江西省南昌二十八中教育集团2024-2025学年八年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年江西省南昌二十八中教育集团八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分。在每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1．（3分）如图图形中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图所示的卡钳，点O为卡钳两柄交点，且有OA＝OB＝OC＝OD，如果圆形工件恰好通过卡钳AB，则此工件的外径必是CD之长了，其中的依据是全等三角形的判定条件（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 3．（3分）已知正多边形的一个外角是30度，这个正多边形的边数是（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 4．（3分）如图，△ABN≌△ACM，点B，M，N，C在一条直线上，若BC＝11，BM＝3，则MN的长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．8 5．（3分）如图，AH⊥BC，M为BC上一点，则以AH为高的三角形的个数是（　　） A．6 B．5 C．4 D．3 6．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（　　） A．2.4 B．4.8 C．4 D．5 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分） 7．（3分）已知点A（m，﹣3）与点B（2，n）关于y轴对称，则m+n＝ 　 　． 8．（3分）若a、b、c是三角形的三边长，且满足|a﹣c|+（b﹣c）2＝0，则此三角形是 　 　三角形． 9．（3分）如图，在△ABC中，D、E分别是BC，AD的中点，△ABC的面积为16，则△ACE的面积为 　 　． 10．（3分）如图，小明用10块高度都是1cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放一个等腰直角三角尺ABC，点C在DE上，点A，B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 　 　cm． 11．（3分）如图，∠1＝20°，∠2＝30°，∠BDC＝95°，则∠A的度数是 　 　． 12．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＜∠B，点D为AB边上一点且不与A、B重合，将△ACD沿CD翻折得到△ECD，直线CE与直线AB相交于点F．若∠A＝40°，当△DEF为等腰三角形时，∠ACD＝ 　 　． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 13．（6分）一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求这个多边形的边数． 14．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝14，DC＝5，求△ABD的面积？ 15．（6分）用一条长为25cm的细绳能围成有一边长为9cm的等腰三角形吗？如果能，请求出它的底边长？ 16．（6分）如图①是某种型号拉杆箱的实物图，如图②是它的几何示意图，行李箱的侧面可看成一个矩形，点F、C、D在同一直线上，为了拉箱时的舒适度，现将∠ABD调整为75°，∠D保持不变，则图中∠ECF应为多少度？ 17．（6分）如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝63°，求∠1的度数？ 四、（本题共3小题，每小题8分，共24分） 18．（8分）如图，已知△ABC是等边三角形，D、E分别在AB、AC边上． （1）若DE∥BC，求证：△ADE是等边三角形． （2）若BD＝CE，求证：△ADE是等边三角形． 19．（8分）已知图①、图②都是轴对称图形．仅用无刻度直尺，按要求完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）： （1）在图①中，作出该图形的对称轴l； （2）在图②中，作出点P的对称点P'． 20．（8分）在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，点E是线段AC上的动点（不与点D重合），过点E作EF∥BC交射线BD于点F，∠CEF的平分线所在直线与射线BD交于点G．如图，点E在线段AD上运动． （1）若∠ABC＝40°，∠C＝60°，则∠A的度数是　 　；∠EFB的度数是　 　； （2）设∠BGE＝m，∠A＝n，请用含m的式子表示n，并说明理由． 五、（本题共2小题，每小题9分，共18分） 21．（9分）如图，点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C、D． 求证：（1）∠ECD＝∠EDC； （2）OC＝OD； （3）OE是线段CD的垂直平分线． 22．（9分）【概念认识】 如图①，在∠ABC中，若∠ABD＝∠DBE＝∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”其中，BD是“邻AB三分线”，BE“邻BC三分线”． 【问题解决】 （1）如图①，∠ABC＝60°，BD，BE是∠ABC的“三分线”，则∠ABE＝ 　 　°； （2）如图②，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝45°，若∠B的“邻BC三分线”BD交AC于点D，则∠BDC＝ 　 　°； （3）如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻AB“三分线”和∠ACB邻AC“三分线”，且BP⊥CP，求∠A的度数． 六、（本题12分） 23．