精品解析：黑龙江省鸡西市第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

黑龙江省鸡西市第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试 数学试卷 时间：120分钟 分值：150分 注意事项： 1.本试卷分第I卷和第II卷两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上. 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 双曲线的焦点坐标是（ ） A. (-2，0)，(2，0) B. (0，-2)，(0，2) C. (-，0)，(，0) D. (0，-)，(0，) 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的方程形式，直接求焦点坐标. 【详解】由双曲线的方程可知，焦点在轴，并且，，所以， 即双曲线的焦点坐标是. 故选：B 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由斜率直接求解倾斜角即可. 【详解】设倾斜角为，则，则. 故选：C. 3. 已知向量，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量的坐标运算即可求解. 【详解】由， 可得：， 所以. 故选：D 4. 椭圆的焦点在轴上，焦距为2，则的值等于（ ） A. 3 B. 5 C. 8 D. 5或3 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆焦距的计算列式得出答案. 【详解】由题意，椭圆的焦点在轴上，焦距为2， 则，即， 所以，即. 故选：B. 5. 若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用点差法可得直线斜率，进而可得直线方程. 【详解】设弦端点，， 由，在双曲线上， 则， 两式作差可得， 即， 又弦被点平分， 则，代入上式可得， 则， 即直线方程为，化简可得， 故选：D. 6. 当点在圆上运动时，它与定点相连，则线段PQ的中点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出M点坐标，根据M是线段PQ中点可表示出P点坐标，再根据P在圆上可建立关于M横纵坐标的关系式，即可得出M轨迹方程. 【详解】如图所示， 设，因为M是线段PQ中点， 所以由中点坐标公式可得，，所以， 又因为P在圆上，所以， 于是可得M的轨迹方程为：， 故选：B. 7. 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，函数的最小值是（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】表示动点到定点和的距离之和，作关于直线的对称点，，即可求解 【详解】 表示动点到定点和的距离之和， 因为点在直线上运动， 作关于直线的对称点，则， 故， 当且仅当三点共线时取等， 故的最小值为 故选：C 8. 已知双曲线C：分别为双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点.连接交双曲线C左支于点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线C的离心率是（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】设，由双曲线定义表达各边，且，在中，由余弦定理得到方程，求出，得到答案. 【详解】由题意得，设， 因为是以为直角顶点的等腰直角三角形，故， 由双曲线定义知，，故， ， 其中， 解得，则，， 因为，所以， 在中，由余弦定理得 ， 解得， 故双曲线C的离心率为. 故选：A 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 任何一条直线都有唯一的斜率 B. 直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 C. 任何一条直线都有唯一的倾斜角 D. 垂直于轴的直线倾斜角为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据直线斜率与倾斜角的定义分别判断各选项. 【详解】A选项：当直线垂直于轴时，斜率不存在，A选项错误； B选项：当倾斜角为锐角时，斜率为正，且倾斜角越大斜率越大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，且倾斜角越大斜率越大，B选项错误； C选项：任何一条直线的倾斜角均存在且，C选项正确； D选项：垂直于轴的直线与轴平行，由倾斜角定义可知该直线倾斜角为，D选项正确； 故选：CD. 10. 在下列命题中，错误的有（ ） A. 若共线，则所在的直线平行； B. 若所在的直线是异面直线，则一定不共面； C. 若三向量两两共面，则三向量一定也共面； D. 已知三向量不共面，则空间任意一个向量总可以唯一表示为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据向量共线、共面的判定与性质逐一判断正误. 【详解】对于A，若共线，则有可能在同一条直线上，A错误； 对于B，即使所在的直线是异面直线，也可以通过平移的方式使得向量共面，B错误； 对于C，如图所示， 在四面体P-ABC中，向量两两共面，但三个向量并不共面，C错误； 对于D，由空间向量的基本定理可知D正确； 故选：ABC. 11. 动点分别到两定点，连线的斜率的乘积为，设的轨迹为曲线，，分别为曲线的左、右焦点，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 的内切圆的面积的最大值为 C. 到直线的最小距离为 D. 设，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用直接法可得点的轨迹方程，可知曲线为椭圆（除去与轴的交点），结合椭圆的定义及三角形的余弦定理与面积公式可判断A选项，再结合内切圆性质可判断B选项，利用三角换元法可得距离的最值，判断C选项，根据定义可将折线段转化，进而可得最值. 