向右平移2个单位长度得到△A'B'C'，A（﹣2，2），B（﹣3，﹣2），C（3，﹣2）， ∴A'（0，6），B'（﹣1，2），C'（5，2）； （2）由题意得：． 【点评】本题主要考查了坐标与图形变化——平移，三角形面积，熟知点的坐标平移规律是解题的关键． 2．（2023春•营口期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣1，4），B（﹣2，1）．C（﹣4，1），将三角形ABC向右平移3个单位再向下平移2个单位得到三角形A1B1C1，点A、B、C的对应点分别是点A1、B1、C1． （1）画出三角形A1B1C1，并直接写出点A1、B1、C1的坐标； （2）直接写出三角形A1B1C1的面积； （3）点M（2a﹣b，b）在线段BC上．其平移后的对应占为M1（a+b．a），求点M的坐标． 【分析】（1）根据平移的性质即可画出三角形A1B1C1，进而可以写出点A1、B1、C1的坐标； （2）根据网格即可求出三角形A1B1C1的面积； （3）根据平移的性质可得a和b的值，进而即可求点M的坐标． 【解答】解：（1）如图，三角形A1B1C1即为所求； A1（2，2）、B1（1，﹣1）C1（﹣1，﹣1）； （2）三角形A1B1C1的面积2×3＝3； （3）∵点M（2a﹣b，b）在线段BC上．其平称后的对应占为M1（a+b．a）， ∴2a﹣b+3＝a+b，b﹣2＝a， ∴a＝﹣1，b＝1， ∴2a﹣b＝﹣3， ∴点M的坐标为（﹣3，1）． 【点评】本题考查了作图﹣平移变换，解决本题的关键是掌握平移的性质． 3．（2024•南岗区校级开学）在如图所示的平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（3，1）． （1）C点的坐标为 　　； （2）将三角形ABC先向下平移4个单位，在向左平移3个单位，它的像是三角形A1B1C1，画出三角形A1B1C1； （3）三角形A1B1C1的面积为 　 　． 【分析】（1）根据坐标系写出点C的坐标即可； （2）根据平移的性质，将三角形ABC先向下平移4个单位，再向左平移与3单位，得到三角形A1B1C1； （3）根据长方形减去三个三角形的面积即可求解． 【解答】解：（1）C点的坐标为（3，4）． 故答案为：（3，4）； （2）如图所示： （3）△A1B1C1的面积＝2×32×22×1＝3． 【点评】本题考查了平移作图，写出点的坐标，坐标与图形，掌握平移的性质是解题的关键． 4．（2023秋•宝丰县期末）平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（3，4），C（3，﹣1）． （1）试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点； （2）求△ABC的面积． （3）若△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，写出A1、B1、C1的坐标． 【分析】（1）根据点A、B、C的坐标及坐标的概念描点即可； （2）根据三角形的面积公式求解可得； （3）根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案． 【解答】解：（1）如图所示，点A、B、C即为所求； （2）△ABC的面积为：5； （3）若△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，则A1（1，﹣4）、B1（3，﹣4）、C1（3，1）． 【点评】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是根据轴对称变换的定义和性质得出对应点． 5．（2023春•雄县期末）如图，在直角坐标平面内，点A的坐标是（0，3），点B的坐标是（﹣3，﹣2）． （1）图中点C关于x轴对称的点D的坐标是　 ． （2）如果将点B沿着与y轴平行的方向向上平移5个单位得到点B1，那么A、B1两点之间的距离是　3　． （3）求三角形ACD的面积． 【分析】（1）关于x轴的对称点的坐标特点可得答案； （2）利用坐标系确定B1点位置，然后可得答案； （3）首先确定高和底，然后再计算面积即可． 【解答】解：（1）点C的坐标为（3，﹣2），则关于x轴对称的点D的坐标是（3，2）， 故答案为：（3，2）； （2）∵点B的坐标是（﹣3，﹣2）， ∴将点B沿着与y轴平行的方向向上平移5个单位得到点B1（﹣3，3）， ∵点A的坐标是（0，3）， ∴A、B1两点之间的距离是：3， 故答案为：3； （3）三角形ACD的面积：4×3＝6． 【点评】此题主要考查了关于x轴对称的点的坐标特点，以及坐标与图形的变化﹣﹣平移和三角形的面积，关键是关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 6．如图所示，将图中的点（﹣5，2），（﹣3，4），（﹣1，2），（﹣4，2），（﹣2，2），（﹣2，3），（﹣4，3）做如下变化： （1）横坐标不变，纵坐标分别减4，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图形与原来的图形相比有什么变化？ （2）纵坐标不变，横坐标分别加6，再将所得的点用线段依次连接起来，所得的图形与原来的图形相比有什么变化？ （3）求出以点（﹣5，2），（﹣3，4），（﹣1，2）为顶点的三角形的面积？ 【分析】（1）根据点的坐标平移特征得到每个点向下平移了4个单位； （2）根据点的坐标平移特征得到每个点向右平移了6个单位； （3）根据三角形的面积公式即可得到结果． 【解答】解：（1）如图1，横坐标不变，纵坐标分别减4，所得图案向下平移4个单位； （2）如图2，纵坐标不变，横坐标分别加6，所得图案向右平移6个单位； （3）以点（﹣5，2），（﹣3，4），（﹣1，2）为顶点的三角形的面积4×2＝4． 【点评】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，根据点的坐标计算出相应的线段长和判断线段与坐标轴的位置关系是解题的关键． 题型二 利用割补法求三角形的面积 解题技巧提炼 1.当三角形的三边不与坐标轴平行时，无法直接求出边和高的长度，就不能直接利用三角形的面积公式求三角形的面积，可把图形补成一个边与坐标轴平行的长方形或直角梯形来求解. 2.由图形中一些点的坐标求面积时，需要过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律． 3.利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的关系，同时运用面积的和差计算不规则的图形的面积． 1．如图，已知：A（3，2），B（5，0），E（4，1），求△AOE的面积． 【分析】根据S△AOE＝S△AOB﹣S△BOE计算即可． 【解答】解：由题意，得：S△AOE＝S△AOB﹣S△BOE5×25×1． 【点评】本题考查三角形的面积、坐标与图形性质等知识，解题的关键是学会用分割法求三角形的面积． 2．如图，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（4，6），C（2，），求△ABC的面积． 【分析】分别过点A，B作垂直x轴的垂线与 过C点作x轴的平行线交于点D，E，利用割补法即可求解． 【解答】解：如图，分别过点A，B作垂直x轴的垂线与 过C点作x轴的平行线交于点D，E， S△ABC＝S梯形ADEB﹣S△ADC﹣S△BCE 2） ． 答：△ABC的面积为． 【点评】本题考查了三角形的面积，利用割补法求解是解题的关键． 3．（2023春•肇州县期末）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A （1，4），B（4，2），C（3，5），请回答下列问题： （1）写出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1的顶点坐标． （2）求△ABC的面积． 【分析】（1）依据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得出△A1B1C1的顶点坐标． （2）依据割补法进行计算，即可得出△ABC的面积． 【解答】解：（1）△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1的顶点坐标为： A1（1，﹣4），B1（4，﹣2），C1（3，﹣5）． （2）△ABC的面积为：3×31×21×32×3＝9﹣1﹣1.5﹣3＝3.5． 【点评】本题主要考查了关于x轴对称的点的坐标特征，关于x轴的对称点，横坐标相同，纵坐标互为相反数． 4．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的单位长度均为1，△ABC的三个顶点恰好是正方形网格的格点． （1）写出图中所示△ABC各顶点的坐标． （2）求出此三角形的面积． 【分析】（1）根据平面直角坐标系的特点写出各点的坐标即可； （2）根据△ABC的面积＝S矩形DECF﹣S△BEC﹣S△AFC﹣S△ADB，即可解答． 【解答】解：（1）A（3，3），B（﹣2，﹣2），C（4，﹣3）； （2）如图所示： S△ABC＝S矩形DECF﹣S△BEC﹣S△ADB﹣S△AFC ． 【点评】本题考查了坐标与图形的性质，熟练掌握平面直角坐标系的坐标的特点是解题的关键． 5．（2024春•洪山区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知A（﹣2，2），B（2，0），C（3，3），P（a，b）是三角形ABC的边AC上的一点，把三角形ABC经过平移后得三角形DEF，点P的对应点为P'（a﹣2，b﹣4）． （1）写出D，E，F三点的坐标； （2）画出三角形DEF； （3）求三角形DEF的面积． 【分析】（1）直接利用P点平移变化规律得出答案； （2）直接利用各对应点位置进而得出答案； （3）利用三角形DEF所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案． 【解答】解：（1）D（﹣4，﹣2），E（0，﹣4），F（1，﹣1）； （2）如图所示：△DEF即为所求作的图形； （3）S△DEF＝5×35×14×21×3 ＝15﹣2.5﹣4﹣1.5 ＝7． 【点评】此题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键． 6．（2023春•来凤县期中）如图，△ABC的三个顶点坐标为：A（﹣3，1），B（1，﹣2），C（2，2），△ABC内有一点P（m，n）经过平移后的对应点为P1（m﹣1，n+2），将△ABC做同样平移得到△A1B1C1． （1）画出平移后的三角形A1B1C1； （2）写出A1、B1、C1三点的坐标； （3）求三角形A1B1C1的面积． 【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可． （2）根据点的位置确定坐标即可． （3）利用分割法求解即可． 【解答】解：（1）如图，三角形A1B1C1即为所求作． （2）A1（﹣4，3），B1（0，0），C1（1，4）． （3）三角形A1B1C1的面积＝4×51×53×41×4＝9.5． 【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 7．（2023•温州模拟）已知△ABC中，点A（﹣1，2），B（﹣3，﹣2），C（3，﹣3） ①在直角坐标系中，画出△ABC； ②求△ABC的面积． 【分析】（1）根据平面直角坐标系找出点A、B、C的位置，然后顺次连接即可； （2）根据三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积列式计算即可得解． 【解答】解：（1）△ABC如图所示； （2）△ABC的面积＝6×52×41×65×4， ＝30﹣4﹣3﹣10， ＝30﹣17， ＝13． 【点评】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，熟练掌握网格结构以及点的坐标位置的确定方法是解题的关键． 8．（2023秋•东莞市期末）△ABC在如图的直角坐标系中， （1）写出点A，B，C的坐标：A：　 　，B：　 　，C：　 　． （2）写出△ABC中点A，B，C关于y轴对称的△A′B′C′的对称点A′，B′，C′的坐标分别是A′：　 　，B′：　 　，C′：　 　． （3）求出△ABC的面积． 【分析】（1）根据点的位置，可得点的坐标； （2）根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，可得答案； （3）根据图形割补法，可得规则的图形，根据面积的和差，可得答案． 【解答】解：（1）写出点A，B，C的坐标：A：（2，4），B：（﹣3，﹣2），C：（3，1）． （2）写出△ABC中点A，B，C关于y轴对称的△A′B′C′的对称点A′，B′，C′的坐标分别是A′：（﹣2，4），B′：（3，﹣2），C′：（﹣3，1）； 故答案为：（2，4），（﹣3，﹣2），（3，1）；（﹣2，4），（3，﹣2），（﹣3，1）； （3）如图： S△ABC＝S正方形BDEF﹣S△BCD﹣S△ACE﹣S△ABF＝6×66×33×15×6． 【点评】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，利用图形割补法是求面积的关键． 9．（2023秋•梅县区期末）在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，已知点A的坐标是（﹣4，3）． （1）点B的坐标为（　 　，　 　），点C的坐标为（　 　，　 　）． （2）△ABC的面积是　 ． （3）作点C关于y轴的对称点C'，那么A、C'两点之间的距离是　 　． 【分析】（1）根据坐标系写出答案即可； （2）利用矩形面积减去周围多余三角形的面积可得△ABC的面积； （3）首先确定C'位置，然后再利用勾股定理计算即可． 【解答】解：（1）点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（﹣2，5）， 故答案为：3；0；﹣2；5； （2））△ABC的面积是：7×53×72×25×5＝35﹣10.5﹣2﹣12.5＝10， 故答案为：10； （3）A、C'两点之间的距离是：2， 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了关于y轴对称、三角形面积，以及勾股定理的应用，关键是正确确定C′点位置． 题型三 利用割补法求四边形的面积 解题技巧提炼 1、当四边形的其中有一边在坐标轴上（或与坐标轴平行）时，可以用分割法； 2、当四边形没有一边在坐标轴上（或与坐标轴平行）时，可以补形法； 3、不规则四边形面积的求法是利用割补法把其分割成规则且容易求的面积的图形，从而求出整个图形的面积． 1．（2023春•长安区校级月考）如图所示，在平面直角坐标系中，点A（4，0），B（3，4），C（0，2），则四边形ABCO的面积为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【分析】连接OB，然后把四边形ABCD的面积转化为△OAB和△OBC的面积和，列式计算即可得解． 【解答】解：如图，连接OB， ∴S四边形OABC＝S△OAB+S△OBC ＝11． 故选：C． 【点评】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，把四边形分解成规则的三角形和梯形是解题的关键，作出图形更形象直观． 2．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD各顶点都在格点上． （1）写出四边形ABCD各顶点的坐标； （2）请计算四边形ABCD的面积． 【分析】（1）根据各点平面直角坐标系的位置，写出四边形ABCD各顶点的坐标即可； （2）四边形ABCD的面积等于两个直角三角形的面积与一个梯形面积的和． 【解答】解：（1）A（1，4），B（﹣2，3），C（﹣3，0），D（3，0）； （2）四边形ABCD的面积为：（3+4）×316． 【点评】此题主要考查了坐标与图形性质，计算四边形的面积，关键是掌握四边形ABCD的面积是有两个直角三角形和一个梯形组成的． 3．（2023春•湖北期末）已知：如图，把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A′B′C′． （1）在图中画出△A′B′C′； （2）写出点A′、B′的坐标； （3）连接A′A、C′C，求四边形A′ACC′的面积． 【分析】（1）根据图形平移的性质画出△A′B′C′即可； （2）根据各点在坐标系中的位置写出点A′、B′的坐标； （3）根据三角形的面积公式即可求出结果． 【解答】解：（1）如图所示： （2）由图可知，A′（0，4），B′（﹣1，1）； （3）四边形A′ACC′的面积＝S△A′AC′+S△ACC′5×315． 【点评】本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键． 4．如图，面积为12cm2的△ABC向x轴正方向平移至△DEF的位置，相应的坐标如图所示（a，b为常数）， （1）求点D、E的坐标； （2）求四边形ACED的面积． 【分析】（1）根据对应点C、F确定出平移距离，再求出CE的长，然后根据平面直角坐标系写出点D、E的坐标即可； （2）根据梯形的面积公式列式计算即可得解． 【解答】解：（1）∵△ABC向x轴正方向平移至△DEF的位置， ∴平移距离＝CF＝﹣2a， ∴CE＝﹣2a+a＝﹣a， ∴点D（﹣2a，b），E（﹣a，0）； （2）由平移性质得，AD∥CE， 所以四边形ACED的面积（﹣a﹣2a）bab． 【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，熟练掌握平移的性质并求出CE的长是解题的关键． 5．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，4），线段MN的位置如图所示，其中M点的坐标为（﹣3，﹣1），点N的坐标为（3，﹣2）． （1）已知点N关于x轴的对称点为点B，则点B的坐标为 　 ； （2）在（1）的条件下，求四边形ABNM的面积． 【分析】（1）根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案； （2）利用矩形面积减去周围多于三角形的面积即可． 【解答】解：（1）点B的坐标为（3，2）， 故答案为：（3，2）； （2）边形ABNM的面积：6×63×52×36×1＝36﹣7.5﹣3﹣3＝22.5． 【点评】此题主要考查了关于x轴的对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律． 6．已知A（0，3），B（﹣4，0），C（﹣2，﹣3），D（4，﹣1），求图中四边形ABCD的面积． 【分析】由图可得：四边形ABCD的面积＝矩形EFGH的面积﹣△AEB的面积﹣△AHD的面积﹣△BFC的面积﹣△CGD的面积，即可解答． 【解答】解：如图， S四边形ABCD＝S矩形EFGH﹣S△AEB﹣S△AHD﹣S△BFC﹣S△CDG ＝25． 【点评】本题考查了坐标与图形性质，解决本题的关键是结合图形四边形ABCD的面积＝矩形EFGH的面积﹣△AEB的面积﹣△AHD的面积﹣△BFC的面积﹣△CGD的面积． 7．（2024春•淮阳区月考）如图所示，四边形PQMN在平面直角坐标系中，且点P（﹣2，1），Q（﹣3，﹣2），N（1，2），点M是点Q关于y轴的对称点，求四边形PQMN的面积． 【分析】由轴对称可得M（3，﹣2），QM∥x轴，过点P作PA⊥QM于点A，过点N作NB⊥QM于点B，结合点的坐标，根据S四边形PQMN＝S△PQA+S梯形PABN+S△NBM即可求解． 【解答】解：由轴对称可得M（3，﹣2），QM∥x轴， 如图所示，过点P作PA⊥QM于点A，过点N作NB⊥QM于点B， 则四边形PABN是梯形， ∴PA＝3，NB＝4，QA＝1，AB＝3，BM＝2， ∴S四边形PQMN＝S△PQA+S梯形PABN+S△NBM ＝16． 【点评】本题考查图形与坐标，轴对称，利用数形结合的数学思想是解决问题的关键． 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A（2，4），B（6，6），C（8，2），求四边形OABC的面积． 【分析】分别过A、B、C作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，如图，根据三角形面积公式和梯形面积公式，利用四边形OABC的面积＝S△AOD+S梯形ABED+S梯形BCFE﹣S△COF进行计算即可． 【解答】解：分别过A、B、C作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，如图， 四边形OABC的面积＝S△AOD+S梯形ABED+S梯形BCFE﹣S△COF 2×4（4+6）×（6﹣2）（2+6）×（8﹣6）8×2 ＝24． 【点评】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应的线段长和判断线段与坐标轴的位置关系．若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题． 题型四 与图形面积相关的点的存在性问题 解题技巧提炼 1.上面题主要考查坐标与图形性质，解题的关键是明确题意，画出相应的图形，利用数形结合的思想解答． 2.由于点的位置不明确，因此在解题时要注意分情况讨论. 1．（2023春•余干县期中）已知点A（1，0），B（0，2），点P在x轴上，且△PAB的面积为5，则点P的坐标是（　　） A．（﹣4，0） B．（6，0） C．（﹣4，0）或（6，0） D．（0，12）或（0，8） 【分析】根据B点的坐标可知AP边上的高为2，而△PAB的面积为5，点P在x轴上，说明AP＝5，已知点A的坐标，可求P点坐标． 【解答】解：∵A（1，0），B（0，2），点P在x轴上， ∴AP边上的高为2， 又△PAB的面积为5， ∴AP＝5， 而点P可能在点A（1，0）的左边或者右边， ∴P（﹣4，0）或（6，0）． 故选：C． 【点评】本题考查了直角坐标系中，利用三角形的面积公式来求出三角形的底边． 2．（2023秋•泰山区校级月考）已知点O（0，0），点A（﹣3，2），点B在y轴的正半轴上，若三角形AOB的面积为12，则点B坐标为（　　） A．（0，8） B．（0，4） C．（8，0） D．（0，﹣8） 【分析】根据图形可知，三角形AOB的以OB为底，则高点A的横坐标的绝对值，根据面积为12，可求出OB的长，再由点B在y轴的正半轴，确定点B的坐标． 【解答】解：如图，∵三角形AOB的面积为12， ∴OB＝12×2÷3＝8， ∵点B在y轴的正半轴上， ∴点B（0，8）， 故选：A． 【点评】考查平面直角坐标系，将点的坐标转化为线段的长，是解决问题的关键． 3．已知点A（1，0），B（0，2），点P在x轴的负半轴上，且△PAB的面积为5，则点P的坐标为（　　） A．（0，﹣4） B．（0，﹣8） C．（﹣4，0） D．（6，0） 【分析】根据B点的坐标可知AP边上的高为2，而△PAB的面积为5，点P在x轴上，说明AP＝5，可求P点坐标． 【解答】解：∵A（1，0），B（0，2），点P在x轴上， ∴AP边上的高为2， 又△PAB的面积为5， ∴AP＝5， 而点P在x轴的负半轴上， ∴P（﹣4，0）． 故选：C． 【点评】本题考查了直角坐标系中，利用三角形的面积公式来求出三角形的底边． 4．如图，已知，在平面直角坐标系中，S△ABC＝24，OA＝OB，BC＝12． （1）求出△ABC三个顶点的坐标． （2）在y轴上存在点D，使得S△ACD＝S△ABC，求出D点的坐标． 【分析】（1）根据三角形的面积公式求出OA、OB、OC的长，确定△ABC三个顶点的坐标； （2）根据图形和三角形的面积公式求出AD的长，运用分情况讨论思想得到D点的坐标． 【解答】解：（1）∵S△ABCBC•OA＝24，OA＝OB，BC＝12， ∴OA＝OB4， ∴OC＝8， ∴A（0，4），B（﹣4，0），C（8，0）； （2）设AD长为x， ∵S△ACD＝S△ABC＝24， ∴AD•OC＝24， ∵OC＝8， ∴AD＝6， 当D点在点A上方时，点D（0，10）， 当D点在点A下方时，点D（0，﹣2）． 【点评】本题考查的是坐标与图形的性质以及三角形的面积的计算，根据图形正确确定点的坐标是解题的关键，注意坐标符号的确定要正确． 5．（2024春•惠阳区期末）已知：如图，把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A′B′C′． （1）写出A′（ 　 　，　 ）、B′（ 　 　，　 　）、C′（ 　 　，　 　）的坐标； （2）求出△ABC的面积＝　 　； （3）点P在y轴上，且△BCP是△ABC的面积的2倍，求点P的坐标． 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可； （2）利用三角形面积公式求解即可； （3）设P（0，m），构建方程求出m即可． 【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求； 故答案为：A'（0，4），B'（﹣1，﹣1），C'（3，1）； （2）S△ABC4×3＝6； 故答案为：6． （3）设P（0，m）， ∵△BCP是△ABC的面积的2倍， ∴4×|m+2|4×3×2， 解得m＝4或﹣8， ∴P（0，4）或（0，﹣8） 【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型． 6．（2024春•江油市期末）已知A（﹣3，﹣2），B（2，﹣2），C（3，1），D（﹣2，1）四个点． （1）在图中描出A，B，C，D四个点，顺次连接A，B，C，D，A； （2）直接写出线段AB，CD之间的关系； （3）在y轴上是否存在点P，使S△PAB＝S四边形ABCD若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据题意画出图象即可； （2）结合图象即可得出答案； （3）先计算出S四边形ABCD＝5×3＝15．设在y轴上存在点P（0，t），使S△PAB＝S四边形ABCD，列方程计算即可得出答案． 【解答】解：（1）画出图象如图所示： （2）由图象可得：AB＝CD，AB∥CD； （3）∵S四边形ABCD＝5×3＝15． 设在y轴上存在点P（0，t），使S△PAB＝S四边形ABCD， ∴，即|2+t|＝6， 解得：t1＝4 t2＝﹣8． ∴在y轴上存在P1（0，4），P2（0，﹣8）使S△PAB＝S四边形ABCD． 【点评】本题考查了坐标与图形、三角形面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． 7．（2024春•夏邑县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（a，0），（b，0），且a，b满足，将线段AB沿直线一次性平移到DC的位置，分别得到点A，B的对应点D，C，且点D的坐标为（0，4），连接AD，BC，CD． （1）点C的坐标为 　 　． （2）在x轴上是否存在点P，使△PAD的面积等于8？若存在求出点P的坐标；若不存在请说明理由． 【分析】（1）由非负数的性质可求点A，点B坐标，由A的对应点为D得出平移规律，进而求出点C的坐标； （2）设在x轴上存在点P（x，0），根据△PAD的面积等于8列出关于x的方程，解方程即可． 【解答】解：（1）∵， ∴a+2＝0，b﹣3＝0， ∴a＝﹣2，b＝3， ∴点A（﹣2，0），B（3，0）． ∴AB＝3﹣（﹣2）＝5， ∵将线段AB沿直线一次性平移到DC的位置，分别得到点A，B的对应点D，C，且点D的坐标为（0，4）， ∴CD＝AB＝5， ∴点C（5，4）， 故答案为：（5，4）； （2）设在x轴上存在点P（x，0），使△PAD的面积等于8， 则， ∴x＝﹣6或2， ∴点P（﹣6，0）或（2，0）． 【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，非负数的性质：偶次方，非负数的性质：算术平方根，三角形的面积，解答本题的关键是熟练掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 8．（2024春•下陆区期中）如图，A（﹣3，2），B（﹣1，﹣2），C（1，﹣1）．将△ABC向右平移3个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，可以得到△A1B1C1． （1）△A1B1C1的顶点A1的坐标为 　 　；顶点C1的坐标为 　 　． （2）求△A1B1C1的面积． （3）已知点P在x轴上，以A1、C1、P为顶点的三角形面积为3，则P点的坐标为 　 　． 【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出△A1B1C1三个顶点的坐标，然后描点即可； （2）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积得到△A1B1C1的面积； （3）设P点得坐标为（t，0），利用三角形面积公式，即可得到P点坐标． 【解答】解：（1）如图， △A1B1C1为所作，顶点A1的坐标为（0，3）；顶点C1的坐标为（4，0）； 故答案为：（0，3）；（4，0）； （2）4×42×42×14×3＝5， 答：△A1B1C1的面积为5； （3）设P点得坐标为（t，0）， 则3×|t﹣4|＝3， 解得t＝6或t＝2， 即P点坐标为（6，0）或（2，0）． 故答案为：（6，0）或（2，0）． 【点评】本题考查了平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． 9．（2023秋•盐湖区校级期中）已知△ABC在如图所示的平面直角坐标系中． （1）将A、B、C三点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘﹣1，得到点A1、B1、C1，在图中描出点A1、B1、C1，并画出△A1B1C1． （2）判断△ABC与△A1B1C1的位置关系 　 　． （3）若M（x，y）是△ABC内部的一点，则△A1B1C1内部的对应点M1的坐标是 　 ． （4）在y轴上找一点P，使，则点P的坐标 　 　． 【分析】（1）由题意描出点A1、B1、C1，画出△A1B1C1即可； （2）由纵坐标保持不变，横坐标分别乘﹣1，即可得出关于y轴对称； （3）由关于y轴对称，即可得出答案； （4）先求出S△ABC，再设AP＝x，由S△APC＝2x，求出x，然后分两种情况：①当点P在点A的下方时，当点P在点A的上方时，分别求出OP，即可得出答案． 【解答】解：（1）如图，描出点A1、B1、C1，画出△A1B1C1； （2）△ABC与△A1B1C1的位置关系是关于y轴对称， 故答案为：关于y轴对称； （3）由（2）得：△ABC与△A1B1C1的位置关系是关于y轴对称， ∴M（x，y）是△ABC内部的一点，则△A1B1C1内部的对应点M1的坐标是（﹣x，y）， 故答案为：（﹣x，y）； （4）∵S△ABC＝3×42×41×22×3＝4， ∴S△ABC4， 设AP＝x， S△APC4×x＝2x， ∴2x， ∴x， ①当点P在点A的下方时， OP＝AP﹣OA1， ∴P（0，）； 当点P在点A的上方时， OP＝AP+OA1， ∴P（0，）； 综上所述，点P的坐标为（0，）或（0，）， 故答案为：（0，）或（0，）． 【点评】本题是三角形综合题，考查了轴对称的判定与性质、三角形面积的计算、矩形面积的计算、坐标与图形的性质、分类讨论等知识，熟练掌握轴对称的判定与性质和三角形面积的计算是解题的关键． 10．（2024秋•浦东新区校级期中）在数学研究课上，研究小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重合的两点M（x1，y1）和点N（x2，y2），若x1＝x2，则MN∥y轴，且线段MN的长度为|y1﹣y2|，若y1＝y2，则MN∥x轴，且线段MN的长度为|x1﹣x2|． 【实践操作】 （1）若点M（﹣1，1），N（2，1），则MN∥x轴，MN的长度为　 　；若点M（1，0），且MN∥y轴，且MN＝2，则点N的坐标为　 　． 【拓展应用】 （2）如图，在平面直角坐标系中，A（﹣4，0），B（0，2），C（0，﹣3）． ①如图1，△ABC的面积为　 ； ②如图2，点D在线段AB上，将点D沿x轴正方向向右平移3个单位长度至E点，若△ACE的面积等于14，求点D坐标． 【分析】（1）根据材料给的与坐标轴平行直线上两点的距离公式求解即可； （2）①先计算BC，OA，再利用面积公式计算即可； ②设D（m，n），由等积法，得到m＝2n﹣4，再结合图形，利用S△AOC+S△AOE+S△COE＝S△ACE得到点D的坐标． 【解答】解：（1）由题意可得：MN＝2﹣（﹣1）＝3， ∵M（1，0），MN∥y，MN＝2， ∴|0﹣yN|＝2， ∴yN＝﹣2或yN＝2， N（1，﹣2）或N（1，2）； 故答案为：3；N（1，2）或N（1，﹣2） （2）①∵A（﹣4，0），B（0，2），C（0，﹣3）， ∴BC＝2﹣（﹣3）＝5，OA＝4， ， ②连接OD，OE， 设D（m，n）， ∵S△AOB＝S△AOD+S△DOB， ∴， ∴m＝2n﹣4， 根据平移的性质可得：E（2n﹣1，n）， ∵S△AOC+S△AOE+S△COE＝S△ACE， ， ∴， ∴， ∴． 【点评】本题考查了坐标与图形的性质，平移的性质，正确记忆相关性质是解题关键． 题型五 平面直角系中与面积有关的综合运用 解题技巧提炼 本题考查的是坐标与图形的性质以及三角形的面积的计算，平行线的性质，以及非负数的性质，根据图形正确确定点的坐标是解题的关键，注意坐标符号的确定要正确． 1．（2023春•红谷滩区校级期中）如图，平面直角坐标系中，A（﹣3，﹣2）、B（﹣1，﹣4） （1）直接写出：S△OAB＝　 ； （2）延长AB交y轴于P点，求P点坐标； （3）Q点在y轴上，以A、B、O、Q为顶点的四边形面积为6，求Q点坐标． 【分析】（1）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算S△OAB即可； （2）设P（0，t），利用面积法得到（﹣t）×3（﹣t）×1＝5，然后解方程求出t，从而得到P点的坐标； （3）分类讨论：当Q在y轴的正半轴上时，利用S四边形ABOQ＝S△AOB+S△AOQ得到S△AOQ＝1，再根据三角形面积公式求出OQ．从而得到Q点坐标；当Q在y轴的负半轴上时，利用S四边形ABOQ＝S△AOB+S△BOQ得到S△BOQ＝1，再根据三角形面积公式求出OQ．从而得到Q点坐标． 【解答】解：（1）S△OAB＝3×44×13×22×2＝5； 故答案为5； （2）设P（0，t）， ∵S△OAP﹣S△OBP＝S△OAB， ∴（﹣t）×3（﹣t）×1＝5， 解得t＝﹣5， ∴P点的坐标为（0，﹣5）； （3）当Q在y轴的正半轴上时， ∵S四边形ABOQ＝S△AOB+S△AOQ， ∴S△AOQ＝6﹣5＝1， ∴3×OQ＝1， 解得OQ． 则此时Q点的坐标为（0，）； 当Q在y轴的负半轴上时， ∵S四边形ABQO＝S△AOB+S△BOQ， ∴S△BOQ＝1， ∴S△AOQ＝6﹣5＝1， ∴1×OQ＝1， 解得OQ＝2， 则此时Q点的坐标为（0，﹣2）， 即Q点坐标为（0，）或（0，﹣2）． 【点评】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标求相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系．也考查了三角形面积公式．第（3）问要分类讨论． 2．（2023春•青羊区校级月考）在外面直角坐标系中，O为原点，点A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0）． （1）如图1，△ABC的面积为 　 　； （2）如图2，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D． ①求△ACD的面积； ②已知点P（1，m）是一动点，若△PAC的面积等于△ACD的面积，请求出点P的坐标． 【分析】（1）求出OA，OB，OC，可得结论． （2）①连接OD，根据S△ADC＝S△AOD+S△ODC﹣S△AOC，求解即可． ②分两种情形，根据面积关系构建方程，求出m即可． 【解答】解：（1）∵点A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0）， ∴OA＝2，OB＝2，OC＝4， ∴S△ABC（2+4）×2＝6， 故答案为：6． （2）①连接OD． 由题意D（5，4）， S△ADC＝S△AOD+S△ODC﹣S△AOC2×54×42×4＝9． ②当点P在AC的上方时，S△PAC＝S△PAO+S△POC﹣S△AOC， ∴2×14×m2×4＝9． ∴m＝6， ∴P（1，6）． 当点P在AC的下方时，S△PAC＝S△POC+S△AOC﹣S△AOC， ∴4×（﹣m）2×42×1， ∴m＝﹣3， ∴P（1，﹣3） ∴点P的坐标为（1，6）或（1，﹣3）． 【点评】本题考查作图﹣平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 3．（2023春•梁平区期中）如图1，以长方形ABCD的中心O为原点，平行于BC的直线为x轴建立平面直角坐标系，若点D的坐标为（6，3）． （1）直接写出A、B、C的坐标； （2）设AD的中点为E，点M是y轴上的点，且△CME的面积是长方形ABCD面积的，求点M的坐标； （3）如图2，若点P从C点出发向CB方向匀速移动（不超过点B），点Q从B点出发向BA方向匀速移动（不超过点A），且点Q的速度是P的一半，P、Q两点同时出发，已知当移动时间为t秒时，P点的横坐标为6﹣2t，此时 ①CP＝　 　，AQ＝　 　（用含t的式子表示）． ②在点P、Q移动过程中，四边形PBQD的面积是否发生变化？若不变，求其值；若变化，求其变化范围． 【分析】（1）利用矩形的性质和对称性，由点D的坐标直接得出答案即可； （2）得出E点的坐标为（0，3），设出M点的坐标，根据△CME的面积是长方形ABCD面积的，列出方程解答即可； （3）由B点的横坐标为6﹣2t＝﹣6，得出t＝6，求得点P的运动速度为2，点Q的运动速度为1，利用面积差表示出四边形PBQD的面积比较得出答案即可． 【解答】解：（1）A、B、C的坐标分别为（﹣6，3）、（﹣6，﹣3）、（6，﹣3）； （2）由题意得E点的坐标为（0，3），设M点坐标为（0，a）， 则|a﹣3|×612×6 解得：a＝﹣1或a＝7， M点坐标为（0，﹣1）或（0，7）． （3）∵B点的横坐标为6﹣2t＝﹣6， ∴t＝6， 则点P的运动速度为12÷6＝2，点Q的运动速度为2÷2＝1， ①CP＝2t，AQ＝6﹣t； ②不变． 理由：∵四边形PBQD的面积＝12×6（6﹣t）×122t×6＝36， ∴四边形PBQD的面积不发生变化． 【点评】此题考查坐标与图形的性质，三角形的面积，矩形的性质与面积，掌握矩形的对称性是解决问题的关键． 4．（2023春•全南县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a、b满足a1，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD． （1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC． （2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S△PAB＝S四边形ABDC？若存在这样一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由． （3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）的值是否发生变化，并说明理由． 【分析】（1）根据被开方数大于等于0列式求出b，再求出a，从而得到A、B的坐标，再根据向上平移纵坐标加，向右平移横坐标加求出点C、D的坐标即可，然后利用平行四边形的面积公式列式计算即可得解； （2）根据三角形的面积公式列出方程求出OP，再分点P在y轴正半轴和负半轴两种情况讨论求解； （3）根据平移的性质可得AB∥CD，再过点P作PE∥AB，根据平行公理可得PE∥CD，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠DCP＝∠CPE，∠BOP＝∠OPE，然后求出∠CPO＝∠DCP+∠BOP，从而判断出比值不变． 【解答】解：（1）由题意得，3﹣b≥0且b﹣3≥0， 解得b≤3且b≥3， ∴b＝3， a＝﹣1， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， ∵点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位， ∴点C（0，2），D（4，2）； ∵AB＝3﹣（﹣1）＝3+1＝4， ∴S四边形ABDC＝4×2＝8； （2）∵S△PAB＝S四边形ABDC， ∴4•OP＝8， 解得OP＝4， ∴点P的坐标为（0，4）或（0，﹣4）； （3）1，比值不变． 理由如下：由平移的性质可得AB∥CD， 如图，过点P作PE∥AB，则PE∥CD， ∴∠DCP＝∠CPE，∠BOP＝∠OPE， ∴∠CPO＝∠CPE+∠OPE＝∠DCP+∠BOP， ∴1，比值不变． 【点评】本题考查了坐标与图形性质，三角形的面积，平移的性质，平行线的性质，以及非负数的性质，熟记各性质是解题的关键． 5．（2024春•西平县期末）如图1，已知，点A（1，a），AH⊥x轴，垂足为H，将线段AO平移至线段BC，点B（b，0），其中点A与点B对应，点O与点C对应，a、b满足． （1）填空：①直接写出A、B、C三点的坐标A（ 　 　）、B（ 　 　）、C（ 　 ）； ②直接写出三角形AOH的面积 　 ． （2）如图1，若点D（m，n）在线段OA上，证明：4m＝n． （3）如图2，连OC，动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点Q从点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过t秒，三角形AOP与三角形COQ的面积相等，试求t的值及点P的坐标． 【分析】（1）①利用非负数的性质求出a，b的值，可得结论． ②利用三角形面积公式求解即可． （2）连接DH，根据△ODH的面积+△ADH的面积＝△OAH的面积，构建关系式，可得结论． （3）分两种情形：①当点P在线段OB上，②当点P在BO的延长线上时，分别利用面积关系，构建方程，可得结论． 【解答】（1）解：①∵， 又∵0，（b﹣3）2≥0， ∴a＝4，b＝3， ∴A（1，4），B（3，0），C（（2，﹣4）， 故答案为：1，4；3，0；2，﹣4． ②△AOH的面积1×4＝2， 故答案为：2． （2）证明：如图，连接DH． ∵△ODH的面积+△ADH的面积＝△OAH的面积， ∴1×n4×（1﹣m）＝2， ∴4m＝n． （3）解：①当点P在线段OB上，（3﹣2t）×42t， 解得t＝1.2． 此时P（0.6，0）． ②当点P在BO的延长线上时，（2t﹣3）×42×t， 解得t＝2， 此时P（﹣1，0）， 综上所述，t＝1.2时，P（0.6，0），t＝2时，P（﹣1，0）． 【点评】本题考查坐标与图形变化﹣平移，非负数的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 6．（2024春•襄州区期末）如图1，在平面直角坐标系内，O为坐标原点，线段AB两端点在坐标轴上，点A（﹣4，0），点B（0，3），将AB向右平移4个单位长度至OC的位置． （1）点C的坐标是 　 　； （2）如图2，过点C作CD⊥x轴于点D，在y轴上有一动点P，求三角形PCD的面积； （3）如图3，在（2）的条件下，连接AC，是否存在点P，使得三角形ACP的面积为22，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据平移的性质即可解决问题． （2）根据CD平行于y轴，得出CD边上的高，即可求出△PCD的面积． （3）求出AC于y轴的交点坐标，再根据△ACP的面积为22，求出OP的长即可解决问题． 【解答】解：（1）因为OC由AB向右平移4个单位得到，且点B坐标为（0，3）， 所以点C的坐标为（4，3）． 故答案为：（4，3）． （2）因为CD⊥x轴，且点C坐标为（4，3）， 所以CD＝3． 因为点P在y轴上， 所以点P到CD的距离为4， 所以． （3）存在． 令直线AC的函数解析式为y＝kx+b， 则， 解得， 所以直线AC的函数解析式为y． 令直线AC与y轴的交点为M， 则点M的坐标为（0，）． 因为△ACP的面积为22， 所以， 解得PM， 所以， 所以点P的坐标为（0，7）或（0，﹣4）． 【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移及三角形的面积，熟知图形平移的性质及三角形的面积公式是解题的关键． 7．（2024春•潮安区期末）如图1，点A（0，a），B（b，0），且a，b满足（a﹣4）20． （1）求点A和点B的坐标； （2）如图2，点C（m，n）在线段AB上，且满足n﹣m＝5，点D在y轴负半轴上，连接CD交x轴负半轴于点M，且S△MBC＝S△MOD，求点D的坐标； （3）平移直线AB，交x轴正半轴于点E，交y轴于点F，P为直线EF上且位于第三象限内的一个点，过点P作PG⊥x轴于点G，若S△PAB＝20，且GE＝12，求点P的坐标． 【分析】（1）根据非负数的性质求得a、b的值即可； （2）由S△BCM＝S△DOM知S△ABO＝S△ACD＝12．连CO，作CE⊥y轴，CF⊥x轴，则S△ABO＝S△ACO+S△BCO，据此列出方程组求得C（﹣3，2），而S△ACDCE×AD＝12，易得OD＝4，则可得出答案； （3）由S△PAB＝S△EAB＝20求得OE＝4．由S△ABF＝S△PBA＝20求得OF．结合S△PGE＝S梯GPFO+S△OEF求得PG＝8．可求出P（﹣8，﹣8）． 【解答】解：（1）∵|a﹣4|≥0，0，|a﹣4|0， ∴|a﹣4|＝0，0． ∴a＝4，b＝﹣6． ∴A（0，4），B（﹣6，0）； （2）如图， 由S△BCM＝S△DOM， ∴S△ABO＝S△ACD， ∵S△ABOAO×BO＝12． 连CO，作CE⊥y轴于E，CF⊥x轴于F， ∵S△ABO＝S△ACO+S△BCO， ∴126×|m||n|， ∵m＜0，n＞0， ∴﹣3m+2n＝12①， ∵n﹣m＝5，② ①②联立解得， ∴C（﹣3，2）， ∵S△MBC＝S△MOD， 连接CO， ∴S△BCO＝S△DCO， ∴OD＝4， ∴D（0，﹣4）； （3）∵S△PAB＝S△EAB＝20， ∴AO×BE＝20，即4×（6+OE）＝40， ∴OE＝4． ∴E（4，0）， ∵GE＝12， ∴GO＝8， ∴G（﹣8，0）． ∵S△ABF＝S△PBA＝20， ∴S△ABFBO×AF6×（4+OF）＝20， ∴OF， ∴F（0，）， ∵S△PGE＝S梯GPFO+S△OEF， ∴12×PG（PG）×84， ∴PG＝8， ∴P（﹣8，﹣8）． 【点评】考查了三角形的面积，坐标与图形性质，非负数的性质以及算术平方根，解题的关键是利用三角形的面积公式求得相关线段的长度． 8．（2023春•漳平市期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，﹣1）、B（﹣2，1），将线段AB平移至线段CD，使点A的对应点C在x轴的正半轴上，点D在第一象限． （1）若点C的坐标（k，0），求点D的坐标（用含k的式子表示）； （2）连接BD、BC，若三角形BCD的面积为5，求k的值； （3）如图2，分别作∠ABC和∠ADC的平分线，它们交于点P，请写出∠A、和∠P和∠BCD之间的一个等量关系，并说明理由． 【分析】（1）由平移的性质可得出答案； （2）过点B作BE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F，由四边形BEFD的面积可得出答案； （3）过点P作PE∥AB得出∠PBA＝∠EPB，由平移的性质得出AB∥CD，由平行线的性质得出PE∥CD，则∠EPD＝∠PDC，得出∠BPD＝∠PBA+∠PDC，由角平分线的性质得出∠PBA∠ABC，∠PDC∠ADC，即可得出结论． 【解答】解：（1）∵点A（﹣4，﹣1）、B（﹣2，1），C（k，0），将线段AB平移至线段CD， ∴点B向上平移一个单位，向右平移（k+4）个单位到点D， ∴D（k+2，2）； （2）如图1，过点B作BE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥x轴于点F， ∵A（﹣4，﹣1）、B（﹣2，1），C（k，0），D（k+2，2）， ∴BE＝1，CE＝k+2，DF＝2，EF＝k+4，CF＝2， ∵S四边形BEFD＝S△BEC+S△DCF+S△BCD， ∴， 解得：k＝2． （3）∠BPD∠BCD∠A；理由如下： 过点P作PE∥AB，如图2所示： ∴∠PBA＝∠EPB， ∵线段AB平移至线段CD， ∴AB∥CD， ∴PE∥CD，∠ADC＝∠A，∠ABC＝∠BCD， ∴∠EPD＝∠PDC， ∴∠BPD＝∠PBA+∠PDC， ∵BP平分∠ABC，DP平分∠ADC， ∴∠PBA∠ABC，∠PDC∠ADC， ∴∠BPD∠ABC∠ADC∠BCD∠A． 【点评】本题是三角形综合题，考查了平面直角坐标系与点的坐标、平移的性质、平行线的判定与性质、角平分线定义、三角形面积的计算等知识，熟练掌握平移的性质、平行线的性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！49 学科网（北京）股份有限公司 $$