（12分）问题情境：如图1，在直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，可知：∠BAD＝∠C（不需要证明）； 特例探究：如图2，∠MAN＝90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，且AB＝AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．证明：△ABD≌△CAF； 归纳证明：如图3，点B，C在∠MAN的边AM、AN上，点E，F在∠MAN内部的射线AD上，∠1、∠2分别是△ABE、△CAF的外角．已知AB＝AC，∠1＝∠2＝∠BAC．求证：△ABE≌△CAF； 拓展应用：如图4，在△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．点D在边BC上，CD＝2BD，点E、F在线段AD上，∠1＝∠2＝∠BAC．若△ABC的面积为15，则△ACF与△BDE的面积之和为 　 　． 2024-2025学年江西省南昌二十八中教育集团八年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分。在每小题列出的四个选项中只有一项是最符合题目要求的） 1．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】解：选项B、C、D的图形均能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形； 选项A的图形不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形； 故选：A． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2．【分析】连接AB、CD，然后利用“边角边”证明△ABO和△DCO全等，根据全等三角形对应边相等解答． 【解答】解：如图，连接AB、CD， 在△ABO和△DCO中，， ∴△ABO≌△DCO（SAS）， ∴AB＝CD． 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 3．【分析】多边形的外角和是360°，正多边形的每个外角都相等，且一个外角的度数为30°，由此即可求出答案． 【解答】解：因为360÷30＝12， 则正多边形的边数为12． 故选：D． 【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理，已知正多边形的外角求正多边形的边数是一个考试中经常出现的问题． 4．【分析】利用△ABN≌△ACM得到BN＝CM，从而得到BM＝CN，然后利用MN＝BC﹣BM﹣CN求解即可． 【解答】解：∵△ABN≌△ACM， ∴BN＝CM， ∴BM＝CN， ∵BC＝11，BM＝3， ∴MN＝BC﹣BM﹣CN＝11﹣6＝5， 故选：B． 【点评】考查了全等三角形的性质，解题的关键是了解全等三角形的对应角相等，对应边相等，难度不大． 5．【分析】根据图形可得，以AH为高的三角形有△ABM、△AMH、△ACH、△ABH、△AMC、△ABC共6个三角形． 【解答】解：由图可知，以AH为高的三角形有△ABM、△AMH、△ACH、△ABH、△AMC、△ABC共6个三角形， 所以只有A选项正确，符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查三角形的角平分线、中线和高，熟记三角形高的定义是解决问题的关键． 6．【分析】过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q，由AD是∠BAC的平分线．得出PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度，运用S△ABC＝AB•CM＝AC•BC，得出CM的值，即PC+PQ的最小值． 【解答】解：如图，过点C作CM⊥AB交AB于点M，交AD于点P，过点P作PQ⊥AC于点Q， ∵AD是∠BAC的平分线． ∴PQ＝PM，这时PC+PQ有最小值，即CM的长度， ∵AC＝6，AB＝10，∠ACB＝90°，BC＝8， ∵S△ABC＝AB•CM＝AC•BC， ∴CM＝＝， 即PC+PQ的最小值为． 故选：B． 【点评】本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足PC+PQ有最小值时点P和Q的位置． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共计18分） 7．【分析】根据关于y轴对称的点的坐标特点解答即可． 【解答】解：∵点A（m，﹣3）与点B（2，n）关于y轴对称， ∴m＝﹣2，n＝﹣3， ∴m+n＝﹣2﹣3＝﹣5． 故答案为：﹣5． 【点评】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解题的关键是熟练的掌握关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同． 8．【分析】根据非负数的性质求出a、b、c的关系，即可判定三角形的形状． 【解答】解：∵|a﹣c|+（b﹣c）2＝0， ∴a﹣c＝0，b﹣c＝0， ∴a＝b＝c， ∴这个三角形一定是等边三角形， 故答案为：等边． 【点评】本题考查偶次方的非负数的性质、绝对值的非负数的性质，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 9．【分析】根据三角形的中线将三角形分成的两个三角形的面积相等可以求解． 【解答】解：∵D、E分别是BC，AD的中点， ∴S△ACE＝S△CDE＝S△ABC＝16×＝4； 故答案为：4． 【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，三角形的面积，熟练掌握三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分是解题的关键． 10．【分析】根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性质进行解答． 