【详解】由已知，， 化简可得， 即，，，，， 如图所示， A选项：设，，则，， 又，则， 即， 即，所以，A选项正确； B选项：设内切圆半径为，则， 又， ， 所以， 又，则， 即内切圆半径的最大值为， 所以内切圆面积的最大值为，B选项正确； C选项：设点，， 则点到直线的距离，其中， 所以当时，取最小值为，C选项错误； D选项：由椭圆定义可知， 又， 所以， 当且仅当点在延长线时取等号， 即的最小值为，D选项正确； 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知为坐标原点，在椭圆上，则的最大值为___________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用两点距离公式，结合点在椭圆上，写出的表达式，再利用二次函数的性质求其最大值，即可得到答案. 【详解】设点，则有，即. 所以，当时，取最大值. 故答案为：2. 13. 已知为坐标原点，在双曲线的左支上，是该双曲线的左焦点.为的中点，则______. 【答案】5 【解析】 【分析】利用双曲线的定义求解即可. 【详解】设是双曲线的右焦点，连接， 又在双曲线的左支上，所以， 又，所以， 又为的中点，为的中点， 所以. 故答案为：. 14. 已知.若存在满足的点使为钝角，则t的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】求得点的轨迹方程，求得以为直径的圆的方程，由题意可得t的取值范围. 【详解】设，因为，， 所以，化简得， 配方得，圆心为，半径为， 以为直径的圆的方程为， 若存在满足的点使为钝角， 则圆与圆有两个公共点或圆在圆内部或圆在圆内切， 所以，又，所以，解得， 所以t的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：关键在于求得的轨迹方程与以为直径的圆，利用圆与圆的位置关系求解. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在三角形中，. （1）求边的中线所在直线的一般式方程； （2）求边上的高所在直线的点斜式方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求得中点，进而可求解； （2）由垂直关系求得斜率，进而可求解. 【小问1详解】 由，可得其中点坐标为， 此时中线斜率为：， 所以边的中线方程为：，即； 【小问2详解】 因为， 由垂直关系可知：边上的高所在直线斜率为， 所以点斜式方程为：. 16. 已知双曲线的离心率，实轴长. （1）求C的方程； （2）过C的右焦点且倾斜角为的直线交C于A，B两点，求； （3）求与C有相同的渐近线且过点的双曲线的标准方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由已知列关于的方程组，求解与的值，则双曲线的方程可求； （2）写出直线的方程，与双曲线方程联立，利用根与系数的关系及弦长公式求解； （3）对于不为0的实数，共渐近线的双曲线方程为，将点代入即可解答. 【小问1详解】 由已知可得可得：，， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 双曲线的右焦点为，由点斜式得直线的方程为， 由消去得：， 设，，显然， 所以，， 所以 【小问3详解】 设所求双曲线的标准方程为， 将代入可得， 所以该双曲线的标准方程为. 17. 如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1） 在三棱柱中，平面，，且为棱的中点，建立如图所示空间直角坐标系： 则 ，， 所以 ， ， 则 ， 所以 ，即 ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，通过向量垂直的坐标表示即可求证； （2）求得平面法向量，代入夹角公式即可； （3）由点到面距离的向量法即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知：， 设平面的一个法向量为 ， 则 ，即 ， 令 ，得 ，则 ， 易知平面的一个法向量为 ， 设平面与平面的夹角为 ， 所以 ； 【小问3详解】 易知， 所以点到平面的距离为：. 18. 平面直角坐标系中，点，圆与轴正半轴交于点. （1）求过点且斜率为的直线被圆截得的弦长； （2）求过点与圆相切的直线方程； （3）过点的直线与圆交于不同的两点，判断直线QA，QB的斜率之和是否为定值，若是则求出该定值，若不是则说明理由. 【答案】（1） （2）和 （3）定值， 【解析】 【分析】（1）计算出圆心到直线的距离，然后根据半径、圆心到直线的距离、半弦长之间的关系求解出弦长； （2）先直接分析直线斜率不存在的情况，当直线斜率存在时，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求解出切线方程，由此结果可知； （3）设以及直线的方程，联立直线与圆的方程，得到坐标的韦达定理形式，然后将化简至用韦达定理表示的形式，代入计算可得结果. 【小问1详解】 过点斜率为的直线方程为， 圆心到该直线的距离为， 所以该直线被圆截得的弦长为. 【小问2详解】 圆的圆心为，半径为2， 若过点的直线垂直于轴，则方程为，显然与圆相切，符合题意； 若过点的直线不垂直于轴，设直线的斜率与， 则直线方程为，即， 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离，解得， 所以切线方程为； 综上所述，切线方程为和. 【小问3详解】 由题意知点，显然直线的斜率存在，设直线方程为， 联立，得， 设，则， 且， 所以 ， 所以是定值，定值为． 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用设线法，再将其与圆的方程联立得到韦达定理式，最后代入斜率之和的表达式化简即可. 19. 在①，②过，③这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答. 已知椭圆C：的右焦点为，且___________. （1）求椭圆C的方程； （2）过圆D：上任意一点G作椭圆C的两条切线.求证：； （3）设O为坐标原点，点.直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与轴交于点，直线AQ与轴交于点，求证：直线经过定点，并求此定点. 【答案】（1） 任意选①②③，椭圆的方程为. （2） 设，若过点的切线斜率都存在，设其方程为， 则联立方程组， 得， 因为直线与椭圆相切，所以， 整理得， 设椭圆的两条切线的斜率分别为，，由韦达定理，， 因为点在圆上，所以，即 所以，所以； 若过点的的切线有一条斜率不存在，不妨设为，则该直线的方程为，则的方程为，所以， 综上所述，对于任意满足题设的点，都有. （3） 设，， 由消去得：， 由韦达定理得，， 则，. 由与可得直线的方程为：， ，同理：， 因为，所以， 即，整理得，解得， 所以直线l方程为，所以直线恒过定点. 【解析】 【分析】（1）由题意确定a，b的值即可确定椭圆方程； （2）分切线斜率存在和不存在两种情况讨论证明即可； （3）联立直线与椭圆方程，结合韦达定理表示出，进而求证即可. 【小问1详解】 选①条件，由椭圆：的右焦点为， 可得，因为离心率，所以， 所以，所以椭圆的方程为. 选②条件，由椭圆：的右焦点为， 可得，过，则，∴， 所以椭圆的方程为. 选③条件，由椭圆：的右焦点为， 可得，， 又由，则，， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： （1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； （2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省鸡西市第一中学2024-2025学年高二上学期期中考试 数学试卷 时间：120分钟 分值：150分 注意事项： 1.本试卷分第I卷和第II卷两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上. 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 双曲线的焦点坐标是（ ） A. (-2，0)，(2，0) B. (0，-2)，(0，2) C. (-，0)，(，0) D. (0，-)，(0，) 2. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，则等于（ ） A. B. C. D. 4. 椭圆的焦点在轴上，焦距为2，则的值等于（ ） A. 3 B. 5 C. 8 D. 5或3 5. 若双曲线的弦被点平分，则此弦所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 当点在圆上运动时，它与定点相连，则线段PQ的中点的轨迹方程是（ ） A. B. C. D. 7. 数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，函数的最小值是（ ） A. B. 4 C. D. 8. 已知双曲线C：分别为双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上一点.连接交双曲线C左支于点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线C的离心率是（ ） A. B. 2 C. D. 5 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 任何一条直线都有唯一的斜率 B. 直线的倾斜角越大，它的斜率就越大 C. 任何一条直线都有唯一的倾斜角 D. 垂直于轴的直线倾斜角为 10. 在下列命题中，错误的有（ ） A. 若共线，则所在的直线平行； B. 若所在的直线是异面直线，则一定不共面； C. 若三向量两两共面，则三向量一定也共面； D. 已知三向量不共面，则空间任意一个向量总可以唯一表示为 11. 动点分别到两定点，连线的斜率的乘积为，设的轨迹为曲线，，分别为曲线的左、右焦点，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 的内切圆的面积的最大值为 C. 到直线的最小距离为 D. 设，则的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知为坐标原点，在椭圆上，则的最大值为___________. 13. 已知为坐标原点，在双曲线的左支上，是该双曲线的左焦点.为的中点，则______. 14. 已知.若存在满足的点使为钝角，则t的取值范围是___________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在三角形中，. （1）求边的中线所在直线的一般式方程； （2）求边上的高所在直线的点斜式方程. 16. 已知双曲线的离心率，实轴长. （1）求C的方程； （2）过C的右焦点且倾斜角为的直线交C于A，B两点，求； （3）求与C有相同的渐近线且过点的双曲线的标准方程. 17. 如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点. （1）求证：； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 18. 平面直角坐标系中，点，圆与轴正半轴交于点. （1）求过点且斜率为的直线被圆截得的弦长； （2）求过点与圆相切的直线方程； （3）过点的直线与圆交于不同的两点，判断直线QA，QB的斜率之和是否为定值，若是则求出该定值，若不是则说明理由. 19. 在①，②过，③这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答. 已知椭圆C：的右焦点为，且___________. （1）求椭圆C的方程； （2）过圆D：上任意一点G作椭圆C的两条切线.求证：； （3）设O为坐标原点，点.直线与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与轴交于点，直线AQ与轴交于点，求证：直线经过定点，并求此定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $