精品解析：青海省西宁市沈那中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

西宁市沈那中学2024-2025学年第一学期高二年级数学期中考试试卷 （满分： 150 分 考试时间: 120 分钟 出题教师： 审核教师： ） 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化直线一般式方程为斜截式，求出直线的斜率，由倾斜角的正切值等于直线的斜率求得倾斜角. 【详解】由，得， 设直线的倾斜角为，则， ，故选D. 【点睛】本题主要考查直线的斜截式方程的应用以及直线斜率与直线倾斜角的关系，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于简单题. 2. 已知圆过点，则圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得圆心，半径，即可得圆的标准方程. 【详解】由在圆上，故圆心在直线上， 由在圆上，故圆心在直线上， 即圆心，半径， 故方程为. 故选：A. 3. 已知向量，，，若，，共面，则（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据共面定理得，即可代入坐标运算求解. 【详解】因为，，共面，所以存在两个实数、，使得， 即，即，解得. 故选：D 4. 已知圆，圆，则圆的位置关系为（    ） A. 内含 B. 外切 C. 内切 D. 相交 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆心距与半径之差相等，可以判定两圆相内切. 【详解】由圆得：， 所以圆的圆心坐标为，半径， 又由圆得：， 所以圆的圆心坐标为，半径， 则圆心距， 由于，所以， 则圆的位置关系为内切. 故选：C. 5. 在三棱柱中，记，，，点P满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算求出结果． 【详解】三棱柱中，记，，， 如图所示： 故 ． 故选：D． 6. 点在圆上运动，点在直线上运动，若的最小值是2，则的值为（ ） A. 10 B. C. 20 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆心到直线的距离以及的最小值求得. 【详解】圆的圆心为，半径为， 到直线的距离为， 由于的最小值是，所以直线与圆相离， 所以的最小值为. 故选：D 7. 已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理和得到，，求出，得到答案. 【详解】， 即，故， ， 因为，所以，故， 因为，所以， 故为等腰直角三角形. 故选：D 8. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性与函数值的正负确定选项. 【详解】设，则， 故为奇函数，A，D符合，排除B，C. 又，所以当时， 恒成立，故A满足，D排除. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则向量在向量上的投影向量 【答案】ACD 【解析】 【分析】代入的值，得到向量的坐标，利用向量的坐标运算，判断向量的平行垂直，求向量夹角的余弦和投影向量的坐标. 【详解】向量 若，则，，所以，A选项正确； 若，，，不满足则，B选项错误； 若，，则，C选项正确； 若，，则向量在向量上的投影向量: ，D选项正确. 故选：ACD 10. 已知直线，圆，则（ ） A. 过定点 B. 圆与轴相切 C. 若与圆有交点，则的最大值为0 D. 若平分圆，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用直线方程与的取值无关，求解定点判A，利用直线与圆的位置关系判断B，C,先发现直线必过圆心，后将圆心代入直线，求解参数，判断D即可. 【详解】对A，整理直线的方程，得，令，解得， 当时，直线方程与的取值无关，又，解得， 即必过定点，故A正确； 对B，整理圆的方程，得，易知圆心到轴的距离为， 又，故得圆与轴相切，故B正确； 对C，若与圆有交点，设圆心到直线的距离为， 可得，解得故C错误； 对D，若平分圆，则必过圆心，易知圆心为， 将代入直线的方程，得，解得，故D正确. 故选：ABD. 11. 函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上增函数 C. 若把函数的图像向左平移个单位，则所得函数是奇函数 D. ，若恒成立，则的最小值为. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，由函数图像即可算出函数的周期，由,即可求出，再代入一个最高点即可求出函数的解析式；对B、C，由图像的平移变换即可求得变换后的图像，然后根据三角函数的单调性以及函数的奇偶性即可判断；对D，通过分离参数，构造新函数，再利用三角函数知识即可求得的最小值. 【详解】对A，由题意知，，，， 即， （），（）， 又，，，所以A正确 ； 对B，把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变， 得到的函数，，， 在上不单调递增，故B错误； 对C，把的图像向左平移个单位， 则所得函数为，是奇函数，故C正确； 对D，对，恒成立，即，恒成立， 令，，则，， ，，， 的最小值为，故D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 已知函数则______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据函数的解析式直接代入求函数值即可. 【详解】，， 故答案为：3 13. 已知空间向量，且，则等于________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意结合空间向量垂直的坐标运算求解. 【详解】因为，则，解得. 故答案为：2. 14. 过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为________. 【答案】或 【解析】 【分析】注意分斜率不存在和存在两种情况进行讨论，结合点到直线的距离公式以及垂径定理即可求得答案. 【详解】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为， 此时直线l截圆所得弦长为，满足题意， 设直线l的方程为，即. 由垂径定理，得圆心到直线l的距离， 结合点到直线距离公式，得， 化简得，解得，即直线l的方程为. 故答案为：或. 15. 在棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，则直线与直线的所成角的余弦值的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件先确定出在平面内的轨迹，然后通过建立空间直角坐标系，根据两直线方向向量夹角的余弦值结合三角函数值的范围，计算出两直线所成角的余弦值的取值范围. 【详解】记在底面内的投影为，则底面， 又、平面，故、， 则，， 又，则， 所以的轨迹是以为圆心半径为的圆， 建立如下图所示的空间直角坐标系： 设，，， 所以， 所以，其中 设直线与直线的所成角为， 所以. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法： （1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角； （2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角； （3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设为直线的方向向量，为平面的法向量，则线面角的正弦值为. 四、解答题：本题共6小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 16. 已知△ABC的三个顶点为，，．求： （1）AB所在直线的方程； （2）AB边上的高所在直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由直线的点斜式，即可得到结果； （2）根据题意，先得到AB边上的高所在直线的斜率，再由直线的点斜式即可得到结果. 【小问1详解】 依题意，直线AB的斜率， 所以直线AB的方程为，即． 【小问2详解】 由（1）知，直线AB的斜率为2，所以AB边上的高所在直线的斜率为， 所以AB边上的高所在直线的方程为，即． 17. 已知函数． （1）根据函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） 任取， 则， 因为，则，，， 则，故在上单调递减. （2） 【解析】 【分析】（1）任取，作差，分析每一个因式的正负，进而得到，可判断单调性； （2）根据第一问得到的函数单调性以及函数定义域可列式，解不等式即可得到答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，在上单调递减， 所以，，解得， 所以，即所求范围是. 18. 已知圆C：，点． （1）若，过P的直线l与C相切，求l的方程； （2）若C上存在到P的距离为1的点，求m的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）对直线l的斜率是否存在讨论，根据直线与圆的位置关系列式运算； （2）要使圆C上存在到点P的距离为1的点，则圆心C到的距离满足，，运算得解. 【小问1详解】 因为，所以圆C的方程为 ①当l的斜率不存在时，l的方程为，与圆C相切，符合题意； ②当l的斜率存在时，设l的方程为，即， 圆心C到l的距离，解得， 则l的方程为，即， 综上可得，l的方程为或． 【小问2详解】 由题意可得圆C：，圆心，半径， 则圆心C到的距离， 要使C上存在到P的距离为1的点， 则，即， 解得， 所以m的取值范围为． 19. 为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在全校三个年级开展了一次“不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛．共1500名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取200名学生，并按成绩分为五组：，，，，，得到如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占． （1）求抽取的200名学生的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）； （2）若在第五组中，按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取7人，再从中选取2人组成宣讲组，在校内进行义务宣讲，求这2人都是高三学生的概率； （3）若比赛成绩（为样本数据的标准差），则认为成绩优秀，试估计参赛的1500名学生成绩优秀的人数． 参考公式：，（是第组的频率）， 参考数据： 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的平均数的计算公式，即可求解； （2）根据题意，求得抽到的高三学生的人数，利用列举法求得基本事件的总数，以及所求事件包含的基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解； （3）根据题意，利用方差的计算公式，求得，结合，求得相应的概率，即可求解. 【小问1详解】 由频率分布直方图的平均数的计算公式，可得： ， 所以抽取的200名学生的平均成绩． 【小问2详解】 由于第五组总共要抽取7人，高三学生占，所以抽到的高三学生应该有人， 这7个人中，不是高三学生设为，其中3个高三学生设为， 从7人中抽取2人，共有：，，共有21种抽法， 其中这2人都是高三学生为：，共有3种抽法， 由古典概型得，这2人都是高三学生的概率为． 【小问3详解】 依题意，由方差的计算公式，可得： ， 所以优秀的比赛成绩应该， 而比赛成绩在的频率为， 因为，故参赛的1500名学生成绩优秀的人数为105人． 20. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且. （1）求证：平面. （2）求二面角的平面角的余弦值. 【答案】（1） 以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， ∴，，， 设平面的法向量为， 则，取， 由得，平面. （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标，求平面法向量，利用法向量和的关系可得线面垂直. （2）求两个平面的法向量，利用公式可求得二面角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意得，，， 设平面的法向量为， 则，取， ∴， 由图知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 21. 已知线段AB的端点B的坐标是，端点A的运动轨迹是曲线C，线段AB的中点M的轨迹方程是. （1）求曲线C的方程； （2）已知斜率为k的直线l与曲线C相交于两点E，F（异于原点O），直线OE，OF的斜率分别为，且， ①证明：直线l过定点P，并求出点P的坐标； ②若，D为垂足，证明：存在定点Q，使得为定值. 【答案】（1） （2） ①设直线的方程为，，，， 联立，得， 所以，即， 所以，， 所以， ， 所以且， 所以直线的方程为，即直线过定点； ②如图所示： 因为为定值，且于点，所以为直角三角形，为斜边， 所以当点是的中点时，此时为定值， 因为，，所以由中点坐标公式得， 所以存在定点，使得为定值. 【解析】 【分析】（1）利用相关点法求轨迹方程； （2）①首先设直线与圆的方程联立，利用韦达定理表示，即可求解定点坐标； ②由几何图形可知，，再利用直角三角形，协办的中线等于斜边的一半，即可求出定点坐标. 【小问1详解】 设，，由中点坐标公式得， 由题意可知，， 所以， 整理得到曲线的方程为； 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹法求圆的方程，以及定点问题，定点问题的关键是设出直线，然后利用韦达定理求出参数的关系，即可得到对应的定点坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西宁市沈那中学2024-2025学年第一学期高二年级数学期中考试试卷 （满分： 150 分 考试时间: 120 分钟 出题教师： 审核教师： ） 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是 A. B. C. D. 2. 已知圆过点，则圆的标准方程是（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，，若，，共面，则（ ） A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 4. 已知圆，圆，则圆的位置关系为（    ） A. 内含 B. 外切 C. 内切 D. 相交 5. 在三棱柱中，记，，，点P满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 点在圆上运动，点在直线上运动，若的最小值是2，则的值为（ ） A. 10 B. C. 20 D. 7. 已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，且，则是（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 8. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则向量在向量上的投影向量 10. 已知直线，圆，则（ ） A. 过定点 B. 圆与轴相切 C. 若与圆有交点，则的最大值为0 D. 若平分圆，则 11. 函数的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若把的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上增函数 C. 若把函数的图像向左平移个单位，则所得函数是奇函数 D. ，若恒成立，则的最小值为. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 已知函数则______. 13. 已知空间向量，且，则等于________． 14. 过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为________. 15. 在棱长为的正四面体中，点为平面内的动点，且满足，则直线与直线的所成角的余弦值的取值范围为______. 四、解答题：本题共6小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸. 16. 已知△ABC的三个顶点为，，．求： （1）AB所在直线的方程； （2）AB边上的高所在直线的方程． 17. 已知函数． （1）根据函数单调性的定义证明函数在区间上单调递减； （2）若，求实数的取值范围． 18. 已知圆C：，点． （1）若，过P的直线l与C相切，求l的方程； （2）若C上存在到P的距离为1的点，求m的取值范围． 19. 为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在全校三个年级开展了一次“不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛．共1500名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取200名学生，并按成绩分为五组：，，，，，得到如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占． （1）求抽取的200名学生的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）； （2）若在第五组中，按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取7人，再从中选取2人组成宣讲组，在校内进行义务宣讲，求这2人都是高三学生的概率； （3）若比赛成绩（为样本数据的标准差），则认为成绩优秀，试估计参赛的1500名学生成绩优秀的人数． 参考公式：，（是第组的频率）， 参考数据： 20. 如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且. （1）求证：平面. （2）求二面角的平面角的余弦值. 21. 已知线段AB的端点B的坐标是，端点A的运动轨迹是曲线C，线段AB的中点M的轨迹方程是. （1）求曲线C的方程； （2）已知斜率为k的直线l与曲线C相交于两点E，F（异于原点O），直线OE，OF的斜率分别为，且， ①证明：直线l过定点P，并求出点P的坐标； ②若，D为垂足，证明：存在定点Q，使得为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $