江西省抚州市南城县2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

南城县2024-2025学年上学期期中考试 九年级数学试题卷 (本试题满分120分,考试时间120分钟) 命题：章海燕 审题：潘彬 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.每小题只有一个正确选项） 1.下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2.长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化”的概率是（ ） A． B． C． D． 3.如图，，两条直线、与这三条平行线分别相交于点和点，，.若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4.如图，菱形的周长为20，点的坐标是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5.下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（  ）    A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 6.如图，等边三角形的边长为3，为上一点，且，为上一点.若 ，则的长为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7.若是方程的一个根，则的值为_________. 8.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点C的坐标为．以为边作矩形，若将矩形绕点O顺时针旋转，得到矩形，则点的坐标为 _________. 9.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为_________. 10.某学校在4月23日世界读书日举行“书香校园，全员阅读”活动．小明和小颖去学校图书室借阅书籍，小明准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《水浒传》中随机选择一本，小颍准备从《西游记》、《骆驼祥子》、《朝花夕拾》中随机选择一本，小明和小颖恰好选中书名相同的书的概率是____________． 11.如图，在中，对角线，相交于点O，点E为的中点，交于点F．若，则的长为___________. 12.如图，在矩形ABCD中，AB=12,AD=15，E是CD上的点，将△ADE沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处，P是线段CB 延长线上的一个动点，连接PA，若△PAF是等腰三角形，则PB的长为________________. 3、 简答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13.（本题共2小题，每小题3分）用适当的方法解下列方程： （1） （4） 14.如图，点、分别在正方形的边、上，，，． 求证： 15.如图，矩形ABCD和矩形CEFH完全相同，且AB=2BC，点B、C、E在同一直线上,请仅用无刻度直尺按要求作图(保留作图痕迹，不写作法). (1)M是CE上的一点，在图①中作∠AMB=45°； (2)在图②中作HF的中点N. 16.如图，四边形的对角线与相交于点O，，，有下列条件：①，②． (1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是矩形； (2)在（1）的条件下，若，，求四边形的面积． 17如图是一个照相机成像的示意图，像高MN，景物高度AB，CD为水平视线，根据物体成像原理知： AB. （1）如果像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m，拍摄点离景物有多远远？ （2）如果要完整的拍摄高度是2m的景物，拍摄点离景物有4m，像高不变，则相机的焦距应调整为_____________mm. 4、 简答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18.关于的方程有两个不等的实数根． (1)求的取值范围； (2)化简： 19.如图，在中，交于点，交的延长线于点，且. （1） 求证：； （2） 若，，求的长. 20. 每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”．某公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售．根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元． （1）设每辆轮椅降价x元，则每辆的销售利润为___________元．（用含x的代数式表示） （2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？ 五、简答题（本大题共2小题，共18分） 21.为了落实国家“双减”政策，某中学在课后服务时间里，开展了音乐、体操、诵读、书法四项社团活动．为了了解七年级学生对社团活动的喜爱情况，该校从七年级全体学生中随机抽取了部分学生进行“你最喜欢哪一项社团活动”的问卷调查，每人必须选择一项社团活动（且只能选择一项）．根据调查结果，绘制成如下两幅统计图．    请根据统计图中的信息，解答下列问题： (1)参加本次问卷调查的学生共有______人． (2)在扇形统计图中，A组所占的百分比是______，并补全条形统计图． (3)端午节前夕，学校计划进行课后服务成果展示，准备从这4个社团中随机抽取2个社团汇报展示．请用树状图法或列表法，求选中的2个社团恰好是B和C的概率． 22.综合与实践 顺次连接任意一个四边形各边的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用． 以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究． 【探究一】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 如图1，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是各边的中点． 求证：中点四边形EFGH是平行四边形． 证明：∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点， ∴EF、GH分别是ABC和ACD的中位线， ∴EF＝AC，GH＝AC（①_____）． ∴EF＝GH．同理可得：EH＝FG． ∴中点四边形EFGH是平行四边形． 结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形． （1）请你补全上述过程中的证明依据①_________________________________． 【探究二】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 AC＝BD 菱形 从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形． （2）下面我们结合图2来证明猜想Ⅰ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程． 【探究三】 原四边形对角线关系 中点四边形形状 不相等、不垂直 平行四边形 AC⊥BD ② （3）从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线垂直时，中点四边形是②__________． （4）下面我们结合图3来证明猜想Ⅱ，请你在探究一证明结论的基础上，写出后续的证明过程． 【归纳总结】 （5）请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形． 原四边形对角线关系 中点四边形形状 ③ ④ 结论：原四边形对角线③ 时，中点四边形是④ ． 六、简答题（本大题共12分） 23.【模型建立】 （1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南城县2024-2025学年上学期期中考试 九年级数学答案 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.每小题只有一个正确选项） 1-6.CACBDA 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 2 025 8. 9.4 10. 11.1 12.6或者9或者3.5 3、 （本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13.（本题共2小题，每小题3分）用适当的方法解下列方程： （1） ; 解：， ，即， ， ，5 （2） 解： ，. 14.解：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 15. 16. (1)选①，∵AD//BC，AB//CD ∴四边形ABCD是平行四边形 又∵∠ABC=90° ∴平行四边形ABCD是矩形。 ......3分 选②也可以 （2） 在矩形ABCD中，∠ABC=90° ∴BC===4 ∴S=AB×BC=3×4=12 ......6分 17． （1）解：根据物体成像原理知：△LMN∽△LBA， ∴． ∵像高MN是35mm，焦距是50mm，拍摄的景物高度AB是4.9m， ∴， 解得：LD=7， ∴拍摄点距离景物7米； ......4分 （2）70 ......6分 4、 （本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. （1）解：∵关于的方程有两个不等的实数根． ∴， 解得：； ......4分 （2）解：∵， ∴ =2； ......8分 19.(1)解：证明： 四边形是平行四边形， . ，. 又， . ......4分 （2） 由（1）得， ,. 四边形是平行四边形，. ，， ，，.......8分 20. （1） (200-x ) ......3分 （2）（200﹣x）（60+4×）=12160 ﹣0.4x2+20x+12000=12160 解得：x1＝40（不合题意，舍去），x2＝10． ∴售出轮椅的辆数为：60+4×＝64（辆）． 答：这天售出了64辆轮椅。 ......8分 五、（本大题共2小题，共18分） 21. (1) ......2分 (2)，作图如下 ......4分 补全统计图如图所示，    （3）画树状图法如下图    列表法如下图 A B C D A B C D 由树状图法或列表法可以看出共有12种结果，它们出现的可能性相等，选中的2个社团恰好是B和C的情况有两种． ......7分 ∴P（选中的2个社团恰好是B和C）． ......9分 22. （1）① 中位线定理或者三角形的中位线等于第三边的一半 ． ......1分 （2）证明:∵EH，EF分别是△ABD和△ABC的中位线， （∴EH// BD, EF // AC, ∴四边形EMON是平行四边形，） 这些证明过程可以不写，写了也得分 ∴EF=AC FG=BD ∵AC=BD，:.EF =FG, ∴中点四边形EFGH是菱形; ......3分 (3)②矩形; ......4分 (4)证明:（∵EH，EF分别是△ABD和△ABC的中位线， (∴EH// BD, EF // AC, ∴四边形EMON是平行四边形，） 这些证明过程可以不写，写了也得分 又∵AC⊥BD, EF // AC EH// BD ∴∠EF⊥BD,EH⊥AC ∴∠FEH =90° ∴中点四边形EFGH是矩形; ......6分 不同方法对都给分 （5） ③ AC⊥BD且AC=BD 时，中点四边形是④ 正方形 ．（每空1分） 画图1分题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日h期：2024/7/6 16 六、 23.（1）， ......1分 ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； ......4分 （2）， ......5分 理由如下： 过E点作于点M，过E点作于点N，如图， ∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，平分，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴四边形是正方形， ∴是正方形对角线，， ∴， ， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， 即有； ......8分 （3）， ......9分 理由如下， 过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ......12分 14 学科网（北京）股份有限公司 $$