精品解析：重庆市第三十七中学校2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

重庆市第三十七中学校初2022级 2024-2025学年度（上）期期中测试 数学试卷 出题人：余贵祥 审题人：况梦 （本卷共26题，满分150分，120分钟完卷） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 3的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 小明在游乐场坐过山车，在某一段秒时间内过山车的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系图象如图所示，下列结论错误的是（　　） A. 当时， B. 过山车距水平地面的最高高度为98米 C. 在范围内，当过山车高度是80米时，t的值只能等于30 D. 当时，高度h（米）随时间t（秒）的增大而增大 6. 如图，在菱形中，对角线交于点，若菱形的面积是，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 估计的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 8. 在一个不透明的盒子中装有个球，这些球除颜色外无其他差别，这个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0．2左右，则的值约为（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 20 9. 在矩形中，对角线相交于点O，的角平分线交于点E，若，则用表示为（　　） A. B. C. D. 10. 在多项式中，先将其中任意两个减号变为加号，再对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号（不存在添加双重绝对值的情况），然后进行去绝对值运算，称此为“双加绝对操作”，例如：，…下列说法中正确的有（ ） ①存在“双加绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②存在“双加绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③所有“双加绝对操作”共有7种不同的结果． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：＝________． 12. 已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为______． 13. 有四张完全一样正面分别写有“决”“胜”“中”“考”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字不相同的概率是 __________________． 14. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______． 15. 九年级某班的每位同学都将自己的相片向全班其他同学各赠送一张作为留念，全班共送出1560张相片，如果全班有x名学生，根据题意，可列方程________． 16. 如图，在矩形中，，，对角线相交于点E，将沿着翻折到，连接，则的长为______． 17. 若关于的方程有正整数解，且关于的不等式组有且只有3个整数解，则符合条件的所有整数的和为______． 18. 一个两位正整数，如果满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称为“异能数”，将的两个数位上的数字对调得到一个新数，把放在的后面组成第一个四位数，把放在的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以11所得的商记为，例如：时，，，则______；若为“异能数”，其中，（，、，且为整数）规定：，若能被7整除，且，求的最大值为______． 三、解答题：（本大题共8小题，19题8分，20-26题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 20. 在学习了矩形后，小雨借助尺规找到了直角三角形斜边的中点，通过倍长中线构造了矩形，然后利用矩形对角线的性质探究出了直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系．请根据她的思路完成以下作图与填空： （1）已知在中，，用直尺和圆规，作的垂直平分线交于点，垂足为点，连接并延长，在射线上截取，连接、．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）问所作的图形中，求证：． 证明：∵垂直平分， ∴点是的中点． ∴_____． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵_____， ∴四边形是_____． ∴_____． ∵， ∴_____． 21. 【题文】为了在青少年中推动法制教育与法治实践、道德教育有机结合，充分调动广大青少年学法守法用法的积极性和自觉性，增强青少年法制宣传教育的针对性、时效性和有效性，某校组织了法律知识主题大赛．从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．B．；C．；D．）．下面给出了部分信息： 七年级10名学生的成绩是： 八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：． 八年级抽取的学生成绩扇形统计图： 七、八年级抽取的学生成绩统计表： 平均数 中位数 众数 七年级 79 82 b 八年级 79 a 82 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据．你认为该校七年级和八年级中哪个年级学生掌握法律知识较好？请说明理由（一条即可）； （3）已知该校七年级有680人，八年级有850人参加了此次主题大赛活动，请估计两个年级参加该活动的成绩不低于80分的共有多少人？ 22. 中考临近，某商家抓住商机，购买了一批考试专用笔和圆规，商家用1600元购买笔，1200元购买圆规，每个圆规的进价比每支笔多2元，且购买笔的数量是圆规的2倍． （1）求商家购买笔和圆规的进价； （2）商家在销售过程中发现，圆规的售价为每个12元时，平均每天可卖出30个圆规．据统计，圆规的售价每降低1元平均每天可多卖出10个，且降价幅度不超过．在不考虑其他因素的情况下，商家要保证圆规平均每天的总获利为200元，则每个圆规的售价为多少元？ 23. 如图1，在正方形中，，动点P从点A出发，沿折线运动，当点P到达点C时停止运动．连结，若点P运动的路程为，的面积为y，当点P与点B重合时的值为0 （1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）在图2的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数图象的一条性质； （3）根据图象，直接写出当时，x的取值范围． 24. 某送货司机在各站点间上门送货的平面路线如图所示：．已知点B在点A的北偏东方向处，点C在点B的正东方处，点D在点C的南偏东方向，点D在点A的正东方．(参考数据：，，) （1）求线段CD的长度；(结果精确到0.01km) （2）已知送货司机在送货过程中全程保持10m/s的速度匀速行驶，若现在有急件需要在16分钟内从A点运送到D点，则送货司机按既定路线进行运送能否按时送达？(送货司机在各站点停留的时间忽略不计) 25. 如图1，直线交x轴和y轴于点A和点C，点在y轴上，连接． （1）求直线的解析式； （2）如图2，点P为线段上一动点，若，求点P的坐标； （3）如图3，点Q为直线上一动点，当时，求点Q的坐标． 26. 在中，，点为延长线上任一点，连接． （1）如图，若，，求线段的长； （2）如图，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连接．点为的中点，连接．求证：； （3）在（）的条件下，设点为直线上的点，交于点．点在延长线上运动的过程中，当时，将沿直线翻折到所在平面内得到，同时将沿直线翻折到所在平面内得到．在取得最大值时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市第三十七中学校初2022级 2024-2025学年度（上）期期中测试 数学试卷 出题人：余贵祥 审题人：况梦 （本卷共26题，满分150分，120分钟完卷） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 3的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据倒数的定义可知． 【详解】解：3的倒数是， 故选：C 【点睛】主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是： 倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数． 倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． 2. 如图所示标志中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合． 3. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程；即可进行解答．注意将各个方程进行整理化简后为一般式后，再去进行判断． 【详解】解：A、当时，不是一元二次方程，不符合题意； B、不是整式方程，故B不是一元二次方程，不符合题意； C、可整理为，故C不是一元二次方程，不符合题意； D、可整理为，故D是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 4. 如图，，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，同位角相等．根据平行线的性质，，经过计算可求． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ， 故答案为：B． 5. 小明在游乐场坐过山车，在某一段秒时间内过山车的高度h（米）与时间t（秒）之间的函数关系图象如图所示，下列结论错误的是（　　） A. 当时， B. 过山车距水平地面的最高高度为98米 C. 在范围内，当过山车高度是80米时，t的值只能等于30 D. 当时，高度h（米）随时间t（秒）的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据某一分钟内过山车高度h（米）与时间t（秒）之间的函数图象逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 结合图象，当时，，故该选项正确，不符合题意； B. 结合图象，过山车距水平地面的最高高度为98米，故该选项正确，不符合题意； C. 在范围内，当过山车高度是80米时，的值有3个，故该选项不正确，符合题意； D. 当时，高度h（米）随时间t（秒）的增大而增大，故该选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了函数的图象，解决本题的关键是利用数形结合思想． 6. 如图，在菱形中，对角线交于点，若菱形的面积是，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形的性质得到，，再根据等底同高的三角形面积相等得到，进而得到，即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∴ 和是等底同高的三角形， 和是等底同高的三角形， 和是等底同高的三角形， ∴，， ， ， ∴， 故选：． 7. 估计的值应在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】B 【解析】 【分析】下根据二次根式的乘法计算，再估算结果的大小，即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴的值应在4和5之间． 故选：B 【点睛】本题考查了估算无理数的大小和二次根式的运算．解题的关键是掌握二次根式的运算方法，以及估算无理数的大小的方法． 8. 在一个不透明的盒子中装有个球，这些球除颜色外无其他差别，这个球中只有3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0．2左右，则的值约为（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 答：a的值为； 故选：B． 【点睛】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系． 9. 在矩形中，对角线相交于点O，的角平分线交于点E，若，则用表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查矩形的性质．根据矩形的性质得出，进而利用角平分线的定义和等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵的角平分线交于点E， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 10. 在多项式中，先将其中任意两个减号变为加号，再对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号（不存在添加双重绝对值的情况），然后进行去绝对值运算，称此为“双加绝对操作”，例如：，…下列说法中正确的有（ ） ①存在“双加绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②存在“双加绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③所有“双加绝对操作”共有7种不同的结果． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了化简绝对值．熟练掌握化简绝对值是解题的关键． 由题意知，先将其中任意两个减号变为加号，有，，，然后进行“双加绝对操作”，化简绝对值，进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知，先将其中任意两个减号变为加号，有，，， ①“双加绝对操作”后 ，，，； ② “双加绝对操作”后，，，； ③ “双加绝对操作”后，，，； 当时，运算结果与原多项式相等，①正确，故符合要求； 当时，其运算结果与原多项式之和为0，②正确，故符合要求； 所有“双加绝对操作”共有9种不同的结果，③错误，故不符合要求； 故选：C． 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 计算：＝________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据负整数指数幂运算法则、算术平方根的运算进行计算即可． 【详解】． 故答案为：5． 【点睛】本题考查负整数指数幂、算术平方根，熟练掌握运算法则是解答的关键． 12. 已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是掌握一元二次方程的解，根据题意，则，整理得，把代入，即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 有四张完全一样正面分别写有“决”“胜”“中”“考”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字不相同的概率是 __________________． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．根据列表法求概率即可求解．解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验． 【详解】解：根据题意列表如下： 决 胜 中 考 决 决 决胜 决中 决考 胜 胜决 胜胜 胜中 胜考 中 中决 中胜 中中 中考 考 考决 考胜 考中 考考 共有16种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上的汉字不相同的有12种情况， 所以P（抽取的两张卡片上的汉字不相同）． 故答案为：． 14. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和定理，掌握多边形内角和公式与外角和的性质是解题的关键，设多边形的边数为，根据内角和是外角和的2倍建立方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∴， 解得， 故答案为：． 15. 九年级某班的每位同学都将自己的相片向全班其他同学各赠送一张作为留念，全班共送出1560张相片，如果全班有x名学生，根据题意，可列方程________． 【答案】 【解析】 【分析】全班有x名学生，则每名学生都会向名学生赠送一张相片，再根据一共送出1560张相片列出方程即可． 【详解】解：设全班有x名学生， 根据题意得，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了从实际问题中抽象出一元二次方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键． 16. 如图，在矩形中，，，对角线相交于点E，将沿着翻折到，连接，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，交于点，说明为的中位线，再利用勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：连接，交于点，如下图： ∵将沿着翻折到， ∴垂直平分 ∴， ∵四边形为矩形 ∴，， ∴为的中位线 ∴ 设，则 由勾股定理可得： 解得 故答案为： 【点睛】此题考查了翻折变换，矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 17. 若关于的方程有正整数解，且关于的不等式组有且只有3个整数解，则符合条件的所有整数的和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程、解不等式组等知识，根据题意确定的取值范围是解题的关键．首先根据去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化为1的步骤解分式方程，结合题意可得，且，进而可得且；再解不等式组，可得，根据该不等式组有且只有3个整数解，即可确定的取值范围，进一步确的整数解，即可获得答案． 【详解】解：， 去分母，可得 ， 去括号，可得 ， 移项、合并同类项，得 ， 系数化为1，得 ， ∵关于的方程有正整数解， ∴，且， 解得且， 解不等式组， 可得， ∵关于的不等式组有且只有3个整数解， ∴，解得， ∴且， 又∵关于的方程有正整数解，即为正整数， ∴的整数解为，， ∴有整数的和为． 故答案为：． 18. 一个两位正整数，如果满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称为“异能数”，将的两个数位上的数字对调得到一个新数，把放在的后面组成第一个四位数，把放在的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以11所得的商记为，例如：时，，，则______；若为“异能数”，其中，（，、，且为整数）规定：，若能被7整除，且，求的最大值为______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义运算，理解新定义“异能数”及相关计算是解题的关键．根据“异能数”定义以及公式计算的值即可；根据题意，可得，，根据能被7整除，可得，可知，再根据可得，即可确定或，然后分别计算的值，比较即可获得答案． 【详解】解：根据题意，； ∵， ∴， 同理可得， ∵能被7整除， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 整理可得， ∴， ∵、， ∴或， ∵， ∴当时，， 当时，， ∵， ∴的最大值为． 故答案为：；． 三、解答题：（本大题共8小题，19题8分，20-26题各10分，共78分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 19. 解下列一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】（）移项，利用配方法即可求解； （）移项，利用因式分解法即可求解； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：移项得，， 配方得，， 即， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：移项得，， 因式分解得，， ∴或， ∴，． 20. 在学习了矩形后，小雨借助尺规找到了直角三角形斜边的中点，通过倍长中线构造了矩形，然后利用矩形对角线的性质探究出了直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系．请根据她的思路完成以下作图与填空： （1）已知在中，，用直尺和圆规，作的垂直平分线交于点，垂足为点，连接并延长，在射线上截取，连接、．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）问所作的图形中，求证：． 证明：∵垂直平分， ∴点是的中点． ∴_____． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵_____， ∴四边形是_____． ∴_____． ∵， ∴_____． 【答案】（1） 解：图形如图所示： （2）；；矩形；， 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图，平行四边形的判定，矩形的判定等知识， （1）根据要求作出图形； （2）证明四边形ABCD是矩形，可得结论； 解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 【题文】为了在青少年中推动法制教育与法治实践、道德教育有机结合，充分调动广大青少年学法守法用法的积极性和自觉性，增强青少年法制宣传教育的针对性、时效性和有效性，某校组织了法律知识主题大赛．从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．B．；C．；D．）．下面给出了部分信息： 七年级10名学生的成绩是： 八年级10名学生的成绩在C组中的数据是：． 八年级抽取的学生成绩扇形统计图： 七、八年级抽取的学生成绩统计表： 平均数 中位数 众数 七年级 79 82 b 八年级 79 a 82 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______，______； （2）根据以上数据．你认为该校七年级和八年级中哪个年级学生掌握法律知识较好？请说明理由（一条即可）； （3）已知该校七年级有680人，八年级有850人参加了此次主题大赛活动，请估计两个年级参加该活动的成绩不低于80分的共有多少人？ 【答案】（1），， （2）七年级掌握知识较好， 从平均数看，七年级分八年级分， 从中位数看，七年级分八年级分， ∴七年级掌握知识较好； （3）估计两个年级参加竞赛成绩不低于分的共有人 【解析】 【分析】本题考查了统计中的平均数、中位数、众数的概念，扇形统计图的解读以及用样本估计总体的思想，解题的关键是从数据和图表中提取有效信息，正确计算统计量并利用样本比例估计总体数量． （1）先由八年级C组数据数量确定其百分比，结合扇形统计图其他组百分比求出D组百分比得m；将八年级成绩排序后取中间两数的平均数得中位数a；找出七年级成绩中出现次数最多的数得众数b； （2）通过比较两个年级的中位数（或众数）判断掌握情况； （3）分别计算七、八年级样本中成绩不低于80分的比例，再乘以各年级总人数求和得到估计的总人数． 【小问1详解】 解：由题知，八年级组所占百分比为：． 八年级组所占百分比为：， ∴ ∵八年级共有人， ∴处于、两个等级的人数之和为：（人），名同学成绩从小到大排序后中间的两个数为第个第个， ∵八年级名学生的成绩在组中的数据是：． ∴八年级名同学成绩从小到大排序后中间的两个数为第个和第个为，， ∴ ∵七年级名学生的成绩是：，其中出现次数最多的是 ∴， 故答案为：，，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：七年级10名学生中成绩不低于80分的有5人（85，85，85，86，100），占比，因此七年级680人中估计有人． 八年级成绩不低于80分的是C组和D组，占比，因此八年级850人中估计有人． 两个年级成绩不低于80分的共有（人）． 答：估计两个年级参加竞赛成绩不低于80分的共有850人． 22. 中考临近，某商家抓住商机，购买了一批考试专用笔和圆规，商家用1600元购买笔，1200元购买圆规，每个圆规的进价比每支笔多2元，且购买笔的数量是圆规的2倍． （1）求商家购买笔和圆规的进价； （2）商家在销售过程中发现，圆规的售价为每个12元时，平均每天可卖出30个圆规．据统计，圆规的售价每降低1元平均每天可多卖出10个，且降价幅度不超过．在不考虑其他因素的情况下，商家要保证圆规平均每天的总获利为200元，则每个圆规的售价为多少元？ 【答案】（1）商家购买笔和圆规的进价分别是4和6元 （2）每个圆规的售价为11元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程、一元二次方程的应用，解题的关键是： （1）设商家购买笔和圆规的进价分别是x和元，列出分式方程，即可求解； （2）设每个圆规的售价为m元，根据圆规平均每天的总获利为200元，列出一元二次方程，进而即可求解． 【小问1详解】 解：设商家购买笔和圆规的进价分别是x和元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：商家购买笔和圆规的进价分别是4和6元； 【小问2详解】 解：设每个圆规的售价为m元， 根据题意，得， 解得，， 又降价幅度不超过 ∴， 答∶ 每个圆规的售价为11元． 23. 如图1，在正方形中，，动点P从点A出发，沿折线运动，当点P到达点C时停止运动．连结，若点P运动的路程为，的面积为y，当点P与点B重合时的值为0 （1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； （2）在图2的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数图象的一条性质； （3）根据图象，直接写出当时，x的取值范围． 【答案】（1） （2）函数的图象见解析；该函数图象是轴对称图形，对称轴是直线（答案不唯一） （3）或 【解析】 【分析】（1）分和两种情况，根据三角形面积公式写出函数解析式，即可得到答案； （2）根据（1）中的函数解析式和自变量取值范围画出函数图象，根据图象写出一条性质即可； （3）根据图象，当时，或，即可得到当时，x的取值范围． 【小问1详解】 解：当时，的面积为， 当时，的面积为， 即y与x之间的函数解析式为， 【小问2详解】 函数的图象如图所示，该函数图象是轴对称图形，对称轴是直线； 【小问3详解】 根据图象，当时，或， ∴当时，x的取值范围为或． 【点睛】此题是一次函数和几何综合题，考查了一次函数的图象和性质、求一次函数解析式等知识，读懂题意，正确写出y与x之间的函数解析式是解题的关键． 24. 某送货司机在各站点间上门送货的平面路线如图所示：．已知点B在点A的北偏东方向处，点C在点B的正东方处，点D在点C的南偏东方向，点D在点A的正东方．(参考数据：，，) （1）求线段CD的长度；(结果精确到0.01km) （2）已知送货司机在送货过程中全程保持10m/s的速度匀速行驶，若现在有急件需要在16分钟内从A点运送到D点，则送货司机按既定路线进行运送能否按时送达？(送货司机在各站点停留的时间忽略不计) 【答案】（1） （2）能 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，正确构造直角三角形从而利用解直角三角形的相关知识求解是解题的关键． （1）分别过点B、C作于E，于F，得到四边形是矩形，，利用，求出，即，从而利用求出； （2）先算出总路程，再除以速度得到送货时间，与16分钟比较即可得解． 【小问1详解】 分别过点B、C作于E，于F， 依题意可知：，，，，， ∴， ∴四边形是矩形，， ∵，， ∴ 又∵， ∴ 【小问2详解】 16分钟秒， ∵，，， ∴， ∴从A点运送到D点的时间为：， ∴送货司机按既定路线进行运送能按时送达． 25. 如图1，直线交x轴和y轴于点A和点C，点在y轴上，连接． （1）求直线的解析式； （2）如图2，点P为线段上一动点，若，求点P的坐标； （3）如图3，点Q为直线上一动点，当时，求点Q的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出，进而得到，，，设点，再分当点在线段上时，当点在的延长线上时，两种情况根据三角形面积之间的关系建立方程求解即可； （3）如图，当点在点右侧时，证明，得到，则点在直线上；如图，当点在点左侧时，证明，由勾股定理得，利用等面积法得到，设，利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：在中，当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， ∴， 点，，， ，， ， 设点，当点在线段上时， ， ， 解得， 点； 【小问3详解】 解：如图，当点在点右侧时， ， ， ， ， ， ∴垂直平分， 点在直线上， ，解得， ； 如图，当点在点左侧时， ，， ， ， 在中，由勾股定理得 ， ， ， 设， ， 解得， ； 综上所述：点坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，求一次函数解析式，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 26. 在中，，点为延长线上任一点，连接． （1）如图，若，，求线段的长； （2）如图，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，连接．点为的中点，连接．求证：； （3）在（）的条件下，设点为直线上的点，交于点．点在延长线上运动的过程中，当时，将沿直线翻折到所在平面内得到，同时将沿直线翻折到所在平面内得到．在取得最大值时，请直接写出的值． 【答案】（1）； （2）证明：连接，由线段绕着点逆时针旋转得到线段，得，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 取的中点，连接， ∵，点是中点， ∴， ∵点是中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴点三点共线， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （3）． 【解析】 【分析】（）根据旋转的性质得到，证明是等腰直角三角形，求出，的长度，在中运用勾股定理得到从而求出； （）取的中点，连接，证明，得到，证明点三点共线，再证明，，即可证明结论； （）由题可知，点在以点为圆心，的长度为半径的圆上运动，得点在线段上时，取得最大值，证明，设，则，，，根据相似三角形的性质表示，根据锐角三角函数，表示，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，将绕点逆时针旋转，使得与重合，得到，连接， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 由旋转得，， ∴，，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， 在中， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由题可知，点在以点为圆心，的长度为半径的圆上运动， 得点在线段上时，取得最大值， ∵，， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， 设，则，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 由折叠可知， ∴， ∵和是等腰直角三角形， ∴，， 在中， ∵，， ∴， ∴， ∵关于对称， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $