2025年九年级中考数学一轮复习考点过关练 第8讲 不等式(组)及不等式的应用

第8讲 不等式(组)及不等式的应用 考点1 不等式的性质 3 考点2 一元一次不等式 4 考点3 一元一次不等式组的求解 5 考点4 由一元一次不等式组的解集求参数 5 考点5 不等式（组）与方程组的结合问题 6 考点6一元一次不等式组的实际应用 7 真题过关检测 8 一、不等式的概念及解集 不等式 一般的，用符号“”（或“”），“”（或“”），“”连接的式子. 有无未知数均可,如，. 不等式的解 能使不等式成立的未知数的值. 不等式的解集 一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集．解集是一个范围. 空集 当任何未知数都不能使不等式成立，则该不等式无解或解为空集. 二、不等式的性质 不等式的性质1 不等式的两边同加上（或减去）一个数或一个整式，不等号方向不变. 若，则有： 不等式的性质2 不等式的两边同乘（或除）同一个正数，不等号方向不变. 若，则有：；（） ；（） 不等式的性质3 不等式的两边同乘（或除）同一个负数，不等号方向改变. 若，则有：；（） ；（） 三、一元一次不等式的概念及求解 一元一次不等式 不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式. 一元一次不等式解法 1.去分母 2.去括号 3.移项 4.合并同类项 5.未知数的系数化为 解不等式 去分母：， 去括号：， 移项：， 合并同类型：， 系数化为1： 不等式表示解集 一般的，一个含未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用不等式表达出来. 数轴表示解集 不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，注意两点：一是定边界，二是定方向. 四、一元一次不等式组的概念及求解 一元一次不等式组 几个一元一次不等式合在一起就组成了一个一元一次不等式组. 一元一次不等式组解集 几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集. 空集 当任何未知数都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或解为空集. 一元一次不等式组的解法 （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集； （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集． 不等式组取解集的方法 若，则 （1）不等式组的解集是；(同大取大) （2）不等式组的解集是；(同小取小) （3）不等式组的解集是；(大小、小大中间找) （4）不等式组的解集是空集．(大大、小小取不了) 特殊不等式组的解 （1） 关于的不等式组的解集是；（2）的解集是空集． 五、含参一元一次不等式（组） 含字母的一元一次不等式（组） 未知数的系数含有字母或常数项含有字母的一元一次不等式（组）. 未知数的系数含有字母 若，的解为； 若，的解为； 若，则当时，无解， 当时，的解为任何实数. 含绝对值符号的不等式 若，则 若，则 若，则 若，则或 六、列不等式（组）解决实际问题 列不等式（组）解应用题的基本步骤如下： ①审题；②设未知数；③列不等式(组)；④解不等式(组)；⑤检验并写出答案． 考点1 不等式的性质 1．（2024·贵州贵阳·一模）如果，那么下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·山东临沂·模拟预测）已知，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·四川攀枝花·模拟预测）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 4．（2024·山东德州·二模）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断不正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·河北邯郸·二模）实数a在数轴上对应点的位置如图所示．若实数b满足，，则b的值可以是（   ） A． B． C． D．1 6．（2024·广东云浮·一模）若不等式的解集为，则m的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 7．（2024·安徽合肥·二模）若实数a，b，c满足，，则下列结论中正确的是（    ） A．， B．， C． ， D．， 8．（2024·安徽安庆·二模）已知非零实数a，b，c满足：，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（2024·安徽合肥·二模）已知实数a，b满足：，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（2024·安徽滁州·二模）已知实数a，b，c，其中且满足，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 考点2 一元一次不等式 11．（2024·安徽·模拟预测）解不等式：． 12．（2024·陕西商洛·模拟预测）求不等式的正整数解． 13．（2024·湖南·模拟预测）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（2024·广东广州·模拟预测）已知实数，满足，则的取值范围可在数轴表示为（   ） A． B． C． D． 15．（2024·四川自贡·模拟预测）不等式的自然数解有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．（2024·北京·模拟预测）解下列不等式： ，并求出满足不等式的非负整数解． 17．（2024·陕西西安·模拟预测）解不等式，并写出它的最小整数解． 18．（2024·陕西咸阳·模拟预测）解不等式：，并将解集在如图所示的数轴上表示出来． 考点3 一元一次不等式组的求解 19．（2024·山西·模拟预测）把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（    ） A． B． C． D． 20．（2024·湖南岳阳·模拟预测）求不等式组的非负整数解． 21．（2024·湖北武汉·模拟预测）求不等式组所有整数解的和． 22．（2024·湖南·模拟预测）解不等式组，并把解集表示在数轴上． 考点4 由一元一次不等式组的解集求参数 23．（2024·湖北·模拟预测）若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 24．关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 25．（2024·江苏南通·二模）若存在，使的值同时大于和的值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．（2024·云南·模拟预测）已知不等式组的解集是，则（　　） A．0 B． C．1 D．2024 27．（2024·湖北宜昌·模拟预测）若关于x的一元一次不等式组的解集是，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．（2024·山东德州·二模）若关于的不等式组有且只有4个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29．关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的一元一次方程的解为非负数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A． B． C． D． 30．（2022·云南昆明·三模）若整数使关于的方程的解为负数，且使关于的不等式组无解，则所有满足条件的整数的值之和是（    ） A．6 B．7 C．9 D．10 考点5 不等式（组）与方程组的结合问题 31．（2024·山东东营·二模）若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围为 ． 32．（2023·山东淄博·一模）关于、的方程组的解中与的和不小于，则的取值范围为 . 33．若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是 ． 34．（2024·湖南怀化·一模）已知k为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足，则整数k值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 35．若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A．12 B．6 C．—14 D．—15 考点6一元一次不等式组的实际应用 36．（2024·湖南长沙·模拟预测）为提高学生综合素养，我市某中学拟组织学生进行红色之旅研学活动，相关组织老师发现：若按原计划租用可坐乘客45人的种客车若干辆，则有30人将没有座位；若租用可坐乘客60人的种客车，则比原计划可少租6辆，且恰好坐满． (1)求本次红色之旅研学活动共有多少人参加？原计划租用种客车多少辆？ (2)若该校更改计划，同时租用、两种客车共25辆，要求种客车不超过7辆，且座位有剩余，则有哪些租车方案？ (3)在（2）的条件下，若种客车租金每辆300元，种客车租金为每辆220元，应该怎样租车才最合算？ 37．（2024·贵州六盘水·二模）方程是刻画现实世界数量关系的一个有效模型，这个名词最早出现在我国古代数学专著 《九章算术》中．请用方程思想解决下列问题： 某单位组织联谊活动，需采购可乐、橙汁两种饮料，已知购买4箱可乐、2箱橙汁需320元， 购买3箱可乐、1箱橙汁需210元． (1)求可乐、橙汁每箱的价格； (2)单位计划经费不超过1100元，购买两种饮料共20箱，且橙汁不少于8箱，则共有哪几种购买方案？ 38．（2024·贵州遵义·二模）贵州出产的茶叶品种众多，畅销各地，茶产业是农民增加收入的一种重要途径．某县重点推出了A，B两种品牌茶叶，已知某商店购买1盒A茶叶和1盒B茶叶共用540元，购买2盒A茶叶和3盒B茶叶共用1340元． (1)购买A，B两种茶叶的单价各是多少元？ (2)该店计划用不超过27800元购买A，B两种茶叶共100盒，且A的数量不低于B数量的，若两种茶叶的售价均为每盒350元，该店如何安排进货，使销售完两种茶叶获得利润最大，并求这个最大利润． 39．（2024·全国·模拟预测）两个加工区A和B均从甲，乙两个公司购买原材料，两公司到A，B加工区的路程和每吨每千米的运费如表所示： 路程(千米) 运费(元/吨·千米) 甲公司 乙公司 甲公司 乙公司 A加工区 20 15 1.2 1.2 B加工区 25 20 1 0.8 (1)现A加工区从甲，乙两公司购买原材料总计70吨，运费总额为1380元，则A加工区从甲，乙两公司购买原材料各多少吨？ (2)现甲，乙两个公司共有180吨原材料，恰好满足A，B两个加工区所需原材料的总和，其中甲公司有100吨，若A加工区需要70吨原材料不变，当A，B两个加工区从甲，乙两公司各购买多少吨原材料时，总运费最少？ 40．（2024·河南新乡·模拟预测）某校要购置一批饮水机，选定了A，B两种款式．通过调研得知：购买2台A 款饮水机和1台B款饮水机共需1000元，购买3台A款饮水机和2台B款饮水机共需1700元． (1)求A，B两款饮水机的单价各多少元． (2)若该学校准备购买A，B两款饮水机共30台（每款至少购置5台），要求总费用不超过10000元，则对购买A款饮水机在数量上有什么要求？说明理由． (3)在（2）的购买方案下，若甲、乙两商店以同样价格出售这两款饮水机，同时又各自推出不同的优惠方案：在甲商店购买A款饮水机按单价的收费，B款饮水机不优惠；在乙商店购买A款饮水机不优惠，但购买B款饮水机按单价的收费．问学校选择哪家商店购买饮水机花费较少？ 真题过关检测 41．（2024·广东广州·中考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 42．（2024·吉林长春·中考真题）不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 43．（2024·山东烟台·中考真题）实数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 44．（2024·河北·中考真题）下列数中，能使不等式成立的x的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 45．（2024·四川雅安·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示为（     ） A． B． C． D． 46．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 47．（2024·内蒙古包头·中考真题）若，，这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 48．（2024·安徽·中考真题）已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 49．（2024·内蒙古·中考真题）关于x的不等式的解集是 ，这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式的解大，则m的取值范围是 ． 50．（2024·黑龙江大庆·中考真题）不等式组的整数解有 个． 51．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ． 52．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）对于实数，定义运算“※”为，例如，则关于的不等式有且只有一个正整数解时，的取值范围是 ． 53．（2024·江苏常州·中考真题）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v（）的取值范围是 ． 54．（2024·四川眉山·中考真题）解不等式：，把它的解集表示在数轴上． 55．（2024·山东济南·中考真题）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 56．（2024·湖南长沙·中考真题）刺绣是我国民间传统手工艺．湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元． (1)求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？ (2)该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买A种湘绣作品多少件？ 57．（2024·四川泸州·中考真题）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元． (1)求A，B两种商品每件进价各为多少元？ (2)该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A商品的件数最多为多少？ 58．（2024·山东东营·中考真题）随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有型和型两种车型，若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元． (1)求购买型和型新能源公交车每辆各需多少万元？ (2)经调研，某条线路上的型和型新能源公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次．公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第8讲 不等式(组)及不等式的应用 考点1 不等式的基本性质 3 考点2 一元一次不等式 8 考点3 一元一次不等式组的求解 12 考点4 由一元一次不等式组的解集求参数 14 考点5 不等式（组）与方程组的结合问题 19 考点6 一元一次不等式组的实际应用 22 真题过关检测 29 一、不等式的概念及解集 不等式 一般的，用符号“”（或“”），“”（或“”），“”连接的式子. 有无未知数均可,如，. 不等式的解 能使不等式成立的未知数的值 不等式的解集 一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集．解集是一个范围. 空集 当任何未知数都不能使不等式成立，则该不等式无解或解为空集. 二、不等式的性质 不等式的性质1 不等式的两边同加上（或减去）一个数或一个整式，不等号方向不变. 若，则有： 不等式的性质2 不等式的两边同乘（或除）同一个正数，不等号方向不变. 若，则有：；（） ；（） 不等式的性质3 不等式的两边同乘（或除）同一个负数，不等号方向改变. 若，则有：；（） ；（） 三、一元一次不等式的概念及求解 一元一次不等式 不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式. 一元一次不等式解法 1.去分母 2.去括号 3.移项 4.合并同类项 5.未知数的系数化为 解不等式 去分母：， 去括号：， 移项：， 合并同类型：， 系数化为1： 不等式表示解集 一般的，一个含未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用不等式表达出来. 数轴表示解集 不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，注意两点：一是定边界，二是定方向. 四、一元一次不等式组的概念及求解 一元一次不等式组 几个一元一次不等式合在一起就组成了一个一元一次不等式组. 一元一次不等式组解集 几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集 空集 当任何未知数都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或解为空集. 一元一次不等式组的解法 （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集； （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集． 不等式组取解集的方法 若，则 （1）不等式组的解集是；(同大取大) （2）不等式组的解集是；(同小取小) （3）不等式组的解集是；(大小、小大中间找) （4）不等式组的解集是空集．(大大、小小取不了) 特殊不等式组的解 （1） 关于的不等式组的解集是；（2）的解集是空集． 五、含参一元一次不等式（组） 含字母的一元一次不等式（组） 未知数的系数含有字母或常数项含有字母的一元一次不等式（组）. 未知数的系数含有字母 若，的解为； 若，的解为； 若，则当时，无解， 当时，的解为任何实数. 含绝对值符号的不等式 若，则 若，则 若，则 若，则或 六、列不等式（组）解决实际问题 列不等式（组）解应用题的基本步骤如下： ①审题；②设未知数；③列不等式(组)；④解不等式(组)；⑤检验并写出答案． 考点1 不等式的基本性质 1．（2024·贵州贵阳·一模）如果，那么下列各式中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质逐项判断即可． 【详解】如果，两边同时加上5得，则A符合题意； 如果，两边同时减去1得，则B不符合题意； 如果，两边同时乘得，则C不符合题意； 如果，两边同时除以2得，则D不符合题意； 故选：A． 2．（2024·山东临沂·模拟预测）已知，则下列各式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】根据不等式的基本性质依次判断即可．本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】A、∵， ∴， 故A选项错误； B、当时，， 故B选项错误； C、∵ ， ∴， 故C选项错误； D、∵， ∴， ∴， 故D选项正确； 故选：D． 3．（2024·四川攀枝花·模拟预测）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】B 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质，解题关键是掌握不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．据此逐一判断即可． 【详解】解：A、若，当时，，结论错误，不符合题意； B、若，则，结论正确，符合题意； C、若，，则，结论错误，不符合题意； D、若，则，结论错误，不符合题意； 故选：B． 4．（2024·山东德州·二模）实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，下列判断不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质、实数与数轴、化简绝对值、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】本题考查实数与数轴及绝对值，熟知数轴上的点所表示的数的特征及绝对值的性质是解题的关键．根据所给数轴得出，，的正负及它们绝对值的大小，据此可解决问题． 【详解】解：A．由所给数轴可知，，且，所以，即，故A正确； B．，则，故B正确； C．，则，故C正确； D．，则，，故D错误； 故选：D． 5．（2024·河北邯郸·二模）实数a在数轴上对应点的位置如图所示．若实数b满足，，则b的值可以是（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【知识点】实数与数轴、实数的大小比较、不等式的性质 【分析】本题考查了数轴上的点和实数的对应关系，不等式的性质，解题的关键是根据数轴确定点的取值范围． 根据数轴得出a的取值范围，再根据倒数的定义得出b的取值范围，进而得出b的值． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∵， ， 即， 由此可知，满足条件的b的值可以是1， 故选：D． 6．（2024·广东云浮·一模）若不等式的解集为，则m的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．根据不等式的解集为得出，然后求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵不等式的解集为， ∴， ∴m的取值范围为． 故选：A． 7．（2024·安徽合肥·二模）若实数a，b，c满足，，则下列结论中正确的是（    ） A．， B．， C． ， D．， 【答案】A 【知识点】运用完全平方公式进行运算、不等式的性质 【分析】根据得，结合，得到，判断选择即可．本题考查了不等式的性质，完全平方公式的应用，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴． 故选A． 8．（2024·安徽安庆·二模）已知非零实数a，b，c满足：，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查不等式，根据不等式性质进行变形即可得出结论 【详解】解：由，得．代入中，得，则，A选项错误； 由，可得．代入中，可得：，B选项错误； 由于，则，C选项错误； 由于，则，D选项正确； 故选：D 9．（2024·安徽合肥·二模）已知实数a，b满足：，，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查了不等式的性质．把代入求出，再根据得出，最后根据不等式的性质进行计算和推理一一判断即可求解． 【详解】解：A．把代入，得，解得：，故该选项正确， B．∵，∴，∴，即，故该选项正确， C．，∵，∴，即，故该选项正确． D．把变形为：，∵，，∴，，∴，即故该选项错误． 故选：D． 10．（2024·安徽滁州·二模）已知实数a，b，c，其中且满足，，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键；由题意易得，然后代入可进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴，即， ∴；故A正确； ∴；故C正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故D错误； 故选D． 考点2 一元一次不等式 11．（2024·安徽·模拟预测）解不等式：． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，掌握不等式的解法是解题关键．依次去分母、去括号、移项合并、系数化1，即可解不等式． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：． 12．（2024·陕西商洛·模拟预测）求不等式的正整数解． 【答案】正整数解为1，2 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 该不等式的正整数解：2，1． 13．（2024·湖南·模拟预测）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．依次移项、合并同类项即可得出答案，也考查了在数轴上表示不等式的解集． 【详解】解∶∵， ∴， ∴， 在数轴上表示为∶ ， 故选∶A． 14．（2024·广东广州·模拟预测）已知实数，满足，则的取值范围可在数轴表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集、利用算术平方根的非负性解题、化简绝对值 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，算术平方根的性质，不等式的性质和在数轴上表示不等式的解集．得出是解题的关键． 根据题意得出且，求解即可； 【详解】解：∵实数，满足，， ∴且， ∴，， ∴， 在数轴表示为， 故选：B． 15．（2024·四川自贡·模拟预测）不等式的自然数解有（   ）个 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，先解出一元一次不等式，然后根据自然数的定义得出自然数解即可得出结果． 【详解】解：， 去分母得：， 移项合并同类项：， 所以， ∴不等式的自然数解有0，1，2共3个， 故选：C． 16．（2024·北京·模拟预测）解下列不等式： ，并求出满足不等式的非负整数解． 【答案】，． 【知识点】求一元一次不等式的整数解、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的方法求解即可，解题的关键是掌握一元一次不等式的求解方法． 【详解】解： ， ∴不等式的非负整数解为． 17．（2024·陕西西安·模拟预测）解不等式，并写出它的最小整数解． 【答案】，最小整数解是 【知识点】求一元一次不等式的整数解 【分析】此题考查了一元一次不等式的整数解，以及解一元一次不等式，解题的关键求出． 【详解】解： ， 最小整数解是． 18．（2024·陕西咸阳·模拟预测）解不等式：，并将解集在如图所示的数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集，先去分母，再移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1，最后在数轴上表示不等式的解集即可． 【详解】解：， 去分母，得 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 在数轴上表示如下： ． 考点3 一元一次不等式组的求解 19．（2024·山西·模拟预测）把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得， 则不等式组的解集为． 故选：B． 20．（2024·湖南岳阳·模拟预测）求不等式组的非负整数解． 【答案】0，1，2 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解不等式组时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了．首先分别解出两个不等式的解集，再求其公共解集即可． 【详解】 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为 ∴不等式组的非负整数解为：0，1，2 21．（2024·湖北武汉·模拟预测）求不等式组所有整数解的和． 【答案】3 【知识点】求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分求出不等式组的解集，进而求出整数解之和即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， 不等式组的解集为，即整数解为1，2， 则所有整数解的和为． 22．（2024·湖南·模拟预测）解不等式组，并把解集表示在数轴上． 【答案】，图见解析 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，然后取它们的公共部分得到不等式组的解集，然后把解集在数轴上表示出来即可 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得： ， 原不等式组的解集为， 其解集在数轴上表示如下： 考点4 由一元一次不等式组的解集求参数 23．（2024·湖北·模拟预测）若关于x的一元一次不等式组的解集是，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，求出第一个不等式的解集，根据口诀：“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解”即可确定的范围． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∵解集是， ∴， 解得， 故选D． 24．关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题主要考查了不等式组无解．熟练掌握不等式组解集的四种情况，是解决问题的关键．不等式组解集的四种情况：大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小无解了． 解x的不等式组中的两个不等式，根据不等式组无解，即得a的取值范围是，逐一判断即得． 【详解】∵， ∴解不等式①，得，解不等式②，得， ∵不等式组无解， ∴． 故选：D． 25．（2024·江苏南通·二模）若存在，使的值同时大于和的值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查的知识点是由一元一次不等式组的解集求参数，解题关键是建立不等式组． 先根据题意列出不等式组，求解每个不等式的解集，找出解集的公共部分即可求出的取值范围． 【详解】解：依题得：， 解得， 则要使题中条件成立，， 解得． 故选：． 26．（2024·云南·模拟预测）已知不等式组的解集是，则（　　） A．0 B． C．1 D．2024 【答案】C 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数、有理数的乘方运算 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集得出、的值，代入计算可得．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】解：由，得：， 由，得：， 解集为， ，， 解得，， 则． 故选：C． 27．（2024·湖北宜昌·模拟预测）若关于x的一元一次不等式组的解集是，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”可得答案． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组的解集为， ∴， 故选：B． 28．（2024·山东德州·二模）若关于的不等式组有且只有4个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】本题考查不等式组的整数解．先解出每个不等式，得到不等式组的解集，再根据有且只有4个整数解确定的范围即可． 【详解】解： 解不等式①，得 解不等式②，得 不等式组有且只有4个整数解 4个整数解为3，2，1，0 ． 故选：A． 29．关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的一元一次方程的解为非负数，则所有满足条件的整数a的值之和是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】方程的解、求一元一次不等式的解集、由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】由不等式组的解集可得，再解方程方程可得，根据方程的解为非负数求出的另一个范围，继而可得整数的值． 【详解】解：由得：， 由得：， 不等式组的解集为， ， 解得， 解关于的方程得：， 方程的解为非负数， ， 解得， 则， 所有满足条件的整数的值之和为， 故选：A． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式和方程，解题的关键是掌握熟练掌握解一元一次方程和不等式的步骤与依据． 30．（2022·云南昆明·三模）若整数使关于的方程的解为负数，且使关于的不等式组无解，则所有满足条件的整数的值之和是（    ） A．6 B．7 C．9 D．10 【答案】D 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、求不等式组的解集、由一元一次不等式组的解集求参数 【分析】先求出方程的解和不等式的解，得出a的范围，再求出整数解，最后求出答案即可． 【详解】解：解方程x+2a=1得：x=12a， ∵方程的解为负数， ∴12a＜0， 解得：a＞0.5， ∵解不等式①得：x＜a， 解不等式②得：x≥4， 又∵不等式组无解， ∴a≤4， ∴a的取值范围是0.5＜a≤4， ∴整数和为1+2+3+4=10， 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式组的整数解，解一元一次方程等知识点，能求出a的范围是解此题的关键． 考点5 不等式（组）与方程组的结合问题 31．（2024·山东东营·二模）若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】根据、是二元一次方程组的解可知的解，最后解一元一次不等式即可． 【详解】解：∵、是二元一次方程组的解， ∴， ∵关于、的二元一次方程组的解满足， ∴， ∴解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了二元一次方程，一元一次不等式，掌握二元一次方程组及一元一次不等式的相关概念是解题的关键． 32．（2023·山东淄博·一模）关于、的方程组的解中与的和不小于，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】不等式组和方程组结合的问题、加减消元法 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解二元一次方程组，把两个方程相减，可得，与的和不小于，即可求出答案． 【详解】把两个方程相减，可得 与的和不小于 解得： k的取值范围为． 故答案为：． 33．（24-25八年级上·重庆·期中）若使得关于的不等式至少2个整数解，且关于x，y的方程组的解满足，则满足条件的整数之和是 ． 【答案】 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先求出不等式组两个不等式的解集，再根据不等式组至少有两个整数解得到；再利用加减消元法得到，则，据此求出即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组至少2个整数解， ∴， ∴； 得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴满足条件的整数m有3、4、5、6、7， ∴满足条件的整数之和是， 故答案为：． 34．（2024·湖南怀化·一模）已知k为整数，关于x，y的二元一次方程组的解满足，则整数k值为（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，求不等式组的解集，先利用加减消元法推出，再由推出，据此可得答案． 【详解】解： 得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴整数k值为2024， 故选：C． 35．若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A．12 B．6 C．—14 D．—15 【答案】D 【知识点】不等式组和方程组结合的问题 【分析】根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出的取值范围，再进行求解即可． 本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组，求不等式的整数解等知识点，掌握解方程组和不等式组的方法是解题的关键． 【详解】解：， ，得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 故不等式组的解集是： ∵不等式组只有3个整数解， ∴，解得， ∴， ∴符合条件的整数m的值的和为， 故选：D． 考点6 一元一次不等式组的实际应用 36．（2024·湖南长沙·模拟预测）为提高学生综合素养，我市某中学拟组织学生进行红色之旅研学活动，相关组织老师发现：若按原计划租用可坐乘客45人的种客车若干辆，则有30人将没有座位；若租用可坐乘客60人的种客车，则比原计划可少租6辆，且恰好坐满． (1)求本次红色之旅研学活动共有多少人参加？原计划租用种客车多少辆？ (2)若该校更改计划，同时租用、两种客车共25辆，要求种客车不超过7辆，且座位有剩余，则有哪些租车方案？ (3)在（2）的条件下，若种客车租金每辆300元，种客车租金为每辆220元，应该怎样租车才最合算？ 【答案】(1)1200人；26辆 (2)方案1： B种：6辆，A种：19辆；方案2：B种：7辆，A种客：18辆 (3)B种：6辆，A种：19辆 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用、一元一次方程的应用以及有理数的混合运算． （1）设原计划租用种客车辆，则这次研学去了人，根据这次去研学的人数不变，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设租用种客车辆，则租用种客车辆，根据“租用的25辆客车可乘坐人数不少于1200人，且租用的种客车不超过7辆”，可得出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各租车方案； （3）利用总租金每辆种客车的租金租用种客车的辆数每辆种客车的租金租用种客车的辆数，可分别求出选择各方案所需总租金，比较后，即可得出结论． 【详解】（1）解：设原计划租用A种客车x辆，则这次研学去了人， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：原计划租用4种客车26辆，这次研学去了1200人； （2）解：设租用B种客车y辆，则租用A种客车辆， 根据题意得：， 解得：， 又∵y为正整数， ∴y可以为6，7，     ∴该学校共有2种租车方案， 方案1：租用6辆B种客车，19辆A种客车； 方案2：租用7辆B种客车，18辆A种客车； （3）解：选择方案1的总租金为（元）； 选择方案2的总租金为（元）． ∵， ∴租用6辆B种客车，19辆A种客车最合算． 37．（2024·贵州六盘水·二模）方程是刻画现实世界数量关系的一个有效模型，这个名词最早出现在我国古代数学专著 《九章算术》中．请用方程思想解决下列问题： 某单位组织联谊活动，需采购可乐、橙汁两种饮料，已知购买4箱可乐、2箱橙汁需320元， 购买3箱可乐、1箱橙汁需210元． (1)求可乐、橙汁每箱的价格； (2)单位计划经费不超过1100元，购买两种饮料共20箱，且橙汁不少于8箱，则共有哪几种购买方案？ 【答案】(1)每箱可乐的价格是元，橙汁的价格是元 (2)方案一：购买箱橙汁，箱可乐；方案二：购买箱橙汁，箱可乐；方案三：购买箱橙汁，箱可乐； 【知识点】一元一次不等式组的其他应用、其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，准确理解题意，找准等量关系是解题的关键． （1）设每箱可乐的价格是元，橙汁的价格是元，根据题意列出二元一次方程组计算即可； （2）设购买箱橙汁，则购买箱可乐，根据题意列出一元一次不等式组进行求解即可． 【详解】（1）解：设每箱可乐的价格是元，橙汁的价格是元， 解得， 答：每箱可乐的价格是元，橙汁的价格是元； （2）解：设购买箱橙汁，则购买箱可乐， 根据题意可得， 解得 为正整数， 可以是， 该单位共有种购买方案， 方案一：购买箱橙汁，箱可乐； 方案二：购买箱橙汁，箱可乐； 方案三：购买箱橙汁，箱可乐； 38．（2024·贵州遵义·二模）贵州出产的茶叶品种众多，畅销各地，茶产业是农民增加收入的一种重要途径．某县重点推出了A，B两种品牌茶叶，已知某商店购买1盒A茶叶和1盒B茶叶共用540元，购买2盒A茶叶和3盒B茶叶共用1340元． (1)购买A，B两种茶叶的单价各是多少元？ (2)该店计划用不超过27800元购买A，B两种茶叶共100盒，且A的数量不低于B数量的，若两种茶叶的售价均为每盒350元，该店如何安排进货，使销售完两种茶叶获得利润最大，并求这个最大利润． 【答案】(1)280元和260元 (2)购进B产品40盒，购进A产品60盒，获得利润最大，最大利润7800元 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、一元一次不等式组的其他应用、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查一次函数、二元一次方程组、一元一次不等式组的应用，掌握二元一次方程组、一元一次不等式组的解法及一次函数的增减性是解题的关键． （1）设购买A种茶叶的单价是x元，购买B种茶叶的单价是y元，根据题意列方程组并求解即可； （2）设购买B种茶叶m盒，则购买A种茶叶盒，根据题意列不等式组并求其解集；设销售完两种茶叶获得利润为W元，写出W关于m的函数关系式，根据该函数的增减性和m的取值范围，确定当m取何值时W的值最大，求出最大值及此时对应的值即可． 【详解】（1）解：设A，B两种产品的购进单价分别为x元，y元． 由题意列方程组： 解得 ． 答：A，B两种产品的购进单价分别为280元和260元． （2）解：设购进B产品m盒， 则购进A产品盒． 由题可知： ， 解得．   设利润为w， 则 ， 即， ∵当时， w随m的增大而增大， ∴当时， 利润w最大 7800元． 答：购进B产品40盒，购进A产品60盒，获得利润最大， 最大利润7800元． 39．（2024·全国·模拟预测）两个加工区A和B均从甲，乙两个公司购买原材料，两公司到A，B加工区的路程和每吨每千米的运费如表所示： 路程(千米) 运费(元/吨·千米) 甲公司 乙公司 甲公司 乙公司 A加工区 20 15 1.2 1.2 B加工区 25 20 1 0.8 (1)现A加工区从甲，乙两公司购买原材料总计70吨，运费总额为1380元，则A加工区从甲，乙两公司购买原材料各多少吨？ (2)现甲，乙两个公司共有180吨原材料，恰好满足A，B两个加工区所需原材料的总和，其中甲公司有100吨，若A加工区需要70吨原材料不变，当A，B两个加工区从甲，乙两公司各购买多少吨原材料时，总运费最少？ 【答案】(1)A 加工区从甲公司购进原材料20 吨，乙公司50吨 (2)当A加工区从甲公司购买70吨原材料，B加工区从甲，乙两公司各购买30吨和80吨原材料时，总运费最少 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、一元一次不等式组的其他应用、其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用,一元一次不等式组的应用； （1）设A加工区从甲公司购进原材料x吨，从乙公司购进原材料y吨，利用购买原材料总计70吨，运费总额为1380元，再建立方程组求解即可； （2）设A加工区从甲公司购进原材料m吨．从乙公司购进 吨，则B加工区从甲公司购进吨，从乙公司购进吨．设总运费为，再建立函数关系式结合一次函数的性质可得答案． 【详解】（1）解：设A加工区从甲公司购进原材料x吨，从乙公司购进原材料y吨， 依据题意列方程组， 解得 答：A 加工区从甲公司购进原材料20 吨，乙公司50吨； （2）解：设A加工区从甲公司购进原材料m吨． 从乙公司购进 吨， 则B加工区从甲公司购进吨， 从乙公司购进吨． 设总运费为，依据题意得． ∵， ∴总运费随m的增大而减小． ∵， ∴， 则当时， 总运费最少， 即． 答：当A加工区从甲公司购买70吨原材料，B加工区从甲，乙两公司各购买30吨和80吨原材料时，总运费最少． 40．（2024·河南新乡·模拟预测）某校要购置一批饮水机，选定了A，B两种款式．通过调研得知：购买2台A 款饮水机和1台B款饮水机共需1000元，购买3台A款饮水机和2台B款饮水机共需1700元． (1)求A，B两款饮水机的单价各多少元． (2)若该学校准备购买A，B两款饮水机共30台（每款至少购置5台），要求总费用不超过10000元，则对购买A款饮水机在数量上有什么要求？说明理由． (3)在（2）的购买方案下，若甲、乙两商店以同样价格出售这两款饮水机，同时又各自推出不同的优惠方案：在甲商店购买A款饮水机按单价的收费，B款饮水机不优惠；在乙商店购买A款饮水机不优惠，但购买B款饮水机按单价的收费．问学校选择哪家商店购买饮水机花费较少？ 【答案】(1)A款饮水机的单价元，B款饮水机的单价元 (2)购买A款饮水机最少台，最多台 (3)学校选择甲商店购买饮水机花费较少 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、一元一次不等式组的其他应用、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用； （1）等量关系式：购买2台A 款饮水机的费用购买1台B款饮水机的费用元，购买3台A款饮水机的费用购买2台B款饮水机的费用元；据此列出方程组，即可求解； （2）不等关系式：台购买A款饮水机的数量，台购买B款饮水机的数量，购买A款饮水机的费用购买B款饮水机的费用，据此列出不等式组，即可求解； （3）分别列出甲、乙商店的费用，作差后由一次函数的性质进行比较大小，即可求解． 找出等量关系式和不等关系式，能用一次函数的性质解决问题是解题的关键． 【详解】（1）解：设A款饮水机的单价元，B款饮水机的单价元，由题意得 ， 解得：， 答：A款饮水机的单价元，B款饮水机的单价元； （2）解：设购买A款饮水机台，由题意得 ， 解得：， 购买A款饮水机最少台，最多台； （3）解：设购买A款饮水机台，由题意得 甲商店的费用： ， 乙商店的费用： ， ， ， ， 故学校选择甲商店购买饮水机花费较少． 真题过关检测 41．（2024·广东广州·中考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】不等式的性质 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．根据不等式的基本性质逐项判断即可得． 【详解】解：A．∵， ∴，则此项错误，不符题意； B．∵， ∴，则此项错误，不符题意； C．∵， ∴，则此项错误，不符合题意； D．∵， ∴，则此项正确，符合题意； 故选：D． 42．（2024·吉林长春·中考真题）不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】A 【知识点】不等式的性质 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答． 【详解】解：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意． 故选：A． 43．（2024·山东烟台·中考真题）实数，，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】实数与数轴、不等式的性质 【分析】本题考查了数轴，绝对值，不等式的性质，根据数轴分别判断，，的正负，然后判断即可，解题的关键是结合数轴判断判，，的正负． 【详解】由数轴可得，，，， 、，原选项判断错误，不符合题意， 、，原选项判断正确，符合题意， 、根据数轴可知：，原选项判断错误，不符合题意， 、根据数轴可知：，则，原选项判断错误，不符合题意， 故选：． 44．（2024·河北·中考真题）下列数中，能使不等式成立的x的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解不等式，不等式的解，熟练掌握解不等式是解题的关键．解不等式，得到，以此判断即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴符合题意的是A 故选A． 45．（2024·四川雅安·中考真题）不等式组的解集在数轴上表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 故选：C． 46．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求不等式组的解集、在数轴上表示不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以，不等式组的解集为：， 在数轴上表示为： 故选：C． 47．（2024·内蒙古包头·中考真题）若，，这三个实数在数轴上所对应的点从左到右依次排列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】实数与数轴、求不等式组的解集 【分析】本题考查实数与数轴，求不等式组的解集，根据数轴上的数右边的比左边的大，列出不等式组，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选B． 48．（2024·安徽·中考真题）已知实数a，b满足，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求不等式组的解集、不等式的性质 【分析】题目主要考查不等式的性质和解一元一次不等式组，根据等量代换及不等式的性质依次判断即可得出结果，熟练掌握不等式的性质是解题关键 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，选项B错误，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，选项A错误，不符合题意； ∵，， ∴，， ∴，选项C正确，符合题意； ∵，， ∴，， ∴，选项D错误，不符合题意； 故选：C 49．（2024·内蒙古·中考真题）关于x的不等式的解集是 ，这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式的解大，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解题关键．先分别求出不等式的解集，再根据题意列出关于的不等式，求解即可得． 【详解】解：， ， ， ． 解不等式得：， ∵不等式任意一个解都比关于的不等式的解大， ∴， 解得， 故答案为：；． 50．（2024·黑龙江大庆·中考真题）不等式组的整数解有 个． 【答案】 【知识点】求不等式组的解集、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题主要考查了求不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出其整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：， ∴整数解有，，，共4个， 故答案为：． 51．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、求一元一次不等式组的整数解 【分析】本题考查解一元一次不等式（组，一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 先解出不等式组中每个不等式的解集，然后根据不等式组恰有3个整数解，即可得到关于的不等式组，然后求解即可． 【详解】解：由，得：， 由，得：， 不等式组恰有3个整数解， 这3个整数解是0，1，2， ， 解得， 故答案为：． 52．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）对于实数，定义运算“※”为，例如，则关于的不等式有且只有一个正整数解时，的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的整数解、求不等式组的解集 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，解一元一次不等式组，根据新定义和正整数解列出关于的不等式组是解题的关键．根据新定义列出不等式，解关于的不等式，再由不等式的解集有且只有一个正整数解得出关于的不等式组求解可得． 【详解】解：根据题意可知， 解得： 有且只有一个正整数解 解不等式①，得： 解不等式②，得： 故答案为：． 53．（2024·江苏常州·中考真题）“绿波”，是车辆到达前方各路口时，均遇上绿灯，提高通行效率．小亮爸爸行驶在最高限速的路段上，某时刻的导航界面如图所示，前方第一个路口显示绿灯倒计时32s，第二个路口显示红灯倒计时44s，此时车辆分别距离两个路口480m和880m．已知第一个路口红、绿灯设定时间分别是30s、50s，第二个路口红、绿灯设定时间分别是45s、60s．若不考虑其他因素，小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），则车速v（）的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 利用路程速度时间，结合小亮爸爸以不低于的车速全程匀速“绿波”通过这两个路口（在红、绿灯切换瞬间也可通过），可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出车速的取值范围． 【详解】解： ． 根据题意得：， 解得：， 车速的取值范围是． 故答案为：． 54．（2024·四川眉山·中考真题）解不等式：，把它的解集表示在数轴上． 【答案】，见解析 【知识点】在数轴上表示不等式的解集、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查求不等式的解集，并在数轴上表示解集，去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，然后在数轴上表示出解集即可. 【详解】解：， ， ， ， ， ， 其解集在数轴上表示如下： 55．（2024·山东济南·中考真题）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为：0，1，2，3． 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、求不等式组的解集 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，并求其整数解，分别求两个不等式的解集，再找不等式组的解集，即可得到整数解． 【详解】解：解不等式①，得 解不等式②，得 在同一条数轴上表示不等式①②的解集 原不等式组的解集是 整数解为0，1，2，3 56．（2024·湖南长沙·中考真题）刺绣是我国民间传统手工艺．湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元． (1)求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？ (2)该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买A种湘绣作品多少件？ 【答案】(1)A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元 (2)最多能购买100件A种湘绣作品 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用． （1）设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元，根据“购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可解题； （2）设购买A种湘绣作品a件，则购买B种湘绣作品件，总费用单价数量，结合总费用不超过50000元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的值，再取其中的最大整数值即可得出该校最大可以购买湘绣的数量． 【详解】（1）设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元． 根据题意，得 ， 解得 答：A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元． （2）设购买A种湘绣作品a件，则购买B种湘绣作品件． 根据题意，得， 解得． 答：最多能购买100件A种湘绣作品． 57．（2024·四川泸州·中考真题）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元． (1)求A，B两种商品每件进价各为多少元？ (2)该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A商品的件数最多为多少？ 【答案】(1)A，B两种商品每件进价各为100元，60元； (2)购进A商品的件数最多为20件 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用： （1）设A，B两种商品每件进价各为x元，y元，根据购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元列出方程组求解即可； （2）设购进A商品的件数为m件，则购进B商品的件数为件，根据利润不低于1770元且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设A，B两种商品每件进价各为x元，y元， 由题意得，， 解得， 答：A，B两种商品每件进价各为100元，60元； （2）解：设购进A商品的件数为m件，则购进B商品的件数为件， 由题意得，， 解得， ∵m为整数， ∴m的最大值为20， 答：购进A商品的件数最多为20件． 58．（2024·山东东营·中考真题）随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有型和型两种车型，若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元． (1)求购买型和型新能源公交车每辆各需多少万元？ (2)经调研，某条线路上的型和型新能源公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次．公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值． 【答案】(1)购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元； (2)方案为购买型公交车辆，型公交车辆时．线路的年均载客总量最大，最大在客量为万人． 【知识点】分配方案问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式及一次函数的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组及一次函数是解题的关键． （1）设购买型公交车每辆需万元，购买型公交车每辆需万元，根据“购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元”列出方程组解决问题即可； （2）设购买型公交车辆，则型公交车辆，由“公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元”列出不等式求得的取值，再求出线路的年均载客总量为与的关系式，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元， 由题意得：， 解得， 答：购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元； （2）解：设购买型公交车辆，则型公交车辆，该线路的年均载客总量为万人， 由题意得， 解得：， ∵， ∴， ∵是整数， ∴，，； ∴线路的年均载客总量为与的关系式为， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，线路的年均载客总量最大，最大载客量为（万人次） ∴（辆） ∴购买方案为购买型公交车辆，则型公交车辆，此时线路的年均载客总量最大时，且为760万人次， 2 学科网（北京）股份有限公司 $$