精品解析：山东省淄博第六中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

2024—2025学年第一学期期中学分认定考试 高一数学学科试题 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，共58分；第Ⅱ卷为非选择题，共92分；满分150分，考试时间为120分钟． 2．客观题请将选出的答案标号（A、B、C、D）涂在答题卡上，主观题用0.5mm黑色签字笔答题． 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简集合A并求出其补集，然后求得解. 【详解】因，则，于是得， 而，所以. 故选：D 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用存在量词命题的否定判断即得. 【详解】命题“，”是存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以命题“，”的否定是，. 故选：C 3. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用指数运算及指数函数单调性比较大小. 【详解】依题意，，而， 所以. 故选：A 4. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数解析式以及整体代入法求函数值即可. 【详解】； ； . 故选：B. 5. 已知幂函数是定义域上的奇函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数的定义，得到方程，求得的值，结合幂函数的性质，即可求解. 【详解】因为函数为幂函数，可得，解得或， 当时，可得，此时函数为奇函数，符合题意； 当时，可得，此时函数为偶函数，不符合题意，舍去， 所以. 故选：D. 6. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出定义域，再利用二次函数单调性判断出结果. 【详解】函数的定义域需要满足，解得定义域为， 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 故选：D. 7. “”是“满足对任意都有成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数单调性求得，利用包含关系分析充分、必要条件. 【详解】若，不妨令，则， 则，即，可知函数单调递减， 可得，解得， 因为是的真子集， 所以“”是“满足对任意都有成立”的充分不必要条件. 故选：A. 8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：．已知，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出的值域，然后根据高斯函数的定义即可得出答案. 【详解】，因为，所以， ，所以函数值域为. 故选：C 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】逐项判断各个函数的奇偶性及在上的单调性即可. 【详解】对于A，的定义域为，且，即为奇函数，A错误； 对于B，的定义域为，， 则为偶函数， 当时，函数在上单调递增，B正确； 对于C，的定义域为，，即为偶函数， 函数在上单调递增，C正确； 对于D，的定义域为，且， 为偶函数，在上单调递减，D错误. 故选：BC 10. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，由对数的运算，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于选项A：，故选项A正确； 对于选项B：，故选项B错误； 对于选项C：，故选项C正确； 对于选项D：，所以选项D正确. 故选：ACD. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则的最大值为4 B. ，则的最小值是4 C. 当取得最大值 D. 的最小值为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题意，结合基本不等式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中：由， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为4，所以A错误； 对于B中：若，满足，可得，所以B不正确； 对于C中：当，可得， 当且仅当时，即，等号成立，所以C正确； 对于D中：由，当且仅当取等号， 即，显然该方程无实根，对勾函数最小值取，代入可得最小为，所以D正确. 故选：CD. 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 设函数，若，则实数________． 【答案】或． 【解析】 【分析】根据分段函数的定义分类讨论求解． 【详解】时，，， 时，，， 故答案为：或． 13. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用指数函数的图象与性质得，与结合可得． 【详解】由题意，解得. 故答案为：． 14. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．利用该结论，函数图象的对称中心为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由立方和公式凑配，然后由图象变换得奇函数，从而得结论． 【详解】, 是奇函数， 所以的对称中心是， 故答案为：． 四、解答题（本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合， （1）时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入求集合，根据交集的定义即可得解； （2），即，分和两种情况讨论，从而可得出答案. 【小问1详解】 解：若，则， 又， 所以； 【小问2详解】 解：因为，所以， 当时， 则，解得， 此时，符合题意， 当时， 则，解得， 综上所述， 所以若，m的取值范围为. 16. 已知关于x的不等式的解集为或 （1）求实数b，c的值； （2）求函数在上的最小值. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集以及根与系数关系列方程组来求得. （2）对进行分类讨论，结合二次函数的性质求得. 【小问1详解】 由已知得关于的方程的两根1，3， 由韦达定理，，∴. 【小问2详解】 由（1）得， 图象的对称轴为直线，， 当即时，在上单调递减， ∴； 当即时，在上单调递减，在上单调递增， （或由二次函数的性质得）∴； 当时，在上单调递增， ∴； 综上，. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求的值，并用定义证明函数在区间上的单调性； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1），，在上是增函数， 证明：，对任意的，， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 所以在上是增函数； （2）． 【解析】 【分析】（1）由及求得，然后由单调性的定义证明； （2）利用奇偶性变形不等式，再由单调性求解． 【小问1详解】 在上的奇函数，则，， ，，. 在上是增函数，证明略. 【小问2详解】 是奇函数， 则不等式化为， 又是上的增函数， 所以，解得． 18. 某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺设花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个角上铺设草坪，造价为每平方米80元． （1）设AD长为x米，总造价为S元，试建立S关于x的函数关系式； （2）问：当x为何值时S最小，并求出这个S最小值. 【答案】（1） （2），118000元 【解析】 【分析】（1）根据题意，建立函数关系式即可； （2）根据题意，由（1）中的函数关系式，结合基本不等式即可得到结果. 【小问1详解】 由题意可得，，且，则， 则 【小问2详解】 由（1）可知， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以，当米时，元. 19. 定义：若函数在其定义域内存在实数，使，则称是的一个不动点.已知函数. （1）当，时，求函数的不动点； （2）若对任意的实数，函数恒有两个不动点，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，若图象上两个点、的横坐标是函数的不动点，且、的中点在函数的图象上，求的最小值. 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意解方程即可， （2）由题意可得方程有两个不相等的实根，得，再由可求得结果， （3）设，，，则，，再由题意可得，结合根与系数的关系得，表示出结合二次函数的性质可求得结果. 【小问1详解】 ，由，解得或， 所以所求的不动点为或. 【小问2详解】 令，则①， 由题意，方程①恒有两个不等实根，所以， 即恒成立，则，故. 【小问3详解】 设，，， 又是的不动点，∴，， ∴、的中点为. 又的中点在上 ∴， ∴， 而是方程的两个根， ∴ 即 ∴， ∴当，即时，. 【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合问题，考查函数的新定义，解题的关键是对函数新定义的正确理解，考查计算能力，属于较难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年第一学期期中学分认定考试 高一数学学科试题 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，共58分；第Ⅱ卷为非选择题，共92分；满分150分，考试时间为120分钟． 2．客观题请将选出的答案标号（A、B、C、D）涂在答题卡上，主观题用0.5mm黑色签字笔答题． 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，若，则（ ） A. B. C. 3 D. 5 5. 已知幂函数是定义域上的奇函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 函数的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 7. “”是“满足对任意都有成立”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数，例如：．已知，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的函数是（ ） A. B. C. D. 10. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则的最大值为4 B. ，则的最小值是4 C. 当取得最大值 D. 的最小值为 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 设函数，若，则实数________． 13. 已知函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则______． 14. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．利用该结论，函数图象的对称中心为_________． 四、解答题（本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知集合， （1）时，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知关于x的不等式的解集为或 （1）求实数b，c的值； （2）求函数在上的最小值. 17. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求的值，并用定义证明函数在区间上的单调性； （2）若，求实数的取值范围． 18. 某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺设花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个角上铺设草坪，造价为每平方米80元． （1）设AD长为x米，总造价为S元，试建立S关于x的函数关系式； （2）问：当x为何值时S最小，并求出这个S最小值. 19. 定义：若函数在其定义域内存在实数，使，则称是的一个不动点.已知函数. （1）当，时，求函数的不动点； （2）若对任意的实数，函数恒有两个不动点，求的取值范围； （3）在（2）的条件下，若图象上两个点、的横坐标是函数的不动点，且、的中点在函数的图象上，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $