精品解析：福建省泉州市第七中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

泉州七中2024-2025学年度上学期高一年期中考数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 命卷人：汪木水 复核人：黄丽婷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由集合的运算，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，则， 所以. 故选：C 2. “”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】根据充分条件、必要条件的定义， 时，必有成立，反之不成立， “”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 3. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合抽象函数的定义域的求解方法，以及函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解. 【详解】由题意知，函数的定义域为， 则函数满足，解得或， 即函数的定义域为. 故选：C. 4. 某工程需要向一个容器内源源不断地注入某种液体，有三种方案可以选择，这三种方案的注入量随时间变化如下图所示： 横轴为时间（单位：小时），纵轴为注入量，根据以上信息，若使注入量最多，下列说法中错误的是（ ） A. 注入时间在小时以内（含小时），采用方案一 B. 注入时间恰为小时，不采用方案三 C. 注入时间恰为小时，采用方案二 D. 注入时间恰为小时，采用方案二 【答案】D 【解析】 【分析】结合图象逐一分析即可. 【详解】对A，由图可知，注入时间在小时以内（含小时）时，方案一的注入量都大于其他两种方案，故A正确，不符合题意； 对B，当注入时间恰为小时，由图可知，方案三的注入量都小于其他两个方案，故B正确，不符合题意； 对C，当注入时间恰为小时，方案二的注入量大于其他两个方案，故C正确，不符合题意； 对D，当注入时间大于8小时，由图可知方案三的注入量最大，故应选择方案三，D错误，符合题意. 故选：D 5. 设函数的最大值为M，最小值为m，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，由奇偶性定义可知为奇函数，知，由此可求得结果. 【详解】， 设，定义域为， 则，所以函数为奇函数， 所以，则，即. 故选：C. 6. 已知偶函数在区间单调递增，则满足的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用为偶函数关于轴对称，故越靠近轴，函数值越小，从而解出不等式. 【详解】因为偶函数在区间上单调递增， 所以在区间上单调递减，故越靠近轴，函数值越小， 因为， 所以，解得：． 故选：A. 7. 已知是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】推导出函数是周期为8的周期函数，再结合函数的周期性求解即可. 【详解】因为是定义在R上的奇函数，且满足， 则， 所以，即， 所以，函数是周期为8的周期函数， 且当时，， 则. 故选：B. 8. 已知函数的定义域为R，对于，恒有，且当时，，则下列命题中错误的是（ ） A. B. 在上单调递减 C. D. 关于直线对称 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，令即可判断；对于B，由单调性的定义结合的性质即可判断；对于C，令，可得，取即可判断；对于D，由，可得图象关于点中心对称，即可判断. 【详解】对于A，令，得，即，故A正确； 对于B，任取，则， 由于，所以，则，即， 所以函数为上单调递减，故B正确； 对于C，令得，，即， 取，得，即，故C正确； 对于D，由，则图象关于点中心对称，故D错误. 故选：D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由已知结合不等式的性质及作差法判断各选项即可． 【详解】对于A，由，则，两边同时除以， 可得，故A错误； 对于B，由，则，故B正确； 对于C，由于， 因为，所以， 则，即，故C正确； 对于D，由，得，所以，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. C. 在区间上单调递减 D. 的值域为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据函数解析式求出定义域可判断A，根据解析式计算可判断B，化简解析式，由反比例型函数单调性可判断C，根据函数特征可判断D. 【详解】对于A，由函数，可知，解得， 所以函数的定义域为，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，因为， 所以当时，单调递增，故C错误； 对于D，由可知，，故函数值域不为，故D错误. 故选：AB. 11. 定义在上的偶函数满足：，且对于任意，，若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. C. 在上单调递减 D. 若正数满足，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数的单调性判断、的单调性判断AC，根据单调性比较大小判断B，根据单调性解不等式判断D. 【详解】对于任意，， 所以，所以在上单调递增，故选项A正确； 因为的定义域为，所以， 所以为奇函数，所以，由在上单调递增， 所以，故选项B正确； 对于任意， ， 因为，，所以，所以， 所以在上单调递增，故选项C错误； ，即， 又，所以， 因为在上单调递增，所以， 解得，即，故选项D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则等于________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的性质代入计算函数值即可. 【详解】由题意，. 故答案为：. 13. 已知，则的最小值为________． 【答案】16 【解析】 【分析】根据基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】由，得， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为16. 故答案为：16. 14. 已知集合，，记非空集合S中元素的个数为，已知，记实数的所有可能取值构成集合是T，则__________. 【答案】5 【解析】 【分析】先得出，再分类讨论或，因，若，则；若，则问题转化为讨论方程的根个数，分两种情况，，但根异于，或，但一根为即可求出. 【详解】对于，有，所以； 因为，则或， 而是方程的根， 当时，故，而不是方程的根， 故是方程的唯一根，则， 经检验，当时满足； 当时，则方程有三个不同根， 则当满足，即， 当，则满足；当，则满足； 当满足，即， 必有为方程的根，即，得， 当时，则满足； 当，则满足； 则，故. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知命题，，命题，． （1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围； （2）若命题p和均为真命题，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，当 时， ，求出 的范围即可得出答案； （2）先求出命题q为真命题时a的取值范围，再利用命题p和均为真命题，得出结果. 【小问1详解】 根据题意，知当时，． ∵p为真命题，∴． ∴实数a的取值范围是． 【小问2详解】 由（1）知命题p为真命题时，． 命题q为真命题时，，解得， ∴为真命题时，． ∵命题p和均为真命题，∴，解得， 即实数a的取值范围为． 16. 已知幂函数（）为偶函数，且在区间上单调递增，函数满足. （1）求函数和的解析式； （2）对任意实数，恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的性质得到，求出的范围，再由确的值，再代入检验，即可求出的解析式，再利用换元法求出解析式； （2）参变分离可得，恒成立，结合二次函数的性质求出的最小值，即可得解. 【小问1详解】 依题意幂函数为偶函数，且在区间上单调递增， 可得，解得， 由于，故， 当时，，此时为奇函数，不符合题意， 当或时，，此时为偶函数，符合题意， 故； 由，可得，令， 所以， 故. 【小问2详解】 由，恒成立， 可得，恒成立. 又，所以当时，取得最小值， 故，即的取值范围为. 17. 如图，某小区要在一个直角边长为的等腰直角三角形空地上修建一个矩形花园．记空地为，花园为矩形．根据规划需要，花园的顶点在三角形的斜边上，边在三角形的直角边上，顶点到点的距离是顶点到点的距离的2倍． （1）设花园的面积为（单位：），的长为（单位：），写出关于的函数解析式及定义域； （2）当的长为多少时，花园的面积最大？并求出这个最大面积． 【答案】（1） （2）当的长为5m时，花园的面积最大，最大面积为150. 【解析】 【分析】（1）根据矩形面积即可求解， （2）根据基本不等式即可求解. 【小问1详解】 则，， 所以 【小问2详解】 ， 当且仅当，即时等号成立， 故当的长为5m时，花园的面积最大，最大面积为150. 18. 已知函数. （1）若，判断在上的单调性，并用定义法证明； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）若对任意的，任意的，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）在单调递增，证明如下： 当时，， 任取、，且， 则，，，， 所以，，所以，函数在单调递增. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当时，写出函数的解析式，利用函数单调性的定义可证得结论成立； （2）由参变量分离法可得，求出函数在上的最大值，即可求得实数的取值范围； （3）由已知可得出，令，可得出，再令，根据，可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 函数在单调递增，证明略； 【小问2详解】 由题，因为，则， 所以，，即， 由（1）知，函数在单调递增， 所以，当时，函数取最大值，即， 所以，，则， 因此，实数的取值范围是. 【小问3详解】 对任意的，任意的，恒成立， 即， 令， 因为时，， 则， 所以，对任意的恒成立， 令，则，解得， 所以，实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法： （1）取值：设、是所给区间上的任意两个值，且； （2）作差变形：即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形； （3）定号：确定差的符号； （4）下结论：判断，根据定义得出结论. 即取值作差变形定号下结论. 19. 若函数G在上的最大值记为，最小值记为，且满足则称函数G是在的“美好函数” （1）已知函数； ①函数G是在上的“美好函数”，求a的值； ②当时，函数G是在上的“美好函数”，请直接写出t的值； （2）已知函数若函数G是在（为整数）上的“美好函数”，且存在整数k，使得，求的值. 【答案】（1）①或；② 0或1. （2） 【解析】 【分析】（1）①分和两种情况求出二次函数在给定范围上的最值，然后利用列方程可求出的值；②求出二次函数的对称轴，然后分，，和四种情况求函数在给定范围上的最值，然后利用列方程可求出的值； （2）由二次函数的性质可知当时，函数G为增函数，从而可求出，，然后由为整数可求出，再由列方程可求出. 【小问1详解】 ① 因二次函数的对称轴为直线， 当时，，当时，. （Ⅰ）当时，则当时，函数G为增函数， 依题意，由，解得； （Ⅱ）当时，则当时，函数G为减函数， 依题意，由，解得. 综上，或； ② 当时，函数的对称轴为直线， 当时，，当时，，当时，. (Ⅰ)若，则由，解得（舍去）； （Ⅱ）若，则由，解得或（舍去）； （Ⅲ）若，则由，解得或（舍去）； （Ⅳ）若，则由，解得（舍去）. 综上，t的值为0或1； 【小问2详解】 因二次函数的对称轴为直线， 又，则，于是， 故当时，函数为增函数， 即当时，函数取得最大值，当时，函数取得最小值， 于是，， 因为整数，且，则，即， 又因，即，解得. 【点睛】方法点睛：当二次函数对称轴确定但自变量取值区间变化时，需分“对称轴在区间左侧、中间、右侧”进行讨论，对称轴在区间中间时，还需继续分析自变量区间中间值和对称轴的关系，以此来确定函数的最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉州七中2024-2025学年度上学期高一年期中考数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 命卷人：汪木水 复核人：黄丽婷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ）条件 A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 3. 已知函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 某工程需要向一个容器内源源不断地注入某种液体，有三种方案可以选择，这三种方案的注入量随时间变化如下图所示： 横轴为时间（单位：小时），纵轴为注入量，根据以上信息，若使注入量最多，下列说法中错误的是（ ） A. 注入时间在小时以内（含小时），采用方案一 B. 注入时间恰为小时，不采用方案三 C. 注入时间恰为小时，采用方案二 D. 注入时间恰为小时，采用方案二 5. 设函数的最大值为M，最小值为m，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 已知偶函数在区间单调递增，则满足的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则（ ） A. B. C. D. 0 8. 已知函数的定义域为R，对于，恒有，且当时，，则下列命题中错误的是（ ） A. B. 在上单调递减 C. D. 关于直线对称 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 的定义域为 B. C. 在区间上单调递减 D. 的值域为 11. 定义在上的偶函数满足：，且对于任意，，若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. C. 在上单调递减 D. 若正数满足，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数，则等于________． 13. 已知，则的最小值为________． 14. 已知集合，，记非空集合S中元素的个数为，已知，记实数的所有可能取值构成集合是T，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知命题，，命题，． （1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围； （2）若命题p和均为真命题，求实数a的取值范围． 16. 已知幂函数（）为偶函数，且在区间上单调递增，函数满足. （1）求函数和的解析式； （2）对任意实数，恒成立，求的取值范围. 17. 如图，某小区要在一个直角边长为的等腰直角三角形空地上修建一个矩形花园．记空地为，花园为矩形．根据规划需要，花园的顶点在三角形的斜边上，边在三角形的直角边上，顶点到点的距离是顶点到点的距离的2倍． （1）设花园的面积为（单位：），的长为（单位：），写出关于的函数解析式及定义域； （2）当的长为多少时，花园的面积最大？并求出这个最大面积． 18. 已知函数. （1）若，判断在上的单调性，并用定义法证明； （2）若存在，使得成立，求实数的取值范围； （3）若对任意的，任意的，恒成立，求实数的取值范围． 19. 若函数G在上的最大值记为，最小值记为，且满足则称函数G是在的“美好函数” （1）已知函数； ①函数G是在上的“美好函数”，求a的值； ②当时，函数G是在上的“美好函数”，请直接写出t的值； （2）已知函数若函数G是在（为整数）上的“美好函数”，且存在整数k，使得，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $