重难点突破01 全等模型与辅助线构造全等(4方法+5题型+强化练习）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（沪科版）

第14章 重难点突破01 全等模型与辅助线构造全等 学习目标 ①掌握倍长中线构造全等的方法； ※②理解“一线三直角”、“旋转全等”等模型中的全等结构，并根据这些全等结构领悟利用旋转、作垂线等辅助线构造全等的方法； ※③根据已知条件，灵活构造辅助线解决问题。 方法01 “倍长中线法”构造全等 条件：出现中点或中线；问题：判断线段数量关系；方法：将过中点的线段延长一倍 模型： D(M)为BC中点 【即学即练1】如图，是的中线，在上取一点，连结并延长交于点，若，求证：． 方法02 “截长&补短法” 构造全等 条件：等腰三角形、角平分线等；问题：求证线段的和差倍分关系 方法：（需要证明两次全等） 截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。 案例：如图，求证BE+DC=AD 思路：①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE 总结：①在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段；②补短：将短线段延长，证与长线段相等。 【即学即练2】如图，四边形是正方形，E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F，求证：． 方法03 “作垂线”构造全等 条件：题干中出现“直角”、“等腰”；方法：根据全等三角形的常见模型作垂线 常见模型：一线三直角全等模型 【即学即练3】如图，中，，点在的边上，，以为直角边在同侧作等腰直角三角形，使，连接，若，则与的数量关系式是（    ） A． B． C． D． 方法04 利用“旋转变换”构造全等 ·常见模型1：“手拉手”全等模型 条件：等腰；方法：设∠BAC=α，将逆时针旋转α度得到 ·常见模型2：“半角”全等模型 条件：在正方形，正三角形，等腰直角三角形等图形中，过一个顶点的两条射线的夹角为顶角的一半； 方法：将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，新三角形与半角形成的三角形全等。 ≌ ≌ 【即学即练4】如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 ·辅助线添加方法分析：在添加辅助线的所有方法中，没有明确的方法界限，同样问题可以说是“作垂线”解题，也可以说利用“旋转”添加辅助线。 ·灵活添加辅助线，补全图形构造全等（延长线） 案例1. 条件：等腰已知，如图中，，，的平分线交于点，， 求证：. 辅助线：延长CA、BD交于点F→ ·其他构造全等的添加辅助线方法： Ⅰ.借助角平分线——连接角平分线上的点到两边对应点； 案例2：如图，OC平分∠MON，A、B分别为OM、ON上的点，且BO＞AO，AC＝BC 辅助线→ Ⅱ.借助垂直平分线——作等腰三角形 Ⅲ. 平移图形、对称图形等辅助线 【题型一：“倍长中线”辅助线构造全等】 例1．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围； （2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【题型二：“截长补短”辅助线构造全等】 例2．（23-24八年级·四川南充·期末）(1)阅读理解： 问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． (2)问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系并说明理由． 【题型三：利用“旋转”辅助三角形构造全等】 例3．（半角模型）（1）如图①，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： ； （2）如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，E，F分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： ． 变式3.（）如图：在四边形中，，，．，分别是，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系． 小明同学探究的方法是：延长到点．使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论是________（直接写结论，不需证明）；    （2）如图，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且是的二分之一，上述结论是否仍然成立，并说明理由；    （3）如图，四边形是边长为的正方形，，直接写出三角形的周长．    【题型四：补全图形构造全等】 例4．如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG． （1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由； （2）判断BEG的形状，并说明理由． 【题型五：作垂线构造全等】 例5．（22-23八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，在和中，，，，的延长线交于点． (1)求证：． (2)过点作于点，求证：． (3)若，，，求的度数． (4)过点作于点，试写出，，之间的数量关系，并证明． 例6．（22-23八年级上·安徽黄山·阶段练习）【问题背景】（1）如图1，在中，，，，，垂足为E．求证：； 【变式运用】（2）如图2，在中，，，．求； 【拓展迁移】（3）如图3，在中，，，与交于点，，，直接写出的值． 1．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）问题提出：． （1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，如图中，，，，P为上一点，当 时，与是偏等积三角形； 问题探究： （2）如图，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点C作交的延长线于点E，则的长度为 ； 问题解决： （3）如图，四边形是一片绿色花园，，，（）．与是偏等积三角形吗？请说明理由． 2．（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，等腰中，，，，点为射线上一动点，连接，作且．    (1)如图，过点作交于点，求证：； (2)如图，在（1）的条件下，连接交于点，若，求证：点为中点； (3)如图，当点在的延长线上时，连接与的延长线交于点，若，则________． 3．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，，，为射线上一点（不与点，重合），连接并延长到点，使得，连接，过点作的垂线交直线于点． (1)如图1，点在线段上，且． ①请补全图形； ②判断，，之间的数量关系，并证明． (2)如图2，若点在线段的延长线上，请画出图形，直接写出，，之间的数量关系． 4．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）综合与探究 [问题情境] （1）数学活动课上，老师出示了一个问题，如图（），在四边形中，平分，于点，且． 求证： 小明是这样思考的：因为平分，根据角平分线的性质， 所以过点作的延长线于点，先证明，再证明，即可证出， 小丽是这样思考的：根据截长补短的方法，延长至，使，连接，先证明，再证明，即可证出．请你帮助小明或小丽完成证明过程． [实践探究] （2）老师总结了他们的证明方法，有些题需要根据题的条件或求证添加辅助线，帮助我们完成证明过程．老师又出示了一个问题．如图（），在中，点为的中点，交于． ①求证：； ②求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14章 重难点突破01 全等模型与辅助线构造全等 学习目标 ①掌握倍长中线构造全等的方法； ※②理解“一线三直角”、“旋转全等”等模型中的全等结构，并根据这些全等结构领悟利用旋转、作垂线等辅助线构造全等的方法； ※③根据已知条件，灵活构造辅助线解决问题。 方法01 “倍长中线法”构造全等 条件：出现中点或中线；问题：判断线段数量关系；方法：将过中点的线段延长一倍 模型： D(M)为BC中点 【即学即练1】如图，是的中线，在上取一点，连结并延长交于点，若，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】延长至，使，连接，由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质可得，可得． 【详解】证明：如图，延长至，使，连接， ∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，中线的性质，等腰三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 方法02 “截长&补短法” 构造全等 条件：等腰三角形、角平分线等；问题：求证线段的和差倍分关系 方法：（需要证明两次全等） 截长：指在长线段中截取一段等于已知线段；补短：指将短线段延长，延长部分等于已知线段。 案例：如图，求证BE+DC=AD 思路：①在AD上取一点F，使得AF=BE，证DF=DC；②在AD上取一点F，使DF=DC，证AF=BE 总结：①在较长线段上截取一段等于某一短线段，再证剩下的那一段等于另一短线段；②补短：将短线段延长，证与长线段相等。 【即学即练2】如图，四边形是正方形，E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F，求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：如图所示，取的中点，并连接， ∴， ∵E是边的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵正方形外角的平分线为， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； 方法03 “作垂线”构造全等 条件：题干中出现“直角”、“等腰”；方法：根据全等三角形的常见模型作垂线 常见模型：一线三直角全等模型 【即学即练3】如图，中，，点在的边上，，以为直角边在同侧作等腰直角三角形，使，连接，若，则与的数量关系式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作EF⊥AC，垂足为F，根据全等的条件可得，△DBC≌△EDF，可得CD=EF=m，S△BDE+ S△BDC+ S△ADE，可得出m+n=5． 【详解】 解：作EF⊥AC，垂足为F ∴∠EFD= ∴∠BDC+∠DBC=90° ∵三角形是等腰直角三角形， ∴∠EDB=90°， ∴∠EDF+∠BDC=90°， ∴∠EDF=∠DBC 在△DBC和△EDF中 ∴△DBC≌△EDF（AAS） ∴CD=EF=m, ∵AC=3, ∴AD=AC-CD=3-m ∵S△BDE+ S△BDC+ S△ADE ∴ = 化简得： ， ∵n是的斜边，m是直角边 ∴n-m＞0 ∴ 故答案选：B 【点睛】本题主要考查了构造三角形全等，割补法求面积，因式分解，解决本题的关键是构造全等三角表示出面积． 方法04 利用“旋转变换”构造全等 ·常见模型1：“手拉手”全等模型 条件：等腰；方法：设∠BAC=α，将逆时针旋转α度得到 ·常见模型2：“半角”全等模型 条件：在正方形，正三角形，等腰直角三角形等图形中，过一个顶点的两条射线的夹角为顶角的一半； 方法：将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，新三角形与半角形成的三角形全等。 ≌ ≌ 【即学即练4】如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【答案】B 【分析】将关于对称得到，从而可得的面积为15，再根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，最后根据与的面积之和等于与的面积之和即可得． 【详解】解：如图，将关于AE对称得到， 则，， ， ， ， 在和中，， ， ， ，即是直角三角形， ， ， 即与的面积之和为21， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． ·辅助线添加方法分析：在添加辅助线的所有方法中，没有明确的方法界限，同样问题可以说是“作垂线”解题，也可以说利用“旋转”添加辅助线。 ·灵活添加辅助线，补全图形构造全等（延长线） 案例1. 条件：等腰已知，如图中，，，的平分线交于点，， 求证：. 辅助线：延长CA、BD交于点F→ ·其他构造全等的添加辅助线方法： Ⅰ.借助角平分线——连接角平分线上的点到两边对应点； 案例2：如图，OC平分∠MON，A、B分别为OM、ON上的点，且BO＞AO，AC＝BC 辅助线→ Ⅱ.借助垂直平分线——作等腰三角形 Ⅲ. 平移图形、对称图形等辅助线 【题型一：“倍长中线”辅助线构造全等】 例1．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围； （2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2），见解析；（3），见解析 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形三边关系的应用、全等三角形综合问题、倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题) 【分析】（1）由已知得出，即为的一半，即可得出答案； （2）延长至点M，使，连接，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论； （3）延长交于点G，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论． 【详解】解：（1）如图①，延长到点E，使，连接， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 延长至点M，使，连接，如图②所示． 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由三角形的三边关系得： ， ∴； （3），理由如下： 如图③，延长交于点G， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，作辅助线—倍长中线法、全等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键． 【题型二：“截长补短”辅助线构造全等】 例2．（23-24八年级·四川南充·期末）(1)阅读理解： 问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． (2)问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3），见解析 【分析】（1）方法1：在上截取，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证；方法：延长到，使，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证 （2），，之间的数量关系为．方法1：在上截取，连接，由知，得出，为等边三角形，证明，得出，进而即可得证；方法：延长到，使，连接，由知，则，是等边三角形，证明，得出，进而即可得证； （3）线段、、之间的数量关系为，连接，过点作于点，证明，和，得出，进而即可得证． 【详解】解：（1）方法1：在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； 方法：延长到，使，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； （2），，之间的数量关系为． 方法1：理由如下： 如图，在上截取，连接， 由知， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ． 方法：理由：延长到，使，连接， 由知， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； （3）线段、、之间的数量关系为． 连接，过点作于点， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ， 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 【题型三：利用“旋转”辅助三角形构造全等】 例3．（半角模型）（1）如图①，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： ； （2）如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，E，F分别是边所在直线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系： ． 【答案】（1）；（2）（1）中的结论仍然成立，理由见解析；（3） 或 或 【分析】（1）如图1，延长到G，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （2）如图2，同理可得：； （3）如图3，作辅助线，构建，同理证明和．可得新的结论：；如图4，作辅助线，同理证明和，可得新结论； 【详解】解：（1）如图1，延长到G，使，连接． 在与中， ， ∴． ∴， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴； （2）（1）中的结论仍然成立． 理由如下：如图2，延长到G，使，连接． ∵， ∴， 在与中， ， ∴． ∴， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴； （3）图2中，成立， 图3中，，理由如下： 在上截取，使，连接． ∵， ∴． 在与中， ， ∴． ∴． ∴． ∴． 在和中， ， ∴． ∴， ∵， ∴． 图4中，，理由如下： 在上截取，使，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和 中， ， ∴， ∴， ∴； 综上所述，线段 之间的数量关系为： 或 或， 故答案为： 或 或． 【点睛】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定与性质、平角的定义等知识，本题综合性强，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键，属于中考常考题型． 变式3.（）如图：在四边形中，，，．，分别是，上的点．且．探究图中线段，，之间的数量关系． 小明同学探究的方法是：延长到点．使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论是________（直接写结论，不需证明）；    （2）如图，若在四边形中，，，、分别是，上的点，且是的二分之一，上述结论是否仍然成立，并说明理由；    （3）如图，四边形是边长为的正方形，，直接写出三角形的周长．    【答案】（）；（）结论仍然成立，；（）． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（）延长到点，使，连结，由“”可证，可得，，再由“”可证，可得，即可解题； （）延长到，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （）延长到，使，连接，由“”可证，可得，，由“”可证，可得，可得，即可求解． 【详解】（1）延长到点，使，连结， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）结论仍然成立，理由如下：如图，延长到，使，连接，      ∵， ∴， 同（）理：， ∴，， ∵， ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）如图，延长到，使，连接，      ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长． 【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质和判定是解答本题的关键． 例4．（22-23八年级上·安徽六安·期末）如图，，且，，且． (1)如图1，连接、，求证：； (2)如图2，求证； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（1）首先根据题意得到，然后证明，进而得到； （2）首先根据题意得到，然后证明，得到，然后利用三角形面积公式即可求解． 【详解】（1），， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）作交的延长线于，作于N， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定． 【题型四：补全图形构造全等】 例4．如图，ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，过点B作BE⊥AD，交AD延长线于点E，F为AB的中点，连接CF，交AD于点G，连接BG． （1）线段BE与线段AD有何数量关系？并说明理由； （2）判断BEG的形状，并说明理由． 【答案】（1）BE＝AD，见解析；（2）BEG是等腰直角三角形，见解析 【分析】（1）延长BE、AC交于点H，先证明△BAE≌△HAE，得BE＝HE＝BH，再证明△BCH≌△ACD，得BH＝AD，则BE＝AD； （2）先证明CF垂直平分AB，则AG＝BG，再证明∠CAB＝∠CBA＝45°，则∠GAB＝∠GBA＝22.5°，于是∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°，可证明△BEG是等腰直角三角形． 【详解】证：（1）BE＝AD，理由如下： 如图，延长BE、AC交于点H， ∵BE⊥AD， ∴∠AEB＝∠AEH＝90°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠HAE， 在△BAE和△HAE中， ， ∴△BAE≌△HAE（ASA）， ∴BE＝HE＝BH， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCH＝180°﹣∠ACB＝90°＝∠ACD， ∴∠CBH＝90°﹣∠H＝∠CAD， 在△BCH和△ACD中， ， ∴△BCH≌△ACD（ASA）， ∴BH＝AD， ∴BE＝AD． （2）△BEG是等腰直角三角形，理由如下： ∵AC＝BC，AF＝BF， ∴CF⊥AB， ∴AG＝BG， ∴∠GAB＝∠GBA， ∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝∠CBA＝45°， ∴∠GAB＝∠CAB＝22.5°， ∴∠GAB＝∠GBA＝22.5°， ∴∠EGB＝∠GAB+∠GBA＝45°， ∵∠BEG＝90°， ∴∠EBG＝∠EGB＝45°， ∴EG＝EB， ∴△BEG是等腰直角三角形． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，理解等腰直角三角形的基本性质，并且掌握全等三角形中常见辅助线的作法是解题关键． 【题型五：作垂线构造全等】 例5．（22-23八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，在和中，，，，的延长线交于点． (1)求证：． (2)过点作于点，求证：． (3)若，，，求的度数． (4)过点作于点，试写出，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) (4)，理由见解析 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等三角形综合问题 【分析】（1）只需要利用证明，即可证明； （2）利用证明即可证明； （3）利用三角形内角和定理结合求出，，则，由全等三角形的性质得到，即可利用三角形内角和定理得到，则 ； （4）如图所示，过点A作于M，连接，先证明，得到，再证明，得到，即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3）解：设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （4）解：，理由如下： 如图所示，过点A作于M，连接， ∵，， ∴（全等三角形对应边上的高相等）， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 例6．（22-23八年级上·安徽黄山·阶段练习）【问题背景】（1）如图1，在中，，，，，垂足为E．求证：； 【变式运用】（2）如图2，在中，，，．求； 【拓展迁移】（3）如图3，在中，，，与交于点，，，直接写出的值． 【答案】（1）详见解析；（2）2；（3）8． 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】（1）通过，，，找到，证，即可得到结果； （2）过点B作，垂足为E，结合（1）的结果可进行计算； （3）过点B作，垂足为F，结合（1）的结果可进行计算． 【详解】解：（1），， ， ，， ， 在与中， ， ； （2）过点B作，垂足为E， ，， 由（1）知，， ； （3）过点B作，垂足为F， ，， 由（1）知，， ， ，，， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形面积公式；按照“问题背景”证明三角形全等是解题的关键． 1．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）问题提出：． （1）我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形，如图中，，，，P为上一点，当 时，与是偏等积三角形； 问题探究： （2）如图，与是偏等积三角形，，，且线段的长度为正整数，过点C作交的延长线于点E，则的长度为 ； 问题解决： （3）如图，四边形是一片绿色花园，，，（）．与是偏等积三角形吗？请说明理由． 【答案】（1）；（2）3；（3）是，理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等三角形综合问题、三角形三边关系的应用 【分析】（1）连接，由与在、边上的高相等，可知当点为中点时，与面积相等，但此时与不全等，所以，与是偏等积三角形，则，于是得到答案； （2）先由与是偏等积三角形，且与在、边上的高相等，得，再证明，得，，由三角形的三边关系得，则，而是正整数，则； （3）先证明，再由，，说明与不全等，作于点，交的延长线于点，可证明，得，即可证明与面积相等，从而证明与是偏等积三角形． 【详解】解：（1）如图1，连接， 与在、边上的高相等， 当，与面积相等， ，， ， ，，， 与不全等， 此时与是偏等积三角形， 故答案为：． （2）如图2，与是偏等积三角形，且与在、边上的高相等， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，且，， ， ， 线段的长度为正整数， ， 故答案为：3． （3）与是偏等积三角形， 理由：如图3， ， ， ， ， ， ，， 与不全等， 作于点，交的延长线于点，则， ， ， 在和中， ， ， ， ， 与面积相等， 与是偏等积三角形． 【点睛】此题重点考查新定义问题的求解、三角形的三边关系、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 2．（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，等腰中，，，，点为射线上一动点，连接，作且．    (1)如图，过点作交于点，求证：； (2)如图，在（1）的条件下，连接交于点，若，求证：点为中点； (3)如图，当点在的延长线上时，连接与的延长线交于点，若，则________． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、对顶角相等、垂线的定义理解、同(等)角的余(补)角相等的应用 【分析】（1）根据同角的余角相等得到，即可根据证明； （2）证明，得出，根据，得出，根据，，即可证明结论； （3）作，交的延长线于一点，由（1）（2）可知，，，根据全等三角形的性质计算即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ∵， ∴， 在和中， ， ． （2）证明：， ∴ 在和中， ， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ， ∴ 点为的中点； （3）解：如图，作，交的延长线于一点，    由（1）知， ，设，， ， ， ， ， 由（2）知， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂线的定义，余角的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 3．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在中，，，为射线上一点（不与点，重合），连接并延长到点，使得，连接，过点作的垂线交直线于点． (1)如图1，点在线段上，且． ①请补全图形； ②判断，，之间的数量关系，并证明． (2)如图2，若点在线段的延长线上，请画出图形，直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)①见解析；②，证明见解析 (2)画图见解析， 【知识点】全等三角形综合问题、证一条线段等于两条线段和差（全等三角形的辅助线问题） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质； （1）①根据题意画出图形即可；②作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证； （2）根据题意画出图形，作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证． 【详解】（1）解：①补全图形如图所示： ②， 证明：如图，作交的延长线于， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）解：画出如图所示： 关系：， 作交的延长线于， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 4．（24-25八年级上·辽宁鞍山·期中）综合与探究 [问题情境] （1）数学活动课上，老师出示了一个问题，如图（），在四边形中，平分，于点，且． 求证： 小明是这样思考的：因为平分，根据角平分线的性质， 所以过点作的延长线于点，先证明，再证明，即可证出， 小丽是这样思考的：根据截长补短的方法，延长至，使，连接，先证明，再证明，即可证出．请你帮助小明或小丽完成证明过程． [实践探究] （2）老师总结了他们的证明方法，有些题需要根据题的条件或求证添加辅助线，帮助我们完成证明过程．老师又出示了一个问题．如图（），在中，点为的中点，交于． ①求证：； ②求证：． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析． 【知识点】角平分线的有关计算、同(等)角的余(补)角相等的应用、全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和HL综合（HL） 【分析】（1）根据题干所给证明方法完善证明过程即可得解； （2）①由得，由，，根据同角的余角相等即可得解；②过作交的延长线于点，则，进而得，证明，得，，再证明得，即可得证． 【详解】（1）证明∶小明∶过点作的延长线于点， ∵平分，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ， ∴； 小丽∶延长至，使，连接， ∵， ∴， ∵平分 ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）①∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②过作交的延长线于点， ∴， ∴， ∴， ， ， ∵，，， ∴， ∴，， ∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，同角的余角相等，中点定义，角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$