精品解析：广东省广州市西关外国语学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题

西外教育集团2024学年度第一学期期中素养训练 初三数学 考试分数：120 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上，并用2B铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.写在本试卷上无效. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知二次函数，则其二次项系数a，一次项系数b，常数项c分别是（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 4. 二次函数图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程时，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 6. 点与点关于原点对称，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2024 7. 如果函数是关于x的二次函数，那么k的值是（　　） A. 1或2 B. 0或2 C. 2 D. 0 8. 某商品原售价为元，连续两次降价后售价为元，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知实数a，b分别满足，且a≠b，则的值是（ ） A. 7 B. －7 C. 11 D. －11 10. y＝x2+（1﹣a）x+1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1≤x≤3时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是（　　） A. a≤﹣5 B. a≥5 C. a＝3 D. a≥3 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，则______． 12. 一元二次方程的两个实数根中较大的根是____． 13. 如图所示，在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，AOE绕点O逆时针旋转90°后与BOF重合，AB＝2，则四边形BEOF面积是________． 14. 有支球队要进行篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共比赛了10场，则______． 15. 二次函数的图象关于原点对称的图象解析式为______． 16. 抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列判断中：①；②；③；④若点均在抛物线上，则；⑤．其中正确的序号是____（填写正确的序号）． 三、解答题（本题共9小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17. 解方程：． 18. 已知二次函数的图象经过点，求此二次函数的表达式． 19. 如图，中，． （1）将绕点逆时针旋转得到，连接，（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：四边形是菱形． 20. 已知关于的方程. （1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围； （2）若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根． 21. 如图所示，抛物线与直线相交于点，． （1）直接写出实数，的值，并求出点A，的坐标； （2）若，请直接写出的取值范围． 22. 水果店王阿姨在水果批发市场以20元的价格购进一种水果，若这种水果的销售量与销售单价元满足如图所示的一次函数关系． （1）求与之间的函数关系式．并在不亏钱的情况下直接写出自变量的取值范围； （2）请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？ 23. 如图所示，抛物线经过点，，，它的对称轴为直线． （1）求的面积； （2）求抛物线的解析式； （3）点是该抛物线上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点，点是直线上的点，若以点，，为顶点的三角形与全等，求满足条件的点，点的坐标． 24. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点落在线段上，连接． （1）求证：平分； （2）试判断线段与线段的位置关系，并说明理由； （3）若，请你求出的度数． 25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的顶点P在抛物线F：y＝ax2上，直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B． （1）求a的值； （2）将A，B的纵坐标分别记为yA，yB，设s＝yA﹣yB，若s的最大值为4，则m的值是多少？ （3）Q是x轴的正半轴上一点，且PQ的中点M恰好在抛物线F上．试探究：此时无论m为何负值，在y轴的负半轴上是否存在定点G，使∠PQG总为直角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西外教育集团2024学年度第一学期期中素养训练 初三数学 考试分数：120 考试时间：120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上，并用2B铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.写在本试卷上无效. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡上各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C．不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D．是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2. 已知二次函数，则其二次项系数a，一次项系数b，常数项c分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把函数化成的形式进行判断即可； 【详解】∵函数是二次函数， ∴，，． 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次函数一般式的人数，准确分析是解题的关键． 3. 二次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象，解题的关键是通过开口方向，对称轴以及与y轴交点位置判断．根据开口方向，对称轴以及与y轴交点位置综合判断即可． 【详解】解：∵， ∴开口向上， ∵当， ∴与轴负半轴交于， ∵对称轴为直线， ∴对称轴在轴左侧， 故选：C． 4. 二次函数图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键．根据二次函数顶点式的顶点坐标为，即可得出结论． 【详解】解： 为二次函数的顶点式， 二次函数图象的顶点坐标为． 故选：A． 5. 用配方法解方程时，此方程可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．对方程移项可得，方程两边同时加上16，再利用完全平方公式将等号左边的式子配成完全平方即可得出结论． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 6. 点与点关于原点对称，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2024 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了原点对称，熟练掌握关于原点对称的规律是解题的关键．利用关于原点对称点的性质可得a、b的值，再计算的值即可解答． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，， ． 故选：B． 7. 如果函数是关于x的二次函数，那么k的值是（　　） A. 1或2 B. 0或2 C. 2 D. 0 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得： ，解得k=0.故选D. 8. 某商品原售价为元，连续两次降价后售价为元，下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程即可，读懂题意，列出方程是解题的关键． 【详解】解：依题意得：， 故选：． 9. 已知实数a，b分别满足，且a≠b，则的值是（ ） A. 7 B. －7 C. 11 D. －11 【答案】A 【解析】 【详解】∵a，b分别满足，且a≠b， ∴a与b为方程x2﹣6x+4=0的两根． ∴根据一元二次方程根与系数的关系，得a+b=6，ab=4． ∴． 故选:A． 10. y＝x2+（1﹣a）x+1是关于x的二次函数，当x的取值范围是1≤x≤3时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是（　　） A. a≤﹣5 B. a≥5 C. a＝3 D. a≥3 【答案】B 【解析】 【分析】由于二次函数的顶点坐标不能确定，故应分两种情况进行解答． 【详解】解：第一种情况： 当二次函数的对称轴不在1≤x≤3内时，此时，对称轴一定在1≤x≤3的右边，函数方能在这个区域取得最大值， x＝，即a≥7， 第二种情况： 当对称轴在1≤x≤3内时，对称轴一定是在区间1≤x≤3的中点的右边，因为如果在中点的左边的话，就是在x＝3的地方取得最大值，即： x＝，即a≥5（此处若a取5的话，函数就在1和3的地方都取得最大值） 综合上所述a≥5． 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的最值确定与自变量x的取值范围的关系，难度较大． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是，，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系，，，代入计算即可． 【详解】解：一元二次方程的两个实数根为，， ， 故答案为：1． 12. 一元二次方程的两个实数根中较大的根是____． 【答案】6 【解析】 【详解】解得：,较大的根是6. 13. 如图所示，在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，AOE绕点O逆时针旋转90°后与BOF重合，AB＝2，则四边形BEOF面积是________． 【答案】1 【解析】 【分析】由旋转的性质可得S△AOE＝S△BOF，可得四边形BEOF面积＝S△AOB，即可求解． 【详解】解：∵△AOE绕点O逆时针旋转90°后与△BOF重合， ∴△AOE≌△BOF， ∴S△AOE＝S△BOF， ∴四边形BEOF面积＝S△AOB＝S正方形ABCD＝×22＝1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 14. 有支球队要进行篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共比赛了10场，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据题意，列出一元二次方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：或（舍去）； 故答案为：5． 15. 二次函数的图象关于原点对称的图象解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式，正确记忆基本变换性质是解题关键．根据关于原点对称的两点横坐标，纵坐标互为相反数即可求解顶点坐标，再结合开口方向可得答案． 【详解】解：二次函数图象的顶点坐标为，开口向下． 与点关于原点对称的点的坐标为， 新二次函数图象的顶点坐标为，开口向上． 新二次函数图象的解析式为． 故答案为：． 16. 抛物线的对称轴为直线，部分图象如图所示，下列判断中：①；②；③；④若点均在抛物线上，则；⑤．其中正确的序号是____（填写正确的序号）． 【答案】②③⑤ 【解析】 【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b=2a＞0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断； 利用抛物线与x轴交点个数可对②进行判断； 利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，0），则可对③进行判断； 根据二次函数的性质，通过比较两点到对称轴的距离可对④进行判断； 利用5a-2b+c=5a-4a-3a=-2a＜0，则可对⑤进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线的对称轴为直线x=-=-1， ∴b=2a＞0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴c＜0， ∴abc＜0，所以①错误； ∵抛物线与x轴有2个交点， ∴△=b2-4ac＞0，所以②正确； ∵抛物线的对称轴为直线x=-1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0）， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，0）， ∴9a-3b+c=0，所以③正确； ∵点（-0.5，y1）到直线x=-1的距离比点（-2，y2）到直线x=-1的距离小， 而抛物线开口向上， ∴y1＜y2；所以④错误； ∵5a-2b+c=5a-4a-3a=-2a＜0，故⑤正确， 故答案为：②③⑤． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左； 当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 三、解答题（本题共9小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，先找出，再利用公式法进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ，． 18. 已知二次函数的图象经过点，求此二次函数的表达式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．代入到得到二元一次方程组，求解方程组得出b、c的值即可解答． 【详解】解：代入到，得， 解得：， 二次函数的表达式为． 19. 如图，中，． （1）将绕点逆时针旋转得到，连接，（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 解：如图所示， （2） 证明：逆时针旋转， ，， 四边形是平行四边形． ， 是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了旋转作图，菱形的判定，灵活掌握各知识点是解答本题的关键． （1）以点B为圆心，以为半径画弧，延长交弧于点．以点B为圆心，以为半径画弧，延长交弧于点．连接，，； （2）由旋转得性质得，，从而四边形是平行四边形，结合可证是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 已知关于的方程. （1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围； （2）若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根． 【答案】（1）；（2）a的值是-1，该方程的另一根为-3． 【解析】 【分析】（1）利用根的判别式列出不等式求解即可； （2）利用根与系数的关系列出有关的方程（组）求解即可. 【详解】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根， ∴△=b2﹣4ac=22﹣4×1×（a﹣2）=12﹣4a＞0， 解得：a＜3， ∴a的取值范围是a＜3； （2）设方程的另一根为x1，由根与系数的关系得： ， 解得：， 则a的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3． 21. 如图所示，抛物线与直线相交于点，． （1）直接写出实数，的值，并求出点A，的坐标； （2）若，请直接写出的取值范围． 【答案】（1），；，； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点问题以及二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由图象得，；再联立方程组，解出即； （2）运用数形结合思想，得出当时，则，即可作答． 【小问1详解】 解：结合图象，得出抛物线的顶点坐标为，直线与轴交于点， ∴，， 即，； ∵抛物线与直线相交于点，． ∴ ∴ 整理得 ∴ 则 结合图象，得； 【小问2详解】 解：∵，且， ∴由图得． 22. 水果店王阿姨在水果批发市场以20元的价格购进一种水果，若这种水果的销售量与销售单价元满足如图所示的一次函数关系． （1）求与之间的函数关系式．并在不亏钱的情况下直接写出自变量的取值范围； （2）请你帮王阿姨拿个主意，将这种水果的销售单价定为多少时，能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）； （2）这种水果定价30元时，可获最大利润1100元． 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数与二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）设一次函数关系式为，根据图象可把点代入求解即可； （2）设这种水果的利润为元，根据（1）中函数解析式及题意可得，然后根据二次函数的性质可进行求解 【小问1详解】 解：设一次函数关系式为， 由图得：， 解得：， 一次函数的关系式为； 【小问2详解】 解：设这种水果的利润为元 依题意：， 化简、配方得：； ∵， ∴当时，w取得最大值，即最大值为1100； 答：这种水果定价30元时，可获最大利润1100元． 23. 如图所示，抛物线经过点，，，它的对称轴为直线． （1）求的面积； （2）求抛物线的解析式； （3）点是该抛物线上的一个动点，过点作直线的垂线，垂足为点，点是直线上的点，若以点，，为顶点的三角形与全等，求满足条件的点，点的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3），，，． 【解析】 【分析】（）求出的长，然后利用面积公式即可求解； （）利用待定系数法求解析式即可； （）分别解得的坐标，抛物线的对称轴，推理出当时，以，，为顶点的三角形与全等，设，则，据此当点在抛物线对称轴的右（或左）侧时解答即可； 本题考查了二次函数的应用，根据题意推出两个三角形全等的条件，掌握待定系数法、二次函数的对称性及坐标轴上点的特征，解题的关键是掌握知识点的应用与分类讨论的思想方法． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴可设所求解析式为：， 则，解得：， ∴， ∴解析式为； 【小问3详解】 解：∵抛物线：， ∴对称轴直线， ∴直线为直线， ∵，， ∴等腰中，， ∵与全等，， ∴且点、在直线上， 设，则， ∴当时，，即； ∴当时，，即； ∵，， ∴，即 ∵，点，在直线上， ∴， ∴，， ∴，，，． 24. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点落在线段上，连接． （1）求证：平分； （2）试判断线段与线段的位置关系，并说明理由； （3）若，请你求出的度数． 【答案】（1） 绕点顺时针旋转得到， ，， 得， 平分； （2） ，理由如下： 绕点顺时针旋转得到， ，，， ，， ， ， 中：， 即； （3）． 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，直角三角形的性质，关键是掌握旋转的性质． （1）由旋转的性质得到，，因此得到，即可证明平分； （2）根据旋转的性质得出，，，进而得出，根据，得出即； （3）设，得出，，进而列出，可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设（由（1）、（2）得） ， ， （由（2）得） ， ， ， 解得： 25. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的顶点P在抛物线F：y＝ax2上，直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B． （1）求a的值； （2）将A，B的纵坐标分别记为yA，yB，设s＝yA﹣yB，若s的最大值为4，则m的值是多少？ （3）Q是x轴的正半轴上一点，且PQ的中点M恰好在抛物线F上．试探究：此时无论m为何负值，在y轴的负半轴上是否存在定点G，使∠PQG总为直角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）a＝2 （2）m＝﹣ （3）存在，G（0，﹣） 【解析】 【分析】（1）由抛物线的顶点式可直接得出顶点P的坐标，再代入抛物线F可得出结论； （2）根据题意可分别表达A，B的纵坐标，再根据二次函数的性质可求出m的值； （3）过点Q作x轴的垂线KN，分别过点P，G作x轴的平行线，与KN分别交于K，N，则△PKQ∽△QNG，设出点M的坐标，可表达点Q和点G的坐标，从而可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意可知，抛物线的顶点的坐标为， 点在抛物线上， ， ． 【小问2详解】 解：直线与抛物线，分别交于点，， ，， ， ， 当时，的最大值为， 的最大值为4， ，解得， ， ． 【小问3详解】 解：存在，理由如下： 设点的坐标为，则， ， 点在轴正半轴上， 且， ， ，，，． 如图，过点作轴的垂线，分别过点，作轴的平行线，与分别交于，， ，， ， ， ， ， ，即． ，，， 解得． ． 【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，中点坐标公式等知识，解题的关键是构造相似三角形得出方程进行求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $