2025年九年级中考数学一轮复习考点过关练 第5讲 一次方程(组)

第5讲 一次方程（组） 考点1 等式的基本性质 5 考点2 一元一次方程的求解 8 考点3 二元一次方程组及方程组的解 13 考点4 二元一次方程组的求解 16 考点5 列二元一次方程组 24 考点6 一次方程（组）的实际应用问题 27 销售盈亏问题 27 行程问题 30 工程问题 32 分配问题 35 方案选择问题 37 配套问题 40 真题过关检测 42 一、等式及等式的性质 等式的概念 用等号“＝”连接，表示相等关系的式子，叫做等式．在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边． 等式基本性质 等式两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），所得结果仍是等式． 用字母表示为：如果，那么 等式基本性质 等式两边同时乘以同一个数（或式子），或除以同一个不为零的数（或式子），所得结果仍是等式． 用字母表示为：如果，那么；如果且，那么 等式基本性质 等式具有传递性，如果，，那么 二、一元一次方程 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程．这里的“元”是指未知数的个数，“次”是指含未知数的项的最高次数． 形式 一元一次方程的标准形式：（，，是已知数）． 一元一次方程的最简形式：（，，是已知数）． 方程的解 使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解； 求得方程的解的过程，叫做解方程． 三、一元一次方程的解法 步骤 具体做法 依据 注意事项 去分母 在方程两边同乘以各分母的最小公倍数 等式性质2 ①不含分母的项不要漏乘 ②注意分数线有括号作用，去掉分母后，如果分子是多项式，要加括号 去括号 由内向外去括号，即先去小括号，再去中括号，最后去大括号 分配律， 去括号法则 ①运用分配律去括号时，不要漏乘括号内的项 ②如果括号前是“－”号，去括号时，括号内各项要变号 移项 把含未知数的项都移到方程的一边（通常是左边），不含未知数的项都移到方程的另一边 等式性质1 ①移项必须变号 ②一般把含未知数的项移到左边，其他项移到右边 合并同 类项 把方程两边同类项分别合并，把方程化为的形式 合并同类 项法则 合并同类项是同类项的系数相加，字母及其指数不变 未知数 系数化1 方程两边同除以未知数系数a，得到方程的解 等式性质2 应注意系数a不能等于0 四、二元一次方程组 1．二元一次方程 定义 含有两个未知数，并且所含未知数项的次数都是1的方程. 判定 1．方程两边的代数式都是整式——分母中不能含有字母； 2．有两个未知数——“二元”； 3．含有未知数的项的最高次数为1——“一次”． 4．未知数的系数不为0 解 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的一组取值叫做二元一次方程的解．在写二元一次方程解的时候我们用大括号联立表示． 2．二元一次方程组 定义 由几个一次方程组成并且一共含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 解 二元一次方程组中所有方程（一般为两个）的公共解叫做二元一次方程组的解. 五、二元一次方程组的解法 1.消元思想 概念 二元一次方程组中有两个未知数，如果能“消去”一个未知数，那么就能把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程．这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做“消元” 意义 使用“消元法”减少未知数的个数，使多元方程组最终转化为一元方程，再逐步解出未知数的值． 2.代入消元法 定义 将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做代入消元法． 步骤 1．等量代换：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如），用另一个未知数（如）的代数式表示出来，即将方程写成的形式； 2．代入消元：将代入另一个方程中，消去，得到一个关于的一元一次方程； 3．解这个一元一次方程，求出的值； 4．回代：把求得的的值代入中求出的值，从而得出方程组的解； 5． 把这个方程组的解写成的形式． 3.加减消元法 定义 当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法． 步骤 1．变换系数：利用等式的基本性质，把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等； 2．加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 3．解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； 4．回代：将求出的未知数的值代入原方程组的任何一个方程中，求出另一个未知数的值； 5． 把这个方程组的解写成的形式． 4.解含参数的二元一次方程组 形式 对于关于、的二元一次方程组：（、、、为已知数，且与、与、与、与都不能同时为0）． 方法 把含参的二元一次方程组化为含参一元一次方程，再分类讨论 结论 1．当时，方程组有唯一解，为； 2．当时，原方程组有无数多组解； 3．当时，原方程组无解． 思考：是否可以通过消元把二元一次方程组转化为一元一次方程，按一元一次方程来讨论呢？ 四、一次方程(组)的应用 1.列方程(组)解应用题的基本步骤和方法 步骤 要求 注意事项 审题 读懂题目、弄清题意、找出能够表示应用题全部含义的相等关系 审题是分析解题的过程，解答过程中不用体现出来 设元 ①设未知数 ②把各个量用含未知数的代数式表示出来 ①设未知数一般是问什么，就直接设什么为x，即直接设元； ②直接设元有困难时，可以间接设元 列方程 根据等量关系列出方程 避免列出恒等式 解方程 解这个方程(组)，求出未知数的值 如果是间接设元，求出的未知数还需要利用其他算式得到所求的量 检验 把方程的解代入方程检验，或根据实际问题进行检验 ①列一次方程(组)解应用题检验的步骤在解答过程中不用写出来； ②方程(组)的解要符合实际问题 作答 写出答案，作出结论 这一步在列方程解应用题中必不可少，是一种规范要求 2.应用题的类型和每个类型所用到的基本数量关系 等积类应用题的基本关系式 变形前的体积（容积）＝变形后的体积（容积） 调配类应用题的特点 调配前的数量关系，调配后又有一种新的数量关系 商品利润率问题 商品的利润率， 商品利润＝商品售价－商品进价 利息类应用题的基本关系式 本金×利率＝利息，本金＋利息＝本息 工程类应用题 工程类应用题中的工作量并不是具体数量，因而常常把工作总量看作整体1 工作效率＝工作总量÷工作时间 行程类应用题基本关系 路程＝速度×时间 相遇问题 甲走的路程＋乙走的路程＝总路程 追及问题 追者走的路程＝前者走的路程＋两地间的距离 环形跑道题 甲、乙两人在环形跑道上同时同地同向出发 快的必须多跑一圈才能追上慢的 甲、乙两人在环形跑道上同时同地反向出发 两人相遇时的总路程为环形跑道一圈的长度 飞行问题、航行问题，基本等量关系 0. 顺风速度＝无风速度＋风速 0. 逆风速度＝无风速度－风速 0. 顺水速度＝静水速度＋水速 0. 逆水速度＝静水速度－水速 拓展 绝对值方程 型方程 ①当时，方程有两个解．如，则； ②当时，方程有唯一解．如，则； ③当时，方程无解．如，则方程无解． 型方程 ①当时，原方程等价于方程或．如方程，等价于或； ②当时，原方程等价于方程．如方程，等价于； ③ 当时，原方程无解． 型方程 我们已经学过，一个数的绝对值的定义是：当时，； 当时，． 这个定义说明只要我们知道绝对值内的数或代数式的正负，就可以按照定义去掉绝对值号了． 所以我们可以先分类讨论绝对值内部部分的正负，然后化作一般方程求解． 注意：最终的解一定要符合其所对应的分类前提，否则就要舍去． 例如，解关于x的方程：绝对值内部为，我们对分类讨论． ①当时，，原方程化为，解得．但是由于不满足的前提要求，所以舍去； ②当时，，原方程化为，解得．检验满足的前提要求，所以是原方程的解． 考点1 等式的基本性质 1．（2024·贵州贵阳·一模）用“□”“△”“○”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示．设a，b，c均为正数，则能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】A 【知识点】等式的性质 【分析】本题考查等式的性质，根据天平两端相等即可求得答案． 【详解】解：由图形可得如果，那么， 故选：A． 2．（2024·山东潍坊·模拟预测）已知等式，则下列等式中成立的是（      ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】等式的性质 【分析】根据等式的性质逐个判断即可．本题考查了等式的性质，能熟记等式的性质是解此题的关键，注意：等式的性质1：等式的两边都加（或减）同一个数或式子，等式仍成立；等式的性质2：等式的两边都乘同一个数或式子，等式仍成立，等式的两边都除以同一个不等于0的数或式子，等式仍成立． 【详解】解：A．， 等式两边都乘，得，故本选项不符合题意； B．， 等式两边都减去5，得，故本选项符合题意； C．， 等式两边都除以3，得，故本选项不符合题意； D．， 等式两边都加1，得，故本选项符合题意 故选：BD． 3．（2024·四川广安·模拟预测）幻方，相传最早见于我国的“洛书”，如图1的洛书，每一行、每一列以及每条斜对角线上的点数之和都相等，转换为数字如图2所示，它是一种三阶幻方．根据三阶幻方规则，由图3中已知数求出的值为（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】A 【知识点】等式的性质 【分析】本题考查等式的性质．由题意，可得：，求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选：A． 4．（2023·内蒙古包头·二模）设、、是实数，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【知识点】等式的性质 【分析】根据等式的性质，即可一一判定． 【详解】解：A.若，则，故该选项错误，不符合题意； B.若，则，故该选项正确，符合题意； C.若且，则，故该选项错误，不符合题意； D. 若，则，故该选项错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握和运用等式的性质是解决本题的关键． 5．（2024·安徽蚌埠·三模）若实数满足，则代数式的值为（    ）． A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】D 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、等式的性质 【分析】本题主要考查了代数式求值、等式的性质等知识点，根据等式的性质对等式进行变形成为解题的关键． 由可得，然后对进行变形并将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选D． 6．（2024·安徽·二模）已知三个实数a，b，c，满足，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】等式的性质 【分析】本题主要考查了等式的性质，正确记忆等式的性质并正确做出判断是解题的关键． 利用得到， 再推出即可． 【详解】， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 考点2 一元一次方程的求解 7．（2024·甘肃兰州·模拟预测）下列等式是四位同学解方程过程中去分母的一步，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查解一元一次方程，把等式两边分别乘以即可求解． 【详解】解：， 去分母得，， 故选：C． 8．（2024·辽宁·模拟预测）在解方程时，经过移项后的式子为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】该题主要考查了一元一次方程的解法，解题的关键是掌握一元一次方程的解法． 根据一元一次方程的解法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为一的方法解答即可． 【详解】解：， 移项得， 化简得， 故选：A． 9．（2024·广东深圳·二模）下列变形，正确的是（     ） A．由，移项，得 B．由，去括号，得 C．由，合并同类项，得 D．由，去分母得 【答案】C 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，注意移项变号、去分母每一项要同时乘以分母的最小公倍数、括号前是“”号，去括号时括号内各项要变号，熟知一元一次方程解题步骤是关键． 【详解】解： A、原式移项得，移项时未变号； B、原式去括号得，括号前是“”号，去括号时括号内各项要变号； C、原式合并同类项正确； D、原式去分母得，去分母时，每一项要同时乘以分母的最小公倍数． 故选：C ． 10．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，为有理数，且，若关于的一元一次方程的解恰为，则此方程称为“合并式方程”．例如：，∵，且是方程的解，∴此方程为“合并式方程”．若关于的一元一次方程是“合并式方程”，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题考查了一元一次方程的解，由“合并式方程”的定义列方程求解即可，理解一元一次方程的解得定义以及“合并式方程”的定义是解题的关键． 【详解】∵一元一次方程是“合并式方程”， ∴是方程的解， ∴， 解得， ∴的值为， 故选：． 11．（2024·湖南·模拟预测）在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在…中，“…”代表按规律不断求和，设．则有，解得，故．类似地的结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数字类规律探索、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查解一元一次方程和数字的变化规律，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．设，知，据此可得，再进一步求解可得． 【详解】解：设， 则， ， 解得， ， ， 故选：A 12．（2024·辽宁锦州·模拟预测）已知a，b都是实数，设点，若满足，则称点P为“新奇点”．若点是“新奇点”，则M的坐标为 ． 【答案】 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查新定义．根据新定义确定m的值．解题关键是理解新定义． 根据“新奇点”的定义，得方程．求解得出的值，从而求出点的坐标，即可求解． 【详解】解：∵点是“新奇点”， ∴． 解得：． ∴． ∴点M的坐标为． 故答案为：． 13．（2023·湖南怀化·模拟预测）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查一元一次方程的基本求解步骤，关键在于熟练和理解每个步骤对求解的作用． （1）对方程去括号、移项、合并同类项，未知数系数化为1，即可； （2）对方程去分母，然后去括号、移项、合并同类项，未知数系数化为1，即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母 【分析】本题考查解一元一次方程，掌握解方程的步骤是解题的关键． （1）先将分母去掉，然后再把括号去掉，再移项、合并同类项，系数化1即可得出x的值； （2）先整理，然后去分母，去括号，再移项、合并同类项，系数化1即可得出x的值； 【详解】（1） 去分母得：， 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得：； （2）． 去分母得： 去括号得： 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得：． 考点3 二元一次方程组及方程组的解 15．若方程是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【知识点】二元一次方程的定义 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，含有两个未知数并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程． 直接根据二元一次方程的定义列方程求值即可． 【详解】解：∵是关于x，y的二元一次方程， ∴，解得：． 故选D． 16．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）青少年辩论社团共有40名学生，为方便开展活动，计划分成若干个小组，每小组只能是5人或6人，则有几种分组方案（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查的是二元一次方程的解，解题关键是根据题目意思列出含x和y的方程． 设5人一组的有x个，6人一组的有y个，列出方程，再令x为大于等于1的整数，逐一进行计算，即可得出答案． 【详解】设5人一组的有x个，6人一组的有y个，根据题意可得： ， 当，则（不合题意）； 当，则； 当，则（不合题意）； 当，则（不合题意）； 当，则（不合题意）； 当，则（不合题意）； 当，则（不合题意）； 当，则； 故有2种分组方案． 故选：C． 17．（2024·北京顺义·二模）已知方程组的解为，写出一个满足条件的二元一次方程组 ． 【答案】(答案不唯一) 【知识点】二元一次方程的解 【分析】此题考查了二元一次方程组的解的定义．此题属于开放题，要理解方程组的解的定义，围绕解列不同的算式即可列不同的方程组． 所谓方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．在求解时，应先围绕列一组算式，如，，然后用，代换，得等． 【详解】解：先围绕列一组算式， 如，， 然后用、代换， 得等， 答案不唯一，符合题意即可． 故答案为：(答案不唯一)． 18．（2024·河南·一模）已知二元一次方程，请写出该方程的一组正整数解 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，掌握方程的解使方程左右两边相等的未知数的值成为解题的关键． 先用x表示出y，然后列举合适的y的值即可解答． 【详解】解：由可得：， 当时，， 则方程的一组整数解为． 故答案为：（答案不唯一）． 19．（2024·河南周口·二模）若，是关于x，y的二元一次方程的一组解，则 ． 【答案】 【知识点】二元一次方程的解 【分析】本题考查了二元一次方程的解，将代入，即可求得，熟知能使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解，是解题的关键． 【详解】解：是关于x，y的二元一次方程的一组解， ，解得 故答案为：． 20．（2023·辽宁沈阳·三模）关于的二元一次方程组的解是，则的值为 ． 【答案】0 【知识点】二元一次方程的解、已知二元一次方程组的解求参数 【分析】把的值代入方程计算求出的值，代入进行计算即可得到答案． 【详解】解：把代入， 得：， 解得：， ， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 考点4 二元一次方程组的求解 21．（2024·广东·模拟预测）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】加减消元法 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）利用加减消元法进行计算即可； （2）先将方程组整理成一般式，再利用加减消元法求解可得． 【详解】（1）解：， ，， 解得， 把代入①，， 解得， ∴原方程组的解是； （2）解：， 化简方程组可得，， 得，， 解得， 将代入②，得， ∴方程组的解为． 22．（2024·山东临沂·模拟预测）关于x，y的方程组的解中x与y的和小于5，则k的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知二元一次方程组的解的情况求参数、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查根据二元一次方程组的解的情况求参数、解一元一次不等式，把两个方程相减，可得，进而可得，再求解即可． 【详解】解：， 由得，， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 23．（2024·山东枣庄·模拟预测）关于x，y的方程组的解满足，则的值是 ． 【答案】8 【知识点】幂的乘方的逆用、同底数幂的除法运算、已知二元一次方程组的解的情况求参数 【分析】本题考查了根据二元一次方程解的情况求参数，同底数幂除法，幂的乘方，熟练求出m、n的关系是解题的关键． 将方程组中两个方程相减，得到，即，由求出，再根据幂的乘方与同底数幂的除法即可求解． 【详解】解：， ，得， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：8 24．（2024·山东·一模）已知，则的值分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】异分母分式加减法、构造二元一次方程组求解 【分析】 本题考查了分式的加减和二元一次方程组的解法，先对等号右边的分式进行加减，根据等号左右两边相等，得到关于的二元一次方程组，求解即可，根据分式方程的左右两边相等，得到关于的方程组是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴， 解得：， 故选：A． 25．（2024·黑龙江大庆·二模）若方程组 的解是 ，则方程组 的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，能根据题意求出方程组中是解此题的关键．把第二个方程组变形得出，再根据方程组的解是得出方程组中，再求出、即可． 【详解】解：方程组化为：， 方程组的解是， 方程组中， 解得：， 即方程组的解是． 故选：D 26．（2024·山东临沂·二模）已知关于x，y的方程组的解是则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 仿照已知方程组的解确定出所求方程组的解即可． 【详解】∵方程组的解是， ∵方程组可化为， 的解是，即， 故选：B． 27．（2024·江苏扬州·三模）设是从，0，3这三个数中取值的一列数，若，，则（    ） A．154 B．155 C．156 D．157 【答案】D 【知识点】数字类规律探索、构造二元一次方程组求解 【分析】本题考查的是数字的变化规律和二元一次方程组的应用，熟练掌握上述知识点是解题的关键． 根据题意，设这一列数中有个，个3，可列，即可求出与的值，再将其代入中计算即可． 【详解】解：设这一列数中有个，个3， 可列， 解得：， ， 故选：D． 28．（2024·湖南长沙·一模）已知方程组和方程组有相同的解，求，的值． 【答案】， 【知识点】方程组相同解问题、加减消元法 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解题关键．利用加减消元法解方程组得到的值，再把的值代入方程组求解即可得到答案． 【详解】解：根据题意，可有， ①②，可得 ， 解得 ， 把代入①，可得， 解得， ∴该方程组的解为， ∵方程组和方程组有相同的解， ∴，． 29．（2021·广东汕头·一模）甲、乙两人同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为 （1）求a，b的值； （2）若关于x的一元二次方程两实数根为，，且满足，求实数m的值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】二元一次方程组的错解复原问题、一元二次方程的根与系数的关系 【分析】（1）将代入方程②求出b的值，将代入方程①求得a的值，即可得出答案， （2）再将a，b的值代入中，再利用根与系数的关系得到方程组，解出两个根，即可得出m的值． 【详解】解：（1）根据题意得解得 （2）当时，一元二次方程化为， 由根与系数关系得， 联成方程组得，解得 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解和解二元一次方程组，一元二次方程以及根与系数的关系，正确理解题意是解题的关键． 30．（2024·山西大同·模拟预测）阅读下列材料，并完成相应的任务． 换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量，变量求出结果之后，返回去求原变量的结果，换元法是数学中重要的解题方法，对于一些较繁较难的数学问题，若能根据问题的特点进行巧妙的换元，则可以收到事半功倍的效果，下面以一个例题来说明． 例1：计算：． 解：设，则原式． 请你利用上述方法解答下列问题： (1)计算：； (2)已知方程组的解是，则方程组的解是 ． 【答案】(1) (2) 【知识点】整式乘法混合运算、二元一次方程组的特殊解法 【分析】本题考查了换元法解复杂式子以及二元一次方程组，整式的乘法运算，解决本题（2）的关键是先求、的解，再求、的值． （1）仿照例题的思路，设，分别表示原式，然后进行整式乘法运算即可； （2）根据加减法，可得、的解，再根据解方程，可得答案． 【详解】（1）解：依题意， 设， （2）解：方程组的解是， 同理方程组中 考点5 列二元一次方程组 31．（2024·四川成都·二模）我国古代数学著作《九章算术》有题如下：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平；并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”其大意是：现在有5只雀和6只燕，用秤来称它们，发现雀比较重，燕比较轻．将一只雀和一只燕交换位置，重量相等；5只雀和6只燕的重量为一斤．问每只雀和每只燕各重多少斤？设每只雀为x斤，每只燕为y斤，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组、古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】根据“将一只雀和一只燕交换位置，重量相等”和“5只雀和6只燕的重量为一斤”建立方程即可． 【详解】解：设每只雀重x斤，每只燕重y斤， 根据题意，得， 故选：A． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组，理解题意，正确找出等量关系是解题关键． 32．（2024·浙江宁波·模拟预测）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足．问兽、禽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头和46只脚，问兽、鸟各多少？设兽有x个，鸟有y只，列出的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据兽与鸟共有76个头与46只脚，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：∵兽与鸟共有76个头， ∴； ∵兽与鸟共有46只脚， ∴． ∴根据题意可列方程组． 故选：B． 33．（2024·浙江杭州·一模）《九章算术》中有一题：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”译文：现有几个人共同买金，每人出400钱，多出3400钱；每人出300钱，多出100钱．那么人数，金价各是多少？设人数为人，金价为元，则可列出方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，设合伙人数为人，金价钱，根据“每人出400钱，会剩余3400钱，每人出300钱，会剩余100钱”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设合伙人数为人，金价钱， ∵每人出400钱，会剩余3400钱， ∵每人出钱300，会剩余100钱， ， 联立组成方程组得，即， 故选：A． 34．（2023·山东泰安·模拟预测）小李家去年节余元，今年可节余元，并且今年收入比去年高，支出比去年低，今年的收入与支出各是多少？设去年的收入为元，支出为元，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中等量关系．根据题意可得等量关系：①去年的收入支出元；②今年的收入支出元，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设去年的收入为元，支出为元， 由题意得：， 即， 故选：C． 35．（2019·河南·一模）如图所示，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为x，宽为y，则依据题意可得二元一次方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】设每一个小长方形的长为x，宽为y，根据大长方形的宽为15及小长方形的长与宽之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设每一个小长方形的长为x，宽为y， 依题意，得：． 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 考点6 一次方程（组）的实际应用问题 销售盈亏问题 36．（2024·安徽合肥·模拟预测）某商场销售A，B两种品牌的营养早餐牛奶，其中A品牌牛奶原售价为60元/箱，B品牌牛奶原售价为80元/箱．某校决定在该商场购进A，B两种品牌牛奶共100箱，恰逢商场对两种品牌牛奶的售价进行调整，A品牌牛奶每箱售价比原售价降低了，B品牌牛奶每箱按原售价的8折出售． (1)设学校购进A品牌牛奶x箱，请直接在表格中填写结果； 品牌 购买单价（元/箱） 购买量（箱） 购买总价（元） A x ____________ B ____________ (2)如果该校此次购买A，B两种品牌牛奶的总费用为5800元，那么该校此次购买多少箱B品牌牛奶？ 【答案】(1)见解析 (2)40箱 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，理解题意是关键． （1）由单价乘以数量可得答案； （2）由购买A，B两种品牌牛奶的总费用为5800元，再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：填表如下： 品牌 购买单价（元/箱） 购买量（箱） 购买总价（元） A x B （2）解：由题意得， 解得， ∴（箱）， 答：该校此次购买40箱B品牌牛奶． 37．（2024·广东深圳·模拟预测）宝安公明腊肠是深受当地民众喜爱的一种美食，其制作技艺至今已有百余年历史，该项目2017年被列入宝安区区级非物质文化遗产保护名录．某腊肠制作坊计划购买A，B两种香料制作腊肠．已知购买1千克A种香料和1千克B种香料共需60元，购买3千克A种香料和4千克B种香料共需220元． (1)求A，B两种香料的单价； (2)该小吃店计划购买两种香料共20千克，其中购买A种香料的重量不超过B种香料重量的3倍，当A，B两种香料分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】(1)A种香料的单价为20元，B种香料的单价为40元 (2)购买A种香料15千克，购买B种香料5千克，总费用最小，为500元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用等知识点，根据题意正确列出方程组、不等式以及一次函数的解析式成为解题的关键． （1）设A，B两种香料的单价分别为x元，y元，然后根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设购买A种香料a千克，则购买B种香料千克，总费用为w元．根据题意列不等式可求得，再列出函数关系式，然后根据一次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设A，B两种香料的单价分别为x元，y元， 根据题意得：，解得：． 答：A种香料的单价为20元，B种香料的单价为40元． （2）解：设购买A种香料a千克，则购买B种香料千克，总费用为w元． 由题意可得:， , 由题意可得, , ，． 答：购买A种香料15千克，购买B种香料5千克，总费用最小，为500元． 38．（2024·湖南长沙·模拟预测）黄豆是大家比较熟悉的一种食物，它除了可以直接用来做菜以外，还可以做成其他类型的食物，比如水豆腐、豆腐皮、豆浆、豆腐脑等．某豆腐作坊每天都会根据市场需求将黄豆做成水豆腐和豆腐皮进行售卖．根据商家的统计发现：每10斤黄豆能做成30斤水豆腐或者能做成20斤豆腐皮．以下是商家两天对水豆腐和豆腐皮的销售量和销售额的统计情况： 第一天 第二天 水豆腐 豆腐皮 水豆腐 豆腐皮 销售量 50斤 20斤 60斤 18斤 销售额 450元 480元 (1)求水豆腐和豆腐皮的售价分别为多少？ (2)某天商家以元/斤的价格购进30斤黄豆，用于制作水豆腐和豆腐皮，制做完这30斤黄豆需要支付人工费100元，请问这30斤黄豆该如何制做才能使该天的销售利润不低于346元？ 【答案】(1)水豆腐的售价为5元/斤，豆腐皮的售价为10元/斤； (2)当制作水豆腐的黄豆不大于20斤时，当天的利润不低于346元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用； （1）设水豆腐的售价为x元/斤，豆腐皮的售价为y元/斤，根据表格中的数据列出方程组求解即可； （2）设m斤黄豆制作水豆腐，则斤黄豆制作豆腐皮，根据水豆腐和豆腐皮的总销售额再减去黄豆的成本要不低于346元列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设水豆腐的售价为x元/斤，豆腐皮的售价为y元/斤， 由题意得， 解得， 答：水豆腐的售价为5元/斤，豆腐皮的售价为10元/斤； （2）解：设m斤黄豆制作水豆腐，则斤黄豆制作豆腐皮， 由题意得，， 解得， 答：当制作水豆腐的黄豆不大于20斤时，当天的利润不低于346元． 行程问题 39．（2024·四川攀枝花·模拟预测）有一火车以每分钟600米的速度要过完第一、第二两座铁桥，过第二铁桥比过第一铁桥需多5秒，又知第二铁桥的长度比第一铁桥长度的2倍短50米，试求各铁桥的长．（火车长度不计） 【答案】第一铁桥长100米，第二铁桥长150米 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】题目主要考查一元一次方程的应用，设第一铁桥的长为米，那么第二铁桥的长为米，火车车头在第一铁桥所需的时间为分．火车车头在第二铁桥所需的时间为分，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设第一铁桥的长为米，那么第二铁桥的长为米，火车车头在第一铁桥所需的时间为分．火车车头在第二铁桥所需的时间为分． 依题意，可列出方程， 解方程， 得，     ．   答：第一铁桥长100米，第二铁桥长150米． 40．（2024·广东梅州·一模）周末，小明和他的爸爸来到环形运动场进行跑步锻炼，绕环运动场一圈的路程为400米． (1)若两人同时同起点相向而跑，则经过36秒后首次相遇；若两人同时同起点同向而跑，则经过180秒后，爸爸首次从后面又追上小明，问小明和他的爸爸的速度各为多少？ (2)假设爸爸的速度是6米/秒，小明的速度是5米/秒，两人进行400米赛跑，同时同起点同向出发，等爸爸跑到半圈时，故意降速为4米/秒，按此继续比赛，小明能否在400米终点前追上爸爸，如果能，求追上时距离终点还有多少米；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)小明的速度为，爸爸的速度为 (2)小明能在400米终点前追上爸爸，追上当时距离终点还有 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题是对二元一次方程组的应用，本题实际上可以理解为相遇问题和追及问题来解决． （1）设小明的速度为，爸爸的速度为，根据题意列二元一次方程组即可； （2）先求出爸爸跑到半圈所用时间为，再求此时小明所跑路程为，小明接下来追上爸爸所需时间，相比较即可． 【详解】（1）解：（1）设小明的速度为，爸爸的速度为， 则依题意得：，于是， ，得，即有：， ，得，即有：， 答：小明的速度为，爸爸的速度为． （2）（2）解：结论：小明能在400米终点前追上爸爸，且追上时距离终点还有． 理由：爸爸跑到半圈所用时间为， 此时小明所跑路程为， 爸爸和小明的距离， 因此小明接下来追上爸爸所需时间， 追上时，小明的爸爸总路程， 因此小明能在400米终点前追上爸爸． 追上当时距离终点还有． 工程问题 41．（2024·山西·模拟预测）年月日，“世界水日”、“中国水周”山西省宣传活动在太原启动，本次活动，旨在调动全社会各方力量团结治水兴水，吸引并推动社会公众关心支持水利事业为贯彻落实本次活动精神，太原市现计划修一条水渠便于引水用水．已知，甲工程队活单独修需天完成，乙工程队单独完成需要的天数比甲工程队单独完成天数的多少天． (1)乙工程队单独完成需要多少天？ (2)若甲先单独修天，之后甲乙合作修完这条水渠，求甲乙还需合作几天才能修完这条水渠？ 【答案】(1)天 (2)天 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】（）根据题意列出算式计算即可求解； （）设甲乙还需合作天才能修完这条水渠，根据题意列出方程即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：， 答：乙工程队单独完成需要天； （2）解：设甲乙还需合作天才能修完这条水渠， 由题意得，， 解得， 答：甲乙还需合作天才能修完这条水渠． 42．（2024·宁夏银川·一模）为积极落实银川市委制定印发的《关于2023年度乡村振兴“一村一年一事”行动实施方案》，城建部门计划对某村一段长300米的道路进行改造，由甲，乙两个工程队先后接力完成，已知甲工程队每天改造15米，乙工程队每天改造10米． (1)若这两个工程队共用时25天，求甲，乙两个工程队分别改造多少米． 根据题意，宁宁和夏夏两个同学分别列出了如下的方程组： 宁宁：，解得． 夏夏：，解得． 宁宁所列方程组中的x表示_______，y表示_______； 夏夏所列方程组中的x表示_______，y表示_______． (2)若甲工程队工作一天的费用是0.6万元，乙工程队工作一天的费用是0.8万元，要使总费用不超过18万元，则甲工程队至少工作多少天？ 【答案】(1)甲工程队工作时间，乙工程队工作时间，甲工程队改造道路的长度，乙工程队改造道路的长度 (2)甲工程队至少工作10天 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及由实际问题抽象出二元一次方程组， （1）由需改造道路的长度及甲、乙两工程队的工作效率，结合宁宁及夏夏所列的方程组，可找出宁宁及夏夏所列方程组中的x，y的含义； （2）设甲工程队工作m天，则乙工程队工作天，利用总费用＝甲工程队每天的费用×甲工程队工作时间＋乙工程队每天的费用×乙工程队工作时间，结合总费用不超过18万元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论； 解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【详解】（1）∵城建部门计划对某村一段长300米的道路进行改造，甲工程队每天改造15米，乙工程队每天改造10米，且这两个工程队共用时25天， ∴宁宁所列方程组中的x表示甲工程队工作时间，y表示乙工程队工作时间； 夏夏所列方程组中的x表示甲工程队改造道路的长度，y表示乙工程队改造道路的长度． 故答案为：甲工程队工作时间，乙工程队工作时间，甲工程队改造道路的长度，乙工程队改造道路的长度； （2）设甲工程队工作m天，则乙工程队工作天， 根据题意得： ， 解得：， ∴m的最小值为10． 答：甲工程队至少工作10天． 43．（2024·安徽合肥·一模）某工程由甲、乙两个工程队施工，工程小组综合比较两工程队发现，甲工程队施工2天的费用比乙工程队施工3天的费用少0.3万元，甲、乙两工程队合作施工一天的费用为2.6万元．单独完成这项工程，甲工程队刚好如期完成，乙工程队要比规定日期多用5天，初步计算，若单独请甲工程队需付30万元． (1)请计算甲、乙工程队每天所需的施工费用各是多少万元? (2)为降低工程施工费用，甲、乙两工程队先合作施工若干天，再由乙工程队全部完成，求甲、乙两工程队合作施工多少天时，在不耽误工期的情况下，施工费用最低． 【答案】(1)甲工程队每天所需的施工费用为1.5万元，乙工程队每天所需的施工费用为 1.1万元 (2)甲、乙两工程队合作施工4天时，在不耽误工期的情况下，施工费用最低 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了二元一次方程组应用，一元一次不等式的实际应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组及不等式求解． （1）设甲工程队每天所需的施工费x万元，乙工程队每天所需的施工费y万元，依题甲工程队施工2天的费用比乙工程队施工3天的费用少0.3万元，甲、乙两工程队合作施工一天的费用为2.6万元列出方程组即可求解； （2）根据题得：单独完成这项工程，甲工程队刚好如期完成，甲工程队单独施工需20天，乙单独完成这项工程需天，设乙工程队施工a天，设甲、乙两工程队先合作施工a天，则乙工程队需单独施工天，根据甲乙合作的工作量加上乙单独完成的工作量大于等于总工作量，列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设甲工程队每天所需的施工费x万元，乙工程队每天所需的施工费y万元， 依题意列方程得：， 解得：， 答：甲工程队每天所需的施工费用为1.5万元，乙工程队每天所需的施工费用为1.1万元； （2）解：根据题得：单独完成这项工程，甲工程队刚好如期完成，甲工程队单独施工需：（天），则工期为20天， 单独完成这项工程需20天，乙单独完成这项工程需天， 设甲、乙两工程队先合作施工a天，则乙工程队需单独施工天， 根据题意得：， 解得：， 则总费用为：， 当时，总费用最少，为（万元）， 答：甲、乙两工程队合作施工4天时，在不耽误工期的情况下，施工费用最低． 分配问题 44．（2024·江西赣州·二模）2023年我国多地阴雨连绵，夏粮作为全年粮食生产的第一季，收割受到极大的影响．陕西省某县政府为了帮助村民抢收小麦，租来了每天能收割4公顷小麦的型收割机和每天能收割6公顷小麦的型收割机共台，全部型号的收割机一天能收割公顷． (1)县政府租来的型收割机和型收割机各有多少台？ (2)该县某乡镇共有公顷小麦，镇长向县政府申请了援助．因调配问题，县政府只能每天向该镇派遣同一型号的所有收割机进行援助．经过3天的努力，该乡镇恰好收割了全部小麦．已知每台型收割机收费是元/天，每台型收割机收费是元/天，则援助该乡镇共花费了多少元？ 【答案】(1)县政府租来的型收割机有8台，型收割机有台 (2)故援助该乡镇共花费了元 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用等知识点，根据题意正确列出二元一次方程组和不等式是解答本题的关键． （1）设政府租来的型收割机有台，型收割机有台，根据“政府租来两种型号收割机共台，且全部型号的收割机一天能收割亩”，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设政府派遣型收割机天，则派的型收割机天，根据3天恰好收割公顷小麦，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再将其代入中，即可求出结论 【详解】（1）解：设县政府租来的型收割机有台，型收割机有台． 根据题意，得 解得 答：县政府租来的型收割机有8台，型收割机有12台． （2）设县政府派遣型收割机天，则派遣型收割机天． 根据题意，得， 解得， ． 故援助该乡镇共花费了元． 45．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）相约哈尔滨，逐梦亚冬会，云扬中学开展了以迎亚冬为主题的演讲活动，李老师对取得优异成绩的同学进行表彰．他到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元． (1)求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？ (2)两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，李老师决后再次购买两种笔记本35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果李老师此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的，那么至多购买甲种笔记本多少个？ 【答案】(1)购买一个甲种笔记本10元，一个乙种笔记本5元． (2)至多需要购买21个甲种笔记本． 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题意列出关系式． （1）根据“购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元”，“购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元”，列出二元一次方程组，即可求解， （2）根据“此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的”列出关系式，即可求解， 【详解】（1）解：设购买一个甲种笔记本元，一个乙种笔记本元． 由题意得：， 解得：， 故答案为：购买一个甲种笔记本10元，一个乙种笔记本5元． （2）解：设需要购买个甲种笔记本， 根据题意得：， 解得：， ∴的最大整数值为21， 故答案为：至多需要购买21个甲种笔记本． 方案选择问题 46．（2024·湖南·模拟预测）央视春晚是当之无愧的顶级晚会，龙年春晚分会场之一花落长沙，长沙首次站在春晚的舞台，向全世界释放千年古城的魅力，展示青春朝气的风采，为了让社区群众有更好的观看体验，某街道办计划购买A、B两种晚会道具布置社区街道，A道具和B道具共购买55支，且A道具不少于B道具的2倍，已知A道具每支9元，B道具每支6元． (1)采购组计划将预算经费450元全部用于购买两种道具，可购买A道具和B道具各多少支? (2)规划组认为有比450元更省钱的购买方案，请求出购买总数不变的情况下，两种道具总费用的最小值． 【答案】(1)购买A道具40支，B道具15支； (2)购买两种道具总费用的最小值为441元． 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查的是二元一次不定方程的整数解、一次函数的应用，正确列出二元一次方程组、掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意列出二元一次方程组，解方程组得到答案； （2）设购买A道具m支，购买B道具支，购买两种道具总费用为w，根据题意求出m的范围，列出w关于m的一次函数解析式，根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设购买A道具x支，购买B道具y支， 由题意得：， 解得：， 答：购买A道具40支，B道具15支； （2）解：设购买A道具m支，购买B道具支，购买两种道具总费用为w， 由题意得：， 解得：， 由题意的：， ∵， ∴w随m的最大而增大， ∵， ∴当时，w取最小值，此时， 答：购买两种道具总费用的最小值为441元． 47．（2024·湖南·模拟预测）“电梯安全系万家，正确使用靠大家”．某小区的货运电梯限重标志显示，载重总质量禁止超过．现需用此货运电梯装运一批设备，每套设备由2个A部件和1个B部件组成，且体积较小．已知1个A部件和2个B部件总质量为，2个A部件和1个B部件的质量相等． (1)求1个A部件和1个B部件的质量各是多少千克； (2)由于设备需要成套装运，且每次装运都需要两名工人装卸，已知两名装卸工人的质量分别为和，问货运电梯一次最多可装运多少套设备? 【答案】(1)1个A部件的质量是30千克，1个B部件的质量是60千克 (2)货运电梯一次最多可装运套设备 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设1个A部件的质量是x千克，1个B部件的质量是y千克，根据“1个A部件和2个B部件总质量为，2个A部件和1个B部件的质量相等”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设货运电梯一次可装运m套设备，根据货运电梯的载重总质量禁止超过，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论． 【详解】（1）解：设1个A部件的质量是x千克，1个B部件的质量是y千克，根据题意得： ， 解得，， 答：1个A部件的质量是30千克，1个B部件的质量是60千克； （2）解：设货运电梯一次可装运m套设备，根据题意得： 解得： 又∵m为正整数， ∴m的最大值为7 48．（2024·山东济南·一模）2023年中国新能源汽车市场火爆．某汽车销售公司为抢占先机，计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，1辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车的进价共计55万元；4辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的进价共计 120万元． (1)求A，B型新能源汽车每辆进价分别是多少万元． (2)公司决定购买以上两种新能源汽车共100辆，总费用不超过1180万元，该汽车销售公司销售1辆A型新能源汽车可获利0.9万元，销售1辆B型新能源汽车可获利0.4万元，若汽车全部销售完毕，那么销售A型新能源汽车多少辆时获利最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)A型新能源汽车每辆进价为25万元，B型新能源汽车每辆进价为10万元 (2)当销售A型新能源汽车12辆时获利最大，最大利润为46万元 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次不等式，利用利润1辆车的利润数量求解． （1）设A型新能源汽车每辆进价为a万元，B型新能源汽车每辆进价为b万元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设购买A型新能源汽车m辆，则照买B型新能源汽车辆，根据题意列出一元一次不等式得到，设销售A型新能源汽车x辆，所获利润为W万元，根据题意得到，然后利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）设A型新能源汽车每辆进价为a万元，B型新能源汽车每辆进价为b万元． 由题意，得  解得 答：A型新能源汽车每辆进价为25万元，B型新能源汽车每辆进价为10万元． （2）设购买A型新能源汽车m辆，则照买B型新能源汽车辆． 由题意，得． 解得． 设销售A型新能源汽车x辆，所获利润为W万元．则 ． ∵， ∴W随x的增大而增大． ∴当时，W有最大值46万元． 答：当销售A型新能源汽车12辆时获利最大，最大利润为46万元． 配套问题 49．（2024·重庆渝北·二模）某家具厂生产宴会大圆桌和椅子，1张大圆桌配8把椅子为一套．家具厂现有28名工人，一名工人一个月可以生产5张桌子或16把椅子． (1)分别安排多少名工人生产大圆桌和椅子，可使每个月生产的桌椅正好配套？ (2)家具厂去年投入了100万元用于生产这样的配套的餐桌椅，由于今年一套这样的餐桌椅的成本比去年提高了，结果今年生产的餐桌椅比去年少40套，投入却比去年多了5万元，问去年的每套餐桌椅成本是多少？ 【答案】(1)安排名工人生产桌子，名工人生产椅子 (2)万元 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用)、分式方程的实际应用 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，分式方程的应用，找出等量关系是解题的关键． （1）根据题意列出一元一次方程，解方程即可； （2）设去年的每套餐桌椅成本是万元，今年的成本为万元，根据题意列出分式方程即可得到答案． 【详解】（1）解：设安排名工人生产桌子，名工人生产椅子， 由题意得：， 解得， 故， 答：安排名工人生产桌子，名工人生产椅子，可使每个月生产的桌椅正好配套； （2）解：设去年的每套餐桌椅成本是万元，故今年的成本为万元， 根据题意得： 解得 经检验，是原方程的解， 答：去年的每套餐桌椅成本是万元． 50．（2024·山东日照·一模）4月23日是“世界读书日”，随着全民阅读活动的推行，人们读书的热情日益高涨，图书的需求不断增加，某书店为适应市场的需求决定购进A、B两种新书进行销售，知每本A种图书的进价比B种图书贵10元，购进3本A种图书和2本B种图书需要180元． (1)求A、B两种图书每本的进价； (2)该书店决定购进这两种图书共120本，并且A种图书不少于B种图书数量的，求该书店购买这两种图书的最低金额及对应的购买方案． 【答案】(1)A种图书每本的进价为40元，B种图书每本的进价为30元 (2)最低金额为4000元，购买方案是购买A种图书40本，购买B种图书80本 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用)、一元一次不等式组的其他应用、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一元一次方程，一元一次不等式组，一次函数的应用，根据题列出一元一次方程，一元一次不等式组，一次函数解析式是解题的关键． （1）设B种图书每本的进价为x元，A种图书每本的进价为元，根据“购进3本A种图书和2本B种图书需要180元”，列方程求解即可； （2）设该书店购买A种图书y本，则购买B种图书本，根据“该书店决定购进这两种图书共120本，并且A种图书不少于B种图书数量的”，列不等式组求出y的取值范围，再设该书店购买这两种图书的总金额为w元，求出w关于y的一次函数关系式，然后根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设B种图书每本的进价为x元，A种图书每本的进价为元，根据题意，得 ， 解得：， ∴， 答：A种图书每本的进价为40元，B种图书每本的进价为30元． （2）解：设该书店购买A种图书y本，则购买B种图书本，根据题意，得 解得：， 设该书店购买这两种图书的总金额为w元，则 ∵ ∴w随着y增大而增大， ∴当时，w最小，最小值（元）， 当时，， 答：该书店购买这两种图书的最低金额为4000元，购买方案是购买A种图书40本，购买B种图书80本． 真题过关检测 51．（2024·贵州·中考真题）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】等式的性质 【分析】本题考查等式的性质，设“▲”的质量为a，根据题意列出等式，，然后化简代入即可解题． 【详解】解：设“▲”的质量为a， 由甲图可得，即， 由乙图可得，即， ∴， 故选C． 52．（2024·江苏无锡·中考真题）《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过天相遇，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，根据题意可得野鸭的速度为，大雁的速度为，设经过天相遇，则相遇时野鸭的路程+大雁的路程=总路程，据此即可列出方程． 【详解】解：设经过天相遇， 可列方程为：， 故选：A． 53．（2024·江苏宿迁·中考真题）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程组的实际应用，利用井的深度不变建立方程是解题的关键． 【详解】解：设绳长为x尺，列方程为， 故选A． 54．（2024·广西·中考真题）《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱．问：出租的田有多少亩？设出租的田有x亩，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据“第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱”列方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 故选：B． 55．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】代入消元法、判断点所在的象限、两直线的交点与二元一次方程组的解 【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征，解二元一次方程组等知识，联立方程组 ，求出点P的坐标即可判断． 【详解】解∶ 联立方程组， 解得， ∴P的坐标为， ∴点P在第四象限， 故选∶D． 56．（2024·甘肃兰州·中考真题）数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了周果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组，根据999文钱买了周果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，列出方程组即可． 【详解】解：设买了甜果x个，苦果y个，由题意，得： ； 故选A． 57．（2024·天津·中考真题）《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用.用一根绳子去量一根长木，绳子剩余4.5尺可知：；绳子对折再量长木，长木剩余1尺可知：；从而可得答案. 【详解】解：由题意可得方程组为： ， 故选：A. 58．（2024·山东泰安·中考真题）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜苦果各几个？若设买甜果x个，买苦果y个，列出符合题意的二元一次方程组：．根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为（    ） A．甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 B．甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 C．甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D．甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 【答案】D 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】根据可得甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱， 【详解】解：根据，可得甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱， 故选：D 【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，根据方程组找出等量关系． 59．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元二次方程——直接开平方法 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可． 【详解】解：∵ 而， ∴①当时，则有， 解得，； ②当时，， 解得， 综上所述，x的值是或， 故答案为：或． 60．（2024·江苏宿迁·中考真题）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是 ． 【答案】 【知识点】已知二元一次方程组的解求参数、加减消元法 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把，代入，得到，整体代入中，得到方程组，加减消元法解方程组即可． 【详解】解：把代入，得：， ∵， ∴，即：， ，得：， ∵方程组有解， ∴， ∴， 把代入①，得：，解得：； ∴方程组的解集为：； 故答案为：． 61．（2024·辽宁·中考真题）甲、乙两个水池注满水，蓄水量均为、工作期间需同时排水，乙池的排水速度是．若排水3h，则甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍． (1)求甲池的排水速度． (2)工作期间，如果这两个水池剩余水量的和不少于，那么最多可以排水几小时？ 【答案】(1) (2)4小时 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了列一元一次方程解应用题，一元一次不等式的应用，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）设甲池的排水速度为，由题意得，，解方程即可； （2）设排水a小时，则，再解不等式即可． 【详解】（1）解：设甲池的排水速度为， 由题意得，， 解得：， 答：甲池的排水速度为； （2）解：设排水a小时， 则， 解得：， 答：最多可以排4小时． 62．（2024·安徽·中考真题）乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地．采用新技术种植两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如表： 农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金（万元） 已知农作物种植人员共位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共万元．问这两种农作物的种植面积各多少公顷？ 【答案】农作物的种植面积为公顷，农作物的种植面积为公顷． 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设农作物的种植面积为公顷，农作物的种植面积为公顷，根据题意列出二元一次方程组即可求解，根据题意，找到等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设农作物的种植面积为公顷，农作物的种植面积为公顷， 由题意可得，， 解得， 答：设农作物的种植面积为公顷，农作物的种植面积为公顷． 63．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）牡丹江某县市作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题： (1)特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？ (2)某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，该商店有哪几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，购进猴头菇全部售出，其中两种猴头菇各有1箱样品打a（a为正整数）折售出，最终获利1577元，请直接写出商店的进货方案． 【答案】(1)特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元 (2)有3种方案，详见解析 (3)特级干品猴头菇40箱，特级鲜品猴头菇40箱 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、其他问题(二元一次方程组的应用)、一元一次不等式组的其他应用 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）正确计算求解． （1）设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元，根据“购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元”，列出方程组求解即可； （2）设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇箱，根据“获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，”列出不等式组求解即可； （3）根据（2）中三种方案分别求解即可； 【详解】（1）解：设特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价分别是x元和y元， 则， 解得：， 故特级鲜品猴头菇每箱进价为40元，特级干品猴头菇每箱进价为150元； （2）解：设商店计划购进特级鲜品猴头菇m箱，则购进特级干品猴头菇箱， 则， 解得：， ∵为正整数， ∴， 故该商店有三种进货方案， 分别为：①购进特级鲜品猴头菇40箱，则购进特级干品猴头菇40箱； ②购进特级鲜品猴头菇41箱，则购进特级干品猴头菇39箱； ③购进特级鲜品猴头菇42箱，则购进特级干品猴头菇38箱； （3）解：当购进特级鲜品猴头菇40箱，则购进特级干品猴头菇40箱时： 根据题意得， 解得：； 当购进特级鲜品猴头菇41箱，则购进特级干品猴头菇39箱时： 根据题意得， 解得：（是小数，不符合要求）； 当购进特级鲜品猴头菇42箱，则购进特级干品猴头菇38箱时： 根据题意得， 解得：（不符合要求）； 故商店的进货方案是特级干品猴头菇40箱，特级鲜品猴头菇40箱． 64．（2024·山西·中考真题）健康中国，营养先行．今年5月12日-18日是第十届全民营养周，社区食堂在全民营养周到来之际，推出系列营养套餐，其中营养套餐A的菜品如下图所示． (1)该套餐中的蛋白质和脂肪这两类营养素主要来自清蒸鱼块和滑炒鸡丁，每100克清蒸鱼块和滑炒鸡丁中的蛋白质和脂肪含量如下表所示．按配餐要求，每份套餐中清蒸鱼块和滑炒鸡丁两道菜品提供的蛋白质、脂肪量应分别为34克、24.8克、求每份该种套餐中清蒸鱼块和滑炒鸡丁两道菜品各有多少克； 清蒸鱼块（每100克） 滑炒鸡丁（每100克） 蛋白质（克） 16 15 脂肪（克） 8 14 (2)按配餐要求，每份素炒时蔬中芹菜与西兰花共260克，已知每100克芹菜与每100克西兰花分别含有1.5克、2.5克的膳食纤维，若要使每份素炒时蔬中所含的膳食纤维不少于5克，则每份素炒时蔬中西兰花至少有多少克？ 【答案】(1)每份该种套筤中清蒸鱼块有100克，滑炒鸡丁有120克 (2)110克 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】题目主要考查二元一次方程组及不等式的应用，理解题意，列出相应的方程及不等式是解题关键． （1）设每份该种套餐中清蒸鱼块有克，滑炒鸡丁有克，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设每份素炒时蔬中西兰花有克，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每份该种套餐中清蒸鱼块有克，滑炒鸡丁有克， 根据题意，得 解，得 答：每份该种套筤中清蒸鱼块有100克，滑炒鸡丁有120克． （2）设每份素炒时蔬中西兰花有克， 根据题意，得． 解，得． 所以，的最小值为110． 答：每份素炒时荒中西兰花最少有110克． 65．（2024·四川达州·中考真题）为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将、两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件品种柑橘礼盒比品种柑橘礼盒的售价少元．且出售件品种柑橘礼盒和件品种柑橘礼盒的总价共元． (1)求、两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？ (2)已知加工、两种柑橘礼盒每件的成本分别为元、元、该乡镇计划在某农产品展销活动中售出、两种柑橘礼盒共盒，且品种柑橘礼盒售出的数量不超过品种柑橘礼盒数量的倍．总成本不超过元．要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排、两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 【答案】(1)、两种柑橘礼盒每件的售价分别为元 (2)要使农户收益最大，销售方案为售出种柑橘礼盒盒，售出种柑橘礼盒盒，最大收益为元 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用，一次函数的应用； （1）设、两种柑橘礼盒每件的售价分别为a元，b元，根据题意列出二元一次方程组，即可求解； （2）设售出种柑橘礼盒盒，则售出种柑橘礼盒盒，根据题意列出不等式组，得出，设收益为元，根据题意列出函数关系式，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设、两种柑橘礼盒每件的售价分别为元，b元，根据题意得， 解得： 答：、两种柑橘礼盒每件的售价分别为元； （2）解：设售出种柑橘礼盒盒，则售出种柑橘礼盒盒，根据题意得， 解得： 设收益为元，根据题意得， ∵ ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值，最大值为（元） ∴售出种柑橘礼盒（盒） 答：要使农户收益最大，销售方案为售出种柑橘礼盒盒，售出种柑橘礼盒盒，最大收益为元． 66．（2024·云南·中考真题）、两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢． 某超市销售、两种型号的吉祥物，有关信息见下表： 成本（单位：元/个） 销售价格（单位：元/个） 型号 35 a 型号 42 若顾客在该超市购买8个种型号吉祥物和7个种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个种型号吉祥物和5个种型号吉祥物，则一共需要410元． (1)求、的值； (2)若某公司计划从该超市购买、两种型号的吉祥物共90个，且购买种型号吉祥物的数量（单位：个）不少于种型号吉祥物数量的，又不超过种型号吉祥物数量的2倍．设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为元，求的最大值． 注：该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差． 【答案】(1) (2) 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数、一元一次不等式、二元一次方程组的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是解题的关键． （1）根据“购买8个种型号吉祥物和7个种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个种型号吉祥物和5个种型号吉祥物，则一共需要410元”建立二元一次方程组求解，即可解题； （2）根据“且购买种型号吉祥物的数量（单位：个）不少于种型号吉祥物数量的，又不超过种型号吉祥物数量的2倍．”建立不等式求解，得到，再根据总利润种型号吉祥物利润种型号吉祥物利润建立关系式，最后根据一次函数的性质即可得到的最大值． 【详解】（1）解：由题知，， 解得； （2）解：购买种型号吉祥物的数量个， 则购买种型号吉祥物的数量个， 且购买种型号吉祥物的数量（单位：个）不少于种型号吉祥物数量的， ， 解得， 种型号吉祥物的数量又不超过种型号吉祥物数量的2倍． ， 解得， 即， 由题知，， 整理得， 随的增大而减小， 当时，的最大值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第5讲 一次方程（组） 考点1 等式的基本性质 5 考点2 一元一次方程的求解 6 考点3 二元一次方程组及方程组的解 7 考点4 二元一次方程组的求解 8 考点5 列二元一次方程组 10 考点6 一次方程（组）的实际应用问题 11 销售盈亏问题 11 行程问题 12 工程问题 13 分配问题 14 配套问题 15 真题过关检测 15 一、等式及等式的性质 等式的概念 用等号“＝”连接，表示相等关系的式子，叫做等式．在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边． 等式基本性质 等式两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），所得结果仍是等式． 用字母表示为：如果，那么 等式基本性质 等式两边同时乘以同一个数（或式子），或除以同一个不为零的数（或式子），所得结果仍是等式． 用字母表示为：如果，那么；如果且，那么 等式基本性质 等式具有传递性，如果，，那么 二、一元一次方程 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程．这里的“元”是指未知数的个数，“次”是指含未知数的项的最高次数． 形式 一元一次方程的标准形式：（，，是已知数）． 一元一次方程的最简形式：（，，是已知数）． 方程的解 使方程左、右两边相等的未知数的值，叫做方程的解； 求得方程的解的过程，叫做解方程． 三、一元一次方程的解法 步骤 具体做法 依据 注意事项 去分母 在方程两边同乘以各分母的最小公倍数 等式性质2 ①不含分母的项不要漏乘 ②注意分数线有括号作用，去掉分母后，如果分子是多项式，要加括号 去括号 由内向外去括号，即先去小括号，再去中括号，最后去大括号 分配律， 去括号法则 ①运用分配律去括号时，不要漏乘括号内的项 ②如果括号前是“－”号，去括号时，括号内各项要变号 移项 把含未知数的项都移到方程的一边（通常是左边），不含未知数的项都移到方程的另一边 等式性质1 ①移项必须变号 ②一般把含未知数的项移到左边，其他项移到右边 合并同 类项 把方程两边同类项分别合并，把方程化为的形式 合并同类 项法则 合并同类项是同类项的系数相加，字母及其指数不变 未知数 系数化1 方程两边同除以未知数系数a，得到方程的解 等式性质2 应注意系数a不能等于0 四、二元一次方程组 1．二元一次方程 定义 含有两个未知数，并且所含未知数项的次数都是1的方程. 判定 1．方程两边的代数式都是整式——分母中不能含有字母； 2．有两个未知数——“二元”； 3．含有未知数的项的最高次数为1——“一次”． 4．未知数的系数不为0 解 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的一组取值叫做二元一次方程的解．在写二元一次方程解的时候我们用大括号联立表示． 2．二元一次方程组 定义 由几个一次方程组成并且一共含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 解 二元一次方程组中所有方程（一般为两个）的公共解叫做二元一次方程组的解. 五、二元一次方程组的解法 1.消元思想 概念 二元一次方程组中有两个未知数，如果能“消去”一个未知数，那么就能把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程．这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做“消元” 意义 使用“消元法”减少未知数的个数，使多元方程组最终转化为一元方程，再逐步解出未知数的值． 2.代入消元法 定义 将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，代入另一个方程中，消去一个未知数，得到一个一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做代入消元法． 步骤 1．等量代换：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程中的一个未知数（例如），用另一个未知数（如）的代数式表示出来，即将方程写成的形式； 2．代入消元：将代入另一个方程中，消去，得到一个关于的一元一次方程； 3．解这个一元一次方程，求出的值； 4．回代：把求得的的值代入中求出的值，从而得出方程组的解； 5． 把这个方程组的解写成的形式． 3.加减消元法 定义 当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法． 步骤 1．变换系数：利用等式的基本性质，把一个方程或者两个方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的某一个未知数的系数互为相反数或相等； 2．加减消元：把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程； 3．解这个一元一次方程，求得一个未知数的值； 4．回代：将求出的未知数的值代入原方程组的任何一个方程中，求出另一个未知数的值； 5． 把这个方程组的解写成的形式． 4.解含参数的二元一次方程组 形式 对于关于、的二元一次方程组：（、、、为已知数，且与、与、与、与都不能同时为0）． 方法 把含参的二元一次方程组化为含参一元一次方程，再分类讨论 结论 1．当时，方程组有唯一解，为； 2．当时，原方程组有无数多组解； 3．当时，原方程组无解． 思考：是否可以通过消元把二元一次方程组转化为一元一次方程，按一元一次方程来讨论呢？ 六、一次方程(组)的应用 1.列方程(组)解应用题的基本步骤和方法 步骤 要求 注意事项 审题 读懂题目、弄清题意、找出能够表示应用题全部含义的相等关系 审题是分析解题的过程，解答过程中不用体现出来 设元 ①设未知数 ②把各个量用含未知数的代数式表示出来 ①设未知数一般是问什么，就直接设什么为x，即直接设元； ②直接设元有困难时，可以间接设元 列方程 根据等量关系列出方程 避免列出恒等式 解方程 解这个方程(组)，求出未知数的值 如果是间接设元，求出的未知数还需要利用其他算式得到所求的量 检验 把方程的解代入方程检验，或根据实际问题进行检验 ①列一次方程(组)解应用题检验的步骤在解答过程中不用写出来； ②方程(组)的解要符合实际问题 作答 写出答案，作出结论 这一步在列方程解应用题中必不可少，是一种规范要求 2.应用题的类型和每个类型所用到的基本数量关系 等积类应用题的基本关系式 变形前的体积（容积）＝变形后的体积（容积） 调配类应用题的特点 调配前的数量关系，调配后又有一种新的数量关系 商品利润率问题 商品的利润率， 商品利润＝商品售价－商品进价 利息类应用题的基本关系式 本金×利率＝利息，本金＋利息＝本息 工程类应用题 工程类应用题中的工作量并不是具体数量，因而常常把工作总量看作整体1 工作效率＝工作总量÷工作时间 行程类应用题基本关系 路程＝速度×时间 相遇问题 甲走的路程＋乙走的路程＝总路程 追及问题 追者走的路程＝前者走的路程＋两地间的距离 环形跑道题 甲、乙两人在环形跑道上同时同地同向出发 快的必须多跑一圈才能追上慢的 甲、乙两人在环形跑道上同时同地反向出发 两人相遇时的总路程为环形跑道一圈的长度 飞行问题、航行问题，基本等量关系 ①顺风速度＝无风速度＋风速 ②逆风速度＝无风速度－风速 ③顺水速度＝静水速度＋水速 ④逆水速度＝静水速度－水速 拓展 绝对值方程 型方程 ①当时，方程有两个解．如，则； ②当时，方程有唯一解．如，则； ③当时，方程无解．如，则方程无解． 型方程 ①当时，原方程等价于方程或．如方程，等价于或； ②当时，原方程等价于方程．如方程，等价于； ③ 当时，原方程无解． 型方程 我们已经学过，一个数的绝对值的定义是：当时，； 当时，． 这个定义说明只要我们知道绝对值内的数或代数式的正负，就可以按照定义去掉绝对值号了． 所以我们可以先分类讨论绝对值内部部分的正负，然后化作一般方程求解． 注意：最终的解一定要符合其所对应的分类前提，否则就要舍去． 例如，解关于x的方程：绝对值内部为，我们对分类讨论． ①当时，，原方程化为，解得．但是由于不满足的前提要求，所以舍去； ②当时，，原方程化为，解得．检验满足的前提要求，所以是原方程的解． 考点1 等式的基本性质 1．（2024·贵州贵阳·一模）用“□”“△”“○”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示．设a，b，c均为正数，则能正确表示天平从左到右变化过程的等式变形为（     ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 2．（2024·山东潍坊·模拟预测）已知等式，则下列等式中成立的是（      ） A． B． C． D． 3．（2024·四川广安·模拟预测）幻方，相传最早见于我国的“洛书”，如图1的洛书，每一行、每一列以及每条斜对角线上的点数之和都相等，转换为数字如图2所示，它是一种三阶幻方．根据三阶幻方规则，由图3中已知数求出的值为（    ） A． B．3 C． D．2 4．（2023·内蒙古包头·二模）设、、是实数，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（2024·安徽蚌埠·三模）若实数满足，则代数式的值为（    ）． A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 6．（2024·安徽·二模）已知三个实数a，b，c，满足，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 考点2 一元一次方程的求解 7．（2024·甘肃兰州·模拟预测）下列等式是四位同学解方程过程中去分母的一步，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 8．（2024·辽宁·模拟预测）在解方程时，经过移项后的式子为（    ） A． B． C． D． 9．（2024·广东深圳·二模）下列变形，正确的是（     ） A．由，移项，得 B．由，去括号，得 C．由，合并同类项，得 D．由，去分母得 10．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，为有理数，且，若关于的一元一次方程的解恰为，则此方程称为“合并式方程”．例如：，∵，且是方程的解，∴此方程为“合并式方程”．若关于的一元一次方程是“合并式方程”，则的值为（     ） A． B． C． D． 11．（2024·湖南·模拟预测）在《九章算术》方田章“圆田术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种无限与有限的转化的思想，比如在…中，“…”代表按规律不断求和，设．则有，解得，故．类似地的结果为（ ） A． B． C． D． 12．（2024·辽宁锦州·模拟预测）已知a，b都是实数，设点，若满足，则称点P为“新奇点”．若点是“新奇点”，则M的坐标为 ． 13．（2023·湖南怀化·模拟预测）解下列方程： (1)； (2)． 14．解方程： (1) (2) 考点3 二元一次方程组及方程组的解 15．若方程是关于x，y的二元一次方程，则a的值为（    ） A． B． C．0 D．1 16．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）青少年辩论社团共有40名学生，为方便开展活动，计划分成若干个小组，每小组只能是5人或6人，则有几种分组方案（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 17．（2024·北京顺义·二模）已知方程组的解为，写出一个满足条件的二元一次方程组 ． 18．（2024·河南·一模）已知二元一次方程，请写出该方程的一组正整数解 ． 19．（2024·河南周口·二模）若，是关于x，y的二元一次方程的一组解，则 ． 20．（2023·辽宁沈阳·三模）关于的二元一次方程组的解是，则的值为 ． 考点4 二元一次方程组的求解 21．（2024·广东·模拟预测）解方程组： (1) (2) 22．（2024·山东临沂·模拟预测）关于x，y的方程组的解中x与y的和小于5，则k的取值范围为（　　） A． B． C． D． 23．（2024·山东枣庄·模拟预测）关于x，y的方程组的解满足，则的值是 ． 24．（2024·山东·一模）已知，则的值分别为（　　） A． B． C． D． 25．（2024·黑龙江大庆·二模）若方程组 的解是 ，则方程组 的解是（     ） A． B． C． D． 26．（2024·山东临沂·二模）已知关于x，y的方程组的解是则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 27．（2024·江苏扬州·三模）设是从，0，3这三个数中取值的一列数，若，，则（    ） A．154 B．155 C．156 D．157 28．（2024·湖南长沙·一模）已知方程组和方程组有相同的解，求，的值． 29．（2021·广东汕头·一模）甲、乙两人同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为 （1）求a，b的值； （2）若关于x的一元二次方程两实数根为，，且满足，求实数m的值． 30．（2024·山西大同·模拟预测）阅读下列材料，并完成相应的任务． 换元法是指引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量，变量求出结果之后，返回去求原变量的结果，换元法是数学中重要的解题方法，对于一些较繁较难的数学问题，若能根据问题的特点进行巧妙的换元，则可以收到事半功倍的效果，下面以一个例题来说明． 例1：计算：． 解：设，则原式． 请你利用上述方法解答下列问题： (1)计算：； (2)已知方程组的解是，则方程组的解是 ． 考点5 列二元一次方程组 31．（2024·四川成都·二模）我国古代数学著作《九章算术》有题如下：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平；并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”其大意是：现在有5只雀和6只燕，用秤来称它们，发现雀比较重，燕比较轻．将一只雀和一只燕交换位置，重量相等；5只雀和6只燕的重量为一斤．问每只雀和每只燕各重多少斤？设每只雀为x斤，每只燕为y斤，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 32．（2024·浙江宁波·模拟预测）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，该书第三卷记载：“今有兽六首四足，禽四首二足，上有七十六首，下有四十六足．问兽、禽各几何？”译文：今有一种6头4脚的兽与一种4头2脚的鸟，若兽与鸟共有76个头和46只脚，问兽、鸟各多少？设兽有x个，鸟有y只，列出的方程为（    ） A． B． C． D． 33．（2024·浙江杭州·一模）《九章算术》中有一题：“今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数、金价各几何？”译文：现有几个人共同买金，每人出400钱，多出3400钱；每人出300钱，多出100钱．那么人数，金价各是多少？设人数为人，金价为元，则可列出方程组是（    ） A． B． C． D． 34．（2023·山东泰安·模拟预测）小李家去年节余元，今年可节余元，并且今年收入比去年高，支出比去年低，今年的收入与支出各是多少？设去年的收入为元，支出为元，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 35．（2019·河南·一模）如图所示，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为x，宽为y，则依据题意可得二元一次方程组为（　　） A． B． C． D． 考点6 一次方程（组）的实际应用问题 销售盈亏问题 36．（2024·安徽合肥·模拟预测）某商场销售A，B两种品牌的营养早餐牛奶，其中A品牌牛奶原售价为60元/箱，B品牌牛奶原售价为80元/箱．某校决定在该商场购进A，B两种品牌牛奶共100箱，恰逢商场对两种品牌牛奶的售价进行调整，A品牌牛奶每箱售价比原售价降低了，B品牌牛奶每箱按原售价的8折出售． (1)设学校购进A品牌牛奶x箱，请直接在表格中填写结果； 品牌 购买单价（元/箱） 购买量（箱） 购买总价（元） A x ____________ B ____________ (2)如果该校此次购买A，B两种品牌牛奶的总费用为5800元，那么该校此次购买多少箱B品牌牛奶？ 37．（2024·广东深圳·模拟预测）宝安公明腊肠是深受当地民众喜爱的一种美食，其制作技艺至今已有百余年历史，该项目2017年被列入宝安区区级非物质文化遗产保护名录．某腊肠制作坊计划购买A，B两种香料制作腊肠．已知购买1千克A种香料和1千克B种香料共需60元，购买3千克A种香料和4千克B种香料共需220元． (1)求A，B两种香料的单价； (2)该小吃店计划购买两种香料共20千克，其中购买A种香料的重量不超过B种香料重量的3倍，当A，B两种香料分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用． 38．（2024·湖南长沙·模拟预测）黄豆是大家比较熟悉的一种食物，它除了可以直接用来做菜以外，还可以做成其他类型的食物，比如水豆腐、豆腐皮、豆浆、豆腐脑等．某豆腐作坊每天都会根据市场需求将黄豆做成水豆腐和豆腐皮进行售卖．根据商家的统计发现：每10斤黄豆能做成30斤水豆腐或者能做成20斤豆腐皮．以下是商家两天对水豆腐和豆腐皮的销售量和销售额的统计情况： 第一天 第二天 水豆腐 豆腐皮 水豆腐 豆腐皮 销售量 50斤 20斤 60斤 18斤 销售额 450元 480元 (1)求水豆腐和豆腐皮的售价分别为多少？ (2)某天商家以元/斤的价格购进30斤黄豆，用于制作水豆腐和豆腐皮，制做完这30斤黄豆需要支付人工费100元，请问这30斤黄豆该如何制做才能使该天的销售利润不低于346元？ 行程问题 39．（2024·四川攀枝花·模拟预测）有一火车以每分钟600米的速度要过完第一、第二两座铁桥，过第二铁桥比过第一铁桥需多5秒，又知第二铁桥的长度比第一铁桥长度的2倍短50米，试求各铁桥的长．（火车长度不计） 40．（2024·广东梅州·一模）周末，小明和他的爸爸来到环形运动场进行跑步锻炼，绕环运动场一圈的路程为400米． (1)若两人同时同起点相向而跑，则经过36秒后首次相遇；若两人同时同起点同向而跑，则经过180秒后，爸爸首次从后面又追上小明，问小明和他的爸爸的速度各为多少？ (2)假设爸爸的速度是6米/秒，小明的速度是5米/秒，两人进行400米赛跑，同时同起点同向出发，等爸爸跑到半圈时，故意降速为4米/秒，按此继续比赛，小明能否在400米终点前追上爸爸，如果能，求追上时距离终点还有多少米；如果不能，请说明理由． 工程问题 41．（2024·山西·模拟预测）年月日，“世界水日”、“中国水周”山西省宣传活动在太原启动，本次活动，旨在调动全社会各方力量团结治水兴水，吸引并推动社会公众关心支持水利事业为贯彻落实本次活动精神，太原市现计划修一条水渠便于引水用水．已知，甲工程队活单独修需天完成，乙工程队单独完成需要的天数比甲工程队单独完成天数的多少天． (1)乙工程队单独完成需要多少天？ (2)若甲先单独修天，之后甲乙合作修完这条水渠，求甲乙还需合作几天才能修完这条水渠？ 42．（2024·宁夏银川·一模）为积极落实银川市委制定印发的《关于2023年度乡村振兴“一村一年一事”行动实施方案》，城建部门计划对某村一段长300米的道路进行改造，由甲，乙两个工程队先后接力完成，已知甲工程队每天改造15米，乙工程队每天改造10米． (1)若这两个工程队共用时25天，求甲，乙两个工程队分别改造多少米． 根据题意，宁宁和夏夏两个同学分别列出了如下的方程组： 宁宁：，解得． 夏夏：，解得． 宁宁所列方程组中的x表示_______，y表示_______； 夏夏所列方程组中的x表示_______，y表示_______． (2)若甲工程队工作一天的费用是0.6万元，乙工程队工作一天的费用是0.8万元，要使总费用不超过18万元，则甲工程队至少工作多少天？ 43．（2024·安徽合肥·一模）某工程由甲、乙两个工程队施工，工程小组综合比较两工程队发现，甲工程队施工2天的费用比乙工程队施工3天的费用少0.3万元，甲、乙两工程队合作施工一天的费用为2.6万元．单独完成这项工程，甲工程队刚好如期完成，乙工程队要比规定日期多用5天，初步计算，若单独请甲工程队需付30万元． (1)请计算甲、乙工程队每天所需的施工费用各是多少万元? (2)为降低工程施工费用，甲、乙两工程队先合作施工若干天，再由乙工程队全部完成，求甲、乙两工程队合作施工多少天时，在不耽误工期的情况下，施工费用最低． 分配问题 44．（2024·江西赣州·二模）2023年我国多地阴雨连绵，夏粮作为全年粮食生产的第一季，收割受到极大的影响．陕西省某县政府为了帮助村民抢收小麦，租来了每天能收割4公顷小麦的型收割机和每天能收割6公顷小麦的型收割机共台，全部型号的收割机一天能收割公顷． (1)县政府租来的型收割机和型收割机各有多少台？ (2)该县某乡镇共有公顷小麦，镇长向县政府申请了援助．因调配问题，县政府只能每天向该镇派遣同一型号的所有收割机进行援助．经过3天的努力，该乡镇恰好收割了全部小麦．已知每台型收割机收费是元/天，每台型收割机收费是元/天，则援助该乡镇共花费了多少元？ 45．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）相约哈尔滨，逐梦亚冬会，云扬中学开展了以迎亚冬为主题的演讲活动，李老师对取得优异成绩的同学进行表彰．他到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元． (1)求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？ (2)两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，李老师决后再次购买两种笔记本35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果李老师此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的，那么至多购买甲种笔记本多少个？ 方案选择问题 46．（2024·湖南·模拟预测）央视春晚是当之无愧的顶级晚会，龙年春晚分会场之一花落长沙，长沙首次站在春晚的舞台，向全世界释放千年古城的魅力，展示青春朝气的风采，为了让社区群众有更好的观看体验，某街道办计划购买A、B两种晚会道具布置社区街道，A道具和B道具共购买55支，且A道具不少于B道具的2倍，已知A道具每支9元，B道具每支6元． (1)采购组计划将预算经费450元全部用于购买两种道具，可购买A道具和B道具各多少支? (2)规划组认为有比450元更省钱的购买方案，请求出购买总数不变的情况下，两种道具总费用的最小值． 47．（2024·湖南·模拟预测）“电梯安全系万家，正确使用靠大家”．某小区的货运电梯限重标志显示，载重总质量禁止超过．现需用此货运电梯装运一批设备，每套设备由2个A部件和1个B部件组成，且体积较小．已知1个A部件和2个B部件总质量为，2个A部件和1个B部件的质量相等． (1)求1个A部件和1个B部件的质量各是多少千克； (2)由于设备需要成套装运，且每次装运都需要两名工人装卸，已知两名装卸工人的质量分别为和，问货运电梯一次最多可装运多少套设备? 48．（2024·山东济南·一模）2023年中国新能源汽车市场火爆．某汽车销售公司为抢占先机，计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，1辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车的进价共计55万元；4辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的进价共计 120万元． (1)求A，B型新能源汽车每辆进价分别是多少万元． (2)公司决定购买以上两种新能源汽车共100辆，总费用不超过1180万元，该汽车销售公司销售1辆A型新能源汽车可获利0.9万元，销售1辆B型新能源汽车可获利0.4万元，若汽车全部销售完毕，那么销售A型新能源汽车多少辆时获利最大？最大利润是多少？ 配套问题 49．（2024·重庆渝北·二模）某家具厂生产宴会大圆桌和椅子，1张大圆桌配8把椅子为一套．家具厂现有28名工人，一名工人一个月可以生产5张桌子或16把椅子． (1)分别安排多少名工人生产大圆桌和椅子，可使每个月生产的桌椅正好配套？ (2)家具厂去年投入了100万元用于生产这样的配套的餐桌椅，由于今年一套这样的餐桌椅的成本比去年提高了，结果今年生产的餐桌椅比去年少40套，投入却比去年多了5万元，问去年的每套餐桌椅成本是多少？ 50．（2024·山东日照·一模）4月23日是“世界读书日”，随着全民阅读活动的推行，人们读书的热情日益高涨，图书的需求不断增加，某书店为适应市场的需求决定购进A、B两种新书进行销售，知每本A种图书的进价比B种图书贵10元，购进3本A种图书和2本B种图书需要180元． (1)求A、B两种图书每本的进价； (2)该书店决定购进这两种图书共120本，并且A种图书不少于B种图书数量的，求该书店购买这两种图书的最低金额及对应的购买方案． 真题过关检测 51．（2024·贵州·中考真题）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 52．（2024·江苏无锡·中考真题）《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过天相遇，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 53．（2024·江苏宿迁·中考真题）我国古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺：若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思是：用绳子量井深，把绳三折来量，井外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设绳长为x尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 54．（2024·广西·中考真题）《九章算术》是我国古代重要的数学著作，其中记载了一个问题，大致意思为：现有田出租，第一年3亩1钱，第二年4亩1钱，第三年5亩1钱．三年共得100钱．问：出租的田有多少亩？设出租的田有x亩，可列方程为（    ） A． B． C． D． 55．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）点在直线上，坐标是二元一次方程的解，则点的位置在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 56．（2024·甘肃兰州·中考真题）数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了周果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果x个，苦果y个，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 57．（2024·天津·中考真题）《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（    ） A． B． C． D． 58．（2024·山东泰安·中考真题）我国古代《四元玉鉴》中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，可买甜果苦果共一千个，若…，…，试问买甜苦果各几个？若设买甜果x个，买苦果y个，列出符合题意的二元一次方程组：．根据已有信息，题中用“…，…”表示的缺失的条件应为（    ） A．甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱 B．甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱 C．甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱 D．甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱 59．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为 ． 60．（2024·江苏宿迁·中考真题）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是 ． 61．（2024·辽宁·中考真题）甲、乙两个水池注满水，蓄水量均为、工作期间需同时排水，乙池的排水速度是．若排水3h，则甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍． (1)求甲池的排水速度． (2)工作期间，如果这两个水池剩余水量的和不少于，那么最多可以排水几小时？ 62．（2024·安徽·中考真题）乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创业．某村有部分返乡青年承包了一些田地．采用新技术种植两种农作物．种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如表： 农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金（万元） 已知农作物种植人员共位，且每人只参与一种农作物种植，投入资金共万元．问这两种农作物的种植面积各多少公顷？ 63．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）牡丹江某县市作为猴头菇生产的“黄金地带”，年总产量占全国总产量的以上，黑龙江省发布的“九珍十八品”名录将猴头菇列为首位．某商店准备在该地购进特级鲜品、特级干品两种猴头菇，购进鲜品猴头菇3箱、干品猴头菇2箱需420元，购进鲜品猴头菇4箱、干品猴头菇5箱需910元．请解答下列问题： (1)特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇每箱的进价各是多少元？ (2)某商店计划同时购进特级鲜品猴头菇和特级干品猴头菇共80箱，特级鲜品猴头菇每箱售价定为50元，特级干品猴头菇每箱售价定为180元，全部销售后，获利不少于1560元，其中干品猴头菇不多于40箱，该商店有哪几种进货方案？ (3)在（2）的条件下，购进猴头菇全部售出，其中两种猴头菇各有1箱样品打a（a为正整数）折售出，最终获利1577元，请直接写出商店的进货方案． 64．（2024·山西·中考真题）健康中国，营养先行．今年5月12日-18日是第十届全民营养周，社区食堂在全民营养周到来之际，推出系列营养套餐，其中营养套餐A的菜品如下图所示． (1)该套餐中的蛋白质和脂肪这两类营养素主要来自清蒸鱼块和滑炒鸡丁，每100克清蒸鱼块和滑炒鸡丁中的蛋白质和脂肪含量如下表所示．按配餐要求，每份套餐中清蒸鱼块和滑炒鸡丁两道菜品提供的蛋白质、脂肪量应分别为34克、24.8克、求每份该种套餐中清蒸鱼块和滑炒鸡丁两道菜品各有多少克； 清蒸鱼块（每100克） 滑炒鸡丁（每100克） 蛋白质（克） 16 15 脂肪（克） 8 14 (2)按配餐要求，每份素炒时蔬中芹菜与西兰花共260克，已知每100克芹菜与每100克西兰花分别含有1.5克、2.5克的膳食纤维，若要使每份素炒时蔬中所含的膳食纤维不少于5克，则每份素炒时蔬中西兰花至少有多少克？ 65．（2024·四川达州·中考真题）为拓宽销售渠道，助力乡村振兴，某乡镇帮助农户将、两个品种的柑橘加工包装成礼盒再出售．已知每件品种柑橘礼盒比品种柑橘礼盒的售价少元．且出售件品种柑橘礼盒和件品种柑橘礼盒的总价共元． (1)求、两种柑橘礼盒每件的售价分别为多少元？ (2)已知加工、两种柑橘礼盒每件的成本分别为元、元、该乡镇计划在某农产品展销活动中售出、两种柑橘礼盒共盒，且品种柑橘礼盒售出的数量不超过品种柑橘礼盒数量的倍．总成本不超过元．要使农户收益最大，该乡镇应怎样安排、两种柑橘礼盒的销售方案，并求出农户在这次农产品展销活动中的最大收益为多少元？ 66．（2024·云南·中考真题）、两种型号的吉祥物具有吉祥如意、平安幸福的美好寓意，深受大家喜欢． 某超市销售、两种型号的吉祥物，有关信息见下表： 成本（单位：元/个） 销售价格（单位：元/个） 型号 35 a 型号 42 若顾客在该超市购买8个种型号吉祥物和7个种型号吉祥物，则一共需要670元；购买4个种型号吉祥物和5个种型号吉祥物，则一共需要410元． (1)求、的值； (2)若某公司计划从该超市购买、两种型号的吉祥物共90个，且购买种型号吉祥物的数量（单位：个）不少于种型号吉祥物数量的，又不超过种型号吉祥物数量的2倍．设该超市销售这90个吉祥物获得的总利润为元，求的最大值． 注：该超市销售每个吉祥物获得的利润等于每个吉祥物的销售价格与每个吉祥物的成本的差． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$