【解答】解：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°， ∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°， ∴∠BCE＝∠DAC， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； 由题意得：AD＝EC＝3cm，DC＝BE＝7cm， ∴DE＝DC+CE＝10（cm）， 答：两堵木墙之间的距离为10cm． 故答案为10． 【点评】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件． 11．【分析】根据三角形的内角和等于180°列式求出∠DBC+∠DCB，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【解答】解：∵∠BDC＝95°， ∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣95°＝85°， ∵∠1＝20°，∠2＝30°， ∴∠ABC+∠ACB＝85°+20°+30°＝135， 在△ABC中，∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣135°＝45°． 故答案为：45°． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，是基础题，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键． 12．【分析】当△DEF为等腰三角形时，分别讨论腰的情况． 【解答】解：△DEF为等腰三角形时， 根据折叠变换的性质可得∠A＝∠E＝40°，∠ACD＝∠ECD， ①当DF＝DE时，∠E＝∠DFE＝40°，如图， ∴∠CFB＝40°， ∵∠B＝50°， ∴∠FCB＝90°，显然不符合题意； ②当EF＝DE时，∠E＝40°，如图， ∴∠EDF＝∠EFD＝＝70°， ∴∠CFB＝70°， ∴∠ACF＝70°﹣40°＝30°， ∴∠ACD＝15°； ③当EF＝DF时，∠E＝∠FDE＝40°，如图， ∴∠DFE＝180°﹣40°﹣40°＝100°， ∴∠ACE＝100°﹣40°＝60°， ∴∠ACD＝30°； ④当点E在线段AB上侧时，DE＝EF，如图， ∵△ACD沿CD翻折得到△ECD， ∴∠CAD＝∠CED＝40°， ∴∠EDF＝∠EFD＝20°， ∴∠ADC＝＝80°， ∴∠ACD＝180°﹣40°﹣80°＝60°； 故答案为15°或30°或60°． 【点评】本题主要考查折叠变换、等腰三角形、三角形外角定理，解题关键是分类讨论求解． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 13．【分析】一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，而外角和是360°，则内角和是4×360°．n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数． 【解答】解：设这个多边形的边数是n，则 （n﹣2）×180＝360×4， n﹣2＝8， n＝10． 答：这个多边形的边数是10． 【点评】考查了多边形内角与外角，此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程求解即可． 14．【分析】作DE⊥AB，垂足为E，根据角平分线的性质求出DE的长，再根据三角形的面积公式解答即可． 【解答】解：如图：作DE⊥AB，垂足为E， ∵AD平分∠BAC， ∴CD＝ED＝5， ∴S△ABD＝×AB×DE ＝×14×5 ＝35． 【点评】本题考查了角平分线的性质，根据题意作出辅助线是解题的关键． 15．【分析】利用分类讨论，令9cm分别为腰和底边的方法求出是否可以组成三角形，然后得出底边长度． 【解答】解：能围成有一边长为的等腰三角形，三角形的底边为9cm或7cm，理由如下： 当底边长为9cm时，则每个腰长为（25﹣9）÷2＝8cm， ∵8+8＞9， ∴能围成有底边长为9的等腰三角形， 当腰长为9cm时，则底边长为25﹣9﹣9＝7cm， ∵7+9＞9， ∴能围成有腰长为9的等腰三角形， 由上可得，三角形的底边为9cm或7cm． 【点评】本题考查等腰三角形的性质、三角形三边关系，明确题意，利用分类讨论的数学思想解答是解答本题的关键． 16．【分析】根据三角形外角的性质得到∠BCD＝∠ABD﹣∠D＝40°，再由平角的定义即可求出∠ECF． 【解答】解：∵∠ABD＝75°，∠D＝35°， ∴∠BCD＝∠ABD﹣∠D＝75°﹣35°＝40°， ∵∠ACE＝90°， ∴∠ECF＝180°﹣∠BCD﹣∠ACE＝180°﹣40°﹣90°＝50°， 答：∠ECF应为50°． 【点评】此题考查了三角形外角的性质，掌握平角的定义是解题的关键． 17．【分析】根据三角形内角和定理求出∠2+∠4＝117°，再证明∠3＝∠4＝2∠2，求出∠2即可解决问题． 【解答】解：∵∠BAC＝63°， ∴∠2+∠4＝180°﹣63°＝117°． ∵∠3＝∠1+∠2，∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠4＝∠3＝2∠2， ∴3∠2＝117°， ∴∠2＝39°， ∴∠1＝39°． 【点评】本题考查三角形内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和定理和三角形的外角性质． 四、（本题共3小题，每小题8分，共24分） 18．【分析】（1）由等边三角形的性质得∠A＝∠B＝∠C＝60°，由DE∥BC，得∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，则∠ADE＝∠AED，所以AD＝AE，即可由AD＝AE，∠A＝60°，证明△ADE是等边三角形； （2）由等边三角形的性质得AB＝AC，∠A＝60°，而BD＝CE，则AB﹣BD＝AC﹣CE，所以AD＝AE，即可由AD＝AE，∠A＝60°，证明△ADE是等边三角形． 【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C， ∴∠ADE＝∠AED， ∴AD＝AE， ∵AD＝AE，∠A＝60°， ∴△ADE是等边三角形． （2）∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠A＝60°， ∵BD＝CE， ∴AB﹣BD＝AC﹣CE， ∴AD＝AE， ∵AD＝AE，∠A＝60°， ∴△ADE是等边三角形． 【点评】此题重点考查等边三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，推导出AD＝AE，且∠A＝60°是解题的关键． 19．【分析】（1）连接两组对应点，进而交点连接即可； （2）延长对应边，进而交点连接即可． 【解答】解： （1）如图①： （2）如图②． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，轴对称的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 20．【分析】（1）①根据三角形的内角和及平行线的性质可知∠EFB＝∠FBC，再利用角平分线的定义即可解答； ②根据三角形外角的性质及平行线的性质得到∠C＝∠DEF，再根据三角形内角和定理及角平分线的定义即可解答． 【解答】解：（1）∵∠ABC＝40°，∠C＝60°， ∴在△ABC中，∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣40°﹣60°＝80°， ∵EF∥BC， ∴∠EFB＝∠FBC， ∵BD平分∠ABC， ∴， ∴∠EFB＝∠FBC＝20°， 故答案为：80°、20°； （2）∵∠BGE是△EGF是一个外角， ∴∠BGE＝∠EFG+∠FEG， ∵EF∥BC， ∴∠C＝∠DEF， ∵∠ABC+∠C＝180°﹣∠A， ∴∠ABC+∠DEF＝180°﹣∠A， ∵BD平分∠ABC，EG平分∠CEF， ∴，， ∴， ∵EF∥BC， ∴∠EFG＝∠CBD， ∴， ∴； ∵∠BGE＝m，∠A＝n， ∴m＝90°﹣n． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． 五、（本题共2小题，每小题9分，共18分） 21．【分析】（1）根据等边对等角即可得出结论； （2）根据全等三角形的对应边相等得到结论； （3）先判定Rt△OCE≌Rt△ODE（HL），得出OC＝OD，进而得到点O在CD的垂直平分线上，再根据EC＝DE，可得点E在CD的垂直平分线上，进而得到OE是CD的垂直平分线． 【解答】证明：（1）∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB， ∴ED＝EC，即△CDE为等腰三角形， ∴∠ECD＝∠EDC； （2）∵点E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB， ∴∠DOE＝∠COE，∠ODE＝∠OCE＝90°，OE＝OE， ∴△OED≌△OEC（AAS）， ∴OC＝OD； （3）在△DOE和△COE中，OC＝OD，∠EOC＝∠BOE，OE＝OE， ∴△DOE≌△COE（SAS）， ∴DE＝CE， ∴OE是线段CD的垂直平分线． 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键． 22．【分析】（1）根据三等分线的定义即可得到答案； （2）根据BD是“邻BC三分线”，根据三角形的外角性质计算即可； （3）根据三角形内角和定理得到∠PBC+∠PCB＝180°﹣90°＝90°，根据“邻三分线”的定义计算即可． 【解答】解：（1）∵∠ABC＝60°，BD，BE是∠ABC的“三分线”， ∴， 故答案为：40； （2）如图， ∵BD是“邻BC三分线”时，∠ABD＝∠ABC＝30°， 则∠BDC＝∠ABD+∠A＝30°+60°＝90°， 故答案为：90； （3）∵BP⊥CP， ∴∠BPC＝90°， ∴∠PBC+∠PCB＝90°． ∵BP，CP分别是∠ABC邻AB三分线和∠ACB邻AC三分线， ∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB， ∠ABC+∠ACB＝90°， ∴∠ABC+∠ACB＝135°， ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣135°＝45°． 【点评】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理，正确理解“邻AB三分线”、“邻BC三分线”的定义是解题的关键． 六、（本题12分） 23．【分析】图2，求出∠BDA＝∠AFC＝90°，∠ABD＝∠CAF，根据AAS证两三角形全等即可；图③根据已知和三角形外角性质求出∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA，根据ASA证两三角形全等即可；图④求出△ABD的面积，根据△ABE≌△CAF得出△ACF与△BDE的面积之和等于△ABD的面积，即可得出答案． 【解答】证明：图②， ∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN＝90°， ∴∠BDA＝∠AFC＝90°， ∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠ABD+∠CAF＝90°， ∴∠ABD＝∠CAF， 在△ABD和△CAF中， ∵， ∴△ABD≌△CAF（AAS）； 图③， ∵∠1＝∠2＝∠BAC，∠1＝∠BAE+∠ABE，∠BAC＝∠BAE+∠CAF，∠2＝∠FCA+∠CAF， ∴∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA， 在△ABE和△CAF中， ∵， ∴△ABE≌△CAF（ASA）； 图④， 解：∵△ABC的面积为15，CD＝2BD， ∴△ABD的面积是：×15＝5， 由图3中证出△ABE≌△CAF， ∴△ACF与△BDE的面积之和等于△ABE与△BDE的面积之和，即等于△ABD的面积，是5， 故答案为：5． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积，三角形的外角性质等知识点，主要考查学生的分析问题和解决问题的能力，题目比较典型，证明过程有类似之处． 学科网（北京）股份有限公司 $$