2024年九年级数学中考专题复习《二次函数与角度关系问题综合压轴题》

2024年春九年级数学中考复习《二次函数与角度关系问题综合压轴题》 专题提升训练（附答案） 1．如图，抛物线经过点，，． (1)在y轴上取一点P，使得，写出点P的坐标； (2)在（1）的条件下，求直线与抛物线L的交点D的坐标． 2．如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，点坐标为，与轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标． 3．如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点坐标为，点坐标为． (1)求此抛物线的函数解析式． (2)点为该抛物线上的点，当时，请直接写出所有满足条件的点的坐标． 4．如图1，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，连接，过B、C两点作直线． (1)求a的值． (2)如图1，将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点．在直线上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点P在抛物线上，且请直接写出直线的表达式． 5．如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点，过点作轴于点，连接，，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式． (2)设四边形的面积为，求的最大值． (3)当时，求直线的函数表达式及点的坐标 6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于两点，B（点A在B左边），交y轴于C，点是抛物线上一点． (1)求抛物线的关系式； (2)在对称轴上找一点M，使的值最小，求点M的坐标； (3)如图2，抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 7．已知二次函数的图像经过点，点，点，    (1)求该二次函数的解析式； (2)如图1，点为线段上方抛物线上任意一点，过作于点 轴交于点，求周长的最大值； (3)在（2）的条件下，为抛物线上一动点，当时，求点的横坐标． 8．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线()与轴交于，两点，与轴交于点，其顶点为点，点的坐标为，该抛物线与交于另一点，连接．    (1)求该抛物线的解析式． (2)一动点从点出发，以每秒个单位的速度沿与轴平行的方向向上运动，连接，，设运动时间为秒()，在点的运动过程中，当为何值时，？ (3)在轴上方的抛物线上，是否存在点，使得被平分？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．已知抛物线：，将抛物线向右平移个单位，向上平移个单位得抛物线． (1)抛物线的解析式为： ； (2)如图，抛物线与轴正半轴交于点A，直线经过点，交抛物线于另一点在抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图，的顶点、在抛物线上，点在点右边，两条直线、与抛物线均有唯一公共点，、均与轴不平行若的面积为，设、两点的横坐标分别为、，求与的数量关系． 10．如图，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，已知A，C两点坐标分别是A（1，0），C（0，﹣2），连接AC，BC． (1)求抛物线的表达式和AC所在直线的表达式； (2)将△ABC沿BC所在直线折叠，得到△DBC，点A的对应点D是否落在抛物线的对称轴上，若点D在对称轴上，请求出点D的坐标；若点D不在对称轴上，请说明理由； (3)点P是抛物线图象上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，直接写出点P的坐标． 11．如图，平面直角坐标系中，抛物线过点，与y轴交于点N，与x轴正半轴交于点B．直线l过定点A． (1)求抛物线解析式； (2)连接AN，BN，直线l交抛物线于另一点M，当∠MAN＝∠BNO时，求点M的坐标； (3)过点的任意直线EF（不与y轴平行）与抛物线交于点E、F，直线BE、BF分别交y轴于点P、Q，是否存在t的值使得OP与OQ的积为定值？若存在，求t的值，若不存在，请说明理由． 12．如图，抛物线与轴，轴分别交于点，点，三点． （1）求抛物线的解析式； （2）将绕坐标原点顺时针旋转90°，点的对应点为点，点是否落在抛物线上？说明理由． （3）为抛物线上直线BC上方的一点，当四边形PCOB面积最大时，求点的坐标； （4）点在抛物线上，连接BC，BD．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点，满足？如果存在，请求出点点的坐标；如果不存在，请说明理由． 13．如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．直线经过点． （1）求抛物线的解析式； （2）抛物线的对称轴l与直线相交于点P，连接，判定的形状，并说明理由； （3）在直线上是否存在点M，使与直线的夹角等于的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 14．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A，B两点．A点坐标为，与y轴交于点，点M为抛物线顶点，点E为AB中点． AI (1)求二次函数的表达式； (2)在直线BC上方的抛物线上存在点Q，使得，求点Q的坐标； (3)已知D，F为抛物线上不与A，B重合的相异两点，若直线AD，BF交于点P，则无论D，F在抛物线上如何运动，当D，E，F三点共线时，试判断的面积是否为定值，若是，请求出定值：若不是，请说明理由． 15．如图1，抛物线与轴交于、两点（点在点左侧），与轴负半轴交于点，若且．    (1)求该抛物线的函数解析式； (2)如图1，点在第四象限内的抛物线上且平分，求点的坐标； (3)如图2，直线与线段交于点，与抛物线交于点，动点在B、G两点之间的抛物线上，直线、与直线分别交于、两点， 若恒为定值，求的值． 16．在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点D是的中点，点E为x轴上一点，F为对称轴上一点，一动点P从点D出发，沿运动，若要使点P走过的路径最短，请求出点E、F坐标，并求出最短路径； (3)如图2，直线与抛物线交于点M，问抛物线上是否存在点Q（点M除外），使得？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，说明理由． 17．如图，抛物线与x轴交于点A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的解析式； (2)如图①，点P为第一象限抛物线上一点，满足，求点P的坐标； (3)如图②，点Q为第四象限抛物线上的一动点，直线交y轴于点M，过点B作直线，交y轴于点N．当点Q运动时，线段的长度是否会改变？若不变，求出其值，若变化，求出变化的范围． 18．已知抛物线y=-x2+bx+c的顶点为Q， (1)当点（3，0），（0，3）两点恰好均在该抛物线上时，求点Q的坐标； (2)当点Q在x轴上时，求b＋c的最大值； (3)如图，已知当x＞2时，y随x的增大而减小，且当x＜2时，y随x的增大而增大．A为抛物线对称轴右侧一点，过A点分别作AC⊥x轴于C，作x轴的平行线交抛物线于D，若∠CQD＝90°，求c的值． 19．在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A，B两点且与x轴负半轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）若点D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当时，求点D的坐标； （3）已知E是x轴上的点，F是抛物线上的动点，当B，C，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，求出所有符合条件的E的坐标． 20．综合与探究 如图，抛物线与x轴交于点A（－1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点P是直线BC上方抛物线上一点． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线BC上方的抛物线上找一点P，作PG⊥BC，当PG为最大值时，求线段PD的长； (3)连接CD、CB，当∠PCB＝∠DCB时，求点P的坐标． (4)若点M为直线BC上一点，N为平面内一点，是否存在这样的点M和点N使得以C、D、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M坐标；若不存在，说明理由． 试卷第1页，共3页 参考答案： 1．（1）解：①在y轴正半轴上取一点P，使得，如解图， ∵，． ∴， ∵，， ∴， 点P的坐标为； ②在y轴负半轴上取一点，使得，如解图， 同理可证，， ， ∴.点的坐标为. 综上所述，点P的坐标为或； （2）如解图，设直线的解析式为， 由点B、P的坐标可得 则 解得 ∴直线的解析式为， 同理可得，直线的解析式为，， 当时， 解得（舍去）或， 当时，， 点D的坐标为， 当时， 解得（舍去）或， 则 点的坐标为. 综上所述，点D的坐标为或. 2．解：（1）将，代入，得 解得 二次函数的表达式为； （2）对于，令，得， 解得，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 如解图，过点作交抛物线于点，过点作轴于点， ， 是等腰直角三角形， ， 设，则， ，， ， 解得（舍去）或， ， ． 3．解：（1）抛物线与轴交于两点，且点坐标为，点坐标为， 此抛物线的函数解析式为； （2）点的坐标为或． 如解图，以为对角线作正方形， ， 所在直线与抛物线的另一个交点即为点， 如解图，过点作轴的平行线交轴于点，过点作于点，则， ， ， ， ， ， ，， 设，则， ， ， ， ， 解得， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 联立 解得或 ， 同理可得， 直线的解析式为， 联立，解得或 ， 综上，点的坐标为或． 4．（1）解：∵抛物线与x轴交于点， ∴， 解得：； （2）解：存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线的距离最大， ∵， ∴当时，， ∴， 当时，， 解得：，， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点， ∴直线的解析式为， 设， 如图，作轴，交于点，作于，设直线交轴于， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，此时点D的坐标为； （3）解：当在的下方时，在轴正半轴上取点，连接交抛物线于点， ， ∵，，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：（舍去），， ∴； 当在的上方时，作点关于直线的对称点，连接，，直线交抛物线于， ， 由对称得：，，， ∴， ∴， 同理可得：直线的解析式为， 联立， 解得：（舍去），， ∴， 综上所述，存在点P在抛物线上，且，直线的表达式为或． 5．（1）解：将，代入，得： ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，连接，过点作于点， ，抛物线的解析式为， 设点， 为第四象限内抛物线上一点， ， 轴，点在上， ， ， ，点在轴上， ， ， ， ，， 当时，有最大值，； （3）解：如图， 令，则， ， 轴，轴， ， ， ， ， 又 ， ， ， 设，则， 又， ， ， ， 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为； 联立，得， 解得：（不合题意，舍去），， 点的坐标为． 6．解：（1）将点，代入， 得： ， 解得： ∴抛物线的解析式为 ； （2）当时，， ∴点， 当时，有， 解得：，， ∴点， ∴抛物线的对称轴为：直线 设直线的关系式为，把点B坐标代入， 得：，解得，， ∴直线的关系式为， 由对称可得，直线与对称轴交点就是所求的点M， 当时，， ∴时，最小； （3）当Q在下方时，如图，过P作于H，过H作轴， 交y轴于M，过P作于N， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∵，, ∴，解得 ， ∴, 设直线的解析式为 ， ∴，解得， ∴直线的解析式为 ， 联立直线与抛物线解析式得 ， 解得或 ， ∴； ②当Q在上方时， 如图，过P作.于H，过H作.轴， 交y轴于M，过P作于N， 同理得. 综上，存在，点Q的坐标为或 7．（1）解：∵抛物线经过点，点， ∴设抛物线的表达式为：， 把点的坐标代入，得， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由点的坐标知， ， 则， 设直线的表达式为：， 把点代入，得 ， 解得：， ∴直线的表达式为：， 设点，则点， 则， 则周长 ， ∵， ∴当时，周长的最大，最大值为，此时点 ； （3）解：当点H在点P的右侧时，如下图，    延长交x轴于点N， ∵，则 ， 设点， 由得： ， 解得：， 则点 ， 由点的坐标得，直线的表达式为： 联立抛物线和的表达式得： ， 解得： (舍去) 或， 即点H的横坐标为：； 当点在点P的左侧时，如上图， ∵， 则轴， 则点横坐标为：， 综上，点H的横坐标为：或． 8．（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）如图1，    设， ， ， ， ， 解得： 舍去 ， （3）存在点，使被平分， 如图，   ， 在y轴上取一点N， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 点， 设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为 联立 解得：或 ． 9．解：（1）抛物线， 其顶点坐标为， 将抛物线向右平移1个单位，向上平移2个单位得抛物线， 抛物线的顶点坐标为， 的解析式为， 故答案为：； （2））如图1，设直线交轴于，过作交轴于， ， ， ， ， ， 抛物线与轴正半轴交于点，的解析式为， 当时，，解得或， ， 直线经过点， ，解得， 直线， ， ， 设，则， 在中，， ，解得， ，， 设的解析式为， ，解得， 的解析式为， ， 设的解析式为， ，解得， 的解析式为， 联立抛物线得， 解得或， 存在，点的坐标是，； （3）如图2，过点作轴交于， 设的解析式是， ， ， ， ， 由得， ， 直线抛物线有唯一公共点， ， ， ， 同理可得：直线的解析式是， ， ， ，， ，， 的解析式是， 当时，， ， ， ， ． 10．（1）解：∵抛物线过A（1，0），C（0，﹣2）， ∴，解得：， ∴抛物线的表达式为， 设AC所在直线的表达式为y=kx+b， ∴，解得， ∴AC所在直线的表达式为y=2x-2； （2）：点D不在抛物线的对称轴上， 理由如下∶ ∵抛物线的表达式是， ∴令y＝0，则，解得，， ∴点B坐标为（-4，0）， ∵OA=1，OC=2， ∴， 又∵， ∴， ∴∠ACO=∠CBO， ∴∠ACO+∠BCO=∠CBO+∠BCO=90°， ∴AC⊥BC， ∴将△ABC沿BC折叠，点A的对应点D一定在直线AC上， 如下图，延长AC到点D，使DC＝AC，过点D作DE⊥y轴，垂足为点E， 又∵∠ACO=∠DCE， ∴， ∴DE＝OA＝1， ∴点D的横坐标为-1， ∵抛物线的对称轴是直线， ∴点D不在抛物线的对称轴上； （3）解：、， 在中，，，即， 点P是抛物线图象上的一动点，当∠PCB＝∠ABC时，分两种情况： ①轴，如图所示： 联立，解得（与重合舍弃）或， ； ②与轴交于，如图所示： ∠PCB＝∠ABC， ，设， 在中，，，则根据勾股定理可得，即，解得， ， 设直线表达式为，则，解得， 直线表达式为， 联立，解得（与重合舍弃）或， ； 综上所述，坐标为或． 11．（1）解：（1）将点代入， 得－16－4n＋4＝0，解得n＝－3， ∴； （2）令y＝0，则， 解得x＝－4或x＝1， ∴B（1，0）， 令x＝0，则y＝4， ∴N（0，4）， ∴ON＝4，OB＝1， ∴， 如图1，当M点在AN上方时，过点N作NH⊥AN交于H点，过点H作HK⊥y轴交于K点， ∵A（－4，0），N（0，4）， ∴OA＝ON，， ∴∠ANO＝45°， ∵∠HNA＝90°， ∴∠HNK＝45°， ∴HK＝KN， ∵∠HAN＝∠ONB， ∴， ∴， ∴KN＝HK＝1， ∴H（－1，5）， 设直线AM的解析式为y＝kx＋b， ∴，解得， ∴， 联立方程组， 解得或x＝－4（舍）， ∴； 如图2，当M点在AN下方时，过点N作NG⊥AN交AM于点G，过点G作GW⊥y轴交于点W， ∵∠ANO＝45°，∠ANG＝90°， ∴∠WNG＝45°， ∴NW＝WG， ∵， ∴， ∴WG＝WN＝1， ∴G（1，3）， 则直线AM的解析式为， 联立方程组，解得或x＝－4（舍）， ∴； 综上所述：点M的坐标为或； （3）存在t的值使得OP与OQ的积为定值，理由如下： 设，， 设直线BE的解析式为y＝k（x－1）， 将点E代入y＝k（x－1），得k＝－e－4， ∴， 令x＝0，则y＝e＋4， ∴P（0，e＋4）， ∴OP＝e＋4， 设直线BF的解析式为y＝m（x－1）， 点F代入，得， ∴， 令x＝0，则， ∴， ∴， ∴， 设直线EF的解析式为， 联立方程组， ∴， ∴，， ∴， 当t＋4＝0时，为定值， ∴，． 12．解：（1）将点， 代入抛物线得， ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为， （2）将绕坐标原点顺时针旋转90°，点（3，0）的对应点为点，则点（3，0）， 当x=3时，， ∴点落在抛物线上； （3）连接OP，设点的坐标为(x， )， ∵ ∴， 当，，即点的坐标为(，)， （4）如图： ∵点在抛物线上， ∴， ∵点， ∴， 又∵点B坐标为（0，3），点， ∴ ∴， ∴ 设PB与y轴交于点， 在和中， ， ∴（ASA） ∴， ∴ 即点 所以直线解析式为， 联立抛物线与直线解析式得： ， 解得： ，（不合题意舍去） 故点P坐标为（，） 13．解：（1）∵直线经过点 ∴当x=0时，可得y=5，即C的坐标为（0,5） 当y=0时，可得x=5，即B的坐标为（5,0） ∴解得 ∴该抛物线的解析式为 （2）的为直角三角形，理由如下： ∵解方程=0，则x1=1，x2=5 ∴A（1,0），B（5,0） ∵抛物线的对称轴l为x=3 ∴△APB为等腰三角形 ∵C的坐标为（5,0）, B的坐标为（5,0） ∴OB=CO=5,即∠ABP=45° ∴∠ABP=45°， ∴∠APB=180°-45°-45°=90° ∴∠APC=180°-90°=90° ∴的为直角三角形； （3）如图：作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E， ∵M1A=M1C， ∴∠ACM1=∠CAM1 ∴∠AM1B=2∠ACB ∵△ANB为等腰直角三角形. ∴AH=BH=NH=2 ∴N（3，2） 设AC的函数解析式为y=kx+b ∵C(0，5),A(1，0) ∴ 解得b=5，k=-5 ∴AC的函数解析式为y=-5x+5 设EM1的函数解析式为y=x+n ∵点E的坐标为（） ∴=× +n，解得：n= ∴EM1的函数解析式为y=x+ ∵ 解得 ∴M1的坐标为（）； 在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2 设M2（a，-a+5） 则有：3=，解得a= ∴-a+5= ∴M2的坐标为（，）． 综上，存在使与直线的夹角等于的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）． 14．（1）解：将，代入得， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：对于，令，则 解得： ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 如图所示，过点作交抛物线于点，过点作轴于点， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得：（舍去）或， ∴； （3）解：设，， ∵点为中点，， ∴， ∵，，三点共线， ∴可设直线的解析式， 联立 消去得， ∴ ∵， ∴可设直线解析式为，直线的解析式为 联立 解得： ∴ ∵， ∴， ∴ 而不为定值， ∴在直线上运动， ∴到轴的距离为定值， ∴的面积是定值，且的面积为． 15．（1）解：如图，设抛物线对称轴与轴交于点，    ∵的对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，，， 将，代入抛物线解析式， 得：， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：如图，过点作轴，交延长线于点，    ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 代入，， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立与， 得， 解得：，， 当时，， 则； （3）解：设， 由，， 设直线解析式为：， 则， 解得：， ∴直线解析式为：， 设直线解析式为：， 则， 解得：， 直线解析式为：， 当时，，， ∴， ∵恒为定值， ∴． 16．（1）解：∵已知抛物线与x轴交于点，， ∴设抛物线的表达式为：， ∵ ∴， 则， 则抛物线的表达式为：； （2）解：如图1，由抛物线的表达式知， 其对称轴为直线， ∵ ∴ 则 作点关于抛物线对称轴的对称点， ∴ ∵点D是的中点 ∴ 作点关于轴的对称点， ∴ 连接交轴于点交抛物线对称轴于点 则此时，点、符合题设要求，此时点运动的路径最小， 理由：∵点关于轴的对称点，点关于抛物线对称轴的对称点 ∴，， 则， 此时的长度满足点P走过的路径最短 设直线的表达式为 把，分别代入 得， 解得 直线的表达式为：， 当时，， 即点，， 令，则， 则点，， ∵， ∴， 即点、坐标分别为：、， ∴最短路径长6.5； （3）解：存在，理由： 依题意 ∴ 解得：（舍去）或3， 则点， 设直线交于点， 由点、知， ∴， 而直线和轴正半轴的夹角为， ∴ 则， ，则， 则， 解得：（舍去）或1， 则点， 设直线的表达式为 把点、分别代入 得， 解得 直线的表达式为：， 依题意，得 解得：（舍去）或7， 则点． 17．（1）解：由图象，可知， 将代入中，得， ∴点， ∴， 令，即， 解得， ∵点A在点B的左侧， ∴点， ∴， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）如图，当点P在第一象限抛物线上时，，过点A作于H，设PC与x轴交于点K， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， 在中，， ∴， 解得或（负值不合题意，舍去）， ∴，   ∴， 设直线的解析式为：， ∴， 解得： ∴直线解析式为， ∴ ∵P在抛物线上， ∴， 解得（不合题意，舍去）或4， 当时，， ∴； （3）设， ∵， 设直线的解析式为， ∴， 解得： ∴直线的解析式为， ∴， 同理得：直线的解析式为， ∵， 设的解析式为， ∵， ∴，解得， ∴的解析式为， ∴， ∴线段的长度为， ∴线段的长度不会改变，线段的长度为． 18．（1）解：将（3，0）、（0，3）代入得：， 解得b=2，c=3． ∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4， ∴顶点Q坐标为（1，4）； （2）解：∵顶点Q在x轴上， ∴0，即c=-b2， ∴b+c=b-b2=-(b-2)2+1， ∵-<0， ∴当b=2时，b+c有最大值，最大值为1； （3）解：∵当x＞2时，y随x的增大而减小，且当x＜2时，y随x的增大而增大． ∴抛物线对称轴为x=2，则-，则b=4， ∴抛物线的解析式为y=-x2+4x+c， ∴顶点Q坐标为（2，c+4）； ∵过A点分别作AC⊥x轴于C，作x轴的平行线交抛物线于D， 设点D坐标为（m，-m2+4m+c），则点A（m+4，-m2-4m+c），点C（m+4，0）， ∴CQ2=( m+4-2) 2+(c+4) 2，DQ2=( 2-m) 2+(c+4+m2-4m-c) 2， DC2=( m+4-m) 2+(-m2+4m+c) 2， ∵∠CQD＝90°， ∴DC2= CQ2+ DQ2， ∴16+(-m2+4m+c) 2=( m+2) 2+(c+4) 2+( 2-m) 2+( 4+m2-4m) 2， 解得：c=-3． 19．解：（1）在中， 令y=0，得x=4，令x=0，得y=2， ∴A（4,0），B（0,2）， 把A（4,0），B（0,2）代入， 得， 解得：． ∴　抛物线得表达式为． （2）如图，过点B做x轴的平行线交抛物线与点E，过点D作BE的垂线，垂足为F， ∵BEx轴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 设D点的坐标为， 则BF=x，DF=， ∵ ∴， 即， 解得： 经检验：不合题意，舍去， ∴ 当x=2时，， ∴点D的坐标为（2,3）． （3）令y=0，得， 解得： ∴C（-1，0），A（4，0）， 设F点坐标为． 当BC是平行四边形的边时，如图所示， 当F点在线段AB上方抛物线上时， ∵BCEF是平行四边形， ∴， 所以点F的纵坐标等于点B的纵坐标， ∴， 解得：（舍去），． ∴F点坐标为． 当点F在A点下方抛物线上时，BF与CE交于点H，如图所示， ∵四边形BCFE是平行四边形， 所以点H是BF的中点， ∴， ∴， ∴． 即， 解得：（舍去）， ∴F点的坐标为． 当BC是对角线时， 由题意可得，以B，C，E，F为顶点围不成平行四边形． 综上所述，点F的坐标为或． 20．（1）解：∵抛物线与x轴交于点A（－1，0），点B（3，0）， ∴，解得 ， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点P作PF⊥x轴于F，交BC于E， 设P（x，-x2+2x+3）， 令，则， ∴点C的坐标为(0，3)， ∴OC=3， ∵B(3,0)， ∴OB=3 ∴OB=OC ∴∠OBC=45°， 设直线BC的解析式为， 则可得，解得， ∴直线BC的解析式为， ∴E(x，-x+3)， ∵PF⊥x轴， ∴∠BEF=∠OBC=45° ∵∠PEG=∠BEF=45°, ∵PG⊥BC， ∴∠EPG=∠PEG=45° ∴PG=EG=PE=[（-x2+2x+3）-(-x+3)]=-(x2-3x)=-(x-)2+， ∵-<0 ∴当x=时，PG有最大值， ∴OF=，PF=-（）2+2×+3=， ∴DF=OF-OD=-1= ∴PD===， ∴当PG为最大值时，线段PD的长． （3）解：作点关于直线的对称点，交于点，连接交抛物线于一点即为点，此时满足∠PCB＝∠DCB， ， 对于抛物线，对称轴直线为， ∴D(1，0)， 令，则， ∴点C的坐标为(0，3)， 由（2）知，直线BC的解析式为， ∴设直线的解析式为， ∵点D在该直线上， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∴，解得， ∴点的坐标为(2，1)， 设点的坐标为(， )， 由中点坐标公式得， ，解得， ∴点的坐标为(， )， ∴设直线的解析式为， ∴，解得， ∴所求的解析式为， ∵点P是直线与抛物线的交点， ∴，解得或， ∴点P的坐标为(，)． （4）解：存在．理由如下： ∵点M在直线BC上，直线BC的解析式为， ∴设M(x，-x+3)， 分三种情况： 第一种情况，当CD是菱形对角线时，则有菱形ANDM，如图， ∵菱形ADMN， ∴CM=DM, ∵C(0，3)，D(1，0)， ∴x2+(-x+3-3)2=(x-1)2+(-x+3)2, 解得：x=， 当x=时，则y=-x+3=， ∴M（，）； 第二种情况，当CM是菱形对角线时，则有菱形CDMN，如图， ∵C(0，3)，D(1，0)， ∴CD= ∵菱形ADMN， ∴DM=CD=, ∴(x-1)2+(-x+3)2=10， 解得x1=4，x2=0（舍去）， 当x=4时，y=-x+3=-1， ∴M(4，-1)； 第三种情况，当DM是菱形对角线时，则有菱形CDNM，如图， ∵菱形CDMN， ∴CM=CD=， ∴x2+(-x+3-3)2=10， 解得：x1=,x2=-， ∴y1=3+, y2=3-, ∴M1(,3-), M2(-,3+); 综上，以C、D、M、N为顶点的四边形是菱形时，点M的坐标为(，)或(4，-1)或(,3-)或(-,3+)． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$