浙江省金兰教育合作组织2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

高二数学学科 试题 第1页(共 5页) 绝密★考试结束前 浙江省金兰教育合作组织 2024 学年第一学期期中考试 高二年级数学学科 试题 命题学校：柴桥中学 审题学校：龙赛中学 书生中学 考生须知： 1．本卷共 5 页满分 150分，考试时间 120 分钟。 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。 4．考试结束后，只需上交答题纸。 选择题部分（共 58 分） 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的） 1．设 ( )1,2,3a = 是直线 l的方向向量， ( )1, 2,1n = − 是平面α 的法向量，则（ ▲ ） A． / /l α 或 l α⊂ B． l α⊥ 或 l α⊂ C． l α⊥ D． / /l α 2．双曲线 2 26 3 1x y− = 的渐近线方程为（ ▲ ） A． 2x y= ± B． 2y x= ± C． 2x y= ± D． 2y x= ± 3．设{ , , }a b c    为空间的一个基底，若向量 xa yb zcp = + +     ，则向量 p  在基底{ , , }a b c    下的 坐标为 ( ), ,x y z ．若向量 q以{ , , }a b b c c a+ − −       为基底时的坐标为 ( )3, 1,2− ，则 q以{ }, ,a b c    为 基底时的坐标为（ ▲ ） A． ( )2, 3, 1− − B． ( )3, 1,2− C． ( )1,2,3 D． ( )1,2,1 4．设圆 1C ： 2 2 5x y+ = 和圆 2C ： 2 2 03 4x y x y+ + =+ 交于 A B、 两点，则弦 AB 的长度为（ ▲ ） A． 4 B． 2 2 C． 2 D．1 5．已知直线 1 : 1 0l x ay− + = ，直线 ( )2 2: 1 0,l ax a y a R+ − + = ∈（ ），则下列结论正确的是（ ▲ ） A．直线 1l 的斜率 1 a B．直线 2l 过定点 ( )1, 1− C．若 1 / /l 2l ，则 1a = 或 2a = − D．若 1l ⊥ 2l ，则 0a = 或 3a = 高二数学学科 试题 第2页(共 5页) 6．对于方程 2 2 1, , 2 2 tanx y π παα  + = ∈ −    表示的曲线C ，下列说法正确的是（ ▲ ） A．曲线C 只能表示圆、椭圆或双曲线 B．若α 为负角，则曲线C 为双曲线 C．若α 为正角，则曲线C 为椭圆 D．若C 为椭圆，则曲线C 的焦点在 x 轴上 7．已知二面角 lα β− − ，A、B 两点在棱 l 上，直线 AC ，BD分别在这个二面角的两个半平面内， 且都垂直于 l ．已知 43 12 4AB AC B CD D == = =, , , ，则二面角 lα β− − 的大小是（ ▲ ） A．30° B．60° C．120° D．150° 8．自 19 世纪之后，折纸艺术与自然科学结合到了一起，它开始在西方成为教育教学和科学研究的 工具．随着折纸过程中的数学之迷被解开，折纸发展成为了现代几何学的一个分支．现有一张半径 为 ( 0)r r > ，圆心为O的圆形纸片，在圆内选定一点 P 且 2 rOP = ．将圆形纸片翻折一角，使圆周 正好过点 P ，把纸片展开后，留下一条折痕，折痕上到O、 P 两点距离之和最小的点为M ．如此 反复，就能得到越来越多的折痕，设M 点的轨迹为曲线C ，线段OP 的中点为 N ，在C 上任取一 点Q，则 PQ NQ⋅   的最小值是（ ▲ ） A． 2 1 8 r B． 23 16 r C． 21 4 r D． 23 4 r 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多个选 项符合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分） 9．在空间直角坐标系中，已知点 ( ) ( ) ( ) ( )1,1,0 1,0,2 0,1,3 2 1,1,A B C D x x− −， ， ， ，则下列结论 正确的是（ ▲ ） A．若 AD BC⊥ ，则 3 2 x = B. ( )0,3, 6u = − 是直线 AB 的一个方向向量 C． 3 2cos , 5 AB AC =   D． AB  在 BC  上的投影向量为 1 1 1, , 3 3 3  − −    10．已知圆 2 21 : 1C x y+ = ，圆 2 2 2 : 2 6 5 0C x y x y+ + − + = ，O为坐标原点，动点 P 在 x 轴上， 动点 ( )0 0,Q x y 在圆 1C 上，线段OQ 的中点为 M ．则下列选项正确的是（ ▲ ） A． M 的轨迹方程为 2 2 1 2 x y+ = B．过点 P 作圆 2C 的一条切线，则切线长最短为 2 C．圆 1C 和圆 2C 有两条公切线 D． 0 0 1 2 y x − + 的最大值为 4 3 高二数学学科 试题 第3页(共 5页) 11．已知 1 2,F F 分别为双曲线 ( ) 2 2 2 2: 1 0, 0 x yE a b a b − = > > 的左､右焦点，过 2F 的直线 l 与圆 2 2 2:O x y a+ = 相切于点M ，且直线 l 与双曲线 E 及其渐近线在第二象限的交点分别为 ,P Q ，则 下列说法正确的是（ ▲ ） A．直线OM 是 E 的一条渐近线 B．若 1 3MF OM= ，则 E 的渐近线方程为 y x= ± C．若 2 23QF MF= ，则 E 的离心率为 3 D．若 2 23PF MF= ，则 E 的离心率为 13 2 非选择题部分（共 92 分） 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．直线 : 3 0l x y+ − = 的倾斜角为 ▲ ． 13．已知椭圆 2 2 1 9 5 x y + = 的左、右焦点分别为 1 2F F、 ，点 P 是椭圆上一点， 1 2 60F PF∠ = °，则 1 2PF F△ 的内切圆半径为 ▲ ． 14．如图，在正四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D− 中， 1 2 4AA AB= = ，顶点 A在平面α 内，其余顶点在α 的同侧，顶点 B、D 到平面α 的距离分别为 1 2 2 2 、 ，则顶点 1A 到平面α 的距离为 ▲ ． 高二数学学科 试题 第4页(共 5页) 四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题满分 13 分）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：若动点M 与两个定点 A、 B 的距离之 比为常数 ( 0, 1)λ λ λ> ≠且 ，则点 M 的轨迹是圆．后来，人们以他的名字命名这个圆，称为阿波罗 尼斯圆，简称阿氏圆．已知 ( ) ( )1,1 , 2,1A B ，圆C 上的点M 满足 2MA MB= ． （1）求圆C 的标准方程； （2）若直线 l 过原点，且直线 l 与圆C 相切，求直线 l 的方程． 16．（本题满分 15 分）如图，在三棱柱 1 1 1ABC A B C− 中， 1 2 2AB AA AC= = = ， 120BAC∠ = °， 1 60A AB∠ = °， 1AA AC⊥ ，M 、 N 分别是 1 1B C 、 1AA 的中点． （1）求 AM 的长； （2）求 AM 与 BN 所成角的余弦值． 17．（本题满分 15 分）已知双曲线C ： 2 2 1 4 5 x y − = ，直线 l 与双曲线C 交于 A、 B 两点． （1）若 A、 B 关于点 ( )4,3M 对称，求直线 l 的方程； （2）若直线 l 过 ( )0,1N ，且 A、 B 都在双曲线C 的左支，求直线 l 的斜率的取值范围． 高二数学学科 试题 第5页(共 5页) 18．（本题满分 17 分）如图，在四棱锥 P ABCD− 中，平面 PAD ⊥平面 ABCD，底面 ABCD为 直角梯形， / /AD BC ，AD CD⊥ ，PA PD⊥ ， 2 4 4AD PD BC= = = ， 3CD = ．在平面 ABCD 内过 B 作 / /BO CD，交 AD 于O，连 PO． （1）求证：平面 PAB ⊥平面 PCD； （2）求平面 PBC 与平面 PCD所成角的余弦值； （3）点 E 是平面 POB 上的动点，若直线 AE 与平面 PCD所成的角为30°，求OE 的最小值． 19．（本题满分 17 分）椭圆 1Γ ： ( ) 2 2 1 12 2 1 1 1 0x y a b a b + = > > ，椭圆 2Γ ： ( ) 2 2 2 22 2 2 2 1 0x y a b a b + = > > ， 若 ( )2 2 1 1 0a b a b λ λ= = > ，则椭圆 1Γ 与椭圆 2Γ 为相似椭圆，其中λ为相似比．已知椭圆 1Γ 的长轴长 为 4，且过点 22, 2        ，点 P 为椭圆 2Γ 上异于其左、右顶点 A、 B 的任意一点． （1）若 2λ = ，求椭圆 2Γ 的标准方程； （2）在（1）条件下，若与椭圆 1Γ 有且只有一个公共点的直线 1 2l l、 恰好相交于点 P ，直线 1 2l l、 的 斜率分别为 1 2k k、 ，求 1 2k k⋅ 的值； （3）若 3 2 λ = ，设直线 PA 与椭圆 1Γ 交于点 D 、 E ，直线 PB 与椭圆 1Γ 交于点G 、 H ，求 DE GH+ 的值． 高二数学学科 试题 第1页(共 5页) 绝密★考试结束前 浙江省金兰教育合作组织 2024 学年第一学期期中考试 高二年级数学学科 试题 命题学校：柴桥中学 审题学校：龙赛中学 书生中学 考生须知： 1．本卷共 5 页满分 150分，考试时间 120 分钟。 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。 4．考试结束后，只需上交答题纸。 选择题部分（共 58 分） 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的） 1．设 ( )1,2,3a = 是直线 l的方向向量， ( )1, 2,1n = − 是平面α 的法向量，则（ ▲ ） A． / /l α 或 l α⊂ B． l α⊥ 或 l α⊂ C． l α⊥ D． / /l α 2．双曲线 2 26 3 1x y− = 的渐近线方程为（ ▲ ） A． 2x y= ± B． 2y x= ± C． 2x y= ± D． 2y x= ± 3．设{ , , }a b c    为空间的一个基底，若向量 xa yb zcp = + +     ，则向量 p  在基底{ , , }a b c    下的 坐标为 ( ), ,x y z ．若向量 q以{ , , }a b b c c a+ − −       为基底时的坐标为 ( )3, 1,2− ，则 q以{ }, ,a b c    为 基底时的坐标为（ ▲ ） A． ( )2, 3, 1− − B． ( )3, 1,2− C． ( )1,2,3 D． ( )1,2,1 4．设圆 1C ： 2 2 5x y+ = 和圆 2C ： 2 2 03 4x y x y+ + =+ 交于 A B、 两点，则弦 AB 的长度为（ ▲ ） A． 4 B． 2 2 C． 2 D．1 5．已知直线 1 : 1 0l x ay− + = ，直线 ( )2 2: 1 0,l ax a y a R+ − + = ∈（ ），则下列结论正确的是（ ▲ ） A．直线 1l 的斜率 1 a B．直线 2l 过定点 ( )1, 1− C．若 1 / /l 2l ，则 1a = 或 2a = − D．若 1l ⊥ 2l ，则 0a = 或 3a = 高二数学学科 试题 第2页(共 5页) 6．对于方程 2 2 1, , 2 2 tanx y π παα  + = ∈ −    表示的曲线C ，下列说法正确的是（ ▲ ） A．曲线C 只能表示圆、椭圆或双曲线 B．若α 为负角，则曲线C 为双曲线 C．若α 为正角，则曲线C 为椭圆 D．若C 为椭圆，则曲线C 的焦点在 x 轴上 7．已知二面角 lα β− − ，A、B 两点在棱 l 上，直线 AC ，BD分别在这个二面角的两个半平面内， 且都垂直于 l ．已知 43 12 4AB AC B CD D == = =, , , ，则二面角 lα β− − 的大小是（ ▲ ） A．30° B．60° C．120° D．150° 8．自 19 世纪之后，折纸艺术与自然科学结合到了一起，它开始在西方成为教育教学和科学研究的 工具．随着折纸过程中的数学之迷被解开，折纸发展成为了现代几何学的一个分支．现有一张半径 为 ( 0)r r > ，圆心为O的圆形纸片，在圆内选定一点 P 且 2 rOP = ．将圆形纸片翻折一角，使圆周 正好过点 P ，把纸片展开后，留下一条折痕，折痕上到O、 P 两点距离之和最小的点为M ．如此 反复，就能得到越来越多的折痕，设M 点的轨迹为曲线C ，线段OP 的中点为 N ，在C 上任取一 点Q，则 PQ NQ⋅   的最小值是（ ▲ ） A． 2 1 8 r B． 23 16 r C． 21 4 r D． 23 4 r 二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多个选 项符合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分） 9．在空间直角坐标系中，已知点 ( ) ( ) ( ) ( )1,1,0 1,0,2 0,1,3 2 1,1,A B C D x x− −， ， ， ，则下列结论 正确的是（ ▲ ） A．若 AD BC⊥ ，则 3 2 x = B. ( )0,3, 6u = − 是直线 AB 的一个方向向量 C． 3 2cos , 5 AB AC =   D． AB  在 BC  上的投影向量为 1 1 1, , 3 3 3  − −    10．已知圆 2 21 : 1C x y+ = ，圆 2 2 2 : 2 6 5 0C x y x y+ + − + = ，O为坐标原点，动点 P 在 x 轴上， 动点 ( )0 0,Q x y 在圆 1C 上，线段OQ 的中点为 M ．则下列选项正确的是（ ▲ ） A． M 的轨迹方程为 2 2 1 2 x y+ = B．过点 P 作圆 2C 的一条切线，则切线长最短为 2 C．圆 1C 和圆 2C 有两条公切线 D． 0 0 1 2 y x − + 的最大值为 4 3 高二数学学科 试题 第3页(共 5页) 11．已知 1 2,F F 分别为双曲线 ( ) 2 2 2 2: 1 0, 0 x yE a b a b − = > > 的左､右焦点，过 2F 的直线 l 与圆 2 2 2:O x y a+ = 相切于点M ，且直线 l 与双曲线 E 及其渐近线在第二象限的交点分别为 ,P Q ，则 下列说法正确的是（ ▲ ） A．直线OM 是 E 的一条渐近线 B．若 1 3MF OM= ，则 E 的渐近线方程为 y x= ± C．若 2 23QF MF= ，则 E 的离心率为 3 D．若 2 23PF MF= ，则 E 的离心率为 13 2 非选择题部分（共 92 分） 三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分） 12．直线 : 3 0l x y+ − = 的倾斜角为 ▲ ． 13．已知椭圆 2 2 1 9 5 x y + = 的左、右焦点分别为 1 2F F、 ，点 P 是椭圆上一点， 1 2 60F PF∠ = °，则 1 2PF F△ 的内切圆半径为 ▲ ． 14．如图，在正四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D− 中， 1 2 4AA AB= = ，顶点 A在平面α 内，其余顶点在α 的同侧，顶点 B、D 到平面α 的距离分别为 1 2 2 2 、 ，则顶点 1A 到平面α 的距离为 ▲ ． 高二数学学科 试题 第4页(共 5页) 四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题满分 13 分）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：若动点M 与两个定点 A、 B 的距离之 比为常数 ( 0, 1)λ λ λ> ≠且 ，则点 M 的轨迹是圆．后来，人们以他的名字命名这个圆，称为阿波罗 尼斯圆，简称阿氏圆．已知 ( ) ( )1,1 , 2,1A B ，圆C 上的点M 满足 2MA MB= ． （1）求圆C 的标准方程； （2）若直线 l 过原点，且直线 l 与圆C 相切，求直线 l 的方程． 16．（本题满分 15 分）如图，在三棱柱 1 1 1ABC A B C− 中， 1 2 2AB AA AC= = = ， 120BAC∠ = °， 1 60A AB∠ = °， 1AA AC⊥ ，M 、 N 分别是 1 1B C 、 1AA 的中点． （1）求 AM 的长； （2）求 AM 与 BN 所成角的余弦值． 17．（本题满分 15 分）已知双曲线C ： 2 2 1 4 5 x y − = ，直线 l 与双曲线C 交于 A、 B 两点． （1）若 A、 B 关于点 ( )4,3M 对称，求直线 l 的方程； （2）若直线 l 过 ( )0,1N ，且 A、 B 都在双曲线C 的左支，求直线 l 的斜率的取值范围． 高二数学学科 试题 第5页(共 5页) 18．（本题满分 17 分）如图，在四棱锥 P ABCD− 中，平面 PAD ⊥平面 ABCD，底面 ABCD为 直角梯形， / /AD BC ，AD CD⊥ ，PA PD⊥ ， 2 4 4AD PD BC= = = ， 3CD = ．在平面 ABCD 内过 B 作 / /BO CD，交 AD 于O，连 PO． （1）求证：平面 PAB ⊥平面 PCD； （2）求平面 PBC 与平面 PCD所成角的余弦值； （3）点 E 是平面 POB 上的动点，若直线 AE 与平面 PCD所成的角为30°，求OE 的最小值． 19．（本题满分 17 分）椭圆 1Γ ： ( ) 2 2 1 12 2 1 1 1 0x y a b a b + = > > ，椭圆 2Γ ： ( ) 2 2 2 22 2 2 2 1 0x y a b a b + = > > ， 若 ( )2 2 1 1 0a b a b λ λ= = > ，则椭圆 1Γ 与椭圆 2Γ 为相似椭圆，其中λ为相似比．已知椭圆 1Γ 的长轴长 为 4，且过点 22, 2        ，点 P 为椭圆 2Γ 上异于其左、右顶点 A、 B 的任意一点． （1）若 2λ = ，求椭圆 2Γ 的标准方程； （2）在（1）条件下，若与椭圆 1Γ 有且只有一个公共点的直线 1 2l l、 恰好相交于点 P ，直线 1 2l l、 的 斜率分别为 1 2k k、 ，求 1 2k k⋅ 的值； （3）若 3 2 λ = ，设直线 PA 与椭圆 1Γ 交于点 D 、 E ，直线 PB 与椭圆 1Γ 交于点G 、 H ，求 DE GH+ 的值．