2025年中考数学一轮复习卷：图形的相似 小专题训练

图形的相似小专题训练-2025年中考数学一轮复习卷 一、单选题 1．下列两个图形一定相似的是（    ） A．两个菱形 B．两个矩形 C．两个正方形 D．两个平行四边形 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．下列各组的四条线段成比例的是（   ） A．，3，2， B．4，6，5，1 C．1，2，，2 D．2，3，4，1 4．如图，与是位似图形，且位似中心为O，，若的面积为2，则的面积为（   ） A．2 B．6 C．9 D．18 5．如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，若，，，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 7．如图，是一张直角三角形纸片，，．若将斜边上的高分成5等份，然后裁出4张宽度相等的长方形纸条，则这4张纸条的面积和是（    ） A． B． C． D． 8．如图，的中线，交于点G，且的面积为12，则结论正确的是（   ） A． B． C． D．的面积为 二、填空题 9．如图，，若，则等于 ． 10．以原点为位似中心，作的位似图形，与相似比为，若点的坐标为，点的对应点为，则点的坐标为 ． 11．将两个全等的等腰直角三角形摆成如图所示的样子（图中的所有点、线都在同一平面内），若，，则 ．      12．如图，点F为平行四边形的边的中点，连接并延长交的延长线于点E，交于点O，的值为 ． 13．如图，在矩形中，的平分线与边交于点，的平分线与边的延长线交于点，与边交于点．若，，则的长为 ． 14．如图，已知、、都与垂直，垂足分别是B、D、F，且，，那么的长是 ． 15．如图，四边形的对角线交于点，点在边上，、交于点，连接，为等边三角形，，，，若，则 ． 三、解答题 16．以下各图均是由边长为1的小正方形组成的网格，图中的点A、B、C、D均在格点上．利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法． (1)如图①，在上找一点P，使． (2)如图②，在上找一点P，使． 17．如图，在中，，以的一条直角边为斜边，向外作，延长交的延长线于点E，已知．    (1)求证：； (2)若，．求的长． 18．如图，某小组进行凸透镜成像规律的探究实验，他们依次在光具座上垂直放置发光物、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心，将长度为的发光物进行移动，使物距为，光线，传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为． (1)求像的长； (2)已知光线平行于主光轴，经过凸透镜折射后通过焦点，求凸透镜的焦距的长（结果精确到）． 19．如图，在中，，，，中，，点在上，交于点，交于点． (1)点是的中点时，求的值； (2)当时，求的长． 20．已知为等边三角形，E、F分别为线段、上的动点，与相交于点M，； (1)如图1，求的度数； (2)如图2，若，，连接，点N是的中点，连接，证明：． (3)如图3，若，连接，以为边，向下做等边，当最小时，请直接写出的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A C D D B B B 1．C 【分析】本题考查相似多边形的定义、特殊平行四边形的性质．根据“对应边成比例，对应角相等的两个四边形相似”进行判断即可． 【详解】解： A、两个菱形对应的角不一定相等，所以不一定相似，故此选项错误； B、两个矩形的角都是直角，但边不一定成比例，故此选项错误； C、两个正方形的角都是直角，一定相等，并且四条边都相等，一定成比例，故此选项正确； D、两个平行四边形对应的角不一定相等，故此选项错误， 故选：C． 2．A 【分析】本题考查比例的性质，设，得出，，，，再代入求出比值即可． 【详解】解：设， ∴，，，， ∴， 故选：A． 3．C 【分析】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．根据比例线段的定义对选项一一分析，即可得出答案． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故符合题意； D、，故不符合题意． 故选：C． 4．D 【分析】本题考查了位似变换，利用位似的性质得，，然后根据三角形相似的性质解决问题． 【详解】解：∵与是位似图形，且位似中心为O，， ∴，， ，， ， ∵的面积为2， ． 故选：D． 5．D 【分析】根据得到，得到；根据得到，可以推出，由此得到继而得到可以判断；根据，可以判断；根据题意，得可以判断；根据，得，进而得，从而得，可判断．本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质计算选择即可．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故正确； ∵ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴正确； ∵ ∴， ∴正确； ∵ ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 故错误． 故选：． 6．B 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．先证明，利用相似三角形的判定及性质即可求解． 【详解】解：， ， ， ，，， ， 解得：， 故选：B． 7．B 【分析】本题考查了相似三角形的判定 和性质，勾股定理，三角形面积公式，矩形的性质，求出每个矩形的长度和宽是解答关键． 先利用勾股定理求出，再利用面积计算法求出，接着证明，进而求出，分别计算出从上往下数每个矩形的长，再利用每个矩形的宽均为，代销入矩形面积公式中求解． 【详解】解：如图 ，，， ， ， 即， ． 斜边上的高分成5等份， ． ， ，， ， ， 即， ， 即从上往下数，第一个矩形的长为， 同理可得从上往下数，第二个矩形的长为， 从上往下数，第三个矩形的长为， 从上往下数，第四个矩形的长为， 而所有矩形的宽都为， 所以4张纸条的面积和为． 故选：B． 8．B 【分析】该题主要考查了三角形的中线，三角形的重心等知识点，解题的关键是掌握三角形的重心． 根据题意得出点G是的重心，即可得出，，再根据三角形中线平分三角形的面积即可判断D，A选项不能证明，C选项需证明，才能得出，即，即需要证明，但题目不能证明，C选项不能证明． 【详解】解：∵，是的中线，点G是的中线的交点， ∴点G是的重心， ∴，，故B正确； ∵，是的中线，的面积为12， ∴， ∵是的中线， ∴点D是的中点， ∴， ∵， ∴，故D错误； 选项A不能证明； C选项需证明，才能得出，即， 而这需要证明，但题目不能证明，故选项C不能证明； 故选：B． 9． 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理列出比例式求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．或 【分析】本题考查的是位似变换，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．根据位似变换的性质计算即可． 【详解】解：与相似比为3，若点的坐标为， 点的坐标为或， 点的坐标为或， 故答案为：或． 11． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，由，是等腰直角三角形，则，，，证明，根据相似三角形的性质得出，然后把，代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，是等腰直角三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．2 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定．根据平行四边形的性质可得，，，再根据中点定义可得，然后证明，可得，再说明，据此计算可得出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，． ∵点F是的中点， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 13．/ 【分析】利用矩形的性质结合角平分线的定义先说明，再利用勾股定理求出，最后根据得出比例式，设，则，最后根据进行列方程并解方程即可． 【详解】解：∵的角平分线与边的延长线交于点G，与边交于点F， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在矩形中，的角平分线与边交于点E， ∴，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则 .∵ ∴ ， 解得. 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、相似三角形性质和判定，勾股定理以及等腰三角形的性质，证明三角形形相似是解题的关键． 14．/ 【分析】本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，发现是解决本题的关键．证明，根据相似三角形的性质可得，，从而可得=1．然后把，代入即可求出的值． 【详解】解：∵、、都与垂直， ∴， ∴ ∴， ∴，， ∴． ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 15．/ 【分析】作于，于，证明，得出，证明，得出，证明，得出，证明为等边三角形，得出，，期初，得出，求出，，得出，证明，由相似三角形的性质可得，即可得解． 【详解】解：如图，作于，于， 则， ∵，， ∴，即， ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形外角的定义及性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 16．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-应用与设计，平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）如图中，利用平行线分线段成比例求解即可； （2）如图中，取格点，连接交于点P，连接．点P即为所求作． 【详解】（1）解：如图1所示， 取格点E、F，连接交于点P， ， ， ， ， 点P即为所要找的点； （2）解：如图2所示，作点A关于的对称点，连接，交于点P，连接， 点P即为所要找的点， ， ， ， ． 17．(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了相似三角形判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形判定与性质性质． （1）首先由得到，然后结合即可证明出； （2）首先求出得到，求出，然后证明出，得到，然后代数求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 的长是． 18．(1)像的长为 (2)焦距的长约为 【分析】本题为相似三角形的应用，考查了相似三角形的判定及性质，平行四边形的性质及判定，熟悉掌握相似三角形的比值关系是解题的关键． （1）利用平行判定出，再通过相似三角形比值关系求解即可； （2）证出，再通过相似三角形比值关系求解即可． 【详解】（1）由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 答：的长为； （2）解；由（1）得， ∴， 由题意得，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， 答：焦距的长约为． 19．(1)； (2)6． 【分析】（1）如图，作于，于．证四边形是矩形，得，，再证明，，利用三角形的性质得，从而求得，同理得，从而即可得解； （2）作于，于．由勾股定理得，由（）得，，进而得，由相似三角形的性质得，设，则，，，由，求解即可． 【详解】（1）解：如图，作于，于． 因为， 所以四边形是矩形， 所以，， 所以， 所以， 所以． 因为是的中点， 所以， 所以， 因为， 所以，， 所以， 所以， 所以， 同理， 所以． （2）解：如图，作于，于． ∵，，， ∴， 由（）得，，， 因为，， 所以， 所以， 因为， 所以， 设，则，， 所以， 所以， 所以， 所以． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，勾股定理，矩形的判定及性质，平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质，勾股定理及矩形的判定及性质是解题的关键． 20．(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质； （1）由为等边三角形，结合证明，得到，即可得到，最后根据三角形内角和求的度数； （2）延长至，使，延长至，使，连接、、，可得到，和都是等边三角形，即可证明，得到，再由是的中位线，得到，最后根据证明即可； （3）在上取一点，使，连接，过作于，使，过作于，由等边三角形和得到，即可得到，，，点在直线上运动，当点与点重合时，最小，此时，求出的长度，再证明，得到，即可求出，，再求出代入计算即可． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图2，延长至，使，延长至，使，连接、、， ， ， ，， ， 和都是等边三角形， ，， ∵， 是等边三角形， ，， ， 即， ， ， 点是的中点，， 是的中位线， ， ， 即， ； （3）解：在上取一点，使，连接，过作于，使，过作于， ∵，， 是等边三角形， ∴，， ∴，， ∵等边， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点在直线上运动， ∴当点与点重合时，最小， 此时，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$