2025年中考数学一轮复习考点过关练讲义 第7讲 分式方程及应用

第7讲 分式方程及应用 考点1 分式方程及分式方程的解法 2 考点2 由分式方程的根求参数的值 5 考点3 由分式方程根的符号求参数的取值范围 6 考点4 由分式方程增根求参数的值 9 考点5 由分式方程无解求参数的值 11 考点6 不等式组与分式方程的综合运用 13 考点7 列分式方程 20 考点8 分式方程的实际应用 23 真题过关检测 28 一、分式方程 分式方程的概念 分母中含有未知数的方程 分式方程的解法 基本思想： 步骤： （1）能化简的先化简； （2）方程两边同乘以最简公分母，化成整式方程； （3）解整式方程； （4）验根（将解代入原方程，若原分母为0，则该解舍去，此方程无解；若原分母≠0，则该解正确） 二、含参的分式方程 1.增根问题 增根 将分式方程变形为整式方程，若整式方程的根使得原分式方程的分母为零，则这个根称为原分式方程的增根. 增根产生的原因 解分式方程的过程中，如果在方程的两边同乘了一个使分母为零的整式（最简公分母），那么原分式方程就会产生增根. 由增根求参数的值 （1）将原方程化成整式方程； （2）确定增根； （3）将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值 为何值时，关于的方程会产生增根？ （1）原方程可化为 （2）此方程的增根， （3）时， 时， ∴或 由分式方程根的情况，求参数的取值范围 （1）将原方程化成整式方程； （2）把参数看成常数求解； （3）根据根的情况，确定参数的取值范围（注意要排除增根时参数的值） 关于的方程的解是正数，求的取值范围。 （1）原方程可化为 （2）求解： （3）需满足“解是正数，分式有意义” ∴且 （4）解得且 2.整数根问题 （1）利用参数表示未知数 （2）分离常量 （3）对分式部分进行整除性讨论，得到分式方程的整数解 若关于的分式方程解为整数，请写出所有可能值 （1）原方程可化为， （2）分离常量： （3）进行整除性讨论，即为的约数，得或，得或 三、分式方程的实际应用 1.列分式方程解应用题，与列一元一次方程解应用题类似，但更复杂些。解题时，应抓住“找等量关系、设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解. 2.列分式方程解应用题的一般步骤 审→审清题意，弄清已知量与未知量及题中的等量关系 设→设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量 列→根据题目中的等量关系列出分式方程 解→解方式方程 验→既要检验所求得的根是否为所列分式方程的根，又要检验所求得的根是否符合实际意义 答→写出答案 考点1 分式方程及分式方程的解法 1．（2024·广西贺州·三模）下列式子是分式方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式方程的定义 【分析】此题考查了分式方程，分母中含有未知数的有理方程是分式方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A．是一元一次方程，故选项不符合题意； B．不是方程，故选项不符合题意； C．是分式方程，故选项符合题意； D．是一元一次方程，故选项符合题意． 故选：C． 2．（2021·河南信阳·模拟预测）下列方程：①；②；③；④（为已知数），其中分式方程有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【知识点】分式方程的定义 【分析】等号两边至少有一个分母含有未知数的有理方程叫做分式方程； 【详解】解：观察各方程的分母，只有①③分母中含有未知数，而④中分母虽含有字母，但字母不是未知数，故不是分式方程，所以方程①③是分式方程，方程②④均属于整式方程． 故选：B． 【点睛】本题考查分式方程的定义，掌握定义是解题关键． 3．（2024·青海西宁·三模）解分式方程：． 【答案】分式方程无解 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查了解分式方程，方程两边都乘得出整式方程，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】解： 方程两边都乘，得， 解得：， 检验：当时，， 所以是增根， 即原分式方程无解． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）解分式方程： 【答案】 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题关键． 先两边同乘以将方程化成整式方程，再解一元一次方程，然后将所求的方程的解代入分式方程进行检验即可得． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是原分式方程的解， 故方程的解为． 5．（2024·青海西宁·二模）解分式方程：． 【答案】 【知识点】解分式方程 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法和步骤是解题关键．首先等号两边同时乘以，再按照去括号，移项、合并同类项，系数化为1的步骤求解，然后检验，即可获得答案． 【详解】解：， 等号两边同时乘以，可得 ， 去括号，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 系数化为1，得 经检验，是该分式方程的解， 所以，该分式方程的解为． 6．（2024·陕西商洛·模拟预测）解方程：． 【答案】 【知识点】解分式方程 【分析】此题考查了解分式方程，去分母化为整式方程，解整式方程，再进行检验即可． 【详解】解： 去分母得，， 去括号得，， 移项合并同类项得，， 系数化为1得，． 经检验，是原方程的根 考点2 由分式方程的根求参数的值 7．（2024·江西九江·模拟预测）已知是分式方程的解，则m的值为 ． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题主要考查了分式方程的解， 把代入分式方程，即可得出关于m的方程，求解即可． 【详解】解：把代入，可得出： ， 解得：， 故答案为： 8．（2024·四川成都·模拟预测）已知是分式方程的解，则实数的值为 ． 【答案】3 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查分式方程的解．将代入分式方程，得到关于的一元一次方程，然后解方程即可． 【详解】解：把代入原方程可得， 解得：， 故答案为：3． 9．（2024·辽宁葫芦岛·二模）若关于x的方程的解是，则a的值为 ． 【答案】2 【知识点】解分式方程、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题主要考查了分式方程的解和解分式方程，利用分式方程的解的意义，将方程的解代入原方程是解题的关键． 将方程的解代入原方程，解关于的方程即可求得结论． 【详解】解：∵关于的分式方程的解为， ， ， ， 将代入原方程，， ∴是原方程的解， ， 故答案为：2． 10．（2024·广东·模拟预测）已知是分式方程的解，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题主要考查了分式方程解的定义，分式方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程求出的值即可． 【详解】解：是分式方程的解， ， 解得：， 故选：C． 考点3 由分式方程根的符号求参数的取值范围 11．（2023·四川南充·二模）关于的方程的解是负数，则的取值范围是（    ） A． B． C．，且 D．，且 【答案】D 【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程的定义 【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是负数”建立不等式求a的取值范围即可． 【详解】解：去分母，得， 解得， ∵方程的解是负数， ∴，且， ∴，且． 故选：D． 【点睛】本题考查分式方程的解，解题关键是要掌握分式方程的解的定义，使方程成立的未知数的值叫做方程的解． 12．（2024·四川德阳·三模）已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查的是分式方程的解．先利用m表示出x的值，再由x为正数求出m的取值范围即可． 【详解】解： 方程两边同时乘以得，， 解得， ∵x为正数， ∴，解得． ∵， ∴，即． ∴m的取值范围是且． 故选：D． 13．（2024·云南昭通·二模）若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【知识点】求一元一次不等式的解集、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查分式方程的解和解一元一次不等式，需要注意分式方程的解要使得分母不为0．先解分式方程，令其分母不为零，再根据题意令分式方程的解大于等于0，综合得出的取值范围． 【详解】解：根据题意解分式方程，得， ， ，即，解得， ， ，解得， 综上，的取值范围是且， 故选：D 14．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】此题考查了解分式方程．将分式方程化为整式方程解得，根据方程的解是非负数，可得，即可求出的取值范围． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵方程的解为非负数，且分母不等于0， ∴，， ∴，且， 故选：D． 考点4 由分式方程增根求参数的值 15．（2024·四川自贡·模拟预测）已知分式方程有增根，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】此题考查了分式方程的增根，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出的值，代入整式方程计算即可求出的值． 【详解】去分母得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程得：， 故选：C． 16．（2023·山东烟台·模拟预测）若关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A． B． C．8 D．或8 【答案】A 【知识点】分式方程无解问题、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了增根的概念， 先去分母，再利用增根的意义即可求解，正确理解增根的含义是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ∵关于的分式方程有增根， ∴， 解得：， 故选：． 17．（2024·湖南·模拟预测）若关于x 的分式方程有增根，则k 的值为 ． 【答案】1 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题主要考查了根据分式方程根的情况求参数，先解分式方程得到，再根据分式方程有增根的情况是分母为0得到，则，据此可得答案． 【详解】解： 去分母得：， 解得， ∵分式方程有增根， ∴，即， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解， 故答案为：1． 18．（2024·山东菏泽·模拟预测）若关于的方程：有增根，则 ． 【答案】或 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题主要考查了分式方程的增根和分式方程无解的情况；先将分式方程化为整式方程，根据方程有增根，可得到，然后代入整式方程，即可求解． 【详解】解∶方程两边同乘以，得， 整理得， ∵原方程有增根， ∴， ∴， 当时， ，解得； 当时， ，解得； ∴a的值为或， 故答案为：或． 考点5 由分式方程无解求参数的值 19．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知关于x的分式方程无解，则k的值为 ． 【答案】或0 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题主要考查了解分式方程和分式方程的解，先按照解分式方程的一般步骤解分式方程，再根据分式方程无解时分式方程中的分母为0，列出关于k的分式方程，解分式方程即可，解题关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤聚和分式方程无解的条件． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∵关于x的分式方程无解， ∴， 解得：，即， ∴或， 解得：或， 故答案为：或． 20．（2024·山东东营·二模）若关于的分式方程无解，则的值是 ． 【答案】1 【知识点】分式方程无解问题 【分析】此题考查了分式方程的无解问题，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．先把分式方程去分母变为整式方程，然后把代入计算，即可求出的值． 【详解】解：∵， 去分母，得：， ∵分式方程无解， ∴， 解得：， 把代入，则 ， 解得：； 故答案为：． 21．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）若关于的分式方程无解，则实数的取值是（    ） A．0或2 B．2或4 C．2 D．4或8 【答案】D 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程无解问题，去分母，把分式方程化为整式方程是解题的关键． 先用a表示方程的解，再把方程无解时的取值代入运算即可． 【详解】解： 整理得： 去分母得： 解得： ∵， ∴当或时，此方程无解， ∴或， 解得：或， 故选：D． 22．（2024·黑龙江·三模）若关于x的方程无解，则a的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．2或或 【答案】D 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程无解的情况求参数，先将分式方程去分母化简，再根据原方程无解求出或，，代入化简后的方程即可得出最后结果． 【详解】解：， 方程两边同时乘以，得， 整理得：， 原方程无解， 或或， 或，， 将或代入， 得：或， 综上可知2或或， 故选：D． 考点6 不等式组与分式方程的综合运用 23．（2024·四川德阳·二模）若整数a使关于x的不等式组有且只有4个整数解，且使关于y的分式方程的解满足，则所有满足条件的整数a的值之和为（    ） A．15 B．11 C．10 D．18 【答案】B 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，根据分式方程的解的情况求参数，先解不等式组的两个不等式，再根据不等式组只有4个整数解得到，则，再解分式方程得到，根据，且，求出且，结合，可确定整数a的值，最后求和即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 即根据题意有：不等式的解集为：， ∵该不等式组有且只有4个整数解， ∴不等式的整数解为：，0，1，2， ∴， 解得． 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， ∵，且， ∴，， ∴且， 又∵， 综上所述，， ∴符合题意的整数a有5和6， 所有满足条件的整数a的值之和为， 故选：B． 24．（2024·湖南长沙·模拟预测）若关于的不等式组有且只有两个偶数解，且关于的分式方程有解，则所有满足条件的整数的和是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数 【分析】先根据不等式组“有且只有两个偶数解”求出的取值范围，再解分式方程，并由该方程有解得到、，综合后即可得到所有满足条件的整数的和． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：， 原不等式有且只有两个偶数解， ， ， 解分式方程得：， 原分式方程有解， ， 是原分式方程的增根， ， 综上，，且，，为整数， 或， 所有满足条件的整数的和是．． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是由不等式组解集的情况求参数、根据分式方程解的情况求值，解题关键是熟练掌握根据不等式组解集的情况求参数及根据分式方程解的情况求值的方法． 25．（2024·四川南充·模拟预测）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为整数，则满足条件的整数a的值为（    ） A．2或3 B．2或7 C．3或7 D．2或3或7 【答案】D 【知识点】根据分式方程解的情况求值、由不等式组解集的情况求参数 【分析】本题考查一元一次不等式组的解，分式方程的解，先解不等式组，再解分式方程，从而确定a的取值，进而解决此题． 【详解】解不等式组，得， ∵不等式组无解， ， 解得， 解分式方程， 方程的两边同时乘，得，， 整理得， ， ∵方程有整数解， 或或或， 的值可为2、0、3、，4、、7、， 又， ， 或或， 故选：D． 26．（2024·重庆·模拟预测）若关于的不等式组有解，且关于的分式方程的解为非负数，则满足条件的整数a的值的和为 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解分式方程，熟练掌握解一元一次不等式组，解分式方程是解题的关键．先解不等式组，根据已知求出a的范围，然后解分式方程，根据分式方程的解为非负数确定a的范围，最后找出满足条件的整数a值即可解答． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵不等式组有解， ∴， ， ， 解得：， ∵分式方程的解为非负数， ∴且， ∴且， ∴且， ∴满足条件的整数a的值为：， ∴满足条件的整数a的值的和为：， 故答案为： 27．（2024·重庆·模拟预测）若关于x的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a为 ． 【答案】1，3 【知识点】求一元一次不等式组的整数解、由不等式组解集的情况求参数、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查解一元一次不等式组及其整数解、解分式方程及其解的问题，熟练掌握相关解法是解答的关键．本题先解不等式组中的每个不等式，再根据解的情况得到关于a的不等式；再解分式方程，根据其解的情况得到a的不等式，进而求得a的取值范围，即可得出结论． 【详解】解：解不等式组，得， ∵该不等式组的解至少有2个整数解， ∴，解得； 解分式方程， 去分母，得， 解得， ∵该分式方程有非负整数解， ∴且且a为奇数， 解得且且a为奇数， ∴且且a为奇数， ∴所有满足条件的整数a为1和3， 故答案为：1，3． 28．（2024·四川绵阳·模拟预测）字母a从这6个数中选出使关于x的不等式组有解，且使关于x的方程有唯一的解的数，a有 ． 【答案】 【知识点】解分式方程、由不等式组解集的情况求参数、根据分式方程解的情况求值 【分析】先解出不等式组的解集，由不等式组有解确定出的范围，再表示出分式方程的解，由分方程有唯一的解的范围，找出的具体范围，进而确定出的值即可． 【详解】解：不等式组整理得：， 要使不等式组有解，可得， 解得：， 不符合题意，舍去； 此时不等式组的解集为， 方程去分母得：， 解得：， 方程有唯一的解的数， ， 的值可以为或0或1或2， a有， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组和分式方程相结合的问题，正确根据不等式组的解集情况和分式方程解的情况求出的取值范围是解题的关键． 29．（2024·重庆·二模）若关于的不等式组有解且最多有4个整数解，且关于的分式方程有非负数解，则满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】10 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查分式方程的解及解一元一次不等式组，掌握它们的求解方法是本题的关键．解不等式组，根据其解集求出的取值范围；解分式方程，根据其解的情况确定的可能值并求和即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 原不等式组有解且最多有4个整数解， ， ； 解分式方程，得， 是原分式方程的增根， ， 此分式方程有非负数解， ， ； 综上，且， 满足条件的整数为2、3、5， 故答案为：10 30．（2024·重庆·三模）若关于的一元一次不等式组有且只有两个偶数解，且关于的分式方程有整数解，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、根据分式方程解的情况求值 【分析】本题主要考查分式方程的解、解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式的解法、分式方程的解的定义是解决本题的关键．先解不等式组，确定a的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程有正整数解，确定出a的值，相加即可得到答案． 【详解】解：解不等式组得， ∵只有两个偶数解， 即为， ∴， 解得， 解方程得，且， ∵是整数， ∴的值为，0，， ∴满足条件的整数的值之和是， 故答案为：． 考点7 列分式方程 31．（2023·广东阳江·一模）由于市场急需A产品，某工厂现在平均每天比原计划多生产A产品50万件，现在生产A产品400万件所需时间比原计划生产A产品450万件所需时间少5天，设现在平均每天生产A产品x万件，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】列分式方程 【分析】此题主要考查了列分式方程应用，利用本题中“现在生产A产品400万件所需时间比原计划生产A产品450万件所需时间少5天”这一个条件，列出分式方程是解题关键． 【详解】解：设现在平均每天生产A产品x万件，则原来可生产万件． 由题意得：， 故选：B． 32．（2024·湖南长沙·模拟预测）九章算术是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查列分式方程，设规定时间为x天，根据快马的速度是慢马的2倍列方程即可，理解题意，找到等量关系是解答的关键． 【详解】解：设规定时间为x天， 根据题意得，， 故选：A． 33．（2024·江苏苏州·模拟预测）某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨 ．小丽家去年12月份的水费是15元，而今年5月的水费则是30元．已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多．求该市今年居民用水的价格．设去年居民用水价格为x元/，根据题意列方程，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列分式方程 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确表示出用水量是解题关键．利用总水费单价用水量，结合小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多，进而得出等式即可． 【详解】解：设去年居民用水价格为x元/，根据题意列方程： ， 故选：A. 34．（2024·广东深圳·模拟预测）畅达绿脊蓝湾美城，趣享山海户外天堂．从2022年，深圳市政府工作报告明确提出，打造“鹏城万里”多层次户外休闲步道体系建设，全面进入建设“超1000公里远足径郊野径体系”的实施阶段．需要铺设一段全长为1000公里的绿道，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加，结果提前30天完成这一任务．设原计划每天铺设x公里绿道，则根据题意，下列方程中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式方程的实际应用 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 根据实际及原计划工作效率间的关系，可得出实际每天铺设米管道，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合实际比原计划提前30天完成这一任务，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】解：∵实际施工时每天的工效比原计划增加，且原计划每天铺设x米管道， ∴实际每天铺设米管道． 根据题意得： 故选：C． 35．（2024·安徽·模拟预测）为改善生态环境，打造宜居城市，某市园林绿化部门计划植树20万棵，由于工程进度需要，实际每天植树棵数比原计划增加了，结果提前4天完成任务．若设实际每天植树x万棵，则根据题意可得方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式方程的实际应用 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设实际每天植树x万棵，则原计划每天植树万棵，根据“提前4天完成任务”列出方程即可． 【详解】解：设实际每天植树x万棵，则原计划每天植树万棵， 根据题意可得方程为， 整理为：， 故选：A． 考点8分式方程的实际应用 36．（2024·湖北·模拟预测）为了扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，我市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程，课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉，用完后又花费9600元购进第二批面粉，第二批面粉采购量是第一批的1.5倍，但每千克面粉的价格提高了0.4元，求第一批面粉的采购量为多少？ 【答案】第一批面粉的采购量为1000千克 【知识点】分式方程的实际应用 【分析】根据第二批面粉比第一批面粉的每千克面粉价格提高了0.4元列方程即可．本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的分式方程． 【详解】解：由题意得：设第一批面粉的采购量为千克， ． ， ， ， 经检验：是原分式方程的解， ∴第一批面粉的采购量为1000千克． 37．（2024·江苏扬州·模拟预测）甲、乙两个工程队铺设一条公路，已知甲工程队每天比乙工程队少铺设，甲工程队铺设所用的时间与乙工程队铺设所用的时间相同，求甲、乙两个工程队每天各铺设多少？ 【答案】甲工程队每天铺设，则乙工程队每天铺设 【知识点】分式方程的实际应用 【分析】本题考查了列分式方程，解题的关键是理解题意，找到等量关系，正确列出方程．设甲工程队每天铺设，则乙工程队每天铺设，根据题意列方程求解即可． 【详解】解∶ 设甲工程队每天铺设，则乙工程队每天铺设， 由题意得：， 解得， 经检验∶ 是原方程的解， ∴， 答：甲工程队每天铺设，则乙工程队每天铺设． 38．（2024·重庆渝北·模拟预测）某工厂有40名工人，生产甲、乙两种摩托车配套零件，每个工人每天能加工甲种零件30个，或乙种零件20个． (1)若1个甲零件和2个乙零件配套成一个完整的部件，应怎样安排工人才能使一天生产的零件正好配套？ (2)该工厂将这种完整的部件销售给摩配公司，一月份的销售总额为30万元，受市场影响，二月份该工厂将一个完整部件的销售单价在一月份的基础上提高了，销量比一月份少了500个，结果二月份的销售总额比一月份多了3万元，求一月份每个完整部件的销售单价为多少元？ 【答案】(1)应安排10名工人生产甲零部件，30名工人生产乙零部件，才能使生产出来的两种零部件刚好配套 (2)一月份每个完整部件的销售单价为50元 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用)、分式方程的实际应用 【分析】该题主要考查了分式方程和一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找出等量关系式． （1）设应安排名工人生产甲零部件，名工人生产乙零部件，根据题意列出方程求解即可； （2）设一月份每个完整部件的销售单价为y万元，则二月份每个完整部件的销售单价为万元，根据题意列出方程求解即可 【详解】（1）解：设应安排名工人生产甲零部件，名工人生产乙零部件，才能使生产出来的两种零部件刚好配套． 依题意，得． 解得，所以． 答：应安排10名工人生产甲零部件，30名工人生产乙零部件，才能使生产出来的两种零部件刚好配套． （2）解：设一月份每个完整部件的销售单价为y万元，则二月份每个完整部件的销售单价为万元， 依题意，得， 解得：万元元， 经检验：是方程的解，且符合题意， 故一月份每个完整部件的销售单价为50元． 39．（2024·湖南长沙·模拟预测）2023年12月，21世纪经济研究院发布《国际消费中心城市建设年度报告（2023）》，长沙被列为发展型消费中心城市（Gamma级）．根据市场需求，长沙市某企业为加快生产速度，更新了部分生产设备，更新设备后生产效率比更新前提高了，若更新设备前每天生产产品件．据此解答下列问题： (1)更新设备后每天生产　　 件产品（用含的式子表示）； (2)更新设备后生产6000件产品还比更新设备前的生产5000件产品少用2天，则更新设备后每天生产多少件产品？ 【答案】(1) (2)更新设备后每天生产125件产品 【知识点】列代数式、分式方程的实际应用 【分析】本题考查分式方程的实际应用； （1）根据“更新设备后生产效率比更新前提高了”列代数式即可； （2）根据题意列分式方程，解方程即可. 【详解】（1）更新设备前每天生产x件产品，更新设备后生产效率比更新前提高了， 更新设备后每天生产产品数量为：（件）， 故答案为：； （2）由题意知：， 去分母，得， 解得：， 经检验，0是所列分式方程的解， （件）， 答：更新设备后每天生产125件产品． 40．（2024·广东·模拟预测）某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1650元，购买乙种用了1000元，购买的甲种滑动变阻器的数量是乙种的1.5倍，甲种滑动变阻器单价比乙种单价贵5元． (1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元． (2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5200元，那么该校最多可以购买多少个甲种滑动变阻器? 【答案】(1)甲单价为55元，乙单价为50元 (2)40个 【知识点】分式方程的实际应用、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用； （1）设乙种滑动变阻器的单价是x元，则甲种滑动变阻器的单价是元，乙种书的单价是元，根据“购买甲种滑动变阻器用了1650元，购买乙种用了1000元，购买的甲种滑动变阻器的数量是乙种的1.5倍”，可得出关于的分式方程，解之即可得出结论； （2）设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个，利用总价单价数量，结合总费用不超过5200元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】（1）设乙种滑动变阻器的单价是x元， 根据题意得： 解得：． 经检验，是所列方程的根，且符合题意． ∴（元） 答：甲种滑动变阻器的单价是55元，乙种滑动变阻器的单价是50元． （2）设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个． 根据题意得：． 解得：． 答：该校最多可以购买40个甲种滑动变阻器． 41．（2024·山西·模拟预测）2024年4月底，神舟十七号载人飞船返回舱顺利返回东风着陆场，神舟十七号任务取得圆满成功．某飞箭航模店看准商机，购进了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元，同样花费200元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多2个．    (1)“神舟”和“天宫”模型的进价各是多少元？ (2)该飞箭航模店计划购进两种模型共100个，且每个“神舟”模型的售价为35元，每个“天宫”模型的售价为28元．设购进“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)天宫模型的进价为每个20元，神舟模型的进价为每个25元 (2)购进神舟模型20个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为840元 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、分式方程的实际应用 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，分式方程的应用， 对于（1），先设设“天宫”模型进价为每个x元，可表示“神舟”模型进价，再根据200元购进的模型的个数之差为2列出分式方程，求出解并检验即可； 对于（2），先设购进“神舟”模型a个，表示购进“天宫”模型的个数，用含有a的关系式表示总利润w，然后根据购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的得出不等式，求出a的取值范围，最后根据一次函数的性质得出最大值． 【详解】（1）解：设“天宫”模型进价为每个x元，则“神舟”模型进价为每个元， 依题意得，        解得．              经检验，是原分式方程的解.．      答：“天宫”模型的进价为每个20元，“神舟”模型的进价为每个25元． （2）∵购进“神舟”模型a个，则购进“天宫”模型个， ．      ∵购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的． ，               解得：．            ，． ∴当时，（元），      即购进“神舟”模型20个时，销售这批模型可以获得最大利润，最大利润为840元． 真题过关检测 42．（2024·海南·中考真题）分式方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解分式方程 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把分式方程去分母化为整式方程，再解方程，最后检验即可． 【详解】解： 去分得：， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解， 故选：A． 43．（2024·山东济宁·中考真题）解分式方程时，去分母变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解分式方程 【分析】本题考查通过去分母将分式方程转化为整式方程，方程两边同乘各分母的最简公分母，即可去分母． 【详解】解：方程两边同乘，得， 整理可得： 故选：A． 44．（2023·山东淄博·中考真题）已知是方程的解，那么实数的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】将代入方程，即可求解． 【详解】解：将代入方程，得 解得： 故选：B． 【点睛】本题考查分式方程的解，解题的关键是将代入原方程中得到关于的方程． 45．（2023·黑龙江·中考真题）已知关于x的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【知识点】根据分式方程解的情况求值、求不等式组的解集 【分析】解分式方程求出，然后根据解是非负数以及解不是增根得出关于m的不等式组，求解即可． 【详解】解：分式方程去分母得：， 解得：， ∵分式方程的解是非负数， ∴，且， ∴且， 故选：C． 【点睛】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，正确得出关于m的不等式组是解题的关键． 46．（2024·四川遂宁·中考真题）分式方程的解为正数，则的取值范围（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【知识点】根据分式方程解的情况求值、解分式方程 【分析】本题考查了解分式方程及分式方程的解，先解分式方程，求出分式方程的解，再根据分式方程解的情况解答即可求解，正确求出分式方程的解是解题的关键． 【详解】解：方程两边同时乘以得，， 解得， ∵分式方程的解为正数， ∴， ∴， 又∵， 即， ∴， ∴的取值范围为且， 故选：． 47．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知关于x的分式方程无解，则k的值为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了解分式方程无解的情况，理解分式方程无解的意义是解题的关键．先将分式方程去分母，化为整式方程，再分两种情况分别求解即可． 【详解】解：去分母得，， 整理得，， 当时，方程无解， 当时，令， 解得， 所以关于x的分式方程无解时，或． 故选：A． 48．（2022·重庆·中考真题）若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程的解是负整数，则所有满足条件的整数的值之和是（    ） A．－26 B．－24 C．－15 D．－13 【答案】D 【知识点】由一元一次不等式组的解集求参数、根据分式方程解的情况求值 【分析】根据不等式组的解集，确定a＞-11，根据分式方程的负整数解，确定a＜1，根据分式方程的增根，确定a≠-2，计算即可． 【详解】∵ ， 解①得解集为，解②得解集为， ∵ 不等式组的解集为， ∴， 解得a＞-11， ∵ 的解是y=，且y≠-1，的解是负整数， ∴a＜1且a≠-2， ∴-11＜a＜1且a≠-2， 故a=-8或a=-5， 故满足条件的整数的值之和是-8-5=-13， 故选D． 【点睛】本题考查了不等式组的解集，分式方程的特殊解，增根，熟练掌握不等式组的解法，灵活求分式方程的解，确定特殊解，注意增根是解题的关键． 49．（2023·四川·中考真题）近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线a为全程10千米的普通道路，路线b包含快速通道，全程7千米，走路线b比路线a平均速度提高，时间节省10分钟，求走路线a和路线b的平均速度分别是多少？设走路线a的平均速度为x千米/小时，依题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】列分式方程 【分析】若设路线a时的平均速度为x千米/小时，则走路线b时的平均速度为千米/小时，根据路线b的全程比路线a少用10分钟可列出方程． 【详解】解：由题意可得走路线b时的平均速度为千米/小时， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 50．（2023·湖南永州·中考真题）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是 ． 【答案】 【知识点】分式方程无解问题 【分析】根据使分式的分母为零的未知数的值，是方程的增根，计算即可． 【详解】∵关于x的分式方程（m为常数）有增根， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，增根的理解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． 51．（2023·山东青岛·中考真题）某校组织学生进行劳动实践活动，用1000元购进甲种劳动工具，用2400元购进乙种劳动工具，乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，但单价贵了4元．设甲种劳动工具单价为x元，则x满足的分式方程为 ． 【答案】 【知识点】列分式方程 【分析】根据两种劳动工具单价间的关系，可得出乙种劳动工具单价为元，利用数量=总价÷单价，结合乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍，即可列出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】解：∵乙种劳动工具的单价比甲种劳动工具的单价贵了4元，且甲种劳动工具单价为x元， ∴乙种劳动工具单价为元． 根据题意得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 52．（2024·陕西·中考真题）解方程：(1)． (2) 【答案】(1), (2) ． 【知识点】解分式方程 【分析】本题主要考查了解分式方程，先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】(1)解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． (2) 解：， 方程两边都乘，得． 去括号得：， 解得． 经检验，是原方程的根． 53．（2024·山东泰安·中考真题）随着快递行业的快速发展，全国各地的农产品有了更广阔的销售空间，某农产品加工企业有甲、乙两个组共名工人．甲组每天加工件农产品，乙组每天加工件农产品，已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的倍，求甲、乙两组各有多少名工人？ 【答案】甲组有名工人，乙组有名工人 【知识点】分式方程的实际应用 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设甲组有名工人，则乙组有名工人．根据题意得，据此即可求解． 【详解】解：设甲组有名工人，则乙组有名工人． 根据题意得：， 解答：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：甲组有名工人，乙组有名工人． 54．（2024·重庆·中考真题）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代． (1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ (2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？ 【答案】(1)该企业甲类生产线有10条，则乙类生产线各有20条； (2)需要更新设备费用为万元 【知识点】分式方程的实际应用、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． （1）设该企业甲类生产线有条，则乙类生产线各有条，再利用更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴，再建立方程求解即可； （2）设购买更新1条甲类生产线的设备为万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为万元，利用用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，再建立分式方程，进一步求解． 【详解】（1）解：设该企业甲类生产线有条，则乙类生产线各有条，则 ， 解得：， 则； 答：该企业甲类生产线有10条，则乙类生产线各有20条； （2）解：设购买更新1条甲类生产线的设备为万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为万元，则 ， 解得：， 经检验：是原方程的根，且符合题意； 则， 则还需要更新设备费用为（万元）； 55．（2024·江苏宿迁·中考真题）某商店购进A、B两种纪念品，已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元．用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同． (1)求纪念品A、B的单价分别是多少元？ (2)商店计划购买纪念品A、B共400件，且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍，若总费用不超过11000元，如何购买这两种纪念品使总费用最少？ 【答案】(1)纪念品A、B的单价分别是元和元 (2)A种纪念品购进件，B种纪念品购进件，两种纪念品使总费用最少 【知识点】分式方程的实际应用、最大利润问题(一次函数的实际应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是正确分析题目中的等量关系． （1）设A种纪念品的单价是x元，则B种纪念品的单价是元，利用数量总价单价，结合“用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同”，可得出关于x的分式方程，解之即可； （2）设购买a件A种纪念品，总费用为元，利用总价单价数量，可得出关于a的一次函数，求出a的取值范围，根据函数的增减性解题即可． 【详解】（1）解：设A种纪念品的单价为元，则B种纪念品的单价为元， ， 解得：， 经检验是原方程的解， ∴B种纪念品的单价为元， 答：纪念品A、B的单价分别是元和元． （2）解：设A种纪念品购进件，总费用为元， 则， 又∵， 解得， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，购买这两种纪念品使总费用最少， 这时A种纪念品购进件，B种纪念品购进件，两种纪念品使总费用最少． 56．（2024·山东青岛·中考真题）为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的． (1)求航空和航海模型的单价； (2)学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？ 【答案】(1)航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为元； (2)当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少 【知识点】分式方程的实际应用、其他问题(一次函数的实际应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元，根据用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的列出方程求解即可； （2）设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型个，先根据航空模型数量不少于航海模型数量的列出不等式求出m的取值范围，再列出y关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设航空模型的单价为x元，则航海模型的单价为元， 由题意得，， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：航空模型的单价为125元，则航海模型的单价为元； （2）解：设购买航空模型m个，花费为y元，则购买航海模型个， 由题意得，， 解得， ， ∵， ∴y随m增大而增大， ∴当时，y有最小值，最小值为， 此时有， 答：当购买航空模型40个，购买航海模型80个时，学校花费最少． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$第7讲 分式方程及应用 考点1 分式方程及分式方程的解法 2 考点2 由分式方程的根求参数的值 3 考点3 由分式方程根的符号求参数的取值范围 4 考点4 由分式方程增根求参数的值 4 考点5 由分式方程无解求参数的值 4 考点6 不等式组与分式方程的综合运用 5 考点7 列分式方程 6 考点8 分式方程的实际应用 7 真题过关检测 10 一、分式方程 分式方程的概念 分母中含有未知数的方程 分式方程的解法 基本思想: 步骤: (1)能化简的先化简; (2)方程两边同乘以最简公分母,化成整式方程; (3)解整式方程; (4)验根(将解代入原方程,若原分母为0,则该解舍去,此方程无解;若原分母≠0,则该解正确) 二、含参的分式方程 1.增根问题 增根 将分式方程变形为整式方程,若整式方程的根使得原分式方程的分母为零,则这个根称为原分式方程的增根. 增根产生的原因 解分式方程的过程中,如果在方程的两边同乘了一个使分母为零的整式(最简公分母),那么原分式方程就会产生增根. 由增根求参数的值 (1)将原方程化成整式方程; (2)确定增根; (3)将增根代入变形后的整式方程,求出参数的值 为何值时,关于的方程会产生增根? (1)原方程可化为 (2)此方程的增根, (3)时, 时, ∴或 由分式方程根的情况,求参数的取值范围 (1)将原方程化成整式方程; (2)把参数看成常数求解; (3)根据根的情况,确定参数的取值范围(注意要排除增根时参数的值) 关于的方程的解是正数,求的取值范围。 (1)原方程可化为 (2)求解: (3)需满足“解是正数,分式有意义” ∴且 (4)解得且 2.整数根问题 (1)利用参数表示未知数 (2)分离常量 (3)对分式部分进行整除性讨论,得到分式方程的整数解 若关于的分式方程解为整数,请写出所有可能值 (1)原方程可化为, (2)分离常量: (3)进行整除性讨论,即为的约数,得或,得或 三、分式方程的实际应用 1.列分式方程解应用题,与列一元一次方程解应用题类似,但更复杂些。解题时,应抓住“找等量关系、设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节,从而正确列出方程,并进行求解. 2.列分式方程解应用题的一般步骤 审 审清题意,弄清已知量与未知量及题中的等量关系 设 设未知数,并用含未知数的代数式表示其他未知量 列 根据题目中的等量关系列出分式方程 解 解方式方程 验 既要检验所求得的根是否为所列分式方程的根,又要检验所求得的根是否符合实际意义 答 写出答案 考点1 分式方程及分式方程的解法 1.(2024 广西贺州 三模)下列式子是分式方程的是( ) A. B. C. D. 2.(2021 河南信阳 模拟预测)下列方程:①;②;③;④(为已知数),其中分式方程有( ) A.个 B.个 C.个 D.个 3.(2024 青海西宁 三模)解分式方程:. 4.(2024 陕西西安 模拟预测)解分式方程: 5.(2024 青海西宁 二模)解分式方程:. 6.(2024 陕西商洛 模拟预测)解方程:. 考点2 由分式方程的根求参数的值 7.(2024 江西九江 模拟预测)已知是分式方程的解,则m的值为 . 8.(2024 四川成都 模拟预测)已知是分式方程的解,则实数的值为 . 9.(2024 辽宁葫芦岛 二模)若关于x的方程的解是,则a的值为 . 10.(2024 广东 模拟预测)已知是分式方程的解,则的值为( ) A. B. C. D. 考点3 由分式方程根的符号求参数的取值范围 11.(2023 四川南充 二模)关于的方程的解是负数,则的取值范围是( ) A. B. C.,且 D.,且 12.(2024 四川德阳 三模)已知关于的分式方程的解是正数,则的取值范围是( ) A. B. C.且 D.且 13.(2024 云南昭通 二模)若关于的分式方程的解为非负数,则的取值范围为( ) A. B. C.且 D.且 14.(2024 黑龙江齐齐哈尔 三模)若关于x的分式方程的解为非负数,则m的取值范围是( ) A. B. C.且 D.且 考点4 由分式方程增根求参数的值 15.(2024 四川自贡 模拟预测)已知分式方程有增根,则的值为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 16.(2023 山东烟台 模拟预测)若关于的分式方程有增根,则的值为( ) A. B. C.8 D.或8 17.(2024 湖南 模拟预测)若关于x 的分式方程有增根,则k 的值为 . 18.(2024 山东菏泽 模拟预测)若关于的方程:有增根,则 . 考点5 由分式方程无解求参数的值 19.(2024 黑龙江齐齐哈尔 模拟预测)已知关于x的分式方程无解,则k的值为 . 20.(2024 山东东营 二模)若关于的分式方程无解,则的值是 . 21.(2024 黑龙江齐齐哈尔 二模)若关于的分式方程无解,则实数的取值是( ) A.0或2 B.2或4 C.2 D.4或8 22.(2024 黑龙江 三模)若关于x的方程无解,则a的值为( ) A.2 B. C.2或 D.2或或 考点6 不等式组与分式方程的综合运用 23.(2024 四川德阳 二模)若整数a使关于x的不等式组有且只有4个整数解,且使关于y的分式方程的解满足,则所有满足条件的整数a的值之和为( ) A.15 B.11 C.10 D.18 24.(2024 湖南长沙 模拟预测)若关于的不等式组有且只有两个偶数解,且关于的分式方程有解,则所有满足条件的整数的和是( ) A. B. C. D. 25.(2024 四川南充 模拟预测)若关于x的不等式组无解,且关于y的分式方程的解为整数,则满足条件的整数a的值为( ) A.2或3 B.2或7 C.3或7 D.2或3或7 26.(2024 重庆 模拟预测)若关于的不等式组有解,且关于的分式方程的解为非负数,则满足条件的整数a的值的和为 . 27.(2024 重庆 模拟预测)若关于x的一元一次不等式组至少有2个整数解,且关于y的分式方程有非负整数解,则所有满足条件的整数a为 . 28.(2024 四川绵阳 模拟预测)字母a从这6个数中选出使关于x的不等式组有解,且使关于x的方程有唯一的解的数,a有 . 29.(2024 重庆 二模)若关于的不等式组有解且最多有4个整数解,且关于的分式方程有非负数解,则满足条件的所有整数的和为 . 30.(2024 重庆 三模)若关于的一元一次不等式组有且只有两个偶数解,且关于的分式方程有整数解,则所有满足条件的整数的值之和是 . 考点7 列分式方程 31.(2023 广东阳江 一模)由于市场急需A产品,某工厂现在平均每天比原计划多生产A产品50万件,现在生产A产品400万件所需时间比原计划生产A产品450万件所需时间少5天,设现在平均每天生产A产品x万件,则下列方程正确的是( ) A. B. C. D. 32.(2024 湖南长沙 模拟预测)九章算术是我国古代重要的数学专著之一,其中记录的一道题译为白话文是:把一份文件用慢马送到里外的城市,需要的时间比规定时间多一天:如果用快马送,所需的时间比规定时间少天.已知快马的速度是慢马的倍,求规定时间.设规定时间为天,则可列方程为( ) A. B. C. D. 33.(2024 江苏苏州 模拟预测)某市从今年1月1日起调整居民用水价格,每立方米水费上涨 .小丽家去年12月份的水费是15元,而今年5月的水费则是30元.已知小丽家今年5月的用水量比去年12月的用水量多.求该市今年居民用水的价格.设去年居民用水价格为x元/,根据题意列方程,正确的是( ) A. B. C. D. 34.(2024 广东深圳 模拟预测)畅达绿脊蓝湾美城,趣享山海户外天堂.从2022年,深圳市政府工作报告明确提出,打造“鹏城万里”多层次户外休闲步道体系建设,全面进入建设“超1000公里远足径郊野径体系”的实施阶段.需要铺设一段全长为1000公里的绿道,为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响,实际施工时每天的工效比原计划增加,结果提前30天完成这一任务.设原计划每天铺设x公里绿道,则根据题意,下列方程中正确的是( ) A. B. C. D. 35.(2024 安徽 模拟预测)为改善生态环境,打造宜居城市,某市园林绿化部门计划植树20万棵,由于工程进度需要,实际每天植树棵数比原计划增加了,结果提前4天完成任务.若设实际每天植树x万棵,则根据题意可得方程为( ) A. B. C. D. 考点8 分式方程的实际应用 36.(2024 湖北 模拟预测)为了扎实推进“五育”并举工作,加强劳动教育,我市某中学针对七年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程,课程开设后学校花费6000元购进第一批面粉,用完后又花费9600元购进第二批面粉,第二批面粉采购量是第一批的1.5倍,但每千克面粉的价格提高了0.4元,求第一批面粉的采购量为多少? 37.(2024 江苏扬州 模拟预测)甲、乙两个工程队铺设一条公路,已知甲工程队每天比乙工程队少铺设,甲工程队铺设所用的时间与乙工程队铺设所用的时间相同,求甲、乙两个工程队每天各铺设多少? 38.(2024 重庆渝北 模拟预测)某工厂有40名工人,生产甲、乙两种摩托车配套零件,每个工人每天能加工甲种零件30个,或乙种零件20个. (1)若1个甲零件和2个乙零件配套成一个完整的部件,应怎样安排工人才能使一天生产的零件正好配套? (2)该工厂将这种完整的部件销售给摩配公司,一月份的销售总额为30万元,受市场影响,二月份该工厂将一个完整部件的销售单价在一月份的基础上提高了,销量比一月份少了500个,结果二月份的销售总额比一月份多了3万元,求一月份每个完整部件的销售单价为多少元? 39.(2024 湖南长沙 模拟预测)2023年12月,21世纪经济研究院发布《国际消费中心城市建设年度报告(2023)》,长沙被列为发展型消费中心城市(Gamma级).根据市场需求,长沙市某企业为加快生产速度,更新了部分生产设备,更新设备后生产效率比更新前提高了,若更新设备前每天生产产品件.据此解答下列问题: (1)更新设备后每天生产 件产品(用含的式子表示); (2)更新设备后生产6000件产品还比更新设备前的生产5000件产品少用2天,则更新设备后每天生产多少件产品? 40.(2024 广东 模拟预测)某校因物理实验室需更新升级,现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器.若购买甲种滑动变阻器用了1650元,购买乙种用了1000元,购买的甲种滑动变阻器的数量是乙种的1.5倍,甲种滑动变阻器单价比乙种单价贵5元. (1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元. (2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个,总费用不超过5200元,那么该校最多可以购买多少个甲种滑动变阻器? 41.(2024 山西 模拟预测)2024年4月底,神舟十七号载人飞船返回舱顺利返回东风着陆场,神舟十七号任务取得圆满成功.某飞箭航模店看准商机,购进了“神舟”和“天宫”模型.已知每个“神舟”模型的进价比“天宫”模型多5元,同样花费200元,购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多2个. (1)“神舟”和“天宫”模型的进价各是多少元? (2)该飞箭航模店计划购进两种模型共100个,且每个“神舟”模型的售价为35元,每个“天宫”模型的售价为28元.设购进“神舟”模型a个,销售这批模型的利润为w元.若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的,则购进“神舟”模型多少个时,销售这批模型可以获得最大利润?最大利润是多少? 真题过关检测 42.(2024 海南 中考真题)分式方程的解是( ) A. B. C. D. 43.(2024 山东济宁 中考真题)解分式方程时,去分母变形正确的是( ) A. B. C. D. 44.(2023 山东淄博 中考真题)已知是方程的解,那么实数的值为( ) A. B.2 C. D.4 45.(2023 黑龙江 中考真题)已知关于x的分式方程的解是非负数,则的取值范围是( ) A. B. C.且 D.且 46.(2024 四川遂宁 中考真题)分式方程的解为正数,则的取值范围( ) A. B.且 C. D.且 47.(2024 黑龙江大兴安岭地 中考真题)已知关于x的分式方程无解,则k的值为( ) A.或 B. C.或 D. 48.(2022 重庆 中考真题)若关于的一元一次不等式组的解集为,且关于的分式方程的解是负整数,则所有满足条件的整数的值之和是( ) A.-26 B.-24 C.-15 D.-13 49.(2023 四川 中考真题)近年来,我市大力发展交通,建成多条快速通道,小张开车从家到单位有两条路线可选择,路线a为全程10千米的普通道路,路线b包含快速通道,全程7千米,走路线b比路线a平均速度提高,时间节省10分钟,求走路线a和路线b的平均速度分别是多少?设走路线a的平均速度为x千米/小时,依题意,可列方程为( ) A. B. C. D. 50.(2023 湖南永州 中考真题)若关于x的分式方程(m为常数)有增根,则增根是 . 51.(2023 山东青岛 中考真题)某校组织学生进行劳动实践活动,用1000元购进甲种劳动工具,用2400元购进乙种劳动工具,乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍,但单价贵了4元.设甲种劳动工具单价为x元,则x满足的分式方程为 . 52.(2024 陕西 中考真题)解方程: (1). (2). 53.(2024 山东泰安 中考真题)随着快递行业的快速发展,全国各地的农产品有了更广阔的销售空间,某农产品加工企业有甲、乙两个组共名工人.甲组每天加工件农产品,乙组每天加工件农产品,已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的倍,求甲、乙两组各有多少名工人? 54.(2024 重庆 中考真题)为促进新质生产力的发展,某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代. (1)为鼓励企业进行生产线的设备更新,某市出台了相应的补贴政策.根据相关政策,更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴,更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴.这样更新完这30条生产线的设备,该企业可获得70万元的补贴.该企业甲、乙两类生产线各有多少条? (2)经测算,购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元,用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同,那么该企业在获得 70万元的补贴后,还需投入多少资金更新生产线的设备? 55.(2024 江苏宿迁 中考真题)某商店购进A、B两种纪念品,已知纪念品A的单价比纪念品B的单价高10元.用600元购进纪念品A的数量和用400元购进纪念品B的数量相同. (1)求纪念品A、B的单价分别是多少元? (2)商店计划购买纪念品A、B共400件,且纪念品A的数量不少于纪念品B数量的2倍,若总费用不超过11000元,如何购买这两种纪念品使总费用最少? 56.(2024 山东青岛 中考真题)为培养学生的创新意识,提高学生的动手能力,某校计划购买一批航空、航海模型.已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元,用2000元购买航空模型的数量是用1800元购买航海模型数量的. (1)求航空和航海模型的单价; (2)学校采购时恰逢该商场“六一儿童节”促销:航空模型八折优惠.若购买航空、航海模型共120个,且航空模型数量不少于航海模型数量的,请问分别购买多少个航空和航海模型,学校花费最少? 2 学科网(北京)股份有限公司 $$