精品解析：河南省开封市开封高级实验学校2024-2025学年高二上学期第三次月考数学试题

2024—2025年度河南省高二上学期第三次月考 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第三章第1节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线经过点，，，则的倾斜角为（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用倾斜角的定义求解即可. 【详解】直线经过点，， 故直线 的方程为：，倾斜角为. 故选：B 2. 关于空间向量，，，下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量数量积的运算律可知选项A，B，C正确；根据与表示的意义可知选项D错误. 【详解】由数量积运算的交换律可得,选项A正确. 由数量积运算的分配率可得，选项B正确. 由数量积运算的数乘结合律可得，选项C正确. 表示与共线的向量，表示与共线的向量，与不一定相等，选项D错误. 故选：D. 3. 已知椭圆的离心率为，且过点，则的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用椭圆中的关系求解即可. 【详解】由题意可得解得， 所以椭圆的方程为. 故选：A 4. 已知，，，若，，共面，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. －1 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的坐标运算结合空间向量共面定理可设存在实数使得：，列方程组求解的值即可. 【详解】因为，，， 若，，共面，则存在实数使得：， 则，解得. 故选：D. 5. 一条光线从点射出，与轴相交于点，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对称点在反射光线上，即可根据两点求解斜率，即可得直线方程. 【详解】点关于轴的对称点为， 故，在反射光线所在的直线上，故， 直线方程为，即， 故选：C 6. 已知椭圆，过点的直线交于､两点，且是的中点，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设、，利用点差法可求得直线的斜率. 【详解】若线段轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，所以，直线的斜率存在， 设、，由题意，是的中点，可得，， 则，两式相减可得， 所以，，解得， 因此，直线的斜率为，经验证此时直线与椭圆有两个交点， 故选：A. 7. 如图，在四棱台中，底面是菱形，平面，，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立合适空间直角坐标系，然后根据点到直线的距离的向量求法求解出结果. 【详解】以为原点，分别以，过垂直于，方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系如图所示， 因为且四边形是菱形， 所以，且，即， 所以， 设点到直线的距离为， 所以， 故选：D. 8. 已知，，若直线上存在点P，使得，则t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据，得出的轨迹方程，再结合条件为直线上的点，得到直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】设，则，， 因为，所以， 即，所以点在以为圆心，4为半径的圆上. 点在直线上， 所以直线与圆有公共点， 则，解得 故选:B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆C：的离心率为，则k的值可以为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据离心率公式，结合焦点位置即可分类求解.. 【详解】若焦点在轴上，则，且，故，解得， 若焦点在轴上，则，且，故，解得， 故选：BD 10. 圆和圆的交点为，，点在圆上，点在圆上，则（ ） A. 直线的方程为 B. 线段的中垂线方程为 C. D. 点与点之间的距离的最大值为8 【答案】ABD 【解析】 【分析】将两圆的方程作差可得A正确；由圆的一般方程变成标准方程，求出圆心，再由线段的中垂线经过和的圆心可得B正确；由几何法求出弦长可得C错误；由最大距离等于两半径之和加圆心距可得D正确； 【详解】对于A，将两圆的方程作差，可得，即直线的方程为，A正确. 对于B，圆，圆，圆的圆心为，半径，圆的圆心为，，线段的中垂线经过和的圆心，故线段的中垂线方程为，故B正确. 对于C，圆的圆心到直线的距离为，故，C错误. 对于D，点与点之间的距离的最大值为，D正确. 故选：ABD. 11. 若平面，平面，平面，则称点F为点E在平面内的正投影，记为如图，在直四棱柱中，，， 分别为，的中点，，记平面为，平面ABCD为，，（ ） A. 若，则 B. 存在点H，使得平面 C. 线段长度的最小值是 D. 存在点H，使得 【答案】ABC 【解析】 【分析】先建系，对于选项A，先证Q，B，N，P四点共面，再计算的值；对于选项B，先找出，，可得是平面的一个法向量，结合平面，则，依此求出H的位置；对于选项C，表示出，求解其最小值即可；对于D，依据，则，从而可判定H的存在性. 【详解】对于A：因为为直四棱柱，，所以以A为坐标原点，AD，AB，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示，连接PQ， 则，，，，， 故，， 所以，即Q，B，N，P四点共面， 若，则，解得，A正确； 对于B：过点H作，交于点G，过点G作AB的垂线，垂足即， 过点A作的垂线，垂足即，连接，，由题意可得， 则，，，， 故，，，， 易得是平面的一个法向量，若平面， 则，即，解得，符合题意， 所以存在点H，使得平面，B正确， 对于C：， 当时，取得最小值，最小值为，C正确. 对于D：若，则， 得，无解，所以不存在点H，使得，D错误. 故选：ABC 【点睛】关键点点睛：根据题意可知在平面上，然后建立坐标系，根据投影表示所需要点的坐标，然后利用坐标计算即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线与互相垂直，则______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据两直线垂直的条件（斜率存在时）即可求解. 【详解】直线的斜率，则直线的斜率，解得. 故答案为：1 13. 如图，在棱长为的正方体中，是的中点，则__________. 【答案】6 【解析】 【分析】，为等边三角形，利用向量数量积的定义求即可. 【详解】棱长为的正方体中， 连接，则是边长为的等边三角形， .. 故选： 14. 已知圆，椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，直线与圆交于点，，若，则________. 【答案】6 【解析】 【分析】利用求出，然后将转化为求解即可. 【详解】 设，由于， 而，则， 所以， ． 故答案为：6 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在中，，，，记的外接圆为圆. （1）求圆的标准方程； （2）求过点且与圆相切的直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方法一，求两条线段垂直平分线的交点确定圆心，圆心到圆上一点的距离确定半径，从而得到圆的方程； 方法二，设出圆的标准方程，待定系数法求圆的方程. （2）先求圆心与点连线的斜率，利用垂直关系，确定切线斜率，再利用点斜式即可求解切线方程. 【小问1详解】 （方法一）直线的方程为，、的中点为， 所以线段的中垂线方程为， 直线的方程为，、的中点为， 线段的中垂线方程为. 直线与直线的交点为，即圆的圆心为. 点与点的距离为， 即圆的半径为，所以圆的标准方程为. （方法二）设圆的标准方程为， 则， 解得 故圆的标准方程为 【小问2详解】 圆的圆心为，，直线的斜率为， 所以切线斜率为，所求切线方程为， 整理得. 16. 如图，长方体的底面是正方形，分别为的中点，. （1）证明：平面. （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，由空间向量的坐标运算，即可证明线面平行； （1）由空间向量的坐标运算结合二面角的公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 设，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为， 则即 令，则. 证明：. 因为，所以， 平面，所以平面. 【小问2详解】 易知为平面的一个法向量，且. . 易得二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 17. 在圆上任取一点，过点作x轴的垂线段为垂足，当点在圆上运动时，记线段的中点的轨迹为. （1）求的方程. （2）直线 与C交于两点（点不重合）. ①求的取值范围； ②若，求. 【答案】（1） （2）①，② 【解析】 【分析】（1）设，则，代入圆的方程，化简整理即可得到所求方程； （2）联立直线方程和椭圆方程，消去，得到的方程，运用判别式大于0，即可求解的范围，代入，求解方程两根，即可根据弦长公式求解. 【小问1详解】 设，则， 将代入，可得，即 即点的轨迹的方程为； 【小问2详解】 ①由，联立整理得：， 由，即，化简得， 故， ②当时，，解得， 故. 18. 如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面. （1）证明：. （2）点在线段上，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】（1） 取的中点，连接. 因为为等边三角形，所以. 因为为等腰直角三角形，且，所以. 因为平面平面，所以平面， 所以. （2） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证平面，再由其性质定理即可证明； （2）根据题意，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，由空间向量的坐标运算以及线面角的公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面平面，平面平面平面，所以平面. 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 设，则 . 设平面的法向量为， 则即 令，则，所以. 设直线与平面所成的角为， 则 ，当且仅当时，等号成立. 故直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 19. 古希腊数学家阿波罗尼斯，与欧几里得、阿基米德并称古希腊三大数学家.他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，其中一发现可表述为“平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.如平面内动点到两个定点，的距离之比为定值2，则点的轨迹就是阿氏圆，记为. （1）求的方程； （2）若与轴分别交于E，F两点，不在轴上的点是直线上的动点，直线HE，HF与的另一个交点分别为，，证明直线MN经过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】（1）. （2）证明见解析，定点坐标为. 【解析】 【分析】（1）设，用坐标表示已知条件化简后可得； （2）不妨设. 设，设，由直线与圆相交求得的坐标（用表示），求出直线方程，观察方程得定点． 【小问1详解】 设，根据，得， 即，所以的方程为. 【小问2详解】 根据圆的对称性，不妨设. 设，则， 所以直线HE的方程为，直线HF的方程为. 设. 联立方程得， 所以，即，则，所以. 联立方程得， 所以，即，则，所以. 当时，， 所以直线MN的方程为，化简得， 所以直线MN过定点; 当时，，此时直线MN过定点. 综上，直线MN过定点. 【点睛】方法点睛：解析几何中直线过定点问题，用参数设出动点坐标或动直线方程等，设交点坐标为，由直线与曲线方程联立方程组消元应用韦达定理得或者直线解出，写出两交点所在直线方程（韦达定理的结论需代入），化简后观察可得定点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025年度河南省高二上学期第三次月考 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第三章第1节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线经过点，，，则的倾斜角为（ ） A. B. C. 0 D. 2. 关于空间向量，，，下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知椭圆的离心率为，且过点，则的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，若，，共面，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. －1 5. 一条光线从点射出，与轴相交于点，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆，过点的直线交于､两点，且是的中点，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在四棱台中，底面是菱形，平面，，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，若直线上存在点P，使得，则t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知椭圆C：的离心率为，则k的值可以为（ ） A. B. C. 4 D. 10. 圆和圆的交点为，，点在圆上，点在圆上，则（ ） A. 直线的方程为 B. 线段的中垂线方程为 C. D. 点与点之间的距离的最大值为8 11. 若平面，平面，平面，则称点F为点E在平面内的正投影，记为如图，在直四棱柱中，，， 分别为，的中点，，记平面为，平面ABCD为，，（ ） A. 若，则 B. 存在点H，使得平面 C. 线段长度的最小值是 D. 存在点H，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线与互相垂直，则______. 13. 如图，在棱长为的正方体中，是的中点，则__________. 14. 已知圆，椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，直线与圆交于点，，若，则________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知在中，，，，记的外接圆为圆. （1）求圆的标准方程； （2）求过点且与圆相切的直线的方程. 16. 如图，长方体的底面是正方形，分别为的中点，. （1）证明：平面. （2）求二面角的余弦值. 17. 在圆上任取一点，过点作x轴的垂线段为垂足，当点在圆上运动时，记线段的中点的轨迹为. （1）求的方程. （2）直线 与C交于两点（点不重合）. ①求的取值范围； ②若，求. 18. 如图，在三棱锥中，为等边三角形，为等腰直角三角形，，平面平面. （1）证明：. （2）点在线段上，求直线与平面所成角的正弦值的最大值. 19. 古希腊数学家阿波罗尼斯，与欧几里得、阿基米德并称古希腊三大数学家.他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，其中一发现可表述为“平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.如平面内动点到两个定点，的距离之比为定值2，则点的轨迹就是阿氏圆，记为. （1）求的方程； （2）若与轴分别交于E，F两点，不在轴上的点是直线上的动点，直线HE，HF与的另一个交点分别为，，证明直线MN经过定点，并求出该定点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $