山东省济宁市兖州区2024-2025学年高二上学期期中质量检测数学试题

2024一2025学年第一学期期中质量检测 高二数学试题 2024.11 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1.已知平面a的一个法向量为i=(4,一2，m),直线1的一个方向向量为4= (一1，-3,2)，若l∥a,则m=( A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.抛掷两枚质地均匀的硬币一次，设“第一枚硬币正面朝上”为事件A,“第二枚硬币 反面朝上”为事件B,则下述正确的是( A.A与B对立 B.A与B互斥 C.(A-+-B)>(A)+(B) D.A与B相互独立 3.已知圆M经过P(1,1),Q(2,一2)两点，且圆心M在直线1：x一y十1=0，则圆M 的标准方程是() A.(x-2)2+(y-3)2=5 B.(x-3)2+(y-4)2=13 C.(x+3)2+(y+2)2=25 D.(x+3)2+(y-2)2=25 4.甲、乙二人下围棋，若甲先着子，则甲胜的概率为0.6，若乙先着子，则乙胜的概率为 0.5,若采取三局两胜制（无平局情况），第一局通过掷一枚质地均匀的硬币确定谁 先着子，以后每局由上一局负者先着子，则甲通过前两局获得胜利的概率( A.0.5 B.0.6 C.0.357 D.0.275 5.在正方体ABCD一AB,CD中，E是棱DD1的中点，则直线EC与平面ACD所 成角的正弦值为( A.5 5 B.78 9 C.y10 5 D22 6.若直线l与圆C1：(x十1)十y2=1,圆C2:(x一1)2十y=4都相切，切点分别为 A、B,则AB引() A.1 B.2 C.3 D.22 7.已知点A(2,-3),B(-3,-2).若直线1：mx+y一m-1=0与线段AB无公共 点，则实数m的取值范围是( A（-4) B(信+∞）C(-o,-]U[4,+∞】D[-4,4] 高二数学试题第1页共4页 8.在棱长为1的正方体ABCD一ABCD中，E,F分别是BC,CD的中点，则直线 BD到平面EFD1B,的距离为() A停 B号 c n号 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知事件A,B发生的概率分别为P(A)=号，P(B)=号则下列说法正确的是 () APAB)=司 B若A与B互斥，则PA+B)=号 C.若A与B相互独立，则P(A十B)=号 D若P(AB)=3,则A与B相互独立 10.在平面直角坐标系xOy中，已知圆O:x2+y=产(r>0)与圆M:(x一6)2+y= 4,P,Q分别为圆O和圆M上的动点，下列说法正确的是() A.过点A(4,2)作圆M的切线有且只有一条 B.若圆O和圆M恰有3条公切线，则r=4 C.|PQ若的最小值为1，则r=3 D.若r=2,则直线PQ的斜率的最大值为5 5 1L.已知正方体ABCD一ABCD的棱长为2，如图，M为CC,上的动点，AM⊥平 面α，下面说法正确的是( A直线AB与平面α所成角的正弦值范围为[3,2 32 B.点M与点C重合时，平面α截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大 高二数学试题第2页共4页 C.点M为CC,的中点时，若平面a经过点B,则平面α截正方体所得截面图形是 等腰梯形 D.已知N为DD中点，当AM+MN的和最小时，则MC=2一√2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分」 12.已知直线1：(2k十1)x一ky一1=0（其中k为常数），圆O:x2十y2=8,直线l与圆O 相交于A,B两点，则AB长度最小值为 13.已知向量a=(2,一1,3)，b=(一2,2,1)，则向量a在向量b上的投影向量的坐标 为 14.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值 入（入>0且入≠1）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称 为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.若平面内两定点A、B间的距离为4，动点P满足 PB=瓦，当P,A,B不共线时，△PAB面积的最大值是 P 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1,2,3,4,5，甲、乙两 人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果 两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢！ (I)求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率： (Ⅱ)请用甲、乙获胜的概率说明这种游戏规则是否公平 16.(15分)已知直线1过定点P(-2,一3) (1)若Q(1,3)到直线1的距离为3，求直线1的方程： (2)若直线1分别与x轴，y轴的负半轴交于A,B两点，求△ABO(O为坐标原点) 面积的最小值及此时直线！的方程。 17.(15分)如图，在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PD⊥底面 ABCD,PD=DC=2AD=2,E是PC的中点. (1)求证：PA∥平面EDB: 高二数学试题第3页共4页 (②)已知点F在棱PB上，且直线EF与平面EDB所成角的正弦值为求线段 PF的长， 18.(17分)已知点Q为圆M:(x一2)十y=4上的动点，点V(6,0),延长NQ至点S 使得Q为NS的中点. (1)求点S的轨迹方程， (2)过圆M外点P向圆M引两条切线，且切点分别为A,B两点，求PA·P最小 值. (3)若直线1：y=kx十3与圆M交于D,E两点，且直线OD,OE的斜率分别为k1, k2,则k1十k2是否为定值？若是，求出该定值：若不是，请说明理由 19.(17分)空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐 标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间 斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为60°，我们将这种坐标系称为“斜60°坐标 系”.我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜60°坐标系”下向量的斜60°坐标： i,j,分别为“斜60°坐标系”下三条数轴(x轴、y轴、x轴)正方向的单位向量，若 向量n=xi十yj十之k,则n与有序实数组(x,y,z)相对应，称向量n的斜60°坐标 为[x,y,],记作=[x,y,]. B δ (1)若a=[1,2,3],b=[一1,1,2]，求a+b的斜60°坐标： (2)在平行六面体ABCD-ABCD中，AB=AD=2,AA1=3,∠BAD= ∠BAA=∠DAA=60°，V为线段D1C的中点.如图，以{AB,AD,AA}为基底 建立“空间斜60°坐标系” ①求BN的斜60°坐标： ②若AM=[2,一2,0]，求AM与BV夹角的余弦值. 高二数学试题第4页共4页高二数学试题参考答案： 一选择题 题号 1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 答案 B CD BD ACD 三填空题答案， 22_1 12.2513. 333 14.82 四解答题答案：· 15解：(1)设“甲胜且编号的和为6”为事件” y (xy) 甲编号为，乙编号为， 表示一个基本事件， 则两人摸球结果包括(1,2)，(1,3)，…，(1,5)，(2,1)，(2,2)，…，(54)， (5,5)共25个基本事件：3分 包括的基本事件有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)共5个.4 分 51 P氏=.甲胜且号的和为6的事件发生的概幸为行。 6分 (2)这种游戏不公平. B C 设“甲胜”为事件，“乙胜”为事件：甲胜即两个编号的和为偶数所包含基本事件数 为以下13个：(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)， (3,5),(42),(44),(5,1),(5,3), (5,5)）。9分 13 P(B)= 所以甲胜的概率为 2巧，l分 乙胜的概率 P9=1-13=12 2525,12分 ·PB≠PC .这种游戏规则不公平。…13分 答案第1页，共2页 16(1)当直线/斜率不存在时， 由'过P-2-》得5-2，满足2到的距离为3， 42分 当直线1斜率存在时，设直线方程为y=k(x+2)-3即：-y+2k-3=0, 点Q1到直线，的距离为：-3，解得6=子 V1+k2 4 此时直线的方程为=+2)-3即3x-4y-6=0, 综上所述，所求的直线方程为x=-2或3x-4y-6=0。 7分 A.B (2)若直线分别与”轴，》轴的负半轴交于4“两点， 则设直线1为32,<0,则-20a02-3 ，9分. 8m报-p4---}3-2w刘 12分 …14分 放4OB 3x+2y+12=0 面积的最小值为12，此时直线1的方程为 15分 17.(1)连结AC,交BD于点O,连结OE, 点E是PC的中点，点O是AC的中点，2分 所以PAIIOE,OEc平面EDB,PA文平面EDB, 所以PA/平面EDB:5分 (2)如图，以向量D1,D元，DP为产轴的正方向建立空间直角坐标系…7分 D0,0,0BL,2,0)E0,1,1P0,0,2 则DB=L20,DE=(0,1 设平面EDB的法向量厅=(x) D 答案第2页，共2页 DB·m=x+2y=0 则DEm=y+2=0，令y=-x=2'z=1 所以平面BDB的法向量防=(2- 10分 EB=(1,1,-1BP=(-l-2,2)BF=1BP=(-2,-22,2j(0<2<1 EF=EB+BF=(1,l,-1+-元，-2元，22=(1-元，1-2入，-1+2) .12分 设直线EF与平面EDB的夹角为a, 21--1-2-1+2A22 1-+1-2+-1+22x63·0<<1 解得1=6 3’14分 又PB=VPD+DC2+CB=3 则PF=3-3×6=15 i1i或PF=3-3x2 l15分 18.1)设Sx ,动点 e(xo-Yo) 由中点的坐标公式解得，=牛6， 22分 又0)在圆上，可得-2+=4，即可得x+2'+广=16 ·点S的轨迹方程是x+2+2=16 4分 (2)设PM=x>2).则PA=PB=P-4, sn∠MPM=2,cos∠APB=1-2sim'∠APM=1-8 2,6分 所以：m丽=PP网eos∠MPB-r-41-】 _E-4-到=r是-12z2厘-2=8w5-2 答案第3页，共2页 当且仅当2=32 ，即x=2时，等号成立， 所以P.P丽最小值为85-12 10分 (3)如下图所示： y=x+3 联立方程组(x-2y+y2=4,得1+)x2+(6k-4)x+9=0, 6k-4 x+x2= 1+k3 设 则 9 ，13分 D(x,y)E(x2.y2) +天 :+6=点+点=+3,3-2张+5+-2+34-64 x 93， 故k+k的值为定值，且定值为写。17分 19.4)由=23.6=-11,2 知a=i+2+3派，万=-7+7+2x 所以a+6=(i+27+3+-i+了+2)=3j+5乐，所以a+6=-03,,…4分 (2)设，了，天分别为与B,D,14同方向的单位向量， 则AB=27,AD=27.AA=3流 ).6分 0m-Bc+0G+CN-D+杯--2j+3证-ii+2j+3证， .BN=[-1,2,3] 10分 答案第4页，共2页 ②因为W-2-2,0,所以N=27-27, 则ad=2i-2引-2i-2=4+4疗P-8万=4+4-4=2,12分 BNV2j+3球-=5 :8m.M=(i+2j+3-(2i-2刃=4ij+6f--27-4-6kj+2ij=-3,…15分 cos<BN,AM>= BN·AM -315 BNAM1V15×210, √5 所以AM与BN的夹角的余弦值为1017分 答案第5页，共2页