精品解析：重庆市礼嘉中学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

2024-2025学年度礼嘉中学高2024级上期中期考试 数学试卷 （全卷满分150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上. 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项. 3.作答时务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 已知集合，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由Venn图可知：阴影部分表示的集合为，结合交集和补集运算求解. 【详解】由Venn图可知：阴影部分表示的集合为， 因为集合，，，可得， 所以. 故选：C. 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据绝对值性质分析可得，运算求解即可. 【详解】对于不等式， 因为，可得，解得， 所以不等式的解集是. 故选：A. 3. 如果函数在区间上单调递增，那么实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的开口方向和对称轴得到不等式，求出答案. 【详解】开口向上，对称轴为， 要想函数在区间上单调递增，则需，解得， 故实数的取值范围是 故选：A 4. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数性质以及中间量“1”即可比较大小. 【详解】根据指数函数性质知，即， 又因为，则. 故选：D. 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到，再解不等式组即可. 【详解】根据题意可得，解得且． 故选：C 6. 已知函数是奇函数，且当时，，那么当时，的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性得到，得到时的解析式. 【详解】当时，，， 因为为奇函数，所以， 故，所以. 故选：B 7. 若函数是幂函数,且在上单调递增,则（       ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】 由幂函数的定义及幂函数的单调性可得，再求值即可得解. 【详解】解：因为函数是幂函数, 所以,解得或. 又因为在上单调递增,所以, 所以, 即, 从而， 故选：D. 【点睛】本题考查了幂函数的定义及幂函数的单调性，重点考查了求值问题，属基础题. 8. 设，若是的最小值，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数的最值，结合二次函数和基本不等式，二次不等式求解. 【详解】由于，当，，由于是的最小值， 则为减区间，即有，则恒成立. 由，当且仅当时取等号，所以 ，解得. 综上，a的取值范围为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数解析式和定义域结合函数相等逐项分析判断. 【详解】对于选项A：因为的定义域为，的定义域为， 两者定义域不相同，所以不是同一函数，故A错误； 对于选项B：因为，且两个函数的定义域均为， 所以是同一个函数，故B正确； 对于选项C：因为的定义域为，的定义域为， 两者定义域不相同，所以不是同一函数，故C错误； 对于选项D：因为，且两个函数的定义域均为， 所以是同一个函数，故D正确； 故选：BD. 10. 已知实数，，，满足：，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据不等式的性质，可判断ACD是否正确；通过特例，说明B错误. 【详解】对A：由，得：，故A错误； 对B：取，，，，则，且，，所以，此时B不成立； 对C：因为，，所以，故C正确； 对D：因为，所以即，故D正确. 故选：CD 11. 意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为．设函数，则（ ) A. B. 函数在其定义域上是增函数 C. 若实数满足不等式，则的取值范围是 D. 函数的值域为 【答案】BC 【解析】 【分析】求出函数的解析式，再结合指数函数性质，逐项分析判断即可. 【详解】依题意，， 对于A，，A错误； 对于B，函数的定义域为R，显然函数在R上单调递增， 函数在R上单调递减，因此函数在R上单调递增，B正确； 对于C，显然，则不等式， 由选项B知，，解得，因此的取值范围是，C正确； 对于D，，则，即有，因此函数的值域为，D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，则___________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据集合相等结合集合的互异性可得，，即可得结果. 【详解】因为，可知， 可得，则，解得， 若，则，不合题意； 若，则，符合题意； 综上所述：，. 所以. 故答案为：1. 13. 已知函数是偶函数，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据偶函数的定义求参数的值. 【详解】因为函数为偶函数，所以对，恒成立. 所以， 两边同乘以得：， 所以. 故答案为： 14. 已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】换元令，可得，分类讨论结合基本不等式求得，结合恒成立问题可得，运算求解即可. 【详解】因为， 令，则， 可得， 若，则， 当且仅当，即时，等号成立； 若，则； 若，则； 综上所述：，当且仅当时，等号成立， 因为不等式对任意恒成立， 可得，即，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，确定集合、，再求. （2）问题转化为根据求的取值范围. 【小问1详解】 当时，，又. 所以或. 【小问2详解】 由“”是“”的充分条件，所以. 若即，则，此时； 若即，由. 综上可知：.所以实数的取值范围为：. 16. 已知函数. （1）求函数的解析式. （2）求关于的不等式，的解集. 【答案】（1） （2）若，不等式解集为；若，不等式解集为；若，不等式解集为 【解析】 【分析】（1）根据题意利用配凑法求函数解析式； （2）整理可得，分类讨论两根大小分析求解. 【小问1详解】 因为， 所以. 【小问2详解】 因为，即， 整理可得， 令，解得或， 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为. 17. 已知函数. （1）用定义法证明函数在区间上单调递增； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） 设， 则 ， 因为，所以，，， 所以，故. 即. 所以函数在区间上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数的单调性的定义证明函数的单调性. （2）根据函数的单调性，结合函数定义域，把函数不等式转化成代数不等式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为函数在区间上单调递增. 所以. 所以实数的取值范围是：. 18. 在经济学中，函数的边际函数，某公司每月最多生产10台光刻机的某种设备，生产x台（）这种设备的收入函数为（单位千万元），其成本函数为（单位千万元）．（以下问题请注意定义域） （1）求收入函数的最小值； （2）求成本函数的边际函数的最大值； （3）求生产x台光刻机的这种设备的利润的最小值． 【答案】（1）48（千万元） （2） （3）7（千万元） 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式求函数的最小值即得； （2）求出边际函数的解析式，然后利用函数的单调性求解最值； （3）求出利润函数的解析式，换元后运用二次函数的图象性质求解最值． 【小问1详解】 ∵，． ∴，当且仅当即时等号成立． ∴当时，（千万元）； 【小问2详解】 ， ，， 由函数单调性知，在时单调递增， 故当时，； 【小问3详解】 由， 则，． 记，则该函数在上递减，在上递增，且，故， 于是当时，取得最小值.由，解得或， 故当或时，（千万元）． 19. 对于函数，若其定义域内存在实数满足，则称为“伪奇函数”． （1）已知函数，试问是否为“伪奇函数”？说明理由； （2）若幂函数使得为定义在上的“伪奇函数”，试求实数的取值范围； （3）是否存在实数，使得是定义在上的“伪奇函数”，若存在，试求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）不是，理由：假设为“伪奇函数”，∴存在满足， ∴有解，化为，无解， 不是“伪奇函数”； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先假设为“伪奇函数”，然后推导出矛盾的结论即可得证； （2）由幂函数定义求得解析式，然后将问题转化为“在上有解”，根据指数函数的值域以及对勾函数的单调性求解出的取值范围； （3）将问题转化为“”在R上有解，然后通过换元法，结合二次函数的零点分布知识求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 为幂函数，∴，∴． ∴， ∵为定义在的“伪奇函数”， ∴在上有解， ∴在上有解， 令，∴在上有解， 又对勾函数在上单调递减，在上单调递增，且时，，时，， ∴，，∴的值域为， ∴，∴； 【小问3详解】 设存在满足，即在上有解， ∴在上有解， ∴在上有解， 令，取等号时， ∴在上有解， ∴在上有解（*）， ∵，解得， 记，且对称轴， 当时，在上递增， 若（*）有解，则，∴， 当时，在上递减，在上递增， 若（*）有解，则，即，此式恒成立，∴， 综上可知，． 【点睛】方法点睛：本题考查新定义问题，有判断与新定义有关的问题时可能用反证法，这样可能通过新定义进行转化，然后证得结论．本题(2)(3)小题都是通过新定义转化为方程在某个区间有解问题，再利用已知函数知识求解即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度礼嘉中学高2024级上期中期考试 数学试卷 （全卷满分150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上. 2.作答前认真阅读答题卡上的注意事项. 3.作答时务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 已知集合，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 3. 如果函数在区间上单调递增，那么实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是奇函数，且当时，，那么当时，的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数是幂函数,且在上单调递增,则（       ） A. B. C. 2 D. 4 8. 设，若是的最小值，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 中文“函数”一词，最早是由清代数学家李善兰翻译而得，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 10. 已知实数，，，满足：，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为．设函数，则（ ) A. B. 函数在其定义域上是增函数 C. 若实数满足不等式，则的取值范围是 D. 函数的值域为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知集合，则___________. 13. 已知函数是偶函数，则________. 14. 已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知，集合，. （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 16. 已知函数. （1）求函数的解析式. （2）求关于的不等式，的解集. 17. 已知函数. （1）用定义法证明函数在区间上单调递增； （2）若，求实数的取值范围. 18. 在经济学中，函数的边际函数，某公司每月最多生产10台光刻机的某种设备，生产x台（）这种设备的收入函数为（单位千万元），其成本函数为（单位千万元）．（以下问题请注意定义域） （1）求收入函数的最小值； （2）求成本函数的边际函数的最大值； （3）求生产x台光刻机的这种设备的利润的最小值． 19. 对于函数，若其定义域内存在实数满足，则称为“伪奇函数”． （1）已知函数，试问是否为“伪奇函数”？说明理由； （2）若幂函数使得为定义在上的“伪奇函数”，试求实数的取值范围； （3）是否存在实数，使得是定义在上的“伪奇函数”，若存在，试求实数的取值范围；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $