精品解析：河北省张家口市张北县张北成龙学校2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024～2025学年第一学期学业水平测试（二） 九年级数学（人教版）2024.11 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时长120分钟． 2．答卷前将密封线左侧的项目填写清楚． 3．答案须用黑色字迹的签字笔书写． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 投掷一枚质地均匀的正方体骰子，点数大于3的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查概率，骰子六个面出现的机会相同，求出骰子向上的一面点数大于3的情况有几种，直接应用求概率的公式求解即可． 【详解】解：∵一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，点数大于3的有4，5，6共3个， ∴这个骰子向上的一面点数大于3的概率为． 故选：C． 2. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ，即 由一个根，代入， 可得，解之得； 由得； 故选A 3. 某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程，解答过程如下表所示其中完全正确的是（ ） 甲 乙 两边同时除以，得． 移项，得， ：， ：或， 解得． A. 甲 B. 乙 C. 甲和乙 D. 都不正确 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法——因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】依题意，甲的解法错误，方程两边不能同时除以，这样会漏解； 乙利用解一元二次方程方法——因式分解法，计算正确， 故选：B． 4. 下列各图中，由图形①到图形②既可经过平移，又可经过旋转得到的是 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题是一组复合图形，根据平移、旋转的性质解答． 【详解】观察四个图形可知，选项D中图形①向左平移，再向下平移可得到图形②；图形①绕正六边形中心顺时针方向旋转120°可得到图形②，符合题意．故选D． 【点睛】本题考查平移、旋转的性质： ①平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． ②旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变，两组对应点连线的交点是旋转中心． 5. 在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个底面半径为2，母线长为3的圆锥形漏斗模型（如图），则这个圆锥形漏斗的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的计算．根据圆锥的侧面积，代入数进行计算即可． 【详解】解：圆锥的侧面积． 故选：C． 6. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题综合考查了一次函数图象与二次函数图象；根据两个函数图象的特征结合各项系数进行分析即可． 【详解】解：A、由二次函数图象知，，即；由一次函数图象知，，a、c的符号都一致，故符合题意； B、由二次函数图象知，，即；由一次函数图象知，，c的符号不一致，故不符合题意； C、由二次函数图象知，，即；由一次函数图象知，，c的符号不一致，故不符合题意； D、由二次函数图象知，，即；由一次函数图象知，，a、c的符号都不一致，故不符合题意； 故选：A． 7. 某个正六边形螺帽需要拧4圈才能拧紧，小梧用扳手的卡口卡住螺帽，通过转动扳手的手柄来转动螺帽（如图所示）．以此方式把这个螺帽拧紧，他一共需要转动扳手的次数是（　） A. 4 B. 16 C. 24 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转对称图形的概念，理解相关概念是解题的关键．根据旋转的性质和周角是360°求解即可． 【详解】解：正六边形被平分成六部分，因而每部分被分成的圆心角是60°，因而旋转一圈需要转动扳手次，旋转4圈需要转动扳手次． 故选：C． 8. 如图，将绕点A逆时针旋转，得到，若点D在线段的延长线上，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质与等腰三角形的性质结合．根据旋转的性质可得出，，再根据等腰三角形的性质：等边对等角，可求出的大小． 【详解】解：根据旋转的性质，可得：，， ． 故选：B． 9. 如图，点A、B、C是上不重合的三点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆的有关概念及其性质、等腰三角形的性质、三角形外角定理，准确识图，熟练掌握圆的有关概念及其性质、等腰三角形的性质、三角形外角定理是解题的关键．连接并延长交于点D，根据得出，，再根据三角形外角定理可得，，从而可得，据此即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点D， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 即， 故选：B． 10. 已知、是关于x的方程的两根，下列结论一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 根据方程的系数结合根的判别式，可得出，由此即可得出，即可判断A；根据根与系数的关系可得出，结合的值不确定，即可判断B；根据根与系数的关系可得出，即可判断C；由，可得出、异号，即可判断D． 【详解】解：A．， ∴，结论A正确，符合题意； B、∵、是关于的方程的两根， ∴， ∵的值不确定， ∴B结论不一定正确，不符合题意； C、∵、是关于的方程的两根， ∴，结论C错误，不符合题意； D、∵， ∴、异号，结论D错误，不符合题意． 故选：A． 11. 日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知，，垂足为点C，，垂足为点D，，的半径，则圆盘离桌面最近的距离是（　　） A. 6 B. 5 C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，构造直角三角形是求线段长的常用方法． 连接，，作，先证明四边形是矩形，进而得出，再根据勾股定理求出，可得，根据即可得出答案. 【详解】解：连接，，过点O作于点G，交一点E，交于点F． ∵，， ∴. ∵， ∴四边形是平行四边形. ∵， ∴四边形是矩形， ∴，. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴圆盘离桌面最近的距离是1cm， 故选：D． 12. 如图，抛物线与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧），顶点在线段上运动，轴，，，则下列结论中正确的是（　　） A. 若抛物线经过原点，此时抛物线的顶点坐标一定为 B. 当时，一定有y随x的增大而增大 C. D. 若点C的坐标为，则点D的坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的性质，结合图象逐项判断即可求解． 【详解】解：A、由图可知，抛物线的顶点的纵坐标为，设， 当抛物线经过原点时，则， 解得， 则顶点坐标为或，故选项A错误，不符合题意； B、∵抛物线的开口向上，顶点在线段上运动， ∴当顶点的横坐标在0与1之间，即对称轴在y轴右边时，y不一定随x的增大而增大， 故选项B错误，不符合题意； C、当顶点坐标为时，，故C错误，不符合题意； D、由抛物线的顶点的纵坐标为得， ∴， ∴， 令，由得，， ∴抛物线与x轴的交点坐标为，， 若点C的坐标为，则，即， ∴点D的坐标为，选项D正确，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．其中16小题第一空2分，第二空1分） 13. 斯蒂芬·库里是美国职业篮球运动员，司职控球后卫，效力于金州勇士队，下表是库里一段时间内在罚球线上训练投篮的结果记录： 罚球总数 400 1000 1600 2000 2887 命中次数 348 893 1432 1802 2617 罚球命中率 0.87 0.893 0.895 0.901 0.906 根据以上数据可以估计，库里在罚球线上投篮一次，投中的概率为______（精确到0.1） 【答案】0.9 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率．根据大量重复试验，某事件发生的频率稳定在一个数值附近，这个数值即为该事件发生的概率，解答本题的关键是熟练掌握概率的求法和正确分析表中数据．根据大量重复试验，某事件发生的频率稳定在一个数值附近，这个数值即为该事件发生的概率，结合表格，即可得出结果． 【详解】解：由频率分布表可知，随着投篮次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数之间附近，且精确到0.1， ∴这名球员在罚球线上投篮一次，投中的概率为0.9， 故答案为：0.9． 14. 三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是________． 【答案】6或10或12 【解析】 【分析】首先用因式分解法求得方程的根，再根据三角形的每条边的长都是方程的根，进行分情况计算． 【详解】由方程，得=2或4． 当三角形的三边是2，2，2时，则周长是6； 当三角形的三边是4，4，4时，则周长是12； 当三角形的三边长是2，2，4时，2+2=4，不符合三角形的三边关系，应舍去； 当三角形的三边是4，4，2时，则三角形的周长是4+4+2=10． 综上所述此三角形的周长是6或12或10． 故答案为：6或10或12 15. 已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，写出一个符合条件的k的值：______． 【答案】2（答案不唯一，满足或即可） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．由二次函数的性质得，即可求解． 【详解】解：∵二次函数，当时，y随x的增大而增大， ∴， ∴取， 故答案为：2（答案不唯一，满足或即可）． 16. 如图，已知是的内切圆． （1）若，，则______； （2）若，则______． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的内切圆的性质，作出过切点的半径是解本题的关键； （1）如图，记，与切于点，，可得，，，再利用三角形的面积公式计算即可； （2）证明，， ，再结合三角形的内角和定理可得答案． 【详解】解：（1）如图，记，与切于点，， ∴，，， ∵，， ∴； （2）∵， ∴， 是的内切圆， ， ， ， 故答案为：，． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知二次函数 （1）求此二次函数图象的对称轴； （2）当时，y的最大值为m，最小值为n，且，求a的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题是要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由抛物线为，从而可得对称轴是直线，即可判断得解； （2）依据题意，由，对称轴是直线，故当时，y有最小值，；当时，y有最大值，，结合，从而可得，进而计算可以得解． 【小问1详解】 解：由题意，∵抛物线为， ∴对称轴是直线． 【小问2详解】 解：由题意，∵，对称轴是直线， ∴当时，y有最小值，；当时，y有最大值，， ∵， ∴． ∴． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数，该方程总有实数根； （2）若这个一元二次方程的一根大于2，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：∵关于x的一元二次方程， ∴， ∴对于任意实数m，该方程总有实数根； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式及解一元二次方程，正确运用判别式是解题的关键： （1）根据一元二次方程判别式为，即可解答； （2）解方程，求得，，根据题意得到，解不等式即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设方程的两个实数根为，， ， ∴，， ∵这个一元二次方程的一根大于2， ∴， 解得：， ∴m的取值范围． 19. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移6个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点的中心对称图形； （3）若将绕某一点旋转可得到，旋转中心的坐标为______； （4）以，，，为顶点的四边形是平行四边形且点是轴上一点，则点的坐标是_____． 【答案】（1） 如图，即为所求， ； （2） 如图，即为所求， ； （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了作图—旋转变换、作图—平移变换，平行四边形的判定，解题的关键是掌握旋转变换和平移变换的性质． （1）利用平移变换的性质分别作出、、的对应点，再顺次连接即可； （2）利用中心对称变换的性质分别作出、、的对应点，再顺次连接即可； （3）作出旋转中心，即可得出答案； （4）根据题目要求以及平行四边形的判定作出点即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图： ， 旋转中心的坐标为； 【小问4详解】 解：如图： ， 点的坐标为． 20. 如图，在中， ，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，连接． （1）若，求的长； （2）若，求证：． 【答案】（1）； （2） 证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质可求得，，，，然后根据弧长公式即可求出的长． （2）根据等腰三角形的性质可得，，由三角形外角的性质可得，则可得．根据三角形内角和定理可得，则可得，由此可得． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的长为； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理及外角定理，以及弧长的计算公式．熟练掌握以上知识是解题的关键． 21. 3月14日是国际数学日，某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：．数字猜谜；．数独：．魔方；．24点游戏；．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解决下列问题． （1）本次调查总人数为___________，并补全条形统计图：（要求在条形图上方注明人数） （2）若该校有2000名学生，请估计该校参加魔方游戏的学生人数； （3）该校从类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1） 解：本次调查总人数为（人）， 选择D类的学生人数为（人）， 补全条形统计图如下： （2）估计该校参加魔方游戏的学生人数为人 （3）恰好抽到1名男生和1名女生的概率为 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图相关联，用样本估计总体，画树状图法求概率，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据选择B类的学生人数和所占百分比，求出调查总人数，再求出选择D类的学生人数，补全条形统计图即可； （2）用学校人数乘以选择C类的学生人数的占比，即可求解； （3）利用画树状图法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计该校参加魔方游戏的学生人数约为人； 【小问3详解】 解：画树状图如下图： 由树状图可知，共有种情况，其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况有种， 恰好抽到1名男生和1名女生的概率为． 22. 综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） （1）若剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为___________，宽为___________； （2）若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； （3）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 【答案】（1）26，12 （2）剪去正方形的边长为 （3）剪去的正方形的边长为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）根据题意列式计算即可得出答案； （2）设减去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案； （3）设剪去的正方形的边长为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得：，， 纸盒底面长方形的长为，宽为； 【小问2详解】 解：设减去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为，宽为， 由题意得：， 解得：或（舍去）， ∴剪去正方形的边长为； 【小问3详解】 解：设剪去的正方形的边长为， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴剪去的正方形的边长为． 23. 如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，边与轴交于点，平分交边于点，经过点、、的圆的圆心恰好在轴上． （1）求证：是的切线； （2）若点、的坐标分别为，； ①求的半径； ②求的长． 【答案】（1） 证明：连接， 平分， ， ， ， ， ∴， ， ， 为半径， 即是的切线； （2）①；②． 【解析】 【分析】本题考查的是切线的判定、垂径定理的应用，矩形的判定与性质，勾股定理，掌握切线的判定定理是解题的关键． （1）连接，根据角平分线的定义、等腰三角形的性质得到，得到，根据平行线的性质得到，证明结论； （2）①连接，设的半径为，根据勾股定理列出方程，解方程即可； ②过点作于，利用勾股定理求得、的长，再利用矩形的判定与性质可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①连接， 由A、D的坐标得，； 设的半径为，则， 在中，由勾股定理得， 解得，， 即的半径为； ②过点作于， 在中， ， 在中，， ，， 在中， ， 由（1）得， ， ， 四边形是矩形， ． 24. 综合与应用 如果将运动员的身体看作一点，则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，运动员从点起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系． （1）在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表： 水平距离x（m） 0 1 1.5 竖直高度y（m） 10 10 6.25 根据上述数据，求出y关于x的关系式； （2）在（1）的这次训练中，求运动员甲从起点A到入水点的水平距离的长； （3）信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度为，从到达到最高点B开始计时，则他到水面的距离与时间之间满足． 信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的270C动作． 问题解决： ①请通过计算说明，在（1）的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？ ②运动员甲进行第二次跳水训练，此时他的竖直高度与水平距离的关系为，若选手在达到最高点后要顺利完成270C动作，则a的取值范围是______． 【答案】（1）y关于x的关系式为 （2）动员甲从起点A到入水点的水平距离的长为2米 （3）①运动员甲不能成功完成此动作；② 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的应用，解题关键是理清题目条件，熟练运用二次函数的性质． （1）设二次函数的关系为，代入，，，算出、b、c的值，即可得到函数表达式； （2）把代入（1）中所得的二次函数解析式，即可求出结果； （3）①把二次函数解析式整理为顶点式，得到k与a的关系式，把代入，计算t的值，再与1.6比较即可得到结果； ②求得的顶点为，得，把代入，得到与a的关系式，由，列不等式即可求出t的取值范围． 【小问1详解】 解：由运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系， 设二次函数的关系为，代入，，， 得， 解得， y关于x的关系式为； 【小问2详解】 解：把代入， 得， 解得，（不合题意，舍去）， 运动员甲从起点A到入水点的水平距离的长为2米； 【小问3详解】 解：①运动员甲不能成功完成此动作，理由如下： 由运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系为， 整理得， 得运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度k为，即， 把代入， 得， 解得，（不合题意，舍去）， ， 运动员甲不能成功完成此动作； ②由运动员甲进行第二次跳水训练，竖直高度与水平距离的关系为， 得顶点为， 得， 得， 把代入， 得， 由运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的270C动作，得， 则，即， 解得． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年第一学期学业水平测试（二） 九年级数学（人教版）2024.11 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时长120分钟． 2．答卷前将密封线左侧的项目填写清楚． 3．答案须用黑色字迹的签字笔书写． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 投掷一枚质地均匀的正方体骰子，点数大于3的概率是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 3. 某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程，解答过程如下表所示其中完全正确的是（ ） 甲 乙 两边同时除以，得． 移项，得， ：， ：或， 解得． A. 甲 B. 乙 C. 甲和乙 D. 都不正确 4. 下列各图中，由图形①到图形②既可经过平移，又可经过旋转得到的是 ( ) A. B. C. D. 5. 在综合实践活动课上，小明同学用纸板制作了一个底面半径为2，母线长为3的圆锥形漏斗模型（如图），则这个圆锥形漏斗的侧面积是（ ） A. B. C. D. 6. 在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 某个正六边形螺帽需要拧4圈才能拧紧，小梧用扳手的卡口卡住螺帽，通过转动扳手的手柄来转动螺帽（如图所示）．以此方式把这个螺帽拧紧，他一共需要转动扳手的次数是（　） A. 4 B. 16 C. 24 D. 32 8. 如图，将绕点A逆时针旋转，得到，若点D在线段的延长线上，则的大小为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点A、B、C是上不重合的三点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知、是关于x的方程的两根，下列结论一定正确的是（　　） A. B. C. D. 11. 日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成（如图1），它可以看作如图2所示的几何图形．已知，，垂足为点C，，垂足为点D，，的半径，则圆盘离桌面最近的距离是（　　） A. 6 B. 5 C. 2 D. 1 12. 如图，抛物线与x轴交于C、D两点（点C在点D的左侧），顶点在线段上运动，轴，，，则下列结论中正确的是（　　） A. 若抛物线经过原点，此时抛物线的顶点坐标一定为 B. 当时，一定有y随x的增大而增大 C. D. 若点C的坐标为，则点D的坐标为 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．其中16小题第一空2分，第二空1分） 13. 斯蒂芬·库里是美国职业篮球运动员，司职控球后卫，效力于金州勇士队，下表是库里一段时间内在罚球线上训练投篮的结果记录： 罚球总数 400 1000 1600 2000 2887 命中次数 348 893 1432 1802 2617 罚球命中率 0.87 0.893 0.895 0.901 0.906 根据以上数据可以估计，库里在罚球线上投篮一次，投中的概率为______（精确到0.1） 14. 三角形的每条边的长都是方程的根，则三角形的周长是________． 15. 已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，写出一个符合条件的k的值：______． 16. 如图，已知是的内切圆． （1）若，，则______； （2）若，则______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知二次函数 （1）求此二次函数图象的对称轴； （2）当时，y的最大值为m，最小值为n，且，求a的值． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：对于任意实数，该方程总有实数根； （2）若这个一元二次方程的一根大于2，求的取值范围． 19. 如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． （1）将向右平移6个单位长度得到，请画出； （2）画出关于点的中心对称图形； （3）若将绕某一点旋转可得到，旋转中心的坐标为______； （4）以，，，为顶点的四边形是平行四边形且点是轴上一点，则点的坐标是_____． 20. 如图，在中， ，以点C为圆心，为半径的圆交于点D，交于点E，连接． （1）若，求的长； （2）若，求证：． 21. 3月14日是国际数学日，某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：．数字猜谜；．数独：．魔方；．24点游戏；．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解决下列问题． （1）本次调查总人数为___________，并补全条形统计图：（要求在条形图上方注明人数） （2）若该校有2000名学生，请估计该校参加魔方游戏的学生人数； （3）该校从类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 22. 综合实践——用矩形硬纸片制作无盖纸盒．如图1，有一张长，宽的长方形硬纸片，裁去角上同样大小的四个小正方形之后，折成图2所示的无盖纸盒．（硬纸片厚度忽略不计） （1）若剪去的正方形的边长为，则纸盒底面长方形的长为___________，宽为___________； （2）若纸盒的底面积为，请计算剪去的正方形的边长； （3）如图3，小明先在原矩形硬纸片的两个角各剪去一个同样大小的正方形（阴影部分），经过思考他发现，再剪去两个同样大小的矩形后，可将剩余部分折成一个有盖纸盒．若折成的有盖长方体纸盒的表面积为，请计算剪去的正方形的边长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，的斜边在轴上，边与轴交于点，平分交边于点，经过点、、的圆的圆心恰好在轴上． （1）求证：是的切线； （2）若点、的坐标分别为，； ①求的半径； ②求的长． 24. 综合与应用 如果将运动员的身体看作一点，则他在跳水过程中运动的轨迹可以看作为抛物线的一部分．建立如图2所示的平面直角坐标系，运动员从点起跳，从起跳到入水的过程中，运动员的竖直高度与水平距离满足二次函数的关系． （1）在平时的训练完成一次跳水动作时，运动员甲的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下表： 水平距离x（m） 0 1 1.5 竖直高度y（m） 10 10 6.25 根据上述数据，求出y关于x的关系式； （2）在（1）的这次训练中，求运动员甲从起点A到入水点的水平距离的长； （3）信息1：记运动员甲起跳后达到最高点B到水面的高度为，从到达到最高点B开始计时，则他到水面的距离与时间之间满足． 信息2：已知运动员甲在达到最高点后需要的时间才能完成极具难度的270C动作． 问题解决： ①请通过计算说明，在（1）的这次训练中，运动员甲能否成功完成此动作？ ②运动员甲进行第二次跳水训练，此时他的竖直高度与水平距离的关系为，若选手在达到最高点后要顺利完成270C动作，则a的取值范围是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $