精品解析：山东省威海市文登区第二中学（五四制）2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

2024～2025学年第一学期初三年级数学期中质量检测 注意事项： 1．答题前在指定位置填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡指定位置上 3．仔细审题，认真答卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列变形是分解因式的是（　 　） A. B. C. D. 2. 下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列多项式能用公式法进行因式分解的是（ ） ①；②；③；④；⑤． A. ②④⑤ B. ②④ C. ①④⑤ D. ③④⑤ 4. 对于任意整数n，都（ ） A. 能被2整除，不能被4整除 B. 能被4整除，不能被8整除 C. 能被8整除 D. 能被5整除 5. 下列四种说法正确的是（ ） A. 分式的分子、分母都乘以（或除以），分式的值不变； B. 数据，，，，平均数是3，方差是1，则另一组数据，，，，的平均数是7，标准差3； C. 方程的解是； D. 的最小值为零． 6. 已知方程：①；②；③；④；⑤；⑥，是分式方程的是（ ） A. ①②③④⑤ B. ②③④ C. ②④⑤ D. ②④ 7. 已知a，b，c分别是△ABC的三边长，若，，则△ABC的周长是（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 12 8. 为建设“书香校园”，某班开展了捐书活动，学生捐书情况统计如下表： 捐书数量（本 1 2 3 4 5 人数（人） 16 6 3 对于不同的x，下列关于捐书数量的统计量中不会发生改变的是（ ） A. 平均数，中位数 B. 众数，中位数 C. 平均数，方差 D. 中位数，方差 9. 甲乙两人同时从地出发到地，如果甲的速度保持不变，而乙先用的速度到达中点，再以的速度到达地，则下列结论正确的是（ ） A 甲乙同时到达地 B. 甲先到达地 C. 乙先到达地 D. 谁先到达地与的距离有关 10. 如图，标号为①，②，③，④的长方形不重叠地围成长方形，已知①和②能够重合，③和④能够重合，且这四个长方形的面积相等．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 已知通过变形可以可成的形式，则______． 12. 一组数据2，3，5，6，a众数与中位数相等，则_____． 13. 已知，则值为________________． 14. 若实数x满足，则的值为______． 15. 若关于x的分式方程有增根，则m的值为_______． 16. 已知一组数据，2，3，4，5的方差和另一组数据99，100，101，98，102的方差相等，则n的最大值与最小值的平均数是_____． 三、解答题（72分） 17. 因式分解： （1） （2） 18. 计算 （1）； （2）． 19. 解方程 （1）； （2）． 20. 关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是多少？ 21. 在国庆节到来之际，某中学组织初一、初二两个年级的学生进行国学知识竞赛，并从中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（满分50分）进行整理、分析（得分用x表示，共分为四组，A：，B：，C：，D：），下面给出部分信息： 初一10名学生的成绩：32，36，36，39，40，46，46，46，49，50 初二10名学生在C组中成绩：40，43，44 年级 平均数 中位数 众数 初一 42 43 c 初二 42 b 47 两个年级抽取的学生的竞赛成绩统计表 根据以上信息，回答以下问题： （1） ， ， ； （2）根据以上数据分析，你认为该校初一和初二两个年级中哪个年级的国学知识竞赛成绩较好？请说明理由； （3）已知初一年级共有800名学生，初二年级共有850名学生．如果我们认为国学知识竞赛成绩在40分及以上的学生成绩优秀，则请估计初一，初二两个年级的学生成绩优秀的共有多少人？ 22. 某工厂需要在规定时间内生产1400个某种零件，该工厂按一定速度加工5天后，发现按此速度加工下去会延期10天完工，于是又抽调了一批工人投入这种零件的生产，使工作效率提高了50%，结果如期完成加工任务． （1）求该工厂前5天每天生产多少个这种零件； （2）求规定时间是多少天． 23. 观察下列各式的变化规律，然后解答下列问题：，，，，…… （1）猜想（的正整数） ； （2）计算：； （3）若，求值． 24. 新定义：如果两个实数使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”． 例如：，使得关于x分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． （1）判断下列数对是否为关于x的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“”若不是，打“”．①（          ）；②（          ）． （2）若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求的值． （3）若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，且关于x的方程有整数解，求整数的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年第一学期初三年级数学期中质量检测 注意事项： 1．答题前在指定位置填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡指定位置上 3．仔细审题，认真答卷 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列变形是分解因式的是（　 　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定． 【详解】C和D不是积的形式，应排除； A中，不是对多项式的变形，应排除． 故选B． 【点睛】考查了因式分解的定义，关键在于能否正确应用分解因式的定义来判断． 2. 下列变形正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的基本性质进行解答． 【详解】解：当时，，故A选项变形不正确，不合题意； ，故B选项变形不正确，不合题意； ，故C选项变形正确，符合题意； ，故D选项变形不正确，不合题意； 故选：C 【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是掌握“分式的分子和分母扩大还是缩小相同的倍数，分式的值不变” ． 3. 下列多项式能用公式法进行因式分解的是（ ） ①；②；③；④；⑤． A. ②④⑤ B. ②④ C. ①④⑤ D. ③④⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了公式法分解因式，直接利用平方差公式以及完全平方公式分解因式得出答案． 【详解】解：①，无法运用公式法分解因式； ②，能运用平方差公式进行因式分解，符合题意； ③，无法运用公式法分解因式； ④，能运用完全平方公式进行因式分解，符合题意； ⑤，能运用完全平方公式进行因式分解，符合题意． 综上，能用公式法进行因式分解的是②④⑤， 故选：A． 4. 对于任意整数n，都（ ） A. 能被2整除，不能被4整除 B. 能被4整除，不能被8整除 C. 能被8整除 D. 能被5整除 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，利用平方差公式分解因式得出，即可作出判断． 【详解】解： ， 为任意整数， ，既能被2整除又能被4整除， 又∵、是连续整数， ∴、必有一个是偶数， ∴能被8整除，即能被8整除， 故选：C． 5. 下列四种说法正确的是（ ） A. 分式的分子、分母都乘以（或除以），分式的值不变； B. 数据，，，，平均数是3，方差是1，则另一组数据，，，，的平均数是7，标准差3； C. 方程的解是； D. 的最小值为零． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质，求方差，解分式方程，根据相关知识点逐个分析判断即可． 【详解】解：A、分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变，故A选项错误，不符合题意； B、数据，，，，平均数是3，方差是1，则另一组数据，，，，的平均数是，标准差，故B选项错误，不符合题意； C、是程的增根，故C选项错误，不符合题意； D、，，故，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 6. 已知方程：①；②；③；④；⑤；⑥，是分式方程的是（ ） A. ①②③④⑤ B. ②③④ C. ②④⑤ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了分式方程概念：分母中含有字母的方程，根据此概念进行判断即可． 【详解】解：②④⑤是分式方程，①⑥是一元一次方程，③是二元一次方程； 故选：C． 7. 已知a，b，c分别是△ABC的三边长，若，，则△ABC的周长是（ ） A. 3 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】先把因式分解可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴△ABC的周长是6． 故选：B 【点睛】本题考查因式分解的应用，将已知等式移项后因式分解是求解本题的关键． 8. 为建设“书香校园”，某班开展了捐书活动，学生捐书情况统计如下表： 捐书数量（本 1 2 3 4 5 人数（人） 16 6 3 对于不同的x，下列关于捐书数量的统计量中不会发生改变的是（ ） A. 平均数，中位数 B. 众数，中位数 C. 平均数，方差 D. 中位数，方差 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，掌握平均数、众数、中位数和方差的定义是解题的关键． 根据平均数、众数、中位数和方差的定义解答即可判断求解； 【详解】解：由表可得，捐书人数为人， ∴数据按照由小到大的顺序排列，中位数为第20和第21个数的平均数， ， ∴不管取何值，中位数都为3， ， ， ∴对于不同的，众数都为3， ， ∴对于不同的，平均数也不同， ∵平均数会发生改变， ∴方差也会发生改变， ∴统计量中不会发生改变的是众数，中位数， 故选：B． 9. 甲乙两人同时从地出发到地，如果甲的速度保持不变，而乙先用的速度到达中点，再以的速度到达地，则下列结论正确的是（ ） A. 甲乙同时到达地 B. 甲先到达地 C. 乙先到达地 D. 谁先到达地与的距离有关 【答案】B 【解析】 【分析】设从地到地的距离为，根据时间路程速度可以求出甲、乙两人同时从地到地所用时间，然后比较大小即可判定选择项． 【详解】解：设从地到地的距离为， 而甲的速度保持不变， 甲所用时间为， 又乙先用的速度到达中点，再用的速度到达地， 乙所用时间为， 甲先到达地． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了列代数式（分式），解题的关键是正确理解题意，根据题意设未知数，然后利用已知条件和速度、路程、时间之间的关系即可解决问题． 10. 如图，标号为①，②，③，④的长方形不重叠地围成长方形，已知①和②能够重合，③和④能够重合，且这四个长方形的面积相等．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算法则是解本题的关键．设四个长方形的面积均为S，，则，得出，，求出，，根据求出结果即可． 【详解】解：设四个长方形的面积均为S，，则， ∴，， ∴， ， ∴ ． 故选：B． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 已知通过变形可以可成的形式，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】此题考查了由完全平方式求解字母系数，利用公式法因式分解，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．根据题意，利用完全平方公式可得，进而确定出m的值即可． 【详解】解：根据题意得：， 整理得：， ∴， 解得：或， 故答案为：或． 12. 一组数据2，3，5，6，a的众数与中位数相等，则_____． 【答案】3或5 【解析】 【分析】本题主要考查众数、中位数，根据众数的可能情况分类讨论求解是解题的关键． 【详解】解：中位数可能是或5， 由于众数与中位数相等，故或5， 故答案为：3或5． 13. 已知，则值为________________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了分式加减运算，分式的化简．根据题意可得，再代入化简，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴ 故答案为：5 14. 若实数x满足，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式化简求值，掌握整体代入的思想，根据已知代数式的值将所求代数式进行恒等变形是解决问题的关键． 将恒等变形为，然后将根据变形为，代值求解后进一步变形为，代值求解即可． 【详解】解：实数x满足， ， ， 故答案为：． 15. 若关于x的分式方程有增根，则m的值为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出m的值． 【详解】解：方程两边都乘，得 ∵原方程有增根， ∴最简公分母， 解得， 当时， 故m的值是1， 故答案为：1 【点睛】本题考查了分式方程的增根，解题的关键是掌握增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 16. 已知一组数据，2，3，4，5的方差和另一组数据99，100，101，98，102的方差相等，则n的最大值与最小值的平均数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了方差，掌握方差反映了一组数据的波动程度是关键；由题意知，后一组数据按大小排列后，是连续的5个自然数，根据两组数据方差相等，则前一组数据也应该是连续的5个自然数，从而或6，由此可求得n的值，从而求解． 【详解】解：数据99，100，101，98，102 按大小重新排列后为连续的5个自然数：98，99，100，101，102； 由于两组数据的方差相等，则数据，2，3，4，5也应该是连续的5个自然数， 所以或6， 解得：或， 即； 故答案为：． 三、解答题（72分） 17. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式． （1）先利用提公因式，再利用因式分解法继续分解即可解答； （2）利用平方差公式进行分解，即可解答； 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式的混合运算，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的． （1）先根据乘方运算，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可； （2）先算括号内的式子，然后计算括号外的除法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2）无解 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 小问1详解】 解：去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， 检验：把代入得：， 所以是分式方程的解； 【小问2详解】 解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 经检验：不是原方程的解， 原分式方程无解． 20. 关于x的分式方程的解为正数，且使关于y的一元一次不等式组有解，则所有满足条件的整数a的值之和是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，解一元一次不等式组，把分式方程与一元一次不等式的解分别求出，再根据题意求的范围，最后确定的整数解，再相加即可． 【详解】解：关于的分式方程化为整式方程是：， 解得：， 关于的分式方程的解为正数， ， ， 关于的分式方程可能会产生增根2， ， ， 解关于的一元一次不等式组得：， 关于的一元一次不等式组有解， ， ， 综上，且， 为整数， 或或0或1或2， 满足条件的整数的值之和是：． 21. 在国庆节到来之际，某中学组织初一、初二两个年级的学生进行国学知识竞赛，并从中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（满分50分）进行整理、分析（得分用x表示，共分为四组，A：，B：，C：，D：），下面给出部分信息： 初一10名学生的成绩：32，36，36，39，40，46，46，46，49，50 初二10名学生在C组中的成绩：40，43，44 年级 平均数 中位数 众数 初一 42 43 c 初二 42 b 47 两个年级抽取的学生的竞赛成绩统计表 根据以上信息，回答以下问题： （1） ， ， ； （2）根据以上数据分析，你认为该校初一和初二两个年级中哪个年级的国学知识竞赛成绩较好？请说明理由； （3）已知初一年级共有800名学生，初二年级共有850名学生．如果我们认为国学知识竞赛成绩在40分及以上的学生成绩优秀，则请估计初一，初二两个年级的学生成绩优秀的共有多少人？ 【答案】（1）；； （2）初二年级的国学知识竞赛成绩较好，理由见解析 （3）估计初一，初二两个年级的学生成绩优秀的共有人 【解析】 【分析】（1）结合扇形统计图和题中的数据再结合中位数与总数的定义即可计算出、、的值； （2）结合两个年级抽取的学生的竞赛成绩统计表进行分析，言之有理即可； （3）结合题意得到初一的优秀率是，初二的优秀率是，则初一，初二两个年级的学生成绩优秀的共有． 【小问1详解】 解：依题得：组竞赛成绩占比为， 初二抽取的学生成绩扇形统计图中组竞赛成绩占比为， ； 根据初二名学生的成绩分析可得，该组数据的中位数在C组的第5位和第6位，为 ； 根据初一名学生的成绩分析可得，该组数据的众数为， ． 故答案为：；；． 【小问2详解】 解：初二年级的国学知识竞赛成绩较好，因为初二年级的国学知识竞赛成绩中位数大于初一年级的国学知识竞赛成绩中位数． 【小问3详解】 解：依题得：初一年级的优秀率为，初二年级的优秀率为， （人）． 估计初一，初二两个年级的学生成绩优秀的共有人． 【点睛】本题考查的知识点是求扇形统计图的某项数目、求中位数、求众数、借助调查做决策、由样本所占百分比估计总体的数量，解题关键是能正确利用样本所占百分比估计总体的数量． 22. 某工厂需要在规定时间内生产1400个某种零件，该工厂按一定速度加工5天后，发现按此速度加工下去会延期10天完工，于是又抽调了一批工人投入这种零件的生产，使工作效率提高了50%，结果如期完成加工任务． （1）求该工厂前5天每天生产多少个这种零件； （2）求规定时间是多少天． 【答案】（1）该工厂前5天每天生产40个这种零件（2）规定的时间是25天 【解析】 【分析】（1）根据计划的天数可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题； （2）根据（1）中的结果可以求得规定的天数，本题得以解决． 【详解】（1）设该工厂前5天每天生产x个这种零件， ， 解得，x＝40， 经检验，x＝40是原分式方程的解， 答：该工厂前5天每天生产40个这种零件； （2）由（1）该工厂前5天每天生产40个这种零件， ﹣10＝25， 答：规定的时间是25天． 【点睛】本题考查分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程，注意分式方程要检验． 23. 观察下列各式的变化规律，然后解答下列问题：，，，，…… （1）猜想（的正整数） ； （2）计算：； （3）若，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索、绝对值的非负性，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）根据各式的变化规律即可得； （2）根据（1）中的规律，将各项拆分成两项，再计算加减法即可得； （3）先求出，从而可得，再代入进行拆分，计算加减法即可得． 【小问1详解】 解：由题意可知，， ， ， ， …… 依次类推，， 故答案为：． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解：∵， ， 解得，， ， 则 ． 24. 新定义：如果两个实数使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． （1）判断下列数对是否为关于x的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“”若不是，打“”．①（          ）；②（          ）． （2）若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求的值． （3）若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，且关于x的方程有整数解，求整数的值． 【答案】（1）①×；②√； （2）； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据“关联数对”定义分别判断即可； （2）根据“关联数对”定义计算即可； （3）根据“关联数对”定义计算即可； 小问1详解】 解：当，时， 分式方程为：分式方程，方程无解，故①的答案是×， 当，时， 分式方程为：分式方程，方程的解为：， ∵， 故②的答案是√； 【小问2详解】 解：∵数对是关于x的分式方程的“关联数对”， ∴，， ∴， 解得：； 【小问3详解】 解：∵数对是关于x的分式方程的“关联数对”， ∴，， ∴， ∴， 化简得：， 解得：， ∵关于x的方程有整数解， ∴或， 解得：或或1或， ∵， ∴或 【点睛】本题考查了新定义，分式方程的解，学生的理解能力以及知识的迁移能力等知识，理解“关联数对”的定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$