第3～4章幂指对函数（3种数学思想方法+14种核心素养提升+过关检测）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（沪教版2020必修第一册）

第3~4章幂指对函数 （3种数学思想方法+14种核心素养提升+过关检测） 知识点01、初中相关知识复习 的次幂 ； 当时，可以定义： 的次方根 一般地，如果为大于1的整数，且，那么叫做的次方根； 叫做的次根式；叫做根指数，叫做被开方数 根式的性质 (1)负数没有偶次方根． (2)0的任何次方根都是0，记作＝0. (3)当n为奇数时，()n＝a(n∈N*，且n>1)． (4)当n为偶数时，＝|a|＝(n∈N*，且n>1)． 注意点： (1)对于()n＝a，若n为奇数，则a∈R；若n为偶数，则a≥0. (2)()n与意义不同，比如＝－3，＝3，而()4没有意义，故()n≠. (3)当a≥0时，()n＝；当a<0且n为奇数时，()n＝；当a<0且n为偶数时，对于要注意运算次序． 知识点02幂的运算性质 根式与分数指数幂的互化 (1)规定正数的正分数指数幂的意义是：＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)； (2)规定正数的负分数指数幂的意义是：＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)； (3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． （4）对任意给定的正数、及实数、，有，， 知识点03 幂的基本不等式 定理 当，时，； 知识点04 对数 (1)指数式与对数式的互化及有关概念： (2)底数a的范围是a>0，且a≠1. 知识点05常用对数与自然对数 知识点06对数的基本性质 (1)负数和零没有对数． (2)loga 1＝0(a>0，且a≠1)． (3)logaa＝1(a>0，且a≠1)． 知识点07 对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 知识点08对数的换底公式 若a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0， 则有logab＝. 知识点09 幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 知识点10 幂函数的图象 在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图所示： 知识点11 幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增函数 x∈[0，＋∞) 时，增函数 x∈(－∞，0] 时，减函数 增函数 增函数 x∈(0，＋∞) 时，减函数 x∈(－∞，0) 时，减函数 知识点12 指数函数的概念 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 知识点13 指数函数的图象和性质 a的范围 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 (0,1)，即当x＝0时，y＝1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称 知识点14 对数函数的概念 函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 知识点15 对数函数的图象及性质 a的范围 0<a<1 a>1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 定点 (1,0)，即x＝1时，y＝0 单调性 在(0，＋∞)上是减函数 在(0，＋∞)上是增函数 一、数形结合思想 【例1】（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数（且）的图象在第二、三、四象限内，则（　　） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】根据满足条件的指数型函数的图象，列不等式求结果． 【详解】如图所示，图象与y轴的交点在y轴的负半轴上（纵截距小于零），即，且， ，且． 故选：． 【变式1-1】（2024秋•嘉定区校级期中）在同一平面直角坐标系中，二次函数与指数函数的图像关系可能为　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次函数的对称轴首先排除、选项，再根据、的值的正负，结合二次函数和指数函数的性质逐个检验即可得出答案． 【解答】解：根据指数函数的解析式为，可得，， 故二次函数的对称轴位于轴的左侧，故排除、． 对于选项，由二次函数的图象可得，且函数的零点，， 则指数函数应该单调递增，故不正确． 综上可得，应选． 故选：． 【点评】本题考查了同一坐标系中指数函数图象与二次函数图象的关系，根据指数函数图象确定出、的正负情况是求解的关键，属于基础题． 【变式1-2】（2023秋•虹口区校级期中）若幂函数，，且、互素）的图像如图所示，则下列说法中正确是　　 A．、是奇数且 B．是偶数，是奇数，且 C．是偶数，是奇数，且 D．、是偶数，且 【分析】根据幂函数的性质进行判断． 【解答】解：由题图知，函数为偶函数，为偶数，为奇数，又在第一象限向上“凸”， 所以， 故选：． 【点评】本题考查幂函数的性质，属于基础题． 二、分类讨论思想 【例2】（2023秋•浦东新区校级月考）已知函数． （1）若是幂函数，且是奇函数，求实数的值； （2）若在第一象限内是严格增函数，求实数的取值范围． 【分析】（1）结合幂函数的定义可求的值，根据奇函数的定义验证即可； （2）根据在第一象限内是严格增函数需满足的条件列出不等式组，求解即可． 【解答】解：（1）若是幂函数，则，解得：或， 当时，，此时是奇函数，符合题意， 当时，，此时是偶函数，不符合题意， 所以； （2）若在第一象限内是严格增函数， 则需满足或， 即或或， 所以的取值范围是． 【点评】本题主要考查了幂函数的定义及性质的应用，属于中档题． 【变式2-1】（2023秋•浦东新区校级月考）已知幂函数与的图象与轴、轴都无公共点，且的图象关于轴对称，求的值． 【分析】由已知条件推导出，且，为偶数，由此能求出的值． 【解答】解：幂函数与的图象与、轴没有公共点， ，且， 解得， 的可能取值为3，4，5， 又的图象关于轴对称， 为偶函数，即为偶数， ． 【点评】本题考查满足条件的实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意幂函数性质的灵活运用． 【变式2-2】（2023秋•徐汇区校级期中）幂函数的图象关于轴成轴对称，且与轴、轴均无交点，求的值． 【分析】由幂函数与轴、轴均无交点得，再根据求出的值，结合幂函数的图象和性质分类验证是否满足题意即可． 【解答】解：由幂函数的图像与轴、轴均无交点， 得，解得，又， 所以，1，2，3，4． 当或4时，，定义域为，，， 即函数，其图象关于轴对称，满足题意； 当或3时，，即， 设，由（1），（1）， 故其图象不关于轴对称，不满足题意； 当时，，即，定义域为，，， 设，则， 故是偶函数，则图象关于轴对称，满足题意． 综上所述，的值为0或2或4． 【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 三、函数与方程思想 【例3】（2023秋•浦东新区校级期末）设函数的定义域为集合，函数的定义域为集合． （1）若全集为，求； （2）若，求实数的取值范围． 【分析】（1）解不等式求出，从而求出； （2）根据，得到关于的不等式组，解出即可． 【解答】解：由，解得：或， 故或， 由，解得：， 故， （1）或， ； （2）或，， 若， 则，解得：，即的取值范围是，． 【点评】本题考查求函数的定义域问题，考查集合的运算，是基础题． 【变式3-1】（2023秋•浦东新区校级期中）已知实数，满足，求的最小值为 　　． 【分析】根据基本不等式求其最小值即可． 【解答】解：， ，当且仅当时取等号， 的最小值为6． 故答案为：6． 【点评】本题考查了指数的运算，基本不等式求最值的方法，是基础题． 【变式3-2】（2023秋•嘉定区校级月考）若幂函数在时的图像位于直线的上方，则的取值范围是 　 　． 【分析】利用幂函数的图象和性质求解． 【解答】解：幂函数的部分图象如图： 可知与幂函数图象的变换规律，在第一象限内，的右侧， 幂函数的图象顺时针，越来越小． 当时，幂函数的图像在直线的上方， 可知． 故答案为：． 【点评】本题考查幂函数的图象和性质，考查运算求解能力，是基础题． 一．幂函数的概念（共4小题） 1．（2024秋•长宁区校级期中）函数的定义域是　　． 【分析】根据幂函数的性质和分式的意义，被开方数大于0，可以求出的范围即可． 【解答】解：由于， 得：， 函数的定义域是． 故答案为：． 【点评】本题考查求函数的定义域问题，主要考查幂函数的概念、解析式、定义域、值域，难度不大． 2．（2024秋•闵行区校级期中）已知幂函数的图像经过点，则实数的值为 　4　． 【分析】直接将点的坐标代入幂函数表达式即可求解． 【解答】解：因为幂函数的图像经过点，所以，解得． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查幂函数的应用，属于基础题． 3．（2023秋•普陀区校级期末）已知幂函数的图像关于轴对称，则　2　． 【分析】根据幂函数的知识求得的可能取值，根据函数图像关于轴对称求得的值． 【解答】解：因为为幂函数， 所以， 解得或， 当时，为偶函数，图像关于轴对称，符合题意． 当时，为奇函数，图像关于原点对称，不符合题意． 所以的值为2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了幂函数的定义和性质，属于基础题． 4．（2023秋•上海期末）若幂函数的图象不经过原点，则的值为　　 A．2 B． C．3 D．或2 【分析】根据幂函数的定义，求出的值，再根据图象不过原点取舍的值． 【解答】解：幂函数定义得，，解得或2，当时，指数，，过原点，不符合题意，故舍去；当时，指数，，显然不过原点，符合条件． 故选：． 【点评】考查幂函数的定义，并考查函数是否过原点．幂函数指数小于零才不过原点．属于简单题． 二．幂函数的定义域（共1小题） 5．（2024秋•闵行区校级期中）已知幂函数的定义域为，则实数　3　． 【分析】由幂函数的定义以及性质，列出方程，代入计算，即可得到结果． 【解答】解：由题意可得，，解得或， 当时，，定义域为； 当时，，定义域为，，，不满足题意． ． 故答案为：3． 【点评】本题考查幂函数的定义及性质，是基础题． 三．幂函数的单调性与最值（共4小题） 6．（2024秋•普陀区校级期中）下列函数是幂函数且在上是减函数的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用幂函数的定义及性质逐项判断即得． 【解答】解：对于，是幂函数，且在上单调递增，不满足题意； 对于，是幂函数，且在上单调递增，不满足题意； 对于，函数不是幂函数，不满足题意； 对于，函数是幂函数，且在上是减函数，满足题意． 故选：． 【点评】本题考查了幂函数的定义与性质应用问题，是基础题． 7．（2023秋•浦东新区期末）幂函数在上为减函数，则实数的值为 　0　． 【分析】由题意，根据幂函数的定义和性质即可得解． 【解答】解：因为幂函数在上为减函数， 所以，解得． 故答案为：0． 【点评】本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题． 8．（2023秋•杨浦区校级期末）设，已知函数为偶函数，且在上递减，则可取的值为 　　． 【分析】由题意，利用幂函数的奇偶性和单调性的性质，求出可取的值． 【解答】解：由于，已知函数为偶函数，且在上递减， 则为负的偶数， 故的值可为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查幂函数的奇偶性和单调性的性质，属于基础题． 9．（2023秋•虹口区期末）设，若幂函数的图像关于轴对称，且在区间上是严格增函数，则实数　　． 【分析】根据条件可得出是偶函数，且，然后即可得出的值． 【解答】解：幂函数的图像关于轴对称，且在区间上是严格增函数， 是偶函数，且，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了偶函数的定义，幂函数的单调性，是基础题． 四．有理数指数幂及根式（共4小题） 10．（2024秋•徐汇区校级期中）设．下列计算中正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】由题意利用分数指数幂的运算法则计算各个式子，从而得出结论． 【解答】解：，故错误； ，故错误； ，故错误； ，故正确， 故选：． 【点评】本题主要考查分数指数幂的运算法则应用，属于基础题． 11．（2024秋•浦东新区校级期中）在下面四个等式运算中，正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用有理数指数幂和根式的运算性质求解． 【解答】解：对于选项，故选项错误， 对于选项，故选项正确， 对于选项，故选项错误， 对于选项，故选项错误， 故选：． 【点评】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，考查了根式的化简计算，是基础题． 12．（2024秋•浦东新区校级期中）已知，为正数，化简　　． 【分析】利用有理数指数幂的性质求解． 【解答】解：原式． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，是基础题． 13．（2024秋•杨浦区校级期中）（1）已知，，用，表示． （2）已知，求的值． 【分析】（1）利用对数换底公式、对数运算性质即可得出； （2）利用完全平方公式结合指数运算性质求解即可． 【解答】解：（1）由，可得， ； （2）由题意可得， ． 【点评】本题考查了对数换底公式、对数运算性质，指数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 五．指数函数的值域（共3小题） 14．（2023秋•长宁区期末）若时，指数函数的值总大于1，则实数的取值范围是 　　． 【分析】由指数函数的性质可知，进而得解． 【解答】解：依题意，在上恒成立， 则，解得． 故答案为：． 【点评】本题考查指数函数的图象及性质，考查运算求解能力，属于基础题． 15．（2023秋•浦东新区校级期末）若时，指数函数的值总大于1，则实数的取值范围是 　，，　． 【分析】根据指数函数时，函数单调递增，可得，求解即可． 【解答】解：若时，指数函数的值总大于1，则，解得或． 则实数的取值范围是，，． 故答案为：，，． 【点评】本题考查指数函数性质的应用，属于基础题． 16．（2023秋•黄浦区校级期末）若函数且在，上的最大值与最小值之和为3，则　2　． 【分析】本题要分两种情况进行讨论：①，函数在，上为单调减函数，根据函数在，上的最大值与最小值和为3，求出②，函数在，上为单调增函数，根据函数在，上的最大值与最小值和为3，求出即可． 【解答】解：①当时 函数在，上为单调减函数 函数在，上的最大值与最小值分别为1， 函数在，上的最大值与最小值和为3 （舍 ②当时 函数在，上为单调增函数 函数在，上的最大值与最小值分别为，1 函数在，上的最大值与最小值和为3 故答案为：2． 【点评】本题考查了函数最值的应用，但解题的关键要注意对进行讨论，属于基础题． 六．指数函数的图象（共2小题） 17．（2023秋•浦东新区校级期末）若，，则函数的图象一定过点　　． 【分析】利用指数函数过定点的性质进行判断． 【解答】解：方法1：平移法 过定点， 将函数向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，此时函数过定点， 方法2：解方程法 由，解得， 此时， 即函数的图象一定过点． 故答案为： 【点评】本题主要考查指数函数过定点的性质，如果的系数为1，则可以使用平移法，但的系数不为1，则用解方程的方法比较简单． 18．（2023秋•青浦区期末）指数函数在，上最大值与最小值之和为6．则　2　． 【分析】由题意可知，再结合且，即可求出的值． 【解答】解：因为指数函数在，上单调， 所以， 解得或， 又因为且， 所以． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了指数函数的性质，属于基础题． 七．指数函数的单调性与最值（共3小题） 19．（2024秋•浦东新区校级期中）不等式与不等式解集相同，则 　　． 【分析】根据在上单调递增，判断大小列不等式进行解答即可． 【解答】解：不等式可化为， 因为在上单调递增， 所以，整理得， 由题意知两不等式的解集相同，则，， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查了函数与不等式的应用问题，是基础题． 20．（2024秋•嘉定区校级期中）对于任意实数，函数且的图象经过一个定点，则该定点的坐标是　　． 【分析】直接利用指数的性质求解即可． 【解答】解：因为当式时，， 所以函数必过定点． 故答案为：． 【点评】本题考查了指数函数的性质，解题的关键是掌握指数的性质，属于基础题． 21．（2023秋•嘉定区校级期末）若指数函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是 　　． 【分析】根据指数函数的单调性，利用底数满足的条件求解． 【解答】解：因为指数函数在上是严格减函数， 所以，解得． 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 【点评】本题考查了指数函数的单调性问题，是基础题． 八．指数函数的实际应用（共2小题） 22．（2024秋•杨浦区校级期中）某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司2019年（年底统计）全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 　2023　．（年底统计） 【分析】结合指数的运算公式解决函数的实际应用． 【解答】解：依题意，． 故答案为：2023． 【点评】本题考查指数函数的实际应用，为基础题． 23．（2023秋•徐汇区期末）某林区的木材蓄积量每年平均比上一年增长，若要求林区的木材蓄积量高于当前蓄积量的3倍，则至少需要经过 　12　年．（参考数据：取， 【分析】由于林区的木材蓄积量每年平均比上一年增长，那么假设该林区当前的木材蓄积量为1，则经过年的木材蓄积量为，由于要求林区的木材蓄积量高于当前蓄积量的3倍，可令，解不等式，再计算取精确值即可． 【解答】解：假设该林区当前的木材蓄积量为1，则经过年的木材蓄积量为． 由于要求林区的木材蓄积量高于当前蓄积量的3倍， 则可得，得． 因为， 所以，故至少需要经过12年． 故答案为：12． 【点评】本题主要考查函数的实际应用，属于基础题． 九．指数式与对数式的互化（共3小题） 24．（2024秋•黄浦区校级期中）若实数，且，则 　1　． 【分析】根据换底公式及对数式与指数式的转化即可得解． 【解答】解：由， ，则， 解得或（舍去）， 所以，即， 所以． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查对数的运算性质，属于基础题． 25．（2024秋•徐汇区校级期中）若，则　　． 【分析】直接由指对互换、对数运算法则即可求解． 【解答】解：因为， 所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，属于基础题． 26．（2024秋•浦东新区校级期中）（1）已知，求证：； （2）证明：是无理数． 【分析】（1）指数式化为对数式，得到左式，右式，证毕； （2）反证法进行证明，假设是有理数，则，其中为既约分数，可得矛盾． 【解答】证明：（1）， ，，， ， ， 所以． （2）假设是有理数， 则，其中为既约分数， 则， 则， 这与为偶数，为奇数相矛盾， 所以假设不成立，所以是无理数． 【点评】本题考查对数的运算，反证法，属于中档题． 十．对数的运算性质（共7小题） 27．（2024秋•普陀区校级期中）已知，，若，则　　 A． B．2 C． D． 【分析】结合对数的运算，化简可得，得到并解出方程组即可． 【解答】解：由题意可知，， 所以，解得：． 所以． 故选：． 【点评】本题主要考查对数的运算性质，属于基础题． 28．（2024秋•杨浦区校级期中）若，，则下列正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【分析】利用对数的定义、性质直接求解． 【解答】解：对于，若，则，故错误； 对于，若，则，故正确； 对于，若，则，，故错误； 对于，若，则，故错误． 故选：． 【点评】本题考查对数的定义、性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 29．（2024秋•浦东新区校级期中）已知实数，满足，则的最小值为 　　． 【分析】，，利用对数运算法则得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值． 【解答】解：，，，， 故，两边同时除以，得， 故， 当且仅当，即时，等号成立． 故答案为：． 【点评】本题考查对数运算，考查基本不等式，属于基础题． 30．（2024秋•闵行区校级期中）已知，则 　　（结果用，表示）． 【分析】根据指数式与对数式的互化，求出，，结合对数的运算法则化简，即可得答案． 【解答】解：因为，所以，，则， 故． 故答案为：． 【点评】本题考查了指数式和对数式的互化，对数的换底公式，对数的运算性质，是基础题． 31．（2024秋•普陀区校级期中）在对数式中，实数的取值范围是 　且　． 【分析】根据对数式中底数与真数范围列不等式组即可求解． 【解答】解：由对数式可知：，解得：且． 故答案为：且． 【点评】本题主要考查了对数有意义条件的应用，属于基础题． 32．（2024秋•长宁区校级期中）已知，则　4　． 【分析】由题意得，化简得，解出的值． 【解答】解：， ， ， ， ， （舍去），或， 故答案为 4． 【点评】本题考查对数的运算性质的应用，一元二次方程的解法，体现了转化的数学思想． 33．（2024秋•长宁区校级期中）已知，，且，用，，表示 　　． 【分析】根据已知条件，结合对数的运算性质，即可求解． 【解答】解：，，且， 则． 故答案为：． 【点评】本题主要考查对数的运算性质，属于基础题． 十一．对数函数的定义域（共3小题） 34．（2024秋•宝山区校级期中）函数的定义域是，则的取值范围是 　，　． 【分析】由题意分类讨论和两种情况确定实数的取值范围即可． 【解答】解：当时，函数解析式为：，其定义域为，满足题意， 当时，应满足：，求解不等式组可得：， 综上可得，实数的取值范围是，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查对数函数的性质，属于基础题． 35．（2023秋•宝山区校级期末）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 　，　． 【分析】根据已知条件，结合判别式法，并分类讨论，即可求解． 【解答】解：数， 当时，显然符合题意， 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围是，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查对数函数的定义域，属于基础题． 36．（2023秋•浦东新区校级期末）设函数的定义域为集合，函数的定义域为集合． （1）若全集为，求； （2）若，求实数的取值范围． 【分析】（1）解不等式求出，从而求出； （2）根据，得到关于的不等式组，解出即可． 【解答】解：由，解得：或， 故或， 由，解得：， 故， （1）或， ； （2）或，， 若， 则，解得：，即的取值范围是，． 【点评】本题考查求函数的定义域问题，考查集合的运算，是基础题． 十二．对数函数的图象（共6小题） 37．（2023秋•宝山区校级期末）已知函数，且，为实数），下列说法正确的是　　 A．函数的单调性只与有关，且与有关 B．函数的单调性只与有关，与无关 C．函数的单调性与、都有关 D．函数的单调性与、都无关 【分析】分，两种情况讨论，可知函数的单调性与，无关． 【解答】解：，且，为实数）， 当时，，在定义域上单调递增， 所以函数在单调递增，与无关； 当时，在定义域上单调递减， 所以函数在单调递增，与无关． 综上所述：在单调递增与，无关． 故选：． 【点评】本题考查函数的单调性的判断及分类讨论的思想，属于基础题． 38．（2023秋•浦东新区校级期末）若函数且的图象恒过定点，则的坐标是 　　． 【分析】根据题意，由对数函数的性质，令真数为1，求出的值，再代入函数解析式可得出定点的纵坐标． 【解答】解：根据题意，函数， 令，得，此时有（3）， 则的坐标是． 故答案为：． 【点评】本题考查对数函数的性质以及应用，涉及对数的运算，属于基础题． 39．（2023秋•杨浦区校级期末）利用函数图像解不等式：的解集是 　　． 【分析】画出函数，的图像，根据图像得到答案． 【解答】解：画出函数，的图像，如图， 当时，， 根据图像知：当时，． 故答案为：． 【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 40．（2024秋•徐汇区校级期中）已知，点在曲线上，若线段与曲线相交且交点恰为线段的中点，则称为曲线关于曲线的一个关联点．那么曲线关于曲线的关联点的个数为　　 A．0 B．1 C．2 D．4 【分析】设线段与曲线的交点为，令点，则点，．根据点在函数的图象上，可得．故曲线关于曲线的关联点的个数，即为函数 和曲线的交点的个数，数形结合可得结论． 【解答】解：如图所示：设线段与曲线的交点为， 如图所示，令点，则点，． 由于点在函数的图象上，故有， 即． 故曲线关于曲线的关联点的个数， 即为函数 和曲线的交点的个数． 在同一个坐标系中，画出函数 和曲线的图象， 数形结合可得函数 和曲线的交点的个数为1， 故选：． 【点评】本题主要考查新定义，关联点的个数的求法，方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题． 41．（2023秋•浦东新区校级期末）已知函数，若，则实数的取值范围是 　　． 【分析】先利用定义判断函数的单调性，设，其中因式要与1比较大小，等价于，判断与0的大小即可． 【解答】解：因为， 所以函数的定义域为， 设， 则， 即， 其中， 因为，， ， ，， 所以，即，得， 同时，指数函数在上单调递增，且，则，即， 所以，即成立， 所以函数在上单调递增，且， 若，只需，解得， 故答案是：． 【点评】本题考查的知识要点：函数的性质，不等式的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． 42．（2023秋•普陀区校级期末）已知，设函数在区间，上的最大值为（b）．若（b），则正实数的最大值为 　　． 【分析】画出函数图象，数形结合得到当时，（b）取得最小值，最小值为，并得到，从而得到不等式，求解解集，得到答案． 【解答】解：画出的图象如下： 故（b），， 由图象可知，当时，（b）取得最小值，最小值为， 此时，， 则， 故只需要 ②， 将①代入②得， 化简得， 解得， 故正实数的最大值为． 故答案为：． 【点评】本题考查对数函数的图象与性质，属于中档题． 十三．对数函数的单调性与最值（共2小题） 43．（2023秋•宝山区校级期末）已知在，上是的减函数，则实数的取值范围为　　． 【分析】根据复合函数的单调性和对数函数的性质可知，再由在，上应有，可知．得． 【解答】解：设， 且， 为减函数． 依题意，又在，上应有， 只须．． 故． 故答案为： 【点评】本题主要考查了对数函数的单调性与特殊点，要掌握复合函数的单调性的判定方法：同增异减．属于基础题． 44．（2023秋•杨浦区校级期末）对于任意不等于1的正数，函数的图像都经过一个定点，这个定点的坐标是 　　． 【分析】令对数的真数等于1，求得、的值，即为定点的坐标． 【解答】解：令，得，，故函数的图象必经过定点的坐标， 故答案为：． 【点评】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，属于基础题． 十四．指数函数与对数函数的关系（共1小题） 45．（2024秋•黄浦区校级期中）设，且，　　． 【分析】先解出，，再代入方程利用换底公式及对数运算性质化简即可得到的等式，求． 【解答】解：，，，由换底公式得 ，，， 故应填 【点评】考查指对转化，对数的运算性质，求两对数式的倒数和，若两真数相同，常用换底公式转化为同底的对数求和． 一．填空题（共12小题） 1．（2023秋•奉贤区期末）已知，用有理数指数幂的形式表示　　． 【分析】根式形式化为分数指数幂形式再由指数运算化简即可． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题考查了有理数指数幂的运算性质，属于基础题． 2．（2023秋•浦东新区校级期末）函数的定义域是　　． 【分析】函数的定义域满足，由此能求出结果． 【解答】解：函数的定义域满足， 解得， 函数的定义域是． 故答案为：． 【点评】本题考查对数函数的定义域的求法，是基础题，解题时要注意分式不等式的合理运用． 3．（2024秋•闵行区校级期中）已知，则 　　． 【分析】利用指数幂的运算化简，然后利用对数定义求解即可． 【解答】解：因为，所以，， ， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查对数的运算，属于基础题． 4．（2023秋•浦东新区校级期中）恒过定点为 　　． 【分析】根据，即可判断． 【解答】解：时，，则恒过定点． 故答案为：． 【点评】本题考查函数恒过定点问题，属于基础题． 5．（2024秋•浦东新区校级期中）若幂函数图象过点，则（3）　　． 【分析】根据题意求出幂函数的解析式，再计算（3）的值． 【解答】解：幂函数图象过点， 则，解得， ； （3）． 故答案为：． 【点评】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题． 6．（2024秋•浦东新区校级期中）若，，则可以用及表示： 　　． 【分析】根据已知条件，结合对数的运算性质，即可求解． 【解答】解：， 则， 故． 故答案为：． 【点评】本题主要考查对数的运算性质，属于基础题． 7．（2023秋•上海期末）已知函数，则（5）　1　． 【分析】由已知函数解析式，结合对数的运算性质，代入即可求解． 【解答】解：因为， 所以，（2），（5）， 则（5）． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了函数值的求解，属于基础题． 8．（2024秋•杨浦区校级期中）幂函数的图像经过点，则　　． 【分析】利用幂函数的性质直接求解． 【解答】解：幂函数的图像经过点， ， 解得． 故答案为：． 【点评】本题考查幂函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 9．（2023秋•奉贤区校级月考）当时，函数的值总大于1，则实数的取值范围是　或　． 【分析】根据题意指数函数的图象与性质得出关于底数的不等关系，再解此不等式即可求得实数的取值范围． 【解答】解：当时，函数的值总大于1， 根据指数函数的性质得： ， ，． 则实数的取值范围是或． 故答案为：或． 【点评】本题主要考查指数函数的图象与性质、不等式的解法．属于容易题． 10．（2023秋•普陀区校级期末）已知，，则可以用、表示为 　　． 【分析】利用指数、对数互化关系及对数换底公式求解即得． 【解答】解：由，得，而， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查了对数的换底公式、，属于基础题． 11．（2023秋•浦东新区校级月考）函数且的图象过定点，则点的坐标是　　． 【分析】先通过所学知识推断出恒过的点，进而根据图象平移的法则求得答案． 【解答】解：函数恒过点， 而函数，是由函数向左平移一个单位后，又向上平移2个单位， 故函数横过点． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了对数函数的图象与性质．解此题，采用数形结合的思想较好． 12．（2023秋•浦东新区校级月考）函数在，上的最大值和最小值之和为，则的值为　　． 【分析】结合函数与的单调性可知在，单调，从而可得函数在，上的最值分别为，（1），代入可求 【解答】解：与具有相同的单调性． 在，上单调， （1），即， 化简得，解得 故答案为： 【点评】本题主要考查了指数函数与对数函数的单调性的简单运用，利用整体思想求解函数的最值，试题比较容易． 二．选择题（共4小题） 13．（2023秋•嘉定区期末）已知，，则的值　　 A． B． C． D． 【分析】根据已知条件，结合指数幂的运算法则，即可求解． 【解答】解：，， 则． 故选：． 【点评】本题主要考查指数幂的运算法则，属于基础题． 14．（2023秋•长宁区期末）若与互为相反数，则有　　 A． B． C． D． 【分析】由已知条件列出方程，利用对数的积的法则求出． 【解答】解：， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查对数的四则运算法则、考查当真数互为倒数时，对数互为相反数，属于基础题． 15．（2023秋•闵行区期末）历史上数学计算方面的三大发明是阿拉伯数字、十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势．已知，，则的估算值为　　 A． B． C． D． 【分析】设，两边同时取对数得：，再结合对数的运算性质求解即可． 【解答】解：设，两边同时取对数得：， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了对数的运算性质，属于基础题． 16．（2023秋•徐汇区期末）已知，，则　　 A． B． C． D． 【分析】根据条件可求出，，然后根据对数的运算性质即可求出答案． 【解答】解：， ，且， ． 故选：． 【点评】本题考查了对数的运算性质，对数的换底公式，考查了计算能力，属于中档题． 三．解答题（共5小题） 17．（2023秋•普陀区校级期中）已知幂函数在上单调递减． （1）求的值； （2）若，求的取值范围． 【分析】（1）由幂函数的定义以及单调性得出的值； （2）由解不等式得出的取值范围． 【解答】解：（1）由幂函数的定义可得，即， 解得或． 因为在上单调递减， 所以，即， 则； （2）设，是上的增函数， 由（1）可知， 即， 则， 解得， 即的取值范围为． 【点评】本题主要考查了幂函数的定义和性质，属于基础题． 18．（2023秋•浦东新区校级月考）已知函数． （1）若是幂函数，且是奇函数，求实数的值； （2）若在第一象限内是严格增函数，求实数的取值范围． 【分析】（1）结合幂函数的定义可求的值，根据奇函数的定义验证即可； （2）根据在第一象限内是严格增函数需满足的条件列出不等式组，求解即可． 【解答】解：（1）若是幂函数，则，解得：或， 当时，，此时是奇函数，符合题意， 当时，，此时是偶函数，不符合题意， 所以； （2）若在第一象限内是严格增函数， 则需满足或， 即或或， 所以的取值范围是． 【点评】本题主要考查了幂函数的定义及性质的应用，属于中档题． 19．（2023秋•普陀区校级期中）已知函数方程的两根为、 （1）求的值． （2）求的值． 【分析】根据韦达定理得到，，从而代入求值即可． 【解答】解：，， （1） ； （2）的 ． 【点评】本题考查了韦达定理，考查了指数幂的性质，是一道基础题． 20．（2023秋•杨浦区校级期中）已知函数的定义域为集合，集合，． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【分析】（1）利用集合的并集运算求解即可． （2）根据有：集合是集合的子集，求解的取值范围即可． 【解答】解：（1）当时，集合，，因为真数大于零，所以， 解得集合，所以，． （2）因为真数大于零，所以，解得集合， 集合，且，所以集合是集合的子集， ，，无解，即集合不是空集； ，则，解得． 所以． 【点评】本题考查集合的包含关系，属于中档题． 21．（2023秋•闵行区校级月考）已知函数． （1）当，时，求函数的值域． （2）若存在，，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【分析】（1）将变形为，再令，利用换元法转换为二次函数求值域； （2）将不等式整理为对，恒成立，再利用二次函数的性质分类讨论最值求解． 【解答】解：（1）， 令，则，时，，， 此时， ，，则， 所以，时，函数的值域为； （2）对于，恒成立， 即对，恒成立， 即对，恒成立， 设，，，则， ①当，即时，（1），解得，所以； ②当，即时，（2），即， 所以， 综上所述，的范围为． 【点评】本题主要考查了对数函数性质的应用，还考查了不等式恒成立与最值关系的应用，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3~4章幂指对函数 （3种数学思想方法+14种核心素养提升+过关检测） 知识点01、初中相关知识复习 的次幂 ； 当时，可以定义： 的次方根 一般地，如果为大于1的整数，且，那么叫做的次方根； 叫做的次根式；叫做根指数，叫做被开方数 根式的性质 (1)负数没有偶次方根． (2)0的任何次方根都是0，记作＝0. (3)当n为奇数时，()n＝a(n∈N*，且n>1)． (4)当n为偶数时，＝|a|＝(n∈N*，且n>1)． 注意点： (1)对于()n＝a，若n为奇数，则a∈R；若n为偶数，则a≥0. (2)()n与意义不同，比如＝－3，＝3，而()4没有意义，故()n≠. (3)当a≥0时，()n＝；当a<0且n为奇数时，()n＝；当a<0且n为偶数时，对于要注意运算次序． 知识点02幂的运算性质 根式与分数指数幂的互化 (1)规定正数的正分数指数幂的意义是：＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)； (2)规定正数的负分数指数幂的意义是：＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1)； (3)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． （4）对任意给定的正数、及实数、，有，， 知识点03 幂的基本不等式 定理 当，时，； 知识点04 对数 (1)指数式与对数式的互化及有关概念： (2)底数a的范围是a>0，且a≠1. 知识点05常用对数与自然对数 知识点06对数的基本性质 (1)负数和零没有对数． (2)loga 1＝0(a>0，且a≠1)． (3)logaa＝1(a>0，且a≠1)． 知识点07 对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 知识点08对数的换底公式 若a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0， 则有logab＝. 知识点09 幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 知识点10 幂函数的图象 在同一平面直角坐标系中，画出幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的图象如图所示： 知识点11 幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增函数 x∈[0，＋∞) 时，增函数 x∈(－∞，0] 时，减函数 增函数 增函数 x∈(0，＋∞) 时，减函数 x∈(－∞，0) 时，减函数 知识点12 指数函数的概念 一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 知识点13 指数函数的图象和性质 a的范围 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 (0,1)，即当x＝0时，y＝1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数y＝ax与y＝a－x的图象关于y轴对称 知识点14 对数函数的概念 函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 知识点15 对数函数的图象及性质 a的范围 0<a<1 a>1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 性质 定点 (1,0)，即x＝1时，y＝0 单调性 在(0，＋∞)上是减函数 在(0，＋∞)上是增函数 一、数形结合思想 【例1】（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数（且）的图象在第二、三、四象限内，则（　　） A． B．且 C．且 D． 【变式1-1】（2024秋•嘉定区校级期中）在同一平面直角坐标系中，二次函数与指数函数的图像关系可能为　　 A． B． C． D． 【变式1-2】（2023秋•虹口区校级期中）若幂函数，，且、互素）的图像如图所示，则下列说法中正确是　　 A．、是奇数且 B．是偶数，是奇数，且 C．是偶数，是奇数，且 D．、是偶数，且 二、分类讨论思想 【例2】（2023秋•浦东新区校级月考）已知函数． （1）若是幂函数，且是奇函数，求实数的值； （2）若在第一象限内是严格增函数，求实数的取值范围． 【变式2-1】（2023秋•浦东新区校级月考）已知幂函数与的图象与轴、轴都无公共点，且的图象关于轴对称，求的值． 【变式2-2】（2023秋•徐汇区校级期中）幂函数的图象关于轴成轴对称，且与轴、轴均无交点，求的值． 三、函数与方程思想 【例3】（2023秋•浦东新区校级期末）设函数的定义域为集合，函数的定义域为集合． （1）若全集为，求； （2）若，求实数的取值范围． 【变式3-1】（2023秋•浦东新区校级期中）已知实数，满足，求的最小值为 　　． 【变式3-2】（2023秋•嘉定区校级月考）若幂函数在时的图像位于直线的上方，则的取值范围是 　 　． 一．幂函数的概念（共4小题） 1．（2024秋•长宁区校级期中）函数的定义域是　　． 2．（2024秋•闵行区校级期中）已知幂函数的图像经过点，则实数的值为 　　． 3．（2023秋•普陀区校级期末）已知幂函数的图像关于轴对称，则　　． 4．（2023秋•上海期末）若幂函数的图象不经过原点，则的值为　　 A．2 B． C．3 D．或2 二．幂函数的定义域（共1小题） 5．（2024秋•闵行区校级期中）已知幂函数的定义域为，则实数　　． 三．幂函数的单调性与最值（共4小题） 6．（2024秋•普陀区校级期中）下列函数是幂函数且在上是减函数的是　　 A． B． C． D． 7．（2023秋•浦东新区期末）幂函数在上为减函数，则实数的值为 　　． 8．（2023秋•杨浦区校级期末）设，已知函数为偶函数，且在上递减，则可取的值为 　　． 9．（2023秋•虹口区期末）设，若幂函数的图像关于轴对称，且在区间上是严格增函数，则实数　　． 四．有理数指数幂及根式（共4小题） 10．（2024秋•徐汇区校级期中）设．下列计算中正确的是　　 A． B． C． D． 11．（2024秋•浦东新区校级期中）在下面四个等式运算中，正确的是　　 A． B． C． D． 12．（2024秋•浦东新区校级期中）已知，为正数，化简　　． 13．（2024秋•杨浦区校级期中）（1）已知，，用，表示． （2）已知，求的值． 五．指数函数的值域（共3小题） 14．（2023秋•长宁区期末）若时，指数函数的值总大于1，则实数的取值范围是 　　． 15．（2023秋•浦东新区校级期末）若时，指数函数的值总大于1，则实数的取值范围是 　　． 16．（2023秋•黄浦区校级期末）若函数且在，上的最大值与最小值之和为3，则　　． 六．指数函数的图象（共2小题） 17．（2023秋•浦东新区校级期末）若，，则函数的图象一定过点　　． 18．（2023秋•青浦区期末）指数函数在，上最大值与最小值之和为6．则　　． 七．指数函数的单调性与最值（共3小题） 19．（2024秋•浦东新区校级期中）不等式与不等式解集相同，则 　　． 20．（2024秋•嘉定区校级期中）对于任意实数，函数且的图象经过一个定点，则该定点的坐标是　　． 21．（2023秋•嘉定区校级期末）若指数函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是 　　． 八．指数函数的实际应用（共2小题） 22．（2024秋•杨浦区校级期中）某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入．若该公司2019年（年底统计）全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 　　．（年底统计） 23．（2023秋•徐汇区期末）某林区的木材蓄积量每年平均比上一年增长，若要求林区的木材蓄积量高于当前蓄积量的3倍，则至少需要经过 　　年．（参考数据：取， 九．指数式与对数式的互化（共3小题） 24．（2024秋•黄浦区校级期中）若实数，且，则 　　． 25．（2024秋•徐汇区校级期中）若，则　　． 26．（2024秋•浦东新区校级期中）（1）已知，求证：； （2）证明：是无理数． 十．对数的运算性质（共7小题） 27．（2024秋•普陀区校级期中）已知，，若，则　　 A． B．2 C． D． 28．（2024秋•杨浦区校级期中）若，，则下列正确的是　　 A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 29．（2024秋•浦东新区校级期中）已知实数，满足，则的最小值为 　　． 30．（2024秋•闵行区校级期中）已知，则 　　（结果用，表示）． 31．（2024秋•普陀区校级期中）在对数式中，实数的取值范围是 　　． 32．（2024秋•长宁区校级期中）已知，则　　． 33．（2024秋•长宁区校级期中）已知，，且，用，，表示 　　． 十一．对数函数的定义域（共3小题） 34．（2024秋•宝山区校级期中）函数的定义域是，则的取值范围是 　　． 35．（2023秋•宝山区校级期末）已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 　　． 36．（2023秋•浦东新区校级期末）设函数的定义域为集合，函数的定义域为集合． （1）若全集为，求； （2）若，求实数的取值范围． 十二．对数函数的图象（共6小题） 37．（2023秋•宝山区校级期末）已知函数，且，为实数），下列说法正确的是　　 A．函数的单调性只与有关，且与有关 B．函数的单调性只与有关，与无关 C．函数的单调性与、都有关 D．函数的单调性与、都无关 38．（2023秋•浦东新区校级期末）若函数且的图象恒过定点，则的坐标是 　　． 39．（2023秋•杨浦区校级期末）利用函数图像解不等式：的解集是 　　． 40．（2024秋•徐汇区校级期中）已知，点在曲线上，若线段与曲线相交且交点恰为线段的中点，则称为曲线关于曲线的一个关联点．那么曲线关于曲线的关联点的个数为　　 A．0 B．1 C．2 D．4 41．（2023秋•浦东新区校级期末）已知函数，若，则实数的取值范围是 　　． 42．（2023秋•普陀区校级期末）已知，设函数在区间，上的最大值为（b）．若（b），则正实数的最大值为 　　． 十三．对数函数的单调性与最值（共2小题） 43．（2023秋•宝山区校级期末）已知在，上是的减函数，则实数的取值范围为　　． 44．（2023秋•杨浦区校级期末）对于任意不等于1的正数，函数的图像都经过一个定点，这个定点的坐标是 　　． 十四．指数函数与对数函数的关系（共1小题） 45．（2024秋•黄浦区校级期中）设，且，　　． 一．填空题（共12小题） 1．（2023秋•奉贤区期末）已知，用有理数指数幂的形式表示　　． 2．（2023秋•浦东新区校级期末）函数的定义域是　　． 3．（2024秋•闵行区校级期中）已知，则 　　． 4．（2023秋•浦东新区校级期中）恒过定点为 　　． 5．（2024秋•浦东新区校级期中）若幂函数图象过点，则（3）　　． 6．（2024秋•浦东新区校级期中）若，，则可以用及表示： 　　． 7．（2023秋•上海期末）已知函数，则（5）　　． 8．（2024秋•杨浦区校级期中）幂函数的图像经过点，则　　． 9．（2023秋•奉贤区校级月考）当时，函数的值总大于1，则实数的取值范围是　　． 10．（2023秋•普陀区校级期末）已知，，则可以用、表示为 　　． 11．（2023秋•浦东新区校级月考）函数且的图象过定点，则点的坐标是　　． 12．（2023秋•浦东新区校级月考）函数在，上的最大值和最小值之和为，则的值为　　． 二．选择题（共4小题） 13．（2023秋•嘉定区期末）已知，，则的值　　 A． B． C． D． 14．（2023秋•长宁区期末）若与互为相反数，则有　　 A． B． C． D． 15．（2023秋•闵行区期末）历史上数学计算方面的三大发明是阿拉伯数字、十进制和对数，其中对数的发明，大大缩短了计算时间，为人类研究科学和了解自然起了重大作用，对数运算对估算“天文数字”具有独特的优势．已知，，则的估算值为　　 A． B． C． D． 16．（2023秋•徐汇区期末）已知，，则　　 A． B． C． D． 三．解答题（共5小题） 17．（2023秋•普陀区校级期中）已知幂函数在上单调递减． （1）求的值； （2）若，求的取值范围． 18．（2023秋•浦东新区校级月考）已知函数． （1）若是幂函数，且是奇函数，求实数的值； （2）若在第一象限内是严格增函数，求实数的取值范围． 19．（2023秋•普陀区校级期中）已知函数方程的两根为、 （1）求的值． （2）求的值． 20．（2023秋•杨浦区校级期中）已知函数的定义域为集合，集合，． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 21．（2023秋•闵行区校级月考）已知函数． （1）当，时，求函数的值域． （2）若存在，，使得不等式成立，求实数的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$