贵州省2024届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷（一）数学试卷

2024届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷（一） 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1.已知集合，，则（ ） A.（-4，2） B. C.（0，2） D. 2.已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点Z位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.在等比数列中，，，则（ ） A.±4 B.4 C.-4 D.无法确定 4.已知，则的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 5.魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24576边形，求出圆周率约等于，和相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破.若已知的近似值还可以表示成，则的值约为（ ） A.-32 B. C.32 D. 6.2023年夏天贵州榕江的村超联赛火爆全国，吸引了国内众多业余球队参赛.现有六个参赛队伍代表站成一排照相，如果贵阳折耳根队与柳州螺蛳粉队必须相邻，同时南昌拌粉队与温江烤肉队不能相邻，那么不同的站法共有（ ）种. A.144 B.72 C.36 D.24 7.中国农业大学被网评为“京城高校第一食堂”，“食堂届的天花板”仅东区食堂就有六个，大一新生每天在“公寓食堂”、“风味餐厅”、“清真食堂”三个方向艰难选择，某同学决定从“公寓食堂”开始就餐，下一次就餐再等可能地随机选择另外2个食堂中的1个，如此不停地品尝各个食堂的美食，记第n次就餐去“公寓食堂”的概率为，第n次就餐去“风味餐厅”的概率为，显然，.下列判断正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 8.定义在上的函数满足：对任意都有成立，且当时，.若对任意的恒成立，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9.已知椭圆的左、右焦点分别为，，半焦距为.在椭圆上存在点使得，O为原点，则椭圆离心率的可能取值是（ ） A. B. C. D. 10.古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值m（且）的点的轨迹是圆”.人们将这个圆以他的名字命名为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，，点P满足.设点P的轨迹为C，则下列结论正确的是（ ） A.轨迹C的方程为 B.轨迹C与圆M：有两条公切线 C.轨迹C与圆：的公共弦所在直线方程为 D.当A，B，P三点不共线时，射线是的平分线 11.已知函数，则下列结论正确的有（ ） A.若的最小正周期，则 B.将函数的图象向右平移个单位长度，能得到的图象 C.若在区间上恰有3个极大值点，则 D.若在区间上单调递减，则 12.正方体的棱长为1，点P，E，F，G分别为棱，，，的中点，为线段上的动点，过A，P，Q的平面截正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是（ ） A.当时，平面 B.当时，S的面积为 C.当时，S为六边形 D.当时，S与的交点R满足 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.牛顿曾经提出了在常温环境下的温度冷却模型（t为时间，单位：分钟，为环境温度，为物体初始温度，为冷却后温度），假设一杯开水温度，环境温度，常数，大约经过_________分钟水温降为30℃（参考数据：）. 14.已知点F为抛物线的焦点，为抛物线上一点，且，则该抛物线的准线方程为_________. 15.已知，若有四个不同的零点，则的取值范围是_________. 16.已知向量，，满足，，，则的最大值是_________. 四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分） 在中，已知，，. （1）求角B； （2）若为锐角三角形，且，求的面积. 18.（本小题满分12分） 某地区教育局数学教研室为了了解本区高三学生一周用于数学学习时间的分布情况，做了全区8000名高三学生的问卷调查，现抽取其中部分问卷进行分析（问卷中满时长为12小时），将调查所得学习时间分成（0，2），，，，，6组，并绘制成如图1所示的频率分布直方图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. 参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，. （1）求的值； （2）以样本估计总体，该地区高三学生数学学习时间近似服从正态分布，试估计该地区高三学生数学学习时间在内的人数； （3）现采用分层抽样的方法从样本中学习时间在，内的学生随机抽取8人，并从这8人中再随机抽取3人作进一步分析，设3人中学习时间在内的人数为变量X.求X的期望. 19.（本小题满分12分） 如图2，已知在正三棱柱中，，三棱柱外接球半径为，且点E，F分别为棱，的中点. （1）过点A，E，F作三棱柱截面，求截面图形的周长； （2）求平面与平面的所成角的余弦值. 20.（本小题满分12分） 在平面直角坐标系中，已知过动点作x轴垂线，分别与和交于P，Q点，且，，若实数使得成立（其中为坐标原点）. （1）求M点的轨迹方程，并求出当为何值时M点的轨迹为椭圆； （2）当时，经过点的直线与轨迹M交于y轴右侧C，D两点，证明：直线，的斜率之比为定值. 21.（本小题满分12分） 已知常数，数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若，且数列是单调递增数列，求实数的取值范围. 22.（本小题满分12分） 已知函数，. （1）求在处的切线方程； （2）当时，，数列满足，且，证明：； （3）当时，恒成立，求的取值范围. 2024届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷（一） 数学参考答案 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C A C A C B 【解析】 1.集合，集合，所以，故选D. 2.由复数满足，可得，所以，故选B. 3.在等比数列中，，所以，又，，同号，所以，故选C. 4.由，故选A. 5.将代入，可得 ，故选C. 6.先将不相邻的两队排除，将贵阳折耳根队与柳州螺蛳粉队看成整体，与余下两队先排，有种方法，再将不相邻的两队插入他们的空隙中有种方法，最后落实贵阳折耳根队与柳州螺蛳粉队的具体排法有种方法，故不同的站法有种，故选A. 7.第次就餐在“公寓食堂”的概率为，则当时，第次就餐在“公寓食堂”的概率为，第次就餐不在“公寓食堂”的概率为，则，即，当时取等号，故选C. 8.由题意知，可用拟合，由已知时，，故，∴为偶函数，且在上，由对成立，则对，成立，故，故选B. 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分） 题号 9 10 11 12 答案 ABD ACD AC BD 【解析】 9.记B为椭圆短轴上的一个顶点，由题意，得，得，即，又，∴，故选ABD. 10.如图1， 选项A，在平面直角坐标系中，，，点P满足，设，则，化简可得，故A正确； 选项B，，故两圆外切，有3条公切线，B错误； 选项C，它们的公共弦所在直线方程为，C正确； 选项D，当A，B，P三点不共线时，由，可得射线是的平分线，故D正确， 故选ACD. 11.由题可得， 对于A，，∴，A正确； 对于B，向右平移个单位长度为，故不一定能得到的图象，B错误； 对于C，由可得，由在区间上恰有3个极大值点可得，C正确； 对于D，，则，因为单调递减，所以，，且，即，解得，，且，当时，，当时，，D错误，故选AC. 12.对A，当时，如图2①，平面，故A错误； 对B，当时，如图②，截面为等腰梯形，其面积为，B正确； 对C，当时，如图③，截面为五边形，故C错误； 对D，如图④，在上取点，使，则，在上取其中点，则，截面S即为平面，此时，故D正确，故选BD. 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 题号 13 14 15 16 答案 10.5 【解析】 13.由题意，则，所以分钟. 14.设抛物线的焦点，则，则抛物线方程为，其准线方程为. 15.当时，，则对成立， ∴在上， 当时，，则. 令；令，∴在上，上， 由题意有四个不同的解， 令，则有两个不同解，， 如图3，不妨设，故， ∴，故. 16.设，，， ∵，∴点D是的重心， ∴又， ∴.∴是直角三角形， 又∵，即，以A为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 设，，则，且， 故 . 四、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分） 解：（1）， ∵在三角形中，，∴， ∴，∴. 在中，，所以， 又，. 由正弦定理，， ∵，∴或. （2）因为为锐角三角形，所以， 由题G为三角形重心， 所以， 又∵，所以. 18.（本小题满分12分） 解：（1）由题意得，解得. （2） . 则8000×0.1359=1087.2≈1087， 所以估计该地区高三学生数学学习时间在内的人数约为1087人. （3），对应的频率比为0.36:0.12，即为3:1， 所以抽取的8人中学习时间在，内的人数分别为6人，2人， 设从这8人中抽取的3人学习时间在内的人数为X， 则X的所有可能取值为0，1，2， ，，， 所以. 19.（本小题满分12分） 解：（1）∵， 又∵，∴，， 如图4，延长交于M点，连接交于点P，四边形为所求截面， . ∴，，，， ∴，∴. 截面图形的周长为. （2）建系如图5，，，， 设平面法向量， 得， 平面法向量即为的中线， ∴， 设两个平面所成角为，则. 20.（本小题满分12分） （1）解：由题得，，，， ∵，∴， 化简得：. 当时，方程为，轨迹为椭圆. （2）证明：当时，M的方程为，为双曲线， 设方程为，，，，， 联立 可得，，， ，， 直线，的斜率分别为，， ∴，， ∴ ， ∴为定值. 21.（本小题满分12分） 解：（1）因为，所以， 因为，所以， 化简得：（常数）， 当中，当时， 得，满足上述递推关系式， ∴数列是以1为首项，公差为的等差数列， 故，. （2）∵，，即，， ①当是奇数时，，，， 令，即可， ，且，故； ②当是偶数时，，，， 令，即可， 因为， 所以，且，所以. 综上可得：实数的取值范围是. 22.（本小题满分12分） （1）解：∵，∴， 又∵，且， ∴切线方程为. （2）证明：，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴， ∵， 要证，即证， 又∵，， ∴即证， 令， ， ∴在上为减函数，且， ， ∵，∴， ∴，， ∴，即， ∴成立，原式得证. （3）解：∵恒成立，， ∴令， 当时，等价于恒成立. 由于，， 所以（i）当时，，函数在上单调递增， 所以，在区间上恒成立，符合题意； （ii）当时，在上单调递增，. ①当，即时，， 函数在上单调递增，所以在上恒成立，符合题意； ②当，即时，，， 若，即时，在上恒小于0， 则在上单调递减，，不符合题意， 若，即时，存在，使得， 所以当时，，则在上单调递减， ，不符合题意. 综上所述，的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $$