精品解析： 内蒙古自治区通辽市科尔沁左翼中旗南片联盟2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

2024—2025学年度上学期期中考试 九年级（数学）试卷 满分：100分 时间：100分钟 一、选择题（共10题，每小题3分，共30分） 1. 下列安全标志图中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x一元二次方程的两个实数根互为相反数，则m 的值为（ ） A 或 1 B. 或0 C. D. 0 5. 如图，将绕点C顺时针旋转后得到，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 7. 若点都在二次函数的图象上，则的大小关系用“”表示为（ ） A. B. C. D. 8. 有一拱桥洞呈抛物线状，这个桥洞的最大高度是16 m，跨度为40 m，现把它的示意图(如图)放在平面直角坐标系中，则抛物线的表达式为（　　） A B. C. D. 9. 如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线的对称轴为直线，与 x 轴的一个交点坐标为，与y轴交点为，其部分图象如图所示．现给以下结论：①；②；③当 时，x的取值范围是；④；⑤ 方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数有（ ） A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 二、填空题（共6题，每小题3分，共18分） 11. 若点与点关于原点成中心对称，则的值为______． 12. 若抛物线的顶点在轴上，则的值是_________． 13. 在平面直角坐标系中，如果点P 的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如点…都是和谐点，请写出二次函数的图象上所有和谐点的坐标是_______． 14. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，设道路的宽为x米，则可列方程______． 15. 将抛物线绕其顶点旋转，则旋转后的抛物线解析式是______． 16. 如图，长方形的两边分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点，将长方形沿x轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点A对应点记为；经过第二次翻滚，点A对应点记为；…；依此类推，经过第次翻滚，点A对应点坐标为______． 三、解答题（共6题，共52分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为A、B、C． （1）画出关于原点对称的，并写出点的坐标； （2）在x轴上是否存在一个点P使得最小，若存在写出点P坐标，若不存在请说明理由． 19. 我们规定：对于任意实数a、b、c、d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． （1）求的值； （2）已知关于x的方程有两个实数根，求m的取值范围． 20. 某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元，经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价/元 … 12 13 14 … 每天销售数量/件 … 36 34 32 … （1）求出y与x之间的函数解析式，写出自变量取值范围． （2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？ （3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 21. 某班数学兴趣小组对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量x的取值范围是全体实数与y的几组对应值如表： … 0 1 2 3 … … 0 m 0 … 其中，___________ （2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． （3）进一步探究函数图象发现： ①函数图象与x轴有___个交点，所以对应的方程有_____个实数根； ②函数图象与直线有______个交点． ③当关于x的方程有4个实数根时，a的取值范围是________． ④不等式的解集是_____． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，且与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线解析式为． （1）求抛物线的解析式； （2）若P为直线上方抛物线上一点，过点P作轴于点M，交直线于点Q，求四边形面积的最大值及此时P点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度上学期期中考试 九年级（数学）试卷 满分：100分 时间：100分钟 一、选择题（共10题，每小题3分，共30分） 1. 下列安全标志图中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】A．不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．是中心对称图形，故此选项符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选B． 2. 抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】主要考查了二次函数图象的平移，根据平移的规律：左加右减，上加下减即可得出答案． 【详解】解：抛物线向右平移1个单位长度，则抛物线变成， 再向上平移3个单位长度，得到的抛物线是， 故选：A． 3. 用配方法解方程时，原方程应变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程——配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键． 利用解一元二次方程——配方法进行计算即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， 故选：． 4. 若关于x的一元二次方程的两个实数根互为相反数，则m 的值为（ ） A. 或 1 B. 或0 C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，根据两根互为相反数，得到两根之和为0，两根之积为0或负数，进行求解即可． 【详解】解：设方程的两个实数根为，由题意，得： ，， ∴， ∵， ∴； 故选C 5. 如图，将绕点C顺时针旋转后得到，若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质，熟知旋转的性质是解题的关键：旋转图形对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．先利用旋转的性质得到，再利用三角形内角和计算出，然后计算即可． 【详解】解：绕着点顺时针旋转后得到， ， ， ， ． 故选：B． 6. 由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为，则方程可以列为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据第一周的票房及增长率，即可得出第二周票房约亿元、第三周票房约亿元，根据三周后票房收入累计达约20亿元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：第一周票房约5亿元，且以后每周票房的增长率为， 第二周票房约亿元，第三周票房约亿元． 依题意得：． 故选：D 7. 若点都在二次函数的图象上，则的大小关系用“”表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点都在二次函数的图象上，且， ∴； 故选D． 8. 有一拱桥洞呈抛物线状，这个桥洞的最大高度是16 m，跨度为40 m，现把它的示意图(如图)放在平面直角坐标系中，则抛物线的表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意，得到抛物线的顶点坐标为，经过原点，设出顶点式，将原点坐标代入求解即可． 【详解】解：由题意，抛物线的顶点坐标为，经过原点， ∴设． ∵抛物线经过点， ∴，解得， ∴此抛物线的表达式为，即． 故选B． 9. 如图，正方形的边长为，动点，同时从点出发，在正方形的边上，分别按，的方向，都以的速度运动，到达点运动终止，连接，设运动时间为，的面积为，则下列图象中能大致表示与的函数关系的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：①时，根据，列出函数关系式，从而得到函数图象；②时，根据列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解． 【详解】①当时， ∵正方形的边长为， ∴； ②当时， ， 所以，与之间函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有A选项图象符合， 故选A． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键． 10. 如图，抛物线的对称轴为直线，与 x 轴的一个交点坐标为，与y轴交点为，其部分图象如图所示．现给以下结论：①；②；③当 时，x的取值范围是；④；⑤ 方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数有（ ） A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由抛物线的开口方向，对称轴方程，与坐标轴的交点情况可判断①②③④，由图象可得直线与抛物线有两个交点，可判断⑤，从而可得答案． 【详解】解：由题意及图象得：，， 对称轴为直线， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线与 x 轴的一个交点坐标为， ∴当时，可得：，故②正确； ∵抛物线的对称性及对称轴可得抛物线与x轴的另一个交点的坐标为， ∴当时，x的取值范围是，故③错误； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴， 即，故④正确， ∵由图象可得直线与抛物线有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根，故⑤正确； 所以正确的个数有4个； 故选：C． 二、填空题（共6题，每小题3分，共18分） 11. 若点与点关于原点成中心对称，则的值为______． 【答案】5 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案． 【详解】解：∵点P（m-1，5）与点Q（3，2-n）关于原点对称， ∴m-1=-3，2-n=-5， 解得：m=-2，n=7， 则m+n=-2+7=5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数． 12. 若抛物线的顶点在轴上，则的值是_________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据抛物线的顶点在轴上，得到对称轴为0，解方程即得． 【详解】∵抛物线的顶点在轴上， ∴， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了抛物线的顶点在轴上，熟练掌握对称轴为，是解决问题的关键． 13. 在平面直角坐标系中，如果点P 的横坐标和纵坐标相等，则称点P为和谐点．例如点…都是和谐点，请写出二次函数的图象上所有和谐点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据和谐点的定义，设点在二次函数的图象上，把代入函数解析式进行求解即可． 【详解】解：由题意，设点在二次函数的图象上， 则：，解得：或， ∴的图象上所有和谐点的坐标是； 故答案：． 14. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，设道路的宽为x米，则可列方程______． 【答案】 【解析】 【分析】把道路进行平移，可得长为，宽为的矩形，再利用矩形的面积公式列方程即可． 【详解】解：把道路进行平移，则草坪的面积为一个矩形的面积，长为，宽为， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意可得草坪的面积为一个矩形的面积是解题的关键． 15. 将抛物线绕其顶点旋转，则旋转后的抛物线解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的变换，将一般式转化为顶点式，根据题意，得到新的抛物线的顶点与原抛物线的顶点相同，开口方向相反，求出新的解析式即可． 【详解】解：， ∴抛物线的顶点坐标为：， ∴将抛物线绕其顶点旋转后，新抛物线的解析式为：； 故答案为： 16. 如图，长方形的两边分别在x轴、y轴上，点C与原点重合，点，将长方形沿x轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点A对应点记为；经过第二次翻滚，点A对应点记为；…；依此类推，经过第次翻滚，点A对应点坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】观察图形即可得到经过4次翻滚后点对应点一个循环，求出的商，从而解答本题． 【详解】解：观察图形得，经过4次翻滚后点对应点一个循环，， ∵点，长方形的周长为：， ∴经过次翻滚后点对应点的坐标为，即． 故答案为：． 【点睛】此题考查探究点的坐标的问题，解题的关键是找到点的变化规律． 三、解答题（共6题，共52分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）方程右边用平方差公式展开，然后把方程右边移到方程左边，然后提公因式，然后利用因式分解法解方程即可． （2）把移到方程的右边，然后方程两边同时除以2，最后利用配方法解方程即可． 【小问1详解】 解： 或 ∴， 【小问2详解】 ， 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别为A、B、C． （1）画出关于原点对称的，并写出点的坐标； （2）在x轴上是否存在一个点P使得最小，若存在写出点P坐标，若不存在请说明理由． 【答案】（1）图见解析， （2）存在， 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换，中心对称和轴对称，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握中心对称和轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据中心对称的性质，画出，进而写出点的坐标即可； （2）作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，求出直线的解析式，进而求出点的坐标即可．． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 由图可知：； 【小问2详解】 解：存在； 作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点，如图， 由图可知：， 设直线的解析式为：，则： ，解得：， ∴， ∴当时，，解得：， ∴． 19. 我们规定：对于任意实数a、b、c、d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． （1）求的值； （2）已知关于x的方程有两个实数根，求m的取值范围． 【答案】（1）10； （2）且． 【解析】 【分析】（1）根据新定义计算即可求解； （2）根据新定义得到一元二次方程，利用根判别式列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 小问2详解】 解：∵， ∴， 整理得， ∵关于x的方程有两个实数根， ∴，且， 解得且． 【点睛】本题考查了新定义运算，根的判别式，牢记“当时，方程有两个实数根”是解题的关键． 20. 某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元，经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价/元 … 12 13 14 … 每天销售数量/件 … 36 34 32 … （1）求出y与x之间的函数解析式，写出自变量取值范围． （2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？ （3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）元 （3）当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，然后用待定系数法求函数解析式即可； （2）依题意得，，计算求出满足要求的解即可； （3）依题意得，，根据二次函数的图象与性质求最值，然后作答即可． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式为， 将、代入得，， 解得，， ∴y与x的函数关系式为． 【小问2详解】 解：依题意得，， 解得，，（舍去）， ∴销售单价应为元． 【小问3详解】 解：依题意得，， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，w随x的增大而增大， ∴当时，w有最大值，， ∴当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，一次函数解析式，一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的最值等知识，熟练掌握一次函数的应用，一次函数解析式，一元二次方程的应用，二次函数的应用，二次函数的最值是解题的关键． 21. 某班数学兴趣小组对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）自变量x的取值范围是全体实数与y的几组对应值如表： … 0 1 2 3 … … 0 m 0 … 其中，___________ （2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分． （3）进一步探究函数图象发现： ①函数图象与x轴有___个交点，所以对应的方程有_____个实数根； ②函数图象与直线有______个交点． ③当关于x的方程有4个实数根时，a的取值范围是________． ④不等式的解集是_____． 【答案】（1） （2）见解析 （3）①2；2；②3，3；③；④或 【解析】 【分析】（1）把代入函数解释式即可得m的值； （2）描点、连线即可得到函数的图象； （3）①根据函数图象与x轴的交点个数，即可得到结论；②根据的图象与直线的交点个数，即可得到结论；③根据函数的图象即可得到a的取值范围．④由图象可知，当或时，，即可得到答案． 【小问1详解】 解：当时，， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：根据给定的表格中数据描点画出图形，如图所示： 【小问3详解】 解：①观察函数图象可知：当时，， ∴该函数图象与x轴有2个交点， 即对应的方程有2个实数根． 故答案为：2；2． ②观察函数图象可知：函数的图象与只有3个交点，所以对应的方程有3个实数根； 故答案为：3，3． ③观察图象可知：关于x的方程有4个实数根时，a的取值范围是． 故答案为：． ④由图象可知，当或时，，则，即， ∴不等式的解集是或． 【点睛】本题为函数图象探究题，考查了根据函数图象判断函数的对称性、增减性以及从函数的角度解决方程、不等式问题． 22. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线关于直线对称，且与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线的解析式为． （1）求抛物线的解析式； （2）若P为直线上方的抛物线上一点，过点P作轴于点M，交直线于点Q，求四边形面积的最大值及此时P点的坐标． 【答案】（1） （2）四边形的面积最大为6， 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）求出点的坐标，对称性求出点坐标，进而求出二次函数的解析式即可； （2）分割法表示出四边形的面积，利用二次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴当时，，当时，，解得， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 设抛物线的解析式为，把代入，得：， 解得：， ∴； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， 设点，则：， ∴， ∴， ∴四边形的面积， ∴当时，四边形的面积最大为6，此时：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$