河北省保定市部分高中2024-2025学年高一上学期11月期中数学试题

2024年11月期中考试数学答案 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D B C D B A A CD ABD 题号 11 答案 ABD 4．C【详解】如图，将三棱锥的侧面展开， 则周长的最小值与展开图中的线段相等. 在中，， 在中，根据余弦定理可得： ， 所以， 即周长的最小值为. 故选：C. 5．D 【分析】首先根据复数的几何意义设出复数，再根据复数模的公式，即可求解，再代入向量的投影公式，即可求解. 【详解】由题图可知，，则， 解得（舍去）， 所以，，则向量在向量上的投影向量为， 所以其坐标为． 故选：D 6．B 【详解】因为，所以又， 则 所以， 则 ， 故选： 7．A 【分析】由向量共线的性质分别设，，结合条件依次表示出，，对应解出，即可求解. 【详解】设，， 则， 而与不共线，∴，解得，∴. 故选：A. 8．A 【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】 ， ，，，解得， ，. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出. 9．CD 【分析】求出的坐标，利用坐标法求模，即可判断A；与向量共线的单位向量为，即可判断B；求出即可判断C；根据向量在向量上的投影向量是判断D. 【详解】因为，， 所以，则，故A错误； 又，则与向量共线的单位向量为， 即或，故B错误； 因为，所以，故C正确； 因为，， 所以向量在向量上的投影向量是，故D正确. 故选：CD 10．ABD 【分析】根据题意，由复数的运算，代入计算，逐一判断，即可得到结果. 【详解】设，， 对于选项A，因为， 所以， 且，所以，故A正确； 对于选项B，因为，，， 则，， 所以，故B正确； 对于选项C，若，例如，，满足， 但，，即，故C错误； 对于选项D，因为， 所以，， 所以，故D正确. 故选：ABD. 11．ABD 【分析】由题意首先求出函数的表达式，对于A，直接代入检验即可；对于B，由复合函数单调性、正弦函数单调性判断即可；对于CD，直接由三角函数的平移、伸缩变换法则进行运算即可. 【详解】由图象可知，，解得， 又，所以，即，结合，可知， 所以函数的表达式为， 对于A，由于，即的图象关于中心对称，故A正确； 对于B，当时，，由复合函数单调性可知在区间上单调递增，故B正确； 对于C，函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数，故C错误； 对于D，将函数的图象所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，故D正确. 故选：ABD. 12． 【分析】先确定函数的定义域, 再分别得出内层函数和外层函数的单调性，根据复合函数的性质求出函数的单调区间即可. 【详解】 的定义域为，解得， 或, 求原函数的单调递增区间, 即求函数的减区间, , 可知单调递减区间为, 综上可得, 函数单调递增区间为 . 令 , 由 , 得或, 函数 的定义域为 , 当 时, 内层函数 为增函数,而外层函数 为减函数, 函数 的单调递减区间是 . 故答案为:. 13． 【分析】利用正弦定理列出关系式，将的值代入表示出，根据的度数确定出的范围，要使三角形有两解确定出的具体范围，利用正弦函数的值域求出的范围即可 【详解】解：由可得 因为，所以 要使三角形有两解，所以且 所以，即，解得， 故答案为： 14．[1，2] 【详解】建立如图所示的直角坐标系， ，设， 所以，因此有， 因为，， 所以有， 于是有， 因为，即， 故答案为： 【点睛】关键点睛：建立直角坐标系，利用平面向量线性运算的坐标表示公式是题的关键. 15．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换结合正弦定理化简可证得结论成立； （2）利用平面向量数量积的定义可得出，结合余弦定理以及可求得、的值，由此可求得的面积. 【详解】（1）因为，则， 即， 由正弦定理可得 ， 因此，. （2）因为，由正弦定理可得， 由平面向量数量积的定义可得， 所以，，可得， 即，所以，，则，， 所以，，则为锐角，且， 因此，. 16．(1)证明见详解； (2)证明见详解. 【分析】（1）连结，根据点分别是的中点，利用平行关系的传递性得到∥即可; （2）易得与相交，设交点为P，则能得到平面，平面，结合平面平面，即可得证； 【详解】（1）如图，连结.    ∵点分别是的中点，∴. ∵四边形为平行四边形，∴， ∴， ∴四点共面，即和共面． （2）证明：正方体中， ∵点分别是的中点，∴且 ∵四边形为平行四边形，∴，且 ∴∥且 ∴与相交，设交点为P， ∵，平面，∴平面； 又∵，平面，∴平面， ∵平面平面，∴， ∴三线交于点P. 17．(1) (2) 【分析】（1）依题意可得，再设，根据奇偶性及上的函数解析式，计算可得； （2）依题意参变分离可得，令，，根据指数函数的性质求出函数的单调性，即可求出函数最小值，从而得解； 【详解】（1）解：是定义在上的奇函数，， 因为在时，， 设，则， 则， 故 . （2）解：由题意，可化为 化简可得， 令，， 因为在定义域上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减， ， 故． 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用数量积结合两角和的余弦公式求的值； （2）平方再开方，结合角的范围求的取值范围； （3）把前面的结果代入，换元后得二次函数，利用对称轴和所得区间的关系讨论得解. 【详解】（1）向量，， . （2）， ， ，，， 所以的取值范围为. （3）由（1）（2）可知，函数， 令，则， ，其图像抛物线开口向上，对称轴方程为， 当，即时，最小值为，解得（舍去）； 当，即时，最小值为，解得或（舍去）； 当，即时，最小值为. 综上可知，. 19．(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先计算的值，再由，利用向量数量积的运算律计算即可； （2）利用向量数量积的运算律计算并化简即可得证； （3）利用（2）的公式计算，设，求出，将转化成，结合二次函数的图象即可求得的值域. 【详解】（1）因为的“完美坐标”为，则， 又因为，分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，且夹角为， 所以,， 所以. （2）由（1）知， 所以 ， 即. （3）因为向量，的“完美坐标”分别为，， 由（2）得. 令，则， 因为，所以，即， 令， 因为的图象是对称轴为，开口向上的抛物线的一部分， 所以当时，取得最小值， 当时，取得最大值， 所以的值域为. 【点睛】思路点睛：本题在求解与之相关的函数问题时，应按照新定义，准确写出函数解析式，对于较复杂的三角式，常常运用整体换元思想，将其转化成熟悉的函数，如二次函数、双勾函数等，利用这些函数的图象性质特征求解即可. 答案第8页，共11页 答案第9页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一期中考试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 则M∩N= ( ) A. {-2,-1,0,1} B. {0,1,2} C. {-2}D. {2} 2. 已知a是实数， 是纯虚数，则a等于 A. - B. - 1C. D. 1 3.若圆锥的轴截面是面积为 的等边三角形，则该圆锥的表面积为( ) A. 2π B. 3π C. 2 4. 如图, 已知三棱锥P-ABC的侧棱长均为2, ∠APB=∠BPC=35°,∠APC=50°,点D在线段PA上，点E在线段PC上，则△BDE周长的最小值为( ) B. 4 D. 6 5. 如图，复数Z对应的向量为 , 且|z-i|=5, 则向量( 在向量 上的投影向量的坐标为( ) c. (6.5) 6. 设平面向量 且 则 A. 1 B. 14 7.如图,在△ABC中, D为BC的中点, AD与BE交于点F ,若 则 8. 若 则tanα= ( ) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 第1页，共4页 9. 已知向量 则( ) B. 与向量a共线的单位向量是 D. 向量a在向量b上的投影向量是 10. 设z₁, z₂为复数, 且 则下列结论正确的是( ) C. 若 则 11. 已知函数 的部分图象如图所示. 则( ) A. f(x)的图象关于 中心对称 B. f(x)在区间 上单调递增 C. 函数f(x)的图象向右平移π/6个单位长度可以得到函数g x =2sin2x的图象 D. 将函数f(x)的图象所有点的横坐标缩小为原来的 ，得到 的图象 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数 的单调递减区间是 . 13. 在△ABC中, a=x,b=3,B=30°, 若该三角形有两解, 则x的取值范围是 . 14. 设点P在以A为圆心，半径为1的圆弧BC上运动(包含B，C两个端点), 且 则x+y的最大值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （13分） 记△ABC的内角A、B、 C的对边分别为a、 b、 c.已知 (1)证明: sinA+sinC=2sinB; (2)若 求△ABC的面积. 16. （15分）如图，在正方体 中，点M 、N分别是 的中点. 求证： (1)直线AM 和CN在同一平面上； (2)直线AM、 和CN交于一点. 17. （15分）已知定义在( 上的奇函数f(x).在. 时， (1)试求f(x)的表达式; (2)若对于 上的每一个值，不等式 恒成立，求实数t的取值范围. 18. （17分）已知向量 且 (1)求 的值； (2)求 的取值范围； (3)记函数 若f(x)的最小值为 求实数λ的值. 19. （17分）如图，我们把由平面内夹角成( 的两条数轴 Ox，Oy构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设 分别为 Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量 则把实数对[x，y]叫做向量 的“完美坐标”. (1)若向量 的“完美坐标”为[3,4], 求 (2)已知 分别为向量ā，b的“完美坐标”，证明： (3)若向量ā, b的“完美坐标”分别为[ sinx,1], [ cosx,1], 设函数. 求f(x)的值域. 第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$