精品解析：福建省福州第四中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

福州四中2024-2025学年第一学期高一期中考 数学 （完卷时间：120分钟；满分：150分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数为奇函数，则（ ） A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 3. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 已知实数满足，则三个数中，大于1的个数最多是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 若全集，集合，则 A. B. C. D. 6. 已知定义在上的函数，满足，当时，，则函数的图象与函数的图象在区间上所有交点的横坐标之和为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 9 7. 若函数在区间上的值域为，则称函数为“和谐函数”.已知是区间上的“和谐函数”（其中），则实数m的取值范围（ ） A. B. C. D. 8. 定义在上的奇函数满足，当时，，设，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知正数a，b满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的零点分别为，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡相应横线上． 12. 若，，，则的最小值为______． 13. 完美数（Perfectnumber）是一类特殊的自然数，它的所有真因数（除自身之外的正因数）的和恰好等于它本身，寻找“完美数”用到函数，为n的所有真因数之和，如，28是一个“完美数”，则再写出一个“完美数”为______；______. 14. 已知函数的定义域，且对任意，恒有，当时，，若，则m的取值范围为__________. 四、解答题（15小题12分，16小题16分，17小题15分，18小题17分，19小题17分） 15. 某市为鼓励居民节约用电，采用阶梯电价的收费方式，当月用电量不超过100度的部分，按0.4元/度收费；超过100度的部分，按0.8元/度收费. （1）若某户居民用电量为120度，则该月电费为多少元？ （2）若某户居民某月电费为60元，则其用电量为多少度？ 16. 研究人员发现，某种特别物质的温度 (单位:摄氏度)随时间 (单位:分钟)的变化规律是: y=m·2x+21－x (x≥0， m>0). （1）如果，求经过多少时间，该物质的温度为摄氏度; （2）若该物质的温度总不低于摄氏度，求的取值范围. 17. 等式的解集为，且，. （1）求的值； （2）设函数.若对于任意的，都有恒成立，求的取值范围. 18. 已知,当时，. （1）若函数的图象过点，求此时函数的解析式； （2）若函数只有一个零点，求实数a的值. 19. 已知函数，，其中，. （1）求函数在上的最小值； （2）若函数恰好存在三个零点、、，且，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州四中2024-2025学年第一学期高一期中考 数学 （完卷时间：120分钟；满分：150分） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简集合，即可求出的值. 【详解】由题意，， 在中，化简集合，， ∴， 故选：D. 2. 已知函数为奇函数，则（ ） A. -2 B. -1 C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数求解即可得答案. 【详解】解：因为函数为奇函数， 所以， 所以， 整理得： 解得. 故选：D 【点睛】本题考查利用函数奇偶性求参数，是基础题. 3. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先由函数的解析式判断函数是奇函数，从而根据奇函数的图像性质排除BC，再根据函数的单调性排除选项D，最后得出正确的选项. 【详解】因为定义域为R，且， 所以函数是奇函数，故排除BC选项； 由函数解析式可知当时，，故D选项错误； 故选：A 【点睛】本题主要考查函数图像的识别，解决此类问题一般通过函数的性质进行排除法解题，函数的奇偶性，对称性，周期性，单调性及特殊值等等. 4. 已知实数满足，则三个数中，大于1的个数最多是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先利用基本不等式求出的最大值为3，进而判断出三个数不可能全大于1，进而通过特值法验证即可得到答案. 【详解】由基本不等式可知，，当且仅当且仅当时取“=”. 于是三个数中，大于1的个数最多是2个，现通过特殊值验证：当，时，，有2个大于1. 综上：三个数中，大于1的个数最多是2个. 故选：C. 5. 若全集，集合，则 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别化简求解集合U,A，再求补集即可 【详解】因为，，所以. 故选C 【点睛】本题考查集合的运算，考查运算求解能力. 6. 已知定义在上的函数，满足，当时，，则函数的图象与函数的图象在区间上所有交点的横坐标之和为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】可分析得到函数，都关于对称，因此所有交点也关于对称，结合两个函数在的图像，可得到时有3个交点，且两函数相交，由于两个图像都关于对称，故交点也关于对称，每对交点的横坐标之和为2，即得解. 【详解】函数，满足，故故图像关于对称，且 函数满足故图像关于对称， 由于两个图像都关于对称，只需研究时交点个数， 由于 两个图像位置关系如图所示，故当时有3个交点，且两函数相交， 由于两个图像都关于对称，故交点也关于对称，每对交点的横坐标之和为2 故在区间上所有7个交点的横坐标之和为 故选：C 【点睛】本题考查了函数性质综合，考查了函数的对称性，图像变换，函数的零点，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题. 7. 若函数在区间上的值域为，则称函数为“和谐函数”.已知是区间上的“和谐函数”（其中），则实数m的取值范围（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意为增函数，可求在区间上的最大值与最小值， 分别与相等，通过方程有根可求参数范围. 【详解】由题意函数为增函数. 则在区间上 则是方程的两个不相等实根 令则代入方程 有两个不相等实根且两根非负 解得，即范围是 故选： 【点睛】本题考查函数单调性问题，方程有根的判定，考查函数与方程思想，考查转化与化归思想，有一定难度. 8. 定义在上的奇函数满足，当时，，设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用奇函数的性质与得到，进而化得，再由当时，得到在上单调递增且，故由可得，再由可得，从而得知. 【详解】因为是在上的奇函数，所以，故， 所以， ， ， 当时，，则在上单调递增， 又因为，所以，即， 因为，所以，则，故， 又因为，所以，故， 所以， 故， 综上：， 所以，即，故， 因为，则，所以，即， 综上：. 故选：A. 【点睛】方法点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值0，1的应用，有时候要借助其”桥梁“作用，来比较大小. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】 根据不等式的性质判断，结合指数函数性质判断D． 【详解】命题意图本题考查不等式的性质. ∵，∴， ∴，A错误；，B错误；，C正确，，D正确． 故选：CD. 10. 已知正数a，b满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用乘“1”法即可判断AB，利用基本不等式即可判断C，构造二次函数结合C选项范围即可判断D. 【详解】对A，由题意得， 当且仅当，即时等号成立，故A错误， 对B，， 当且仅当，即时等号成立，故B正确； 对C，，解得，当且仅当，即，时等号成立，故C正确； 对D，，所以， 所以，因为， 所以当时，取得最小值，最小值为，当且仅当，时等号成立，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数的零点分别为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由题意得，进而得即可求解判断；对于B，先明确零点取值范围，由取值范围再结合即即可求解判断；对于C，由即以及零点的取值范围即可求解判断；对于D，结合AB以及将转化成即可判断. 【详解】对于A，由题，， 所以即， 所以，故，故A正确； 对于B，由得， 故函数与图象交点横坐标和与图象交点的横坐标即为函数和的零点， 如图，由图象性质可知， 又由A得，故， 所以，故B错； 对于C，由上即，以及得： ，故C对； 对于D，由AB得，，， 所以，故D对. 故选：ACD. 【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是由和得即，二是数形结合明确零点的取值范围为且，接着对所判式子进行变形放缩等即可判断. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题卡相应横线上． 12. 若，，，则的最小值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】由已知条件变形，然后利用基本不等式求解. 【详解】若，，， 则，当且仅当时取等号， 则的最小值为8. 故答案为：8. 13. 完美数（Perfectnumber）是一类特殊的自然数，它的所有真因数（除自身之外的正因数）的和恰好等于它本身，寻找“完美数”用到函数，为n的所有真因数之和，如，28是一个“完美数”，则再写出一个“完美数”为______；______. 【答案】 ①. 6（或496，8128，33550336等） ②. 5280 【解析】 【分析】根据为n的所有真因数之和，第一空直接计算即可，分析的正因素的特点，求解即可. 【详解】， ，2160的所有真因数的个数为， ， 故答案为：6；5280 14. 已知函数的定义域，且对任意，恒有，当时，，若，则m的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件可得是偶函数，且在上是减函数，令，则在上是减函数，由等价于，再利用偶函数的性质和函数单调性可得结果 【详解】解：中， 取得， 取得， 取，，得， 所以是偶函数， 设，则，， 所以， 所以在上是减函数， 设，则在上是减函数， 所以 所以 且 ，所以m的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】此题考查利用抽象函数的奇偶性和单调性解不等式，考查转化思想和计算能力，属于中档题. 四、解答题（15小题12分，16小题16分，17小题15分，18小题17分，19小题17分） 15. 某市为鼓励居民节约用电，采用阶梯电价的收费方式，当月用电量不超过100度的部分，按0.4元/度收费；超过100度的部分，按0.8元/度收费. （1）若某户居民用电量为120度，则该月电费为多少元？ （2）若某户居民某月电费为60元，则其用电量为多少度？ 【答案】（1）56 （2）125 【解析】 【分析】（1）设用电量为度，对应电费为元，求出关于的分段函数，将代入，求解出该月电费； （2）先判断出该户用电量超过了100度，进而解方程，求出其用电量. 【小问1详解】 设用电量为度，对应电费为元， 由题意得：当时，； 当时，， 即， 当时，， 所以该月电费为56元； 【小问2详解】 因为时，， 所以该户用电量超过了100度， 令，解得：， 故其用电量为125度. 16. 研究人员发现，某种特别物质的温度 (单位:摄氏度)随时间 (单位:分钟)的变化规律是: y=m·2x+21－x (x≥0， m>0). （1）如果，求经过多少时间，该物质的温度为摄氏度; （2）若该物质的温度总不低于摄氏度，求的取值范围. 【答案】（1）1分钟；（2）． 【解析】 【分析】（1）代入由解方程可得； （2）由恒成立可得范围． 【详解】（1）时，由，，或， 因为，所以． （2），， 令，则，，时，， 所以．即． 17. 等式的解集为，且，. （1）求的值； （2）设函数.若对于任意的，都有恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）3；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用，，得到，进而求解即可； （2）利用绝对值的性质，列出分段函数， 利用数形结合，求出，然后，利用恒成立不等式的性质，若对于恒成立，等价于，，进而求解 【详解】解：（1）因为不等式的解集为，且，， 所以，即， 所以. 因为，所以. （2）由（1）知， 所以， 画出的图象如图所示： 当时，. 若对于恒成立， 则， 解得， 所以的取值范围为. 【点睛】关键点睛：（1）利用，，列出相应的不等式方程组求解；（2）利用绝对值的性质，列出分段函数的解析式，进而利用数形结合求解，其中，该题的解题关键是数形结合. 18. 已知,当时，. （1）若函数的图象过点，求此时函数的解析式； （2）若函数只有一个零点，求实数a的值. 【答案】(1) (2) 或. 【解析】 【分析】（1）由计算； （2）只有一个解，由对数函数性质转化为方程只有一个正根，分，和讨论． 【详解】（1）,当时，. 函数的图象过点， ，解得， 此时函数. （2） ， ∵函数只有一个零点， 只有一个正解， ∴当时，，满足题意； 当时，只有一个正根，若，解得，此时，满足题意； 若方程有两个相异实根，则两根之积为，此时方程有一个正根，符合题意； 综上，或. 【点睛】本题考查函数零点与方程根的分布问题．解题时注意函数的定义域，在转化时要正确确定　方程根的范围，对多项式方程，要按最高次项系数为0和不为0进行分类讨论． 19. 已知函数，，其中，. （1）求函数在上的最小值； （2）若函数恰好存在三个零点、、，且，求的取值范围. 【答案】（1）函数在上的最小值为. （2） 【解析】 【分析】（1）化简函数的解析式，分析出函数的单调性，分、两种情况讨论，可得出函数在上的最小值； （2）分、两种情况讨论，利用韦达定理和求根公式可得出的表达式，并求得的取值范围，根据可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 解：因为， 所以，函数在、上单调递增，在上单调递减， 当时，即当时，； 当时，即当时，. 综上所述，函数在上的最小值为. 【小问2详解】 解：，不妨设， 因为， ①当时，即当时， 由可得，即为方程的一根， 由可得，即为方程的一根， 由可得，即为方程的一根， 由图象可知、是方程的两根，是方程的较大根， 则由韦达定理与求根公式可知，， 则， 可得， 令，而， 则， 因为函数在上单调递减， 当时，，则； ②由可得，，可得， 且当时，即当时， 由可得， 由图象可知、是方程的两相异根，是方程的较大根， 由韦达定理以及求根公式可得，， 所以，， 可得， 令，而， 则. 由双勾函数的单调性可知，函数在上单调递减， 且当时，， 则在上单调递增， 当时，. 综上所述，， 又满足，故，即. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用利用方程根相关的等式求参数的取值范围，解题的关键在于确定的根与二次方程的关系，利用韦达定理结合求根公式将等式与参数、联系起来，利用已知的不等式关系求出范围，即可得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $