北京市海淀外国语实验学校2024--2025学年上学期九年级期中考试数学试卷

第 1 页 共 8 页 北京市海淀外国语实验学校 2024-2025-1 初三年级数学期中调研练习 时间 120分钟 满分 120分 一、选择题（共 24分，每题 3分） 1．一元二次方程 23 4 2 0x x   的一次项系数、常数项分别是（ ） A．3，2 B．4，2 C． 4, 2 D． 4, 2  2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．关于 x的一元二次方程 2 4 7 0x x   用配方法正确的是（ ） A．  22 11x   B．  24 9x   C．  22 3x   D．  22 7x   4．对于抛物线  22 3 10y x    ，下列说法错误的是（ ） A．抛物线开口向下 B．当 3x  时， 10y  C．抛物线与 x轴有两个交点 D．当 3x  时，y有最小值为 10 5．若直线 y ax b  经过第一、第三、第四象限，则抛物线 2y ax bx  大致为（ ） A． B． C． D． 第 2 页 共 8 页 6．如图，在宽为 20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽 的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪 的面积为 2540m ，求道路的宽．如果设小路宽为 mx ，根据 题意，所列方程正确的是（ ） A． (20 )(32 ) 540x x   B．   20 32 32 20 540x x     C．   20 2 32 2 540x x   D．   20 2 32 2 32 20 540x x     7. 勾股树又称毕达哥拉斯树，是毕达哥拉斯根据勾股定理画出来的可以无限衍生的图形， 如图是勾股树的前三种衍生图．图①中共有 3个正方形，图②中共有 7个正方形，图③ 中共有 15个正方形，……，按照这一规律，图⑥中正方形的个数为（ ） A．255 B．127 C．126 D．63 8. 如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC绕 O点顺时针 旋转 45后，得到正方形 1 1 1OA BC ，以此方式，绕 O点连续旋转 2023次得到正方形 2023 2023 2023OA B C ，如果点 C坐标为  0 1，，那么 点 2023B 的坐标为（ ） A．  11 ， B．  2 0 ， C．  0 2， D．  1， 1  二、填空题（共 24分，每题 3分） 9. 在平面直角坐标系 xOy中，点 A（4，3）与点 B关于原点对称，则点 B的坐标是________． 第 3 页 共 8 页 10. 若将一个二次函数的图象向下平移 2个单位，再向左平移 3个单位，所得函数解析式 是 21 2 y x ，那么这个函数解析式为 11. 若关于 x的一元二次方程 2 0x x a   有两个不相等的实数根， 则实数 a的取值范围是 ． 12. 如图，△ABC中， 30C  ．将△ABC绕点A顺时针旋转60 得到△ADE， AE与BC交于 F，则 AFB  ． 13. 幻方最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各 行、各列及各对角线上的三个数字之和均相等，则图中 a的值 是 ． 14. 两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：如图，将一条线段 AB 分割成长、短两条线段 AP PB、 ，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比， 即 PB AP AP AB  （此时线段 AP叫做线段 ,PB AB的比例中项）．这种分割称为黄金分割，这个 比值称为黄金比，点 P叫做线段 AB的黄金分割点．若 2cmAB  ，则 BP的长为 cm． 15．已知抛物线  22y a x k   （ 0a  ， ,a k为常数），  13,A y ，  23,B y ，  34,C y 是 抛物线上三点，则 1 2 3, ,y y y 由小到大依次排列为 ． 16. 如图，正方形的四个顶点坐标分别为        11 1 3 3 1 3 3，，， ， ，， ， ．若抛物线 2y ax 与正方形有两个公共点，则 a的取值范围是 ． 三、解答题（共 72分，第 17题 8分，第 18-21题，每题 5分，第 22-26题，每题 6分， 第 27-28题，每题 7分） 17. 解方程． (1) 2 2 8x x  ； (2) 2 1 0x x   ． 第 4 页 共 8 页 18. 已知二次函数 2 2 3y x x   . (1)用配方法将 2 2 3y x x   化成  2y a x h k   的形式.并写出对称轴和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的简图． 19.已知关于 x的一元二次方程 2 6 6 0x m x m  ＋（ ） ． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若该方程有一个实数根小于 2，求 m的取值范围． 20.阅读下列材料，并按要求完成相应的任务． 你知道“皮克定理”吗？ “皮克定理”是奥地利数学家皮克（如图 1）发现的一个计算点阵中多边形的面积公式．在 一张方格纸上，上面画着纵横两组平行线，相邻平行线之间的距离都相等，这样两组平 行线的交点，就是所谓格点．一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点 多边形．有趣的是，这种格点多边形的面积计算起来很方便，只要数一下图形边线上的 点的数目及图内的点的数目，就可用公式算出．即 1 1 2 S a b   ，其中 a表示多边形内部 的点数，b表示多边形边界上的点数，S表示多边形的面积．（利用图 2中的多边形可以 验证）这个公式是奥地利数学家皮克在 1899年发现的，被称为“皮克定理”． 任务： （1）如图 2，是6 6 的正方形网格，且小正方形的 边长为 1，利用“皮克定理”可以求出图中格点多边 形的面积是_______． （2）已知：一个格点多边形的面积S为 19，且边 界上的点数b是内部点数 a的 3倍，则 a b  ______． 第 5 页 共 8 页 21. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为 1个单位长 度的正方形，∆���的顶点都在格点上，建立平面直角坐 标系，以 B为中心，将∆���顺时针旋转 90°，得到 1 1 1A BC△ (1)请在网格内画出 1 1 1A BC△ ． (2)写出点 1A的坐标______，点 1B 的坐标______，点 1C 的 坐标______． 22. “抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为 70元/件， 为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过 99元/件，根据一个月的市 场调研，商家发现当售价为 110元/件时，日销售量为 20件，售价每降低 1元，日销售量 增加 2件． 该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利 1200元? 23.勾股定理是世界上应用最广泛的定理之一，有资料表明关于勾股定理的证明方法已有 500余种．下面给出几种证明勾股定理的图形，请你根据图形及提示证明勾股定理（备注： 图中所有直角三角形都是以 c为斜边，a，b为直角边的全等三角形） (1)毕达哥拉斯的证法（图 1）：（补充完整以下证明过程） 证明：正方形①的面积________． 正方形②的面积________． 又正方形①与正方形②的边长相等 ________________ 2 2 2a b c   (2)请你写出弦图（图 2）的另一种证法： 第 6 页 共 8 页 24. 在平面直角坐标系 xOy中，二次函数 2y x bx  的图象过点  3,3A ． (1)求该二次函数的解析式； (2)当0 3x  时，对于 x的每一个值，都有 2kx x bx  ，直接写出 k的取值范围． 25. 如图 1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．若将拱门看 作抛物线的一部分，建立如图 2所示的平面直角坐标系．当拱门上的点到O点的水平距 离为 x（单位：m）时，它距地面的竖直高度为 y（单位：m）． (1)经过对拱门进行测量，发现 x与 y的几组数据如下： / mx 2 3 6 8 10 12 / my 4 5.4 7.2 6.4 4 0 根据上述数据，直接写出该拱门的高度（即最高点到地面的距离）和跨度（即拱门底部 两个端点间的距离），并求 y与 x满足的函数关系式． (2) 在一段时间后，公园重新维修拱门．在同样的坐标系下，新拱门上的点距地面的竖直 高度 y（单位：m）与它到O点的水平距离 x（单位：m）近似满足函数关系  20.18 7.30y x h    ，若记原拱门的跨度为 1d ，新拱门的跨度为 2d ，则 1d ______ 2d（填 “ ”，“ ”或“ ”）． 第 7 页 共 8 页 26. 在平面直角坐标系 xOy中，已知抛物线 G： 2 2y x x m   ． (1)直接写出抛物线 G的顶点坐标； (2)若在抛物线 G上有两点  12, y ，  2,n y ，且 2 1y y ，直接写出 n的取值范围； (3)抛物线 G的对称轴与 x轴交于点 M，点 M与点 A关于 y轴对称，将点 M向右平移 3 个单位得到点 B，若抛物线 G与线段 AB恰有一个公共点，结合图象，求 m的取值范围． 27. 如图，三角形 ABC是等边三角形，D，E两点分别在边 AB，满足BD AE ，BE与CD 交于点 F． (1)求 BFD 的度数； (2)以 C为中心，将线段CA顺时针旋转60得到线段CM，连接MF， 点 N为MF的中点，连接CN ． ①依题意补全图形； ②若 BF CF k CN   ，求 k的值． 第 8 页 共 8 页 28. 在平面直角坐标系 xOy中，已知点  ,A a b ．对于点  ,P x y 给出如下定义：当 x a 时， 若实数 k满足 y b k x a   ，则称 k为点 P关于点 A的距离系数．若图形 M上所有点关 于点 A的距离系数存在最小值，则称此最小值为图形 M关于点 A的距离系数． (1)当点 A与点 O重合时，在      1 2 32, 2 2,1 4, 4P P P , , 中，关于点 A的距离系数为 1的是 ___________； (2)已知点    2,1 , 1,1B C ，若线段 BC关于点  , 1A m  的距离系数小于 1 2 ，则 m的取值范 围为___________； (3)已知点    4,0 , 0,A T t ，其中2 4t  ．以点 T为对角线的交点作边长为 2的正方形， 正方形的各边均与某条坐标轴垂直，点 D，E为该正方形上的动点，线段DE的长度是一 个定值（ 0 2DE  ）． ① 线段DE关于点 A的距离系数的最小值为___________； ② 若线段DE关于点 A的距离系数的最大值是 3 2 ，则DE的长为___________．