精品解析：河北省石家庄市第九中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试卷

2024-2025学年第一学期八年级中期学情检测数学试卷 一、精心选一选，请你看仔细再选择（共12小题，每小题2分，满分24分） 1. -的相反数是（ ） A. - B. - C. D. 2. 在实数中3，，，，，无理数有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 若将（、均为正数）中的字母、的值分别扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的2倍 B. 不变 C. 缩小为原来的 D. 扩大为原来的4倍 4. 估计的值应在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 5. 下列说法正确的是（ ） A. 近似数精确到百分位 B. 近似数万精确到千位 C. 近似数与表示的意义相同 D. 近似数精确到个位 6. 若分式的值为零，则等于（ ） A. B. 3 C. D. 0 7. 如图，数轴上点P表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题的逆命题是真命题的是（　　） A. 对顶角相等 B. 同位角相等 C. 若，则 D. 若，则 9. 如图，，添加下列条件不一定得到的是（ ） A. B. C. D. 10. 若分式方程无解，则值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 11. 如图，是嘉淇同学做的练习题，他最后的得分是（ ） 姓名嘉淇得分 ？ 填空题（评分标准：每道题5分） （1）的平方根为1； （2）的相反数为； （3）2是一个数的立方根，则这个数是8； （4）请写出一个无理数． A. 5分 B. 10分 C. 15分 D. 20分 12. 已知关于x的方程有正根，则实数a的取值范围是（　　） A. 且 B. C. D. 且 13. 已知是整数，则正整数的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 2 14. 已知=1，则代数式的值为（　　） A. 3 B. 1 C. ﹣1 D. ﹣3 15. 如图，，且．、是上两点，，．若，，，则的长为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 16. 如图，在四边形中，，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点匀速运动，若与在某一时刻全等，则点运动速度为（ ） A. B. C. 或 D. 或 二、耐心填一填，动脑筋，你会填对的（共4小题，每小题3分，满分12分） 17. 若，则的值为__________． 18. 如图，在中，是边上的高线，平分，交于点，，，则的面积等于_________． 19. 任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，①对81只需进行_______ 次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是_______ . 三、解答题（满分56分） 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 填补下列证明过程． 如图，中，是边的中点，延长到点，且． （1）求证：． 证明：∵（已知） ∴（___________________________）． ∵是边的中点（已知） ∴_____________． 在和中 （____________________）． ∴（_________________）． （2）如果，，则的取值范围是__________． 22. （1）解方程：； （2）计算：； （3）计算：． 23. 已知：如图，，点E在上，求证：． 24. 【阅读材料】问题：已知，求的值． 小明的做法是： ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 小明的做法是将已知条件适当的变形，再整体代入所求代数式进行解答． 小丽的做法是： ∵ ∴当时， 原式 ． 小丽的做法是将结论中代数式适当的变形，再已知条件代入变形式进行解答． 【解决问题】 （1）请你仿照“小明的做法”或“小丽的做法”，解决问题：已知，求的值； （2）请你参考“小明的做法”和“小丽的做法”，运用恰当的方法解决问题：已知，求的值． 25. 某国产新能源汽车在国内国际市场销售屡创佳绩，体现了中国制造的“大国风范”．为进一步提升市场占有率，决定增加产量600万台．自2020年初开始实施后，实际每年产量是原计划的1.2倍，照此进度预计可提前2年完成任务． （1）原计划每年产量为多少万台？ （2）为更快实现目标，该品牌决定加快生产速度，要求从2023年初后续不超过5年完成，那么实际平均每年产量至少还要增加多少万台？ 26. 在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： （1）如图1、两个等腰三角形和中，，，，连接、、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中和全等的三角形是___________，此时和的数量关系是___________； （2）如图2、两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，两线交于点P，请判断线段和的关系，并说明理由； （3）如图3，已知，请完成作图：以为边分别向外作等边和等边，等边三角形三条边相等，连接，两线交于点P，并判断线段和的数量关系及的度数，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期八年级中期学情检测数学试卷 一、精心选一选，请你看仔细再选择（共12小题，每小题2分，满分24分） 1. -的相反数是（ ） A. - B. - C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0． 【详解】根据相反数、绝对值的性质可知：-的相反数是． 故选D． 【点睛】本题考查的是相反数的求法．要求掌握相反数定义，并能熟练运用到实际当中． 2. 在实数中3，，，，，无理数有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查无理数的定义，初中阶段常见的无理数形式有：，等、开方开不尽的数、等这样有规律的数，理解无理数定义及常见无理数形式是解决本题的关键．无理数即无限不循环小数，根据无理数定义及常见形式即可得出答案． 【详解】解：3是整数，为有理数；是整数，为有理数；是分数，为有理数；是无理数；是有限小数，为有理数， 故选：A． 3. 若将（、均为正数）中的字母、的值分别扩大为原来的2倍，则分式的值（ ） A. 扩大为原来的2倍 B. 不变 C. 缩小为原来的 D. 扩大为原来的4倍 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质，利用分式的性质是解题关键．根据分式的性质求解即可． 【详解】解：将（、均为正数）中的字母、的值分别扩大为原来的2倍， 则， ∴分式的值扩大了2倍， 故选：A． 4. 估计的值应在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】A 【解析】 【分析】先确定的范围，然后得出的范围即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴的值应在1和2之间． 故选：A 【点睛】本题考查了无理数，正确估算无理数是解题的关键． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 近似数精确到百分位 B. 近似数万精确到千位 C. 近似数与表示的意义相同 D. 近似数精确到个位 【答案】B 【解析】 【分析】根据近似数的精确度逐一分析即可得到答案． 【详解】解：近似数精确到千分位，故A不符合题意； 近似数万精确到千位，描述正确，故B符合题意； 近似数与表示的意义不相同，精确到十分位，精确到百分位，故C不符合题意； 近似数精确到十分位，故D不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是近似数的精确度，理解精确度的含义是解本题的关键． 6. 若分式的值为零，则等于（ ） A. B. 3 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件以及分式有意义的条件，根据分式值为0可得出，解出x的值，再根据分式有有意义的条件舍去，即可得出． 【详解】解：若分式的值为零， ∴， 解得：，， 当时，，分式无意义， ∴， 故选：A． 7. 如图，数轴上点P表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据实数的比较大小，找出符合范围的实数即可． 【详解】解：，故A选项不符合题意； ，故B选项不符合题意； ，故C选项符合题意； ，故D选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是实数与数轴，掌握实数的比较大小是解决此题的关键． 8. 下列命题的逆命题是真命题的是（　　） A. 对顶角相等 B. 同位角相等 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】依据同位角、对顶角的定义以及平方根的运算法则、等式性质逐项分析判断即可． 【详解】解：A．“对顶角相等”其逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，这个命题是假命题，故不合题意； B．“同位角相等”其逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是同位角”，这个命题是假命题，故不合题意； C．“若，则”其逆命题为“若，则”，这个命题是真命题，故符合题意： D．“若，则”其逆命题为“若，则”，这个命题是假命题，故不合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了逆命题、真假命题、同位角、对顶角、平方根以及等式性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 9. 如图，，添加下列条件不一定得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 先根据“边边角”不一定能证明这两个三角形全等判断A，再根据“角边角”，“边角边”，“角角边”逐个判定即可． 【详解】解：∵， A、当时，和不一定全等，符合题意； B、当时，，不符合题意； C、当时，，不符合题意； D、当时，，不符合题意； 故选：A． 10. 若分式方程无解，则值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先去分母得到，再根据原方程无解可知方程有增根，据此求解即可． 【详解】解： 去分母得：， ∵分式方程无解， ∴分式方程有增根， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 11. 如图，是嘉淇同学做的练习题，他最后的得分是（ ） 姓名嘉淇得分 ？ 填空题（评分标准：每道题5分） （1）的平方根为1； （2）的相反数为； （3）2是一个数的立方根，则这个数是8； （4）请写出一个无理数． A. 5分 B. 10分 C. 15分 D. 20分 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根，算术平方根，根据立方根求原数，实数的性质，无理数的定义，对于两个实数a、b，若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，若满足，那么a就叫做b的立方根，无理数是无限不循环小数，据此求解即可． 【详解】解：（1）没有平方根，原题错误，不得分； （2）的相反数为，原题错误，不得分； （3）2是一个数的立方根，则这个数是8，原题正确，得5分； （4）是无理数，原题正确，得5分． ∴嘉淇一共得10分， 故选：B． 12. 已知关于x的方程有正根，则实数a的取值范围是（　　） A. 且 B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的解，解题的关键是根据题意列出关于a的不等式，需注意在任何时候都要考虑分母不为0．解分式方程得，根据分式方程有正根知且，解之可得． 【详解】详解: 两边都乘以，得：， 解得：， ∵分式方程有正根， ∴，且， 解得：， 故选D． 13. 已知是整数，则正整数的最小值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根，根据题意可得是一个完全平方数，再结合为正整数即可得到答案． 【详解】解：∵是整数， ∴是一个完全平方数， ∴正整数n的最小值为6， 故选：C． 14. 已知=1，则代数式的值为（　　） A. 3 B. 1 C. ﹣1 D. ﹣3 【答案】D 【解析】 【分析】由=1利用分式的加减运算法则得出m-n=-mn，代入原式=计算可得． 【详解】∵=1， ∴=1， 则=1， ∴mn=n-m，即m-n=-mn， 则原式====-3， 故选D． 【点睛】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式的加减运算法则和整体代入思想的运用． 15. 如图，，且．、是上两点，，．若，，，则的长为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，证明，推出． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 16. 如图，在四边形中，，，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点匀速运动，若与在某一时刻全等，则点运动速度为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，设点P运动时间为t秒，点运动速度为，则，，根据，可得或，再根据全等三角形的性质，即可求解． 【详解】解：设点P运动时间为t秒，点运动速度为，则，， ∴， ∵， ∴或， 当时，，， ∴，解得：， ∴， 解得：； 当时，， ∴，解得：； 综上所述，点运动速度为或． 故选：D． 二、耐心填一填，动脑筋，你会填对的（共4小题，每小题3分，满分12分） 17. 若，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，先根据非负数的性质求出x、y的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18. 如图，在中，是边上的高线，平分，交于点，，，则的面积等于_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．过作于点，由角平分线的性质可求得，则可求得的面积． 【详解】解：过作于点， 是边上的高，平分， ， ， 故答案为：． 19. 任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似地，①对81只需进行_______ 次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是_______ . 【答案】 ①. 3 ②. 255 【解析】 【详解】①∵根据定义，， ∴对81只需进行3 次操作后变为1. ②设，x为正整数，则，∴，即最大正整数是3. 设，为正整数，则，∴，即最大正整数是15. 设，为正整数，则，∴，即最大正整数是255. ∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255. 故答案为3，255. 三、解答题（满分56分） 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，先把小括号内的分式通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 21. 填补下列证明过程． 如图，中，是边的中点，延长到点，且． （1）求证：． 证明：∵（已知） ∴（___________________________）． ∵是边的中点（已知） ∴_____________． 在和中 （____________________）． ∴（_________________）． （2）如果，，则的取值范围是__________． 【答案】（1）两直线平行，内错角相等；；已证； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先根据平行线的性质得到，再由是边的中点得到，然后根据全等三角形的判定方法可判断； （2）根据全等三角形的性质得到，，再根据三角形的三边关系即可求解． 【小问1详解】 证明：∵（已知） ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵是边的中点（已知） ∴． 在和中 （已证）． ∴（）； 故答案为：两直线平行，内错角相等；；已证； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 22. （1）解方程：； （2）计算：； （3）计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，实数的运算，解分式方程： （1）先把原方程化为整式方程，再解方程，最后检验即可得到答案； （2）先计算零指数幂和化简二次根式，再去绝对值，最后计算加减法即可得到答案； （3）先计算二次根式乘法和化简二次根式，再计算加减法即可得到答案． 【详解】解：（1） 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解； （2） ； （3） ． 23. 已知：如图，，点E在上，求证：． 【答案】 解：∵ ∴点A在的垂直平分线上， ∵， ∴点D在的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， ∵点E在上， ∴． 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和判定，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等和到线段的两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键．根据线段的垂直平分线的判定定理可知是线段的垂直平分线，根据线段的垂直平分线的性质可知． 【详解】略 24. 【阅读材料】问题：已知，求的值． 小明的做法是： ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 小明的做法是将已知条件适当的变形，再整体代入所求代数式进行解答． 小丽的做法是： ∵ ∴当时， 原式 ． 小丽的做法是将结论中代数式适当的变形，再已知条件代入变形式进行解答． 【解决问题】 （1）请你仿照“小明的做法”或“小丽的做法”，解决问题：已知，求的值； （2）请你参考“小明的做法”和“小丽的做法”，运用恰当的方法解决问题：已知，求的值． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，代数式求值，掌握整体代入法是解题的关键． （1）仿照小明的做法时，先计算出的值；仿照小丽的做法时，将原式变形为； （2）仿照小明的做法，计算出的值，的值，再将原式变形为，代入求解即可． 【小问1详解】 解：仿照小明的做法： ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 仿照小丽的做法： ∵ ∴当时， 原式 ． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 25. 某国产新能源汽车在国内国际市场销售屡创佳绩，体现了中国制造的“大国风范”．为进一步提升市场占有率，决定增加产量600万台．自2020年初开始实施后，实际每年产量是原计划的1.2倍，照此进度预计可提前2年完成任务． （1）原计划每年产量为多少万台？ （2）为更快实现目标，该品牌决定加快生产速度，要求从2023年初后续不超过5年完成，那么实际平均每年产量至少还要增加多少万台？ 【答案】（1）原计划每年产量为万台 （2）实际平均每年产量至少还要增加万台 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出分式方程和一元一次不等式是解此题的关键． （1）设原计划每年产量为万台，则实际每年产量就是万台，根据“预计可提前2年完成任务”列出分式方程，解分式方程即可得出答案； （2）由（1）可得，实际每年产量就是万台，设实际平均每年产量至少还要增加万台，根据“要求从2023年初后续不超过5年完成”列出一元一次不等式，解不等式即可得出答案． 【小问1详解】 解：设原计划每年产量为万台，则实际每年产量就是万台， 由题意得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解且符合题意， ∴原计划每年产量为万台； 【小问2详解】 解：由（1）可得，实际每年产量就是万台， 设实际平均每年产量至少还要增加万台， 由题意得：， 解得：， ∴实际平均每年产量至少还要增加万台． 26. 在学习全等三角形知识时、数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”，兴趣小组进行了如下操作： （1）如图1、两个等腰三角形和中，，，，连接、、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中和全等的三角形是___________，此时和的数量关系是___________； （2）如图2、两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，两线交于点P，请判断线段和的关系，并说明理由； （3）如图3，已知，请完成作图：以为边分别向外作等边和等边，等边三角形三条边相等，连接，两线交于点P，并判断线段和的数量关系及的度数，并说明理由． 【答案】（1）， （2） 解：，，理由如下： ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． （3） 解：完成作图如下，，， ∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ， ∴． ， 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、等边三角形的性质、三角形的外角性质等知识，正确找出两个全等三角形是解题关键． （1）先证出，再利用定理可证出，根据全等三角形的性质即可得； （2），，理由：先证出，再利用定理可证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据直角三角形的性质可得，从而可得，最后根据三角形的内角和定理即可得； （3）先根据题意完成作图，再证出，根据全等三角形的性质可得，，然后根据三角形的外角性质可得，最后根据三角形的内角和定理即可得． 【小问1详解】 解：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $