2025年中考数学一轮复习考点过关练讲义 第6讲 一元二次方程及应用

第6讲 一元二次方程及应用 考点1 一元二次方程的概念及方程的解 3 考点2 配方法解方程及应用 4 考点3 公式法解方程 5 考点4 因式分解法解方程 6 考点5 一元二次方程根与系数的关系 8 考点6 一元二次方程的实际应用 9 增长率问题 9 营销问题 10 与图形有关的问题 11 真题过关检测 13 一、一元二次方程的概念 一元二次方程的概念 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程. 一般形式: a为二次项系数,b为一次项系数,c 为常数项 判断标准 (1)只含有一个未知数 (2)未知数的最高次数是 (3)整式方程 系数 (1)一元二次方程的系数一定要化为一般式之后再看 (2),当时,方程是一元二次方程; 当且时,方程是一元一次方程 二、一元二次方程的解 一元二次方程的解 (1)使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解. (2)一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 三、一元二次方程的解法 直接开平方法 若,则,这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法 常见类型: 1. 解为: 2. 解为: 3. 解为: 4. 解为: 配方法 把方程化成左边是一个含有未知数的完全平方式,右边是一个非负常数,再利用直接开平方法求解方法. 即 一般步骤 (1)二次项系数化1 (2)常数项右移 (3)配方(两边同时加上一次项系数一半的平方) (4)化成的形式 (5)若n≥0,直接开平方得方程的解 公式法 一般地,对于一元二次方程,当时,它的根为,这个式子称为一元二次方程的求根公式,用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法. 一般步骤 (1)把方程化为一般形式; (2)确定、、的值; (3)计算的值; (4)若,则代入公式求方程的根; (5)若,则方程无解 判别式与根的关系 时,原方程有两个不相等的实数解 时,原方程有两个相等的实数解 时,原方程没有实数解 因式分解法 当一元二次方程的一边是,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,可以用分解因式的方法求解.依据:若,则或 ①提公因式法 ②十字相乘法 ③平方差公式 四、一元二次方程的根与系数的关系 韦达定理 (1)如果方程的两根是,,那么, (隐含条件:) (2)当二次项系数为时,的两个根,则, 韦达定理简单的变形 考点1 一元二次方程的概念及方程的解 1.下列方程中,是关于x的一元二次方程的是( ) A. B. C. D. 2.一元二次方程的一次项系数为( ) A. B. C.3 D.6 3.若关于的方程是一元二次方程,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 4.若方程是一元二次方程,则m的值为() A.0 B. C.1 D. 5.已知是关于x 的一元二次方程,则m的值为( ) A.2 B.0 C. D. 6.如果a是一元二次方程的根,则代数式的值为( ) A.2026 B.2024 C.2022 D.2021 7.观察下列表格,一元二次方程的一个解x所在的范围是( ) x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.19 0.44 0.71 A. B. C. D. 8.根据表格中的信息,估计一元二次方程(,,为常数,)的一个解的范围为( ) 0.5 1 1.5 2 3 28 18 10 4 A. B. C. D. 考点2 配方法解方程及应用 9.解一元二次方程,配方后正确的是( ) A. B. C. D. 10.用配方法解一元二次方程,配方后得到的方程是 . 11.若是方程的一个解,则代数式的最小值为 . 12.(2024江苏靖江中考二模)若,则M的最小值为 . 13.综合与探究 【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时,经常要比较两个数或代数式的大小,解决问题的策略一般都是进行一定的转化,其中“作差法”就是常用的方法之一.作差法:就是通过作差、变形,利用差的符号确定它们的大小,即要比较代数式的大小,只要算的值,若,则;若,则;若,则. 【知识运用】 ()请用上述方法比较下列代数式的大小(用“、、”填空): _; _; ()试比较与与的大小,并说明理由; 【类比运用】 ()图()是边长为的正方形,将正方形一组对边保持不变,另一组对边增加得到如图()所示的长方形,此长方形的面积为;将正方形的边长增加,得到如图()所示的大正方形,此正方形的面积为.请先判断与的大小关系,并说明理由. 考点3 公式法解方程 14.用公式法解下列方程: (1); (2) . (3). (4); 15.下列一元二次方程中,没有实数根的是( ) A. B. C. D. 16.关于的一元二次方程的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 17.关于x的一元二次方程有两个相等的实数根,则的值是( ) A. B.4 C.2 D. 18.若关于x的方程有两个实数根,则实数k的取值范围是( ) A. 且 B. 且 C. D. 且 19.一次函数不经过第三象限,关于x的方程的解的个数为 . 20.若关于x的不等式组有且仅有4个整数解,且使关于x的一元二次方程有实数根,则符合条件的整数m的和为 . 考点4 因式分解法解方程 21.用因式分解法解方程: (1). (2) (3) (4) (5) 22.若,则关于的一元二次方程必有一个实数根是 . 23.(2024年上海市徐汇区中考三模数学试题)如果实数x满足,那么的值是 . 24.已知关于x的方程的根都是整数,那么符合条件的整数a有 个. 25.已知关于的方程(为实数,). (1)求证:此方程总有两个实数根; (2)如果此方程的两个实数根都为负整数,求整数的值. 26.已知关于x的一元二次方程. (1)求证:无论m取何实数,原方程总有两个实数根; (2)若原方程有一个根大于5,求m的取值范围. 27.小丽看到课本《因式分解》一章中的“读一读”写到:利用多项式的乘法法则,可以得到,反过来,则有.智慧的小丽受“读一读”的启发,运用该方法解出了方程的解,小丽的解法如下: 因为,, 又因为,, 所以,, 所以,,或, 所以,,或, 所以,原方程的解为. 应用上面小丽的方法解决下列问题: (1)解方程:; (2)解关于的方程:(是常数,且都不为零); (3)若关于的方程的两个解分别为(其中),请求的值. 考点5 一元二次方程根与系数的关系 28.(2024 青海西宁 一模)设、是一元二次方程的两根,则 . 29.(2024 湖北十堰 三模)若是一元二次方程的两个实数根,多项式的值是 . 30.(2024 四川内江 二模)已知,是方程的两个实数根,则代数式的值为 . 31.(2024 四川南充 三模)已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根. (1)求k的取值范围; (2)设方程的两个实数根分别为,若,求k的值. 32.(2024 浙江 模拟预测)已知方程(x为实数),请你解答下列问题: (1)若,解此方程; (2)若,求证:此方程至少有一个实数根; (3)设此方程有两个不相等的实数根分别为.若,求证:. 33.(2024 福建龙岩 模拟预测)新定义:已知关于x的一元二次方程的两根之和与两根之积,分别是另一个一元二次方程的两个根,则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”,一元二次方程称为“原生方程”. 比如:一元二次方程的两根分别为,则,所以它的“再生韦达方程”为. (1)已知一元二次方程,求它的“再生韦达方程”; (2)已知“再生韦达方程”,求它的“原生方程”. 考点6 一元二次方程的实际应用 增长率问题 34.(2024 湖南株洲 模拟预测)2022年清明节假期三天国内旅游出游0.75419亿人次,2024年清明节假期三天国内旅游出游1.19亿人次,设清明节假期三天国内旅游出游的年平均增长率为,根据题意可列列方程为( ) A. B. C. D. 35.(2024 全国 模拟预测)根据福建省统计局数据,福建省年的出生人数为万人,年的出生人数为万人.设这两年福建省出生人数的年平均下降率为,根据题意可列方程( ) A. B. C. D. 36.(2024 湖南 模拟预测)“双碳”背景下,我国新能源汽车保有量已处于世界第一,随着消费人群不断增多,某款新能源汽车销售量持续增长,如果第三个月销售量的增长率是第二个月的2倍,第三个月的销售量是第一个月的3倍,设第一月月销售量为辆,第二个月销售量的增长率为,则可列出方程是( ) A. B. C. D. 37.(2024 安徽合肥 三模)某企业今年1月份的利润为500万元,2月份和3月份的利润合计为1200万元,设2月份和3月份利润的平均增长率为,根据题意可列方程为( ) A. B. C. D. 营销问题 38.(2024 福建龙岩 模拟预测)龙岩市公安交警部门提醒市民,骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量,该品牌头盔10月份销售50个,12月份销售72个,10月份到12月份销售量的月增长率相同. (1)求该品牌头盔销售量的月增长率; (2)若此种头盔的进价为30元/个,商家经过调查统计,当售价为40元/个时,月销售量为500个,若在此基础上售价每上涨1元/个,则月销售量将减少10个,为使月销售利润达到8000元,且尽可能让顾客得到实惠,则该品牌头盔每个售价应定为多少元? 39.(23-24九年级上 四川成都 阶段练习)为了全面落实“双减”政策,促进学生整体素质的均衡发展,师一学校小学部语文组的老师带领孩子们“泛舟书海”,举办了一系列丰富多彩的读书活动.小狮宝们纷纷把自己收藏的图书带到学校.充实班级“图书漂流角”和移动绘本小屋.语文组的老师对小学部借阅登记簿进行统计时发现,在4月份有1000名学生借阅了图书,5月份比4月份增加10%,6月份全校借阅图书人数比5月增加340人. (1)5月份借阅图书的学生人数_,6月份借阅图书的学生人数_, (2)求从4月份到6月份小学部借阅图书的学生人数的平均增长率? (3)由于小学部小狮宝们读书情绪十分高涨,于是在国庆节后,学校决定派图书室陈老师去锦江区“幸福里书屋”再购买一批图书,书店老板透露在九月底他以每本8元的价格进货500本图书,然后按照每本9.6元的价格在国庆节全部售出;国庆节后老板去进货发现进货价上涨了,进货量比九月底增加,他以12元的价格全部售出后,比国庆节的总利润多1200元,求的值. 40.(2024 重庆渝中 模拟预测)民族要复兴,乡村必振兴!新时代新征程,某县“三农”一定高扬新重庆“敢闯敢干、唯实争先”主旋律,持续奋斗、不尾使命,奋力推动农业农村优先发展.某县去年广柑大获丰收,果农李大爷共售出A、B两种广柑千克,A种广柑售价是3元/千克,B种广柑售价是4元/千克,全部售出后总销售额为元. (1)去年,果农李大爷售出A、B两种广柑各多少千克? (2)今年广柑又获得丰收,李大爷借助直播平台销售广柑,A种广柑让利销售,其单价比去年下降了,B种广柑的单价比去年上涨了,结果A种广柑的销量是去年销量的2倍,B种广柑的销量比去年销量减少了,总销售额比去年增加了.求a的值. 与图形有关的问题 41.(2024 辽宁铁岭 一模)京哈高速公路辽宁绥中至盘锦改扩建工程已经施工,计划2026年10月底建成通车.在施工中,某路段为了避免冬季低温对沥青黏度带来的不利影响,原计划30天的摊铺任务,仅用了12天就全部完成.实际每天摊铺的长度比原计划多120米. (1)求原计划每天摊铺沥青多少米. (2)如图是京哈高速公路辽宁段某服务区的一幅旅游广告图,整幅图是在两张风景区图片的基础上,四周及两张图中间镶以宽度相等的木质框架而成.若两张风景区图片的长都为3米,宽都为2米,镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的.求镶上的木质框架的宽为多少米. 42.为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质.某校为此规划出矩形苗圃.苗圃的一面靠墙(墙最大可用长度为15米)另三边用木栏围成,中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域,并在如图所示的两处各留1米宽的门(门不用木栏),修建所用木栏总长28米,设矩形的一边长为x米. (1)矩形的面积为,求出的长 (2)矩形的面积能否为,若能,请求出的长;若不能,请说明理由. 43.(2024 辽宁 模拟预测)如图,公园原有一块长、宽 的矩形空地.后来在这块空地中划出不同区域种植不同品种的鲜花,中间铺设同样宽度的石子路将各区域间隔开.已知各区域鲜花面积的和为,求所铺设的石子路的宽度. 44.(2024 江苏苏州 二模)“今天立夏,过来吃碗三虾面.”在百年老字号裕面堂内,一位老苏州说,苏州人立夏传统“尝三鲜”是蚕豆、苋菜、蒜苗,今年立夏提前吃碗夏令三虾面尝尝鲜.为了抓住这一商机,两商户决定生产预制面.据统计,甲商户每小时生产600包,乙商户每小时生产800包,甲乙两商户每天共生产16小时,且每天生产的三虾面总包数为11400包. (1)甲、乙两商户每天分别生产多少小时? (2)由于三虾面在网上直播热销,客户纷纷追加订单,两商户每天均增加了生产时间,其中甲商户比乙商户多增加2小时,在整个生产过程中,甲商户每小时产量不变,而乙商户由于机器损耗及人员不足,每增加一个小时,每小时产量将减少140包,这样两商户一天生产的面条总量将比原来多1200包.求:甲商户增加的生产时间为多少小时? 45.(2024 江苏泰州 二模)某地建立了一个劳动实践基地,小亮从中了解到如下信息: 信息1:2025年计划将100亩的土地全部种植甲乙两种蔬菜;其中,甲种蔬菜种植面积不少于20亩,乙种蔬菜种植面积不少于50亩; 信息2:甲种蔬菜每亩种植成本y(单位:元)与其种植面积x(单位:亩)之间满足函数关系为:乙种蔬菜每亩种植成本为50元. 根据以上信息完成下列问题: (1)若甲种蔬菜每亩种植成本30元,求乙种蔬菜总种植成本; (2)如何分配两种蔬菜的种植面积,使甲乙两种蔬菜总种植成本为4272元? 真题过关检测 46.(2024 山东德州 中考真题)把多项式进行配方,结果为( ) A. B. C. D. 47.(2024 内蒙古赤峰 中考真题)等腰三角形的两边长分别是方程的两个根,则这个三角形的周长为( ) A.或 B.或 C. D. 48.(2024 江苏南通 中考真题)红星村种的水稻2021年平均每公顷产,2023年平均每公顷产.求水稻每公顷产量的年平均增长率.设水稻每公顷产量的年平均增长率为x.列方程为( ) A. B. C. D. 49.(2024 内蒙古 中考真题)我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题:“直田积八百六十四步,只云阔与长共六十步,问阔及长各几步?”其大意是:矩形面积是864平步,其中宽与长的和为60步,问宽和长各几步?若设长为x步,则下列符合题意的方程是( ) A. B. C. D. 50.(2024 山东济南 中考真题)若关于的方程有两个不相等的实数根,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 51.(2024 江苏宿迁 中考真题)规定:对于任意实数a、b、c,有,其中等式右面是通常的乘法和加法运算,如.若关于x的方程有两个不相等的实数根,则m的取值范围为( ) A. B. C.且 D.且 52.(2024 黑龙江绥化 中考真题)小影与小冬一起写作业,在解一道一元二次方程时,小影在化简过程中写错了常数项,因而得到方程的两个根是和;小冬在化简过程中写错了一次项的系数,因而得到方程的两个根是和.则原来的方程是( ) A. B. C. D. 53.(2024 山东日照 中考真题)已知,实数是关于x的方程的两个根,若,则k的值为( ) A.1 B. C. D. 54.(2024 江苏徐州 中考真题)关于x的方程有两个相等的实数根,则k值为 . 55.(2024 四川巴中 中考真题)已知方程的一个根为,则方程的另一个根为 . 56.(2024 山东德州 中考真题)已知a和b是方程的两个解,则的值为 . 57.(2024 山东淄博 中考真题)“我运动,我健康,我快乐!”随着人们对身心健康的关注度越来越高.某市参加健身运动的人数逐年增多,从2021年的32万人增加到2023年的50万人. (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率; (2)为支持市民的健身运动,市政府决定从公司购买某种套装健身器材.该公司规定:若购买不超过100套,每套售价1600元;若超过100套,每增加10套,售价每套可降低40元.但最低售价不得少于1000元.已知市政府向该公司支付货款24万元,求购买的这种健身器材的套数. 58.(2023 山东东营 中考真题)如图,老李想用长为的栅栏,再借助房屋的外墙(外墙足够长)围成一个矩形羊圈,并在边上留一个宽的门(建在处,另用其他材料). (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时,能围成一个面积为640的羊圈? (2)羊圈的面积能达到吗?如果能,请你给出设计方案;如果不能,请说明理由. 59.(2023 湖北宜昌 中考真题)为纪念爱国诗人屈原,人们有了端午节吃粽子的习俗.某顾客端午节前在超市购买豆沙粽10个,肉粽12个,共付款136元,已知肉粽单价是豆沙粽的2倍. (1)求豆沙粽和肉粽的单价; (2)超市为了促销,购买粽子达20个及以上时实行优惠,下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量(单位:个)和付款金额(单位:元); 豆沙粽数量 肉粽数量 付款金额 小欢妈妈 20 30 270 小乐妈妈 30 20 230 ①根据上表,求豆沙粽和肉粽优惠后的单价; ②为进一步提升粽子的销量,超市将两种粽子打包成A,B两种包装销售,每包都是40个粽子(包装成本忽略不计),每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计.A,B两种包装中分别有m个豆沙粽,m个肉粽,A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半.端午节当天统计发现,A,B两种包装的销量分别为包,包,A,B两种包装的销售总额为17280元.求m的值. 60.(2022 湖北宜昌 中考真题)某造纸厂为节约木材,实现企业绿色低碳发展,通过技术改造升级,使再生纸项目的生产规模不断扩大.该厂3,4月份共生产再生纸800吨,其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨. (1)求4月份再生纸的产量; (2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元,5月份再生纸产量比上月增加.5月份每吨再生纸的利润比上月增加,则5月份再生纸项目月利润达到66万元.求的值; (3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元,4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同,6月份再生纸项目月利润比上月增加了.求6月份每吨再生纸的利润是多少元? 2 学科网(北京)股份有限公司 $$ 第6讲 一元二次方程及应用 考点1 一元二次方程的概念及方程的解 3 考点2 配方法解方程及应用 6 考点3 公式法解方程 10 考点4 因式分解法解方程 15 考点5 一元二次方程根与系数的关系 22 考点6 一元二次方程的实际应用 27 增长率问题 27 营销问题 29 与图形有关的问题 32 真题过关检测 36 一、一元二次方程的概念 一元二次方程的概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程. 一般形式： a为二次项系数，b为一次项系数，c 为常数项 判断标准 （1）只含有一个未知数 （2）未知数的最高次数是 （3）整式方程 系数 （1）一元二次方程的系数一定要化为一般式之后再看 （2），当时，方程是一元二次方程； 当且时，方程是一元一次方程 二、一元二次方程的解 一元二次方程的解 （1）使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解. （2）一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 三、一元二次方程的解法 直接开平方法 若，则，这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法 常见类型： 1． 解为： 2． 解为： 3． 解为： 4． 解为： 配方法 把方程化成左边是一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，再利用直接开平方法求解方法. 即 一般步骤 （1）二次项系数化1 （2）常数项右移 （3）配方（两边同时加上一次项系数一半的平方） （4）化成的形式 （5）若n≥0，直接开平方得方程的解 公式法 一般地，对于一元二次方程，当时，它的根为，这个式子称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法. 一般步骤 （1）把方程化为一般形式； （2）确定、、的值； （3）计算的值； （4）若，则代入公式求方程的根； （5）若，则方程无解 判别式与根的关系 时，原方程有两个不相等的实数解 时，原方程有两个相等的实数解 时，原方程没有实数解 因式分解法 当一元二次方程的一边是，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，可以用分解因式的方法求解.依据：若，则或 ①提公因式法 ②十字相乘法 ③平方差公式 四、一元二次方程的根与系数的关系 韦达定理 （1）如果方程的两根是，，那么， （隐含条件：） （2）当二次项系数为时，的两个根，则， 韦达定理简单的变形 考点1 一元二次方程的概念及方程的解 1．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，据此逐项判断求解即可． 【详解】解：A、方程化为，是一元二次方程，符合题意； B、方程不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意， C、当时，方程不是一元二次方程，不符合题意； D、方程化为，不是一元二次方程，不符合题意， 故选：A． 2．一元二次方程的一次项系数为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】B 【知识点】一元二次方程的一般形式 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，一次项的系数的含义，原方程化为一般形式为，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴其一次项系数为； 故选B 3．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，一般地，形如（其中a、b、c是常数且）的方程叫做一元二次方程，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∴， 故选：D． 4．若方程是一元二次方程，则m的值为（） A．0 B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．利用一元二次方程的定义：含有一个未知数，未知数最高项次数为2次，这样的整式方程叫一元二次方程，判断即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， 且， 解得：． 故选：D． 5．已知是关于x 的一元二次方程，则m的值为（  ） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【知识点】一元二次方程的定义 【分析】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是（且．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0，由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可． 【详解】解：由题意，得 ． 解得， 故选：C． 6．如果a是一元二次方程的根，则代数式的值为（    ） A．2026 B．2024 C．2022 D．2021 【答案】C 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、由一元二次方程的解求参数 【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值，理解一元二次方程的根的定义是解题关键．将代入一元二次方程，得到，再整体代入求值即可． 【详解】解：a是一元二次方程的根， ， ， ， 故选：C． 7．观察下列表格，一元二次方程的一个解x所在的范围是（    ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.19 0.44 0.71 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】本题考查估算一元二次方程的解，根据图表，找到相邻两个的值，使的值为一正一负，即可得出结果． 【详解】解：由表格可知，当时，，当时，， ∴当时，存在一个的值，使， ∴一元二次方程的一个解x所在的范围是； 故选B． 8．根据表格中的信息，估计一元二次方程（，，为常数，）的一个解的范围为（   ） 0.5 1 1.5 2 3 28 18 10 4 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的解的估算 【分析】本题考查了利用二次函数估算一元二次方程的近似解，掌握二次函数与一元二次方程的关系是解决本类题型的关键，根据表格中的数据发现，在到2之间时，随着的增大而减小，而当时，，当时，，在18和10之间，所以一元二次方程其中一个解的范围是． 【详解】解：由表格可知： 在和之间，对应的在和之间， 所以一个解的取值范围为． 故选． 考点2 配方法解方程及应用 9．解一元二次方程，配方后正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】配方法的应用 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，先移项变形为，再将两边同时加4，即可把左边配成完全平方式，进而得到答案，熟练掌握配方法的解法步骤是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 10．用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是 ． 【答案】 【知识点】解一元二次方程——配方法 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 根据配方法解一元二次方程求解作答即可． 【详解】解：， ， ， ∴， 故答案为：． 11．若是方程的一个解，则代数式的最小值为 ． 【答案】36 【知识点】二元一次方程的解、配方法的应用 【分析】该题主要考查了二元一次方程的解，完全平方公式等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 将代入求出，再代入化简即可得即可求解； 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， ∴， ∴ ， ∴代数式的最小值为36． 故答案为：36． 12．（2024江苏靖江中考二模）若，则M的最小值为 ． 【答案】2 【知识点】配方法的应用、因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解和配方法，将原式分解成平方的形式，即可解答，熟知用完全平方式进行进行因式分解是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 当时，原式取最小值2， 故答案为：2． 13．综合与探究 【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （）请用上述方法比较下列代数式的大小（用“、、”填空）： ______； ______； （）试比较与与的大小，并说明理由； 【类比运用】 （）图（）是边长为的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加得到如图（）所示的长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加，得到如图（）所示的大正方形，此正方形的面积为．请先判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】（），；（），理由见解析；（），理由见解析． 【知识点】实数的大小比较、整式加减的应用、配方法的应用 【分析】（）利用作差法即可求解； （）利用作差再结合配方法法即可求解； （）利用作差即可求解； 本题考查了整式和实数的大小比较，掌握作差法是解题的关键． 【详解】（）∵， ∴， 故答案为：； ∵， ∴， 故答案为：； （）． 理由如下： ， ∵， ∴， ∴； （），理由如下： ∵，， ∴， ∴． 考点3 公式法解方程 14．用公式法解下列方程： (1)； (2) ． (3)． (4)； 【答案】(1) (2) (3)， (4) ， 【知识点】解一元二次方程——公式法解一元二次方程 【分析】本题主要考查运用指定方法解一元二次方程，熟练掌握公式法是解答本题的关键． 【详解】（1）解：， ∴， ∴ ∴， 解得：，． （2）解：， ∵ ， ∴ （3）解：， ，，， ， ， ． （4）解：， ∴， ∴ ∴， 解得：，． 15．下列一元二次方程中，没有实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，熟记根的判别式是解题的关键． 直接利用一元二次方程根的判别式对每个方程逐一计算即可求解． 【详解】A、，故选项A有两个不相等的实数根，不合题意； B、 ，故选项B有两个不相等的实数根，不合题意； C、 ，故选项C没有实数根，符合题意； D、方程化为，，故选项D有两个相等的实数根，不合题意． 故选C． 16．关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况．计算一元二次方程根的判别式，进而即可求解．一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 【详解】解：， ∵， ∴，即， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：． 17．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（　　） A． B．4 C．2 D． 【答案】C 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，代数式求值．熟练掌握一元二次方程根的判别式，代数式求值是解题的关键． 由题意知，，根据，计算求解即可． 【详解】解：∵x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， 故选：C． 18．若关于x的方程有两个实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． 且 B． 且 C． D． 且 【答案】A 【知识点】一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】根据根的判别式，即可求出答案．本题考查一元二次方程的解以及根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，属于基础题型． 【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根， ∴，且， 且， 故选：A． 19．一次函数不经过第三象限，关于x的方程的解的个数为 ． 【答案】或 【知识点】已知函数经过的象限求参数范围、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查了一次函数图象的分布，一元二次方程的根的判别式，准确判断图象不过第三象限的条件，直线不经过第三象限，则或，分这两种情形判断方程的根，灵活运用根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵直线不经过第三象限， ∴或， 或 当时，原方程为是一元一次方程，故有一个实数根； 当时，方程是一元二次方程， ∴方程有两个不相等的实数根， 综上，方程有1个或2个解， 故选：D． 20．若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，且使关于x的一元二次方程有实数根，则符合条件的整数m的和为 ． 【答案】 【知识点】由不等式组解集的情况求参数、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解、一元二次方程根的判别式，解本题的关键在综合得出m的取值范围．把不等式组整理为，再根据不等式组有解，得出不等式组的解集为，再根据不等式组有4个整数解，得出关于的不等式组的整数解为：、、，0，进而得出，解出m的取值范围，再根据一元二次方程根的判别式与根的个数的关系，得出，解出m的取值范围，然后综合得出m的取值范围，进而得出符合条件的整数m为3、4、5、6，据此即可得出答案． 【详解】解：关于的不等式组，整理可得：， ∵关于的不等式组有解集， ∴不等式组的解集为：， ∵关于的不等式组有且仅有4个整数解， ∴关于的不等式组的整数解为：、、，0， ∴， 解得：， ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 解得：， 综上所述，m的取值范围为， ∴符合条件的整数m为3、4、5、6． ∴， 故答案为： 考点4 因式分解法解方程 21．用因式分解法解方程： (1) ． (2) (3) (4) (5) 【答案】 (1) 或． (2) (3) (4) (5) 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，先把方程整理，然后用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】(1)解：原方程为． 整理得 即， 解得:或． (2) ∵， ∴． ∴． 解得． (3)解： ∴ ∴ ∴ ∴； (4)解： ∴． (5)∵， ∴， ∴或， 解得． 22．若，则关于的一元二次方程必有一个实数根是 ． 【答案】 【知识点】因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了解一元二次方程，把代入方程得，最后用因式分解法解一元二次方程即可，灵活运用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：把代入方程得， 整理得：， ∴， ∴，， ∴关于的一元二次方程必有一个实数根是， 故答案为：． 23．（2024年上海市徐汇区中考三模数学试题）如果实数x满足，那么的值是 ． 【答案】3 【知识点】解分式方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况、换元法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了用换元法解一元二次方程、解分式方程，利用完全平方公式把方程变形是解题的关键． 利用完全平方公式把方程变形为，利用换元法，设，则，转化为解一元二次方程，求出可能的值，分别得出分式方程，计算检验是否有解，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ， 设，则， 因式分解得：， ∴或， 解得：或， 当时，则， 整理得：， ∴， 解得：，， 经检验，，都是方程的解， ∴的值为； 当时，则， 整理得：， ， ∴时，方程无解． 综上所述，的值为， 故答案为：． 24．已知关于x的方程的根都是整数，那么符合条件的整数a有 个． 【答案】5 【知识点】方程的解、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了方程整数解的求法，解题的关键是理解题意，分类讨论，正确计算．根据题意分类讨论：当时，原方程为，解得，；②当时，原方程可整理为：，则，是方程的根，即是 方程的整数根，且x是整数，则或，进行计算即可得． 【详解】解：∵的根都是整数， ∴①当时，原方程为， 解得，； ②当时，原方程可整理为：， 则，， 即是方程的整数根，且x是整数， 则或， 解得，，，，， 综上，满足条件的整数的值为1，0，2，，3， 故答案为：5． 25．已知关于的方程（为实数，）． (1)求证：此方程总有两个实数根； (2)如果此方程的两个实数根都为负整数，求整数的值． 【答案】(1)见解析 (2)或 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查的是根的判别式，因式分解法解一元二次方程． （1）求出的值，再判断出其符号即可； （2）先求出x的值，再由方程的实数根都是负整数，且m是整数求出m的值即可． 【详解】（1）解：依题意，得， ∴方程总有两个实数根； （2）解：∵， ∴， ∴，． ∵方程的两个实数根都是负整数，且是整数， ∴或． 26．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论m取何实数，原方程总有两个实数根； (2)若原方程有一个根大于5，求m的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】因式分解法解一元二次方程、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个实数根；同时考查了因式分解法解一元二次方程． （1）根据一元二次方程的根的判别式的符号来证明； （2）利用因式分解法解一元二次方程可得出，，结合该方程有一个根大于5，可得出，求解即可得出答案． 【详解】（1）证明：在关于x的一元二次方程中，，， 是非负数， ， 无论m取何实数，原方程总有两个实数根； （2）解：， ， ，， 原方程有一个根大于5， ， ． 27．小丽看到课本《因式分解》一章中的“读一读”写到：利用多项式的乘法法则，可以得到，反过来，则有．智慧的小丽受“读一读”的启发，运用该方法解出了方程的解，小丽的解法如下： 因为，， 又因为，， 所以，， 所以，，或， 所以，，或， 所以，原方程的解为． 应用上面小丽的方法解决下列问题： (1)解方程：； (2)解关于的方程：（是常数，且都不为零）； (3)若关于的方程的两个解分别为（其中），请求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】因式分解法解一元二次方程、解分式方程 【分析】本题主要考查了解分式方程，解一元二次方程： （1）方程两边同乘，得，再仿照题意因式分解得到，据此仿照题意求解，最后检验即可； （2）方程两边同乘，得，则，再利用十字相乘法分解因式得到，据此仿照题意解方程，并检验即可； （3）先去分母得到，再利用十字相乘法分解因式得到，再仿照题意求解并检验即可； 【详解】（1）解： 方程两边同乘，得， 所以，， 因为，， 所以，， 所以，，或， 所以，，或， 检验：当或时，， 所以，原方程的解为． （2）解： 方程两边同乘，得， 所以，， 因为，， 所以， 所以，，或， 所以，，或， 检验：因为，是常数，且都不为零，所以，当或时，， 所以，原方程的解为． （3）解： 方程两边同乘，得， 所以，， 因为，， ∴， 所以，，或， 所以，，或， 检验：当或时，，因为，， 所以，， 所以，原方程的解为， 所以，； 考点5 一元二次方程根与系数的关系 28．（2024·青海西宁·一模）设、是一元二次方程的两根，则 ． 【答案】 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，利用根与系数的关系得到，然后将其代入所求的代数式计算即可．| 【详解】解：∵、是一元二次方程的两根， ∴， ∴， 故答案为： 29．（2024·湖北十堰·三模）若是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是 ． 【答案】11 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、一元二次方程的解 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．若一元二次方程的两个根为，则．由题意得，，，再代入计算即可求解． 【详解】解：由题意得：，，， ∴， ∴， 故答案为：11． 30．（2024·四川内江·二模）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ． 【答案】4049 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握方程根的定义和根与系数的关系，完全平方公式变形，整体代入法求代数式的值，是解决本题的关键．一元二次方程的两根为，则根与系数的关系为． 根据一元二次方程根的定义和根与系数的关系得到和，即得． 【详解】∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为：4049． 31．（2024·四川南充·三模）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题主要考查一元二次方程中根与系数的关系，掌握根的判别式，韦达定理是解题的关键． （1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则根的判别式大于零，由此即可求解； （2）根据韦达定理，通过配方法，用含的式子表示出两个的和，解参数方程并结合k的取值范围即可求解． 【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，，， ∴， ∴，整理得，， ∴， 故实数的取值范围为． （2）解：∵方程的两个根分别为， ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴ 解得，， ∵， ∴． 32．（2024·浙江·模拟预测）已知方程（x为实数），请你解答下列问题： (1)若，解此方程； (2)若，求证：此方程至少有一个实数根； (3)设此方程有两个不相等的实数根分别为．若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【知识点】解一元二次方程——配方法、一元二次方程的根与系数的关系、根据判别式判断一元二次方程根的情况 【分析】本题考查一元二次方程的知识，涉及一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，解一元二次方程． （1）将代入，利用配方法求解方程即可； （2）利用一元二次方程根的判别式，结合，得到，根据，即可证明； （3）根据题意原方程为，由一元二次方程根与系数的关系的到，再根据完全平方公式变形得到，从而得到，根据根的判别式得到即可证明结论． 【详解】（1）解：， 原方程为， 解得：； （2）证明：中， ， ， ， ， ， 此方程至少有一个实数根； （3）证明：根据题意原方程为，且方程有两个不相等的实数根分别为， ， ， ， 即， ． 33．（2024·福建龙岩·模拟预测）新定义：已知关于x的一元二次方程的两根之和与两根之积，分别是另一个一元二次方程的两个根，则一元二次方程称为一元二次方程的“再生韦达方程”，一元二次方程称为“原生方程”． 比如：一元二次方程的两根分别为，则，所以它的“再生韦达方程”为． (1)已知一元二次方程，求它的“再生韦达方程”； (2)已知“再生韦达方程”，求它的“原生方程”． 【答案】(1) (2)或 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、因式分解法解一元二次方程 【分析】题目主要考查一元二次方程根与系数的关系及因式分解法解一元二次方程，熟练掌握根与系数的关系是解题关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后根据新定义求解即可； （2）令它的“原生方程”两根分别为，根据题意得出，或，然后求解即可． 【详解】（1）解：解 得， 则，       所以一元二次方程的“再生韦达方程”为， 即； （2）解得， 令它的“原生方程”两根分别为， 则，或． 当，则所求“原生方程”为；           当，则所求“原生方程”为． 综上所述，它的“原生方程”为或． 考点6 一元二次方程的实际应用 增长率问题 34．（2024·湖南株洲·模拟预测）2022年清明节假期三天国内旅游出游0.75419亿人次，2024年清明节假期三天国内旅游出游1.19亿人次，设清明节假期三天国内旅游出游的年平均增长率为，根据题意可列列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据2022年清明节假期三天国内旅游出游0.75419亿人次，2024年清明节假期三天国内旅游出游1.19亿人次即可得到结论． 【详解】解：根据题意得：， 故选：A 35．（2024·全国·模拟预测）根据福建省统计局数据，福建省年的出生人数为万人，年的出生人数为万人．设这两年福建省出生人数的年平均下降率为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据年的出生人数及年的出生人数，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：， 故选：B． 36．（2024·湖南·模拟预测）“双碳”背景下，我国新能源汽车保有量已处于世界第一，随着消费人群不断增多，某款新能源汽车销售量持续增长，如果第三个月销售量的增长率是第二个月的2倍，第三个月的销售量是第一个月的3倍，设第一月月销售量为辆，第二个月销售量的增长率为，则可列出方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据第二个月销售量的增长率为，则第三个月销售量的增长率是，由第一月月销售量为辆，第三个月的销售量是第一个月的3倍，列出方程即可． 【详解】解：设第二个月销售量的增长率为，则第三个月销售量的增长率是， 根据题意得：， 故选：D． 37．（2024·安徽合肥·三模）某企业今年1月份的利润为500万元，2月份和3月份的利润合计为1200万元，设2月份和3月份利润的平均增长率为，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设2月份和3月份利润的平均增长率为，则2月份的利润为：，3月份的利润为：，根据2月份和3月份的利润合计为1200万元，可列出方程即可． 【详解】解：设2月份和3月份利润的平均增长率为， 则2月份的利润为：， 3月份的利润为：， 根据题意有：， 故选：D． 营销问题 38．（2024·福建龙岩·模拟预测）龙岩市公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】(1)设该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)该品牌头盔每个售价应定为50元 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用： （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得 解得（不合题意，舍去） 答：设该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得 整理，得 解得 因尽可能让顾客得到实惠 ，所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 39．（23-24九年级上·四川成都·阶段练习）为了全面落实“双减”政策，促进学生整体素质的均衡发展，师一学校小学部语文组的老师带领孩子们“泛舟书海”，举办了一系列丰富多彩的读书活动．小狮宝们纷纷把自己收藏的图书带到学校．充实班级“图书漂流角”和移动绘本小屋．语文组的老师对小学部借阅登记簿进行统计时发现，在4月份有1000名学生借阅了图书，5月份比4月份增加10%，6月份全校借阅图书人数比5月增加340人． (1)5月份借阅图书的学生人数______，6月份借阅图书的学生人数______， (2)求从4月份到6月份小学部借阅图书的学生人数的平均增长率？ (3)由于小学部小狮宝们读书情绪十分高涨，于是在国庆节后，学校决定派图书室陈老师去锦江区“幸福里书屋”再购买一批图书，书店老板透露在九月底他以每本8元的价格进货500本图书，然后按照每本9.6元的价格在国庆节全部售出；国庆节后老板去进货发现进货价上涨了，进货量比九月底增加，他以12元的价格全部售出后，比国庆节的总利润多1200元，求的值． 【答案】(1)1100，1440 (2)从4月份到6月份小学部借阅图书的学生人数的平均增长率为 (3) 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）5月份借阅图书的人数是，则6月份借阅图书的人数为：5月份借阅图书的人数人； （2）根据增长后的量增长前的量增长率）．设平均每年的增长率是，列出方程求解即可． （3）求出国庆节的总利润、国庆节后的进货量、进货价以及售价，再由题意：比国庆节的总利润多1200元，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1） 由题意，得5月份借阅图书的人数是：（人， 则6月份借阅图书的人数为：（人， 故答案为：1100，1440； （2） 设平均增长率为． 解得： 答：从4月份到6月份小学部借阅图书的学生人数的平均增长率为； （3）国庆节的总利润为：（元， 国庆节后的进货量为：本，进货价为：， 由题意得：， 解得：或（不符合题意舍去）， ， 答：的值为． 40．（2024·重庆渝中·模拟预测）民族要复兴，乡村必振兴!新时代新征程，某县“三农”一定高扬新重庆“敢闯敢干、唯实争先”主旋律，持续奋斗、不尾使命，奋力推动农业农村优先发展．某县去年广柑大获丰收，果农李大爷共售出A、B两种广柑千克，A种广柑售价是3元/千克，B种广柑售价是4元/千克，全部售出后总销售额为元． (1)去年，果农李大爷售出A、B两种广柑各多少千克? (2)今年广柑又获得丰收，李大爷借助直播平台销售广柑，A种广柑让利销售，其单价比去年下降了，B种广柑的单价比去年上涨了，结果A种广柑的销量是去年销量的2倍，B种广柑的销量比去年销量减少了，总销售额比去年增加了．求a的值． 【答案】(1)果农李大爷售出A种广柑千克，则售出B种广柑千克 (2) 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用)、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程、一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题关键． （1）设果农李大爷售出A种广柑千克，则售出B种广柑千克，由题意得：，即可求解； （2）由题意得：，即可求解； 【详解】（1）解：设果农李大爷售出A种广柑千克，则售出B种广柑千克， 由题意得： 解得： ∴ ∴果农李大爷售出A种广柑千克，则售出B种广柑千克 （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：（舍去） ∴ 与图形有关的问题 41．（2024·辽宁铁岭·一模）京哈高速公路辽宁绥中至盘锦改扩建工程已经施工，计划2026年10月底建成通车．在施工中，某路段为了避免冬季低温对沥青黏度带来的不利影响，原计划30天的摊铺任务，仅用了12天就全部完成．实际每天摊铺的长度比原计划多120米． (1)求原计划每天摊铺沥青多少米． (2)如图是京哈高速公路辽宁段某服务区的一幅旅游广告图，整幅图是在两张风景区图片的基础上，四周及两张图中间镶以宽度相等的木质框架而成．若两张风景区图片的长都为3米，宽都为2米，镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的．求镶上的木质框架的宽为多少米． 【答案】(1)原计划每天铺设轨道80米 (2)镶上的木质框架的宽为0.2米 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程和一元二次方程的应用，找出等量关系，列出方程是解决问题的关键． （1）设原计划每天铺设轨道x米，根据原计划30天的摊铺任务，仅用了12天就全部完成，列出一元一次方程，即可求解； （2）设镶上的木质框架的宽为y米，根据“镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的”列出一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）设原计划每天铺设轨道x米， 根据题意得：， 解得：， 答：原计划每天铺设轨道80米； （2）设镶上的木质框架的宽为y米， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：镶上的木质框架的宽为0.2米． 42．为培养学生正确的劳动价值观和良好的劳动品质．某校为此规划出矩形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为15米）另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成面积相等的两个区域，并在如图所示的两处各留1米宽的门（门不用木栏），修建所用木栏总长28米，设矩形的一边长为x米．    (1)矩形的面积为，求出的长 (2)矩形的面积能否为，若能，请求出的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)的长为米 (2)不能，理由见解析 【知识点】根据矩形的性质求面积、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）根据题意，求出的长，利用矩形的面积为长乘宽，列出一元二次方程，进行求解即可； （2）同（1）列出方程，判断判别式的符号，即可得出结论． 【详解】（1）解：设矩形的一边长为x，则：， 由题意，得：， 解得：， 当时，，不合题意，舍去； ∴， ∴的长为米； （2）不能，理由如下： 由题意，得：， 整理，得：， ∴， ∴一元二次方程没有实数根， ∴矩形的面积不能为． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．正确的识图，掌握矩形的面积公式，准确的列出方程，是解题的关键． 43．（2024·辽宁·模拟预测）如图，公园原有一块长、宽 的矩形空地．后来在这块空地中划出不同区域种植不同品种的鲜花，中间铺设同样宽度的石子路将各区域间隔开．已知各区域鲜花面积的和为，求所铺设的石子路的宽度． 【答案】所铺设的石子路的宽度为 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设铺设的石子路的宽度为，根据种植花卉的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：设所铺设的石子路的宽度为． 根据题意，得． 解得（不合题意，舍去）． 答：所铺设的石子路的宽度为． 44．（2024·江苏苏州·二模）“今天立夏，过来吃碗三虾面．”在百年老字号裕面堂内，一位老苏州说，苏州人立夏传统“尝三鲜”是蚕豆、苋菜、蒜苗，今年立夏提前吃碗夏令三虾面尝尝鲜．为了抓住这一商机，两商户决定生产预制面．据统计，甲商户每小时生产600包，乙商户每小时生产800包，甲乙两商户每天共生产16小时，且每天生产的三虾面总包数为11400包． (1)甲、乙两商户每天分别生产多少小时？ (2)由于三虾面在网上直播热销，客户纷纷追加订单，两商户每天均增加了生产时间，其中甲商户比乙商户多增加2小时，在整个生产过程中，甲商户每小时产量不变，而乙商户由于机器损耗及人员不足，每增加一个小时，每小时产量将减少140包，这样两商户一天生产的面条总量将比原来多1200包．求：甲商户增加的生产时间为多少小时？ 【答案】(1)甲、乙两商户每天分别生产小时和小时 (2)甲商户增加的生产时间为3小时 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)、其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元二次方程的应用，正确的列出方程组和一元二次方程，是解题的关键： （1）设甲、乙两商户每天分别生产小时和小时，根据甲乙两商户每天共生产16小时，且每天生产的三虾面总包数为11400包，列出方程组进行求解即可； （2）设甲商户增加的生产时间为小时，根据两商户一天生产的面条总量将比原来多1200包，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两商户每天分别生产小时和小时， 则：，解得：； 答：甲、乙两商户每天分别生产小时和小时； （2）设甲商户增加的生产时间为小时，则：乙商户增加的生产时间为小时，由题意，得：， 解得：或（不合题意，舍去）； 答：甲商户增加的生产时间为3小时． 45．（2024·江苏泰州·二模）某地建立了一个劳动实践基地，小亮从中了解到如下信息： 信息1：2025年计划将100亩的土地全部种植甲乙两种蔬菜；其中，甲种蔬菜种植面积不少于20亩，乙种蔬菜种植面积不少于50亩； 信息2：甲种蔬菜每亩种植成本y（单位：元）与其种植面积x（单位：亩）之间满足函数关系为：乙种蔬菜每亩种植成本为50元． 根据以上信息完成下列问题： (1)若甲种蔬菜每亩种植成本30元，求乙种蔬菜总种植成本； (2)如何分配两种蔬菜的种植面积，使甲乙两种蔬菜总种植成本为4272元？ 【答案】(1)3000元 (2)甲种蔬菜种植28亩，乙种蔬菜种植72亩 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、一元一次不等式组的其他应用、其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，不等式组的应用，解题的关键是理解题意，根据题意列出相应的方程和不等式． （1）先将代入，得出，求出乙种蔬菜的种植面积，然后求出乙种蔬菜的种植成本即可； （2）根据甲乙两种蔬菜总种植成本为4272元，得出，求出x的值，根据甲种蔬菜种植面积不少于20亩，乙种蔬菜种植面积不少于50亩，求出，得出结果即可． 【详解】（1）解：令， ∴， 解得：， ∴乙种蔬菜种植面积为（亩）， （元） 答：乙种蔬菜总种植成本为3000元． （2）解：由题意可得：， 整理得：， 解得：，， ∵且， ∴， ∴，此时乙种蔬菜种植（亩） 答：甲种蔬菜种植28亩，乙种蔬菜种植72亩． 真题过关检测 46．（2024·山东德州·中考真题）把多项式进行配方，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】配方法的应用 【分析】本题主要考查完全平方公式，利用添项法，先加上一次项系数一半的平方使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 根据利用完全平方公式的特征求解即可； 【详解】解： 故选B． 47．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程的两个根，则这个三角形的周长为（　　） A．或 B．或 C． D． 【答案】C 【知识点】因式分解法解一元二次方程、三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得，，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为，进而即可求出三角形的周长，掌握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：由方程得，，， ∵， ∴等腰三角形的底边长为，腰长为， ∴这个三角形的周长为， 故选：． 48．（2024·江苏南通·中考真题）红星村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产．求水稻每公顷产量的年平均增长率．设水稻每公顷产量的年平均增长率为x．列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷，则2023年平均每公顷产，根据题意列出一元二次方程即可． 【详解】解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为x，则2022年平均每公顷产， 则2023年平均每公顷产， 根据题意有：， 故选：A． 49．（2024·内蒙古·中考真题）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键．先求出宽为步，再利用矩形的面积公式列出方程即可得． 【详解】解：由题意可知，宽为步， 则可列方程为， 故选：C． 50．（2024·山东济南·中考真题）若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，由题意得出，计算即可得出答案． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 故选：B． 51．（2024·江苏宿迁·中考真题）规定：对于任意实数a、b、c，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于x的方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【知识点】新定义下的实数运算、一元二次方程的定义、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】此题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据题意得到，再由有两个不相等的实数根得到，且，即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴，即， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且， 故选：D． 52．（2024·黑龙江绥化·中考真题）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是和；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和．则原来的方程是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出原方程中，，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵小影在化简过程中写错了常数项，得到方程的两个根是和； ∴， 又∵小冬写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是和． ∴ A. 中，，，故该选项不符合题意； B. 中，，，故该选项符合题意； C. 中，，，故该选项不符合题意； D. 中，，，故该选项不符合题意； 故选：B． 53．（2024·山东日照·中考真题）已知，实数是关于x的方程的两个根，若，则k的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此得到，再由得到，据此可得答案． 【详解】解：是关于x的一元二次方程的两个根， ． ， ， ∴ ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 故选：B． 54．（2024·江苏徐州·中考真题）关于x的方程有两个相等的实数根，则k值为 ． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴，即， 解得：， 故答案为：． 55．（2024·四川巴中·中考真题）已知方程的一个根为，则方程的另一个根为 ． 【答案】4 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系．设方程的另一个根为m，根据两根之和等于，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设方程的另一个根为m， ∵方程有一个根为， ∴， 解得：． 故答案为：4． 56．（2024·山东德州·中考真题）已知a和b是方程的两个解，则的值为 ． 【答案】2028 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、一元二次方程的解、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再代值求解即可． 【详解】解：∵a和b是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2028． 57．（2024·山东淄博·中考真题）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】(1)该市参加健身运动人数的年均增长率为 (2)购买的这种健身器材的套数为200套 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【详解】（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为； （2）解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于100套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 58．（2023·山东东营·中考真题）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．    (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ (2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈； (2)不能，理由见解析． 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． 【详解】（1）解：设矩形的边，则边． 根据题意，得． 化简，得． 解得，． 当时，； 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈． （2）解：不能，理由如下： 由题意，得． 化简，得． ∵， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键． 59．（2023·湖北宜昌·中考真题）为纪念爱国诗人屈原，人们有了端午节吃粽子的习俗．某顾客端午节前在超市购买豆沙粽10个，肉粽12个，共付款136元，已知肉粽单价是豆沙粽的2倍． (1)求豆沙粽和肉粽的单价； (2)超市为了促销，购买粽子达20个及以上时实行优惠，下表列出了小欢妈妈、小乐妈妈的购买数量（单位：个）和付款金额（单位：元）； 豆沙粽数量 肉粽数量 付款金额 小欢妈妈 20 30 270 小乐妈妈 30 20 230 ①根据上表，求豆沙粽和肉粽优惠后的单价； ②为进一步提升粽子的销量，超市将两种粽子打包成A，B两种包装销售，每包都是40个粽子（包装成本忽略不计），每包的销售价格按其中每个粽子优惠后的单价合计．A，B两种包装中分别有m个豆沙粽，m个肉粽，A包装中的豆沙粽数量不超过肉粽的一半．端午节当天统计发现，A，B两种包装的销量分别为包，包，A，B两种包装的销售总额为17280元．求m的值． 【答案】(1)豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元 (2)①豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元；② 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）设豆沙粽的单价为x元，则肉粽的单价为元，依题意列一元一次方程即可求解； （2）①设豆沙粽优惠后的单价为a元，则肉粽优惠后的单价为b元，依题意列二元一次方程组即可求解； ②根据销售额=销售单价销售量，列一元二次方程，解之即可得出m的值． 【详解】（1）解：设豆沙粽的单价为x元，则肉粽的单价为元， 依题意得， 解得； 则； 所以豆沙粽的单价为4元，肉粽的单价为8元； （2）解：①设豆沙粽优惠后的单价为a元，则肉粽优惠后的单价为b元， 依题意得，解得， 所以豆沙粽优惠后的单价为3元，肉粽优惠后的单价为7元； ②依题意得， 解得或， ， ∴， ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、二元一次方程组的应用和一元一次方程的应用，根据题意找到题中的等量关系列出方程或方程组是解题的关键． 60．（2022·湖北宜昌·中考真题）某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产量是3月份的2倍少100吨． (1)求4月份再生纸的产量； (2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5月份再生纸产量比上月增加．5月份每吨再生纸的利润比上月增加，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求的值； (3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了．求6月份每吨再生纸的利润是多少元？ 【答案】(1)4月份再生纸的产量为500吨 (2)的值20 (3)6月份每吨再生纸的利润是1500元 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】（1）设3月份再生纸产量为吨，则4月份的再生纸产量为吨，然后根据该厂3，4月份共生产再生纸800吨，列出方程求解即可； （2）根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可； （3）设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为，5月份再生纸的产量为吨，根据总利润=每一吨再生纸的利润×数量列出方程求解即可； 【详解】（1）解：设3月份再生纸产量为吨，则4月份的再生纸产量为吨， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：4月份再生纸的产量为500吨； （2）解：由题意得：， 解得：或（不合题意，舍去） ∴， ∴的值20； （3）解：设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为，5月份再生纸的产量为吨， ∴ 答：6月份每吨再生纸的利润是1500元． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，一元二次方程的应用，正确理解题意，列出方程求解是解题的关键． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$