第2章 直线与圆的位置关系 章末重难点检测卷-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学下册同步学与练（浙教版）

第2章 直线与圆的位置关系 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．已知的半径是5，直线与相交，圆心到直线的距离可能是（    ） A．4 B．5 C．6 D．10 2．如图，已知 的半径为6，点 到矩形某条边的距离为8，则这条边可以是 （   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，切于点，连接交于点．过点作交于点，连接．若．则为（    ） A． B． C． D． 4．在中，是直角，，，P是边上的动点．设，若能在边上找到一点Q，使，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，过A，B，C三点的圆交于点E，且与相切，若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C． D． 6．如图，I 为的内心，线段的延长线交的外接四于D， 设 的外接圆半径为5，内切圆半径为2，则（   ） A．20 B．21 C． D． 7．如图，是等腰的外接圆，D为弧 ，P为的内心，过P作，若 ，则的值为（　　） A．4 B． C．2 D． 8．如图，在中，，为上的点，以为半径的交于点，恰好是的切线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点、，的半径为2（O为坐标原点），点P是直线上的一动点，过点P作的一条切线，Q为切点，则切线长的最小值为（   ） A．2 B．3 C． D． 10．如图，正方形的边长为，点在上，若以为直径的与相切，则的长为(   ) A．1 B． C． D． 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．如图，在矩形中，，，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是 ． 12．如图， 的半径为， 切于点 ， 则点到的最小距离是 ． 13．如图，，点O在边上，与边相切于点D，交边于点E，点F在弧上，连接，则等于 ． 14．已知点A、B、C、D在圆O上，且切圆O于点D，于点E，对于下列说法：①圆上是优弧；②圆上是优弧；③线段是弦；④和都是圆周角；⑤是圆心角，其中正确的说法是 ． 15．中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为 ． 16．如图，与直线l相交，圆心O到直线l 的距离，在直线l上取点B使，将直线l绕点B逆时针旋转后得到的直线m，若直线m恰好与相切于点C，则的半径为 ． 三、解答题（8小题，共68分） 17．如图，是的直径，C，D是圆上两点，且有，连结，，作延长线于点E．求证：是的切线． 18．如图，已知线段，以为直径作，在上取一点C，连接．延长至点D，连接，满足． (1)求证：为切线； (2)若，求的长（结果保留）． 19．如图，是的直径，是上一点，过点作的切线，交的延长线于点，过点作于点．    (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 20．如图，为的直径，是延长线上一点，且为的切线，为切点，连结．    (1)求的长（结果保留）． (2)求证：为等腰三角形． 21．如图，在中，，过点D作于点E，交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)当时，求的长． 22．如图，在中，，，D是上一动点，连接，以为直径的交于点E，连接并延长交于点F，交于点G，连接．    (1)求证：点B在上． (2)当点D移动到使时，求的值． (3)求证：． 23．如图1，是内接三角形，．点是弧上一点（不与重合），连结，过点作平行线交延长线于点，请完成以下几个问题：    (1)求证：； (2)若， ①求的半径； ②当是等腰三角形时，求． 24．如图，是的直径，C是上的一点，过点B作的切线，过圆心O作的平行线交直线于点F，交于点E，交于点D，连接． (1)判断与的位置关系，并证明结论； (2)若四边形是平行四边形，求的值； (3)若运动后能与重合，则 ，请说明图形的运动过程． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 直线与圆的位置关系 重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．已知的半径是5，直线与相交，圆心到直线的距离可能是（    ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】A 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据直线和相交，即可判断． 【详解】的半径为5，直线与相交， 圆心到直线的距离的取值范围是， 故选：A． 2．如图，已知 的半径为6，点 到矩形某条边的距离为8，则这条边可以是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握直线与圆的位置关系：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，若直线与圆相交；若．直线与圆相切；若直线与圆相离．过点作于E，作于F，作于G，作于H，由图可知：、与圆相交，与圆相离，与圆相切，则，，，，即可求解． 【详解】解：过点作于E，作于F，作于G，作于H， 由图可知：、与圆相交，与圆相离，与圆相切， 又∵的半径为6， ∴，，，， ∵点 到矩形某条边的距离为8，且， ∴点 到矩形某条边的距离为8，这条边可以是， 故选：C． 3．如图，在中，切于点，连接交于点．过点作交于点，连接．若．则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．连接，如图，根据切线的性质得到，则利用互余可计算出，再利用圆周角定理得到，然后根据平行线的性质得到的度数． 【详解】解：连接，如图， 切于点， ， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 4．在中，是直角，，，P是边上的动点．设，若能在边上找到一点Q，使，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取中点O，以为直径作圆，连接，根据已知首先找出取最小值时，进而求出，再求出x的最小值，进而求出的取值范围即可． 【详解】解：取中点O，以为直径作圆，连接，如图所示： 当时，最短，即最短， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴根据勾股定理得：， ∵， ∴，， ∴， 解得：， ∴最小为3， 当P与C重合时，最大，此时， ∴x的取值范围是：， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了直线与圆的位置关系以及三角形的相似的性质与判定和勾股定理等，圆周角定理，找出当时，最短即最短，熟练掌握相似三角形的判定和性质，是解决问题的关键． 5．如图，在中，过A，B，C三点的圆交于点E，且与相切，若，，则的长为（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】连接并延长交于点，连接，，根据切线的性质的，根据平行四边形的性质得出，，则，根据垂径定理的得出，进而得到，根据平行四边形的性质得出，则，得出，进而得出，，则，然后证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】如图所示，取圆心为O，连接并延长交于点，连接，    ∵过、、三点的交于点，与相切于点． ∴于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴   ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的性质，平行四边形的性质，垂径定理，弧与弦的关系，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 6．如图，I 为的内心，线段的延长线交的外接四于D， 设 的外接圆半径为5，内切圆半径为2，则（   ） A．20 B．21 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内心和三角形的外接圆，相似三角形的判定与性质等知识，连接，作于E，记外接圆圆心为，连接交圆O于F，连接，先证明，再证明，得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：连接，作于E，记外接圆圆心为，连接交圆O于F，连接，如图： ∵I为的内心， ∵平分， ∴， 又∵I为的内心， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴． ∵， ∴， ， ∴，即， 故选：A． 7．如图，是等腰的外接圆，D为弧 ，P为的内心，过P作，若 ，则的值为（　　） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】作于M，于N，连接，在上截取连接，可以证明得到推出是等腰直角三角形， 得到由P是的内心，推出 本题考查三角形的内心，三角形外接圆与外心，等腰直角三角形，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，关键是通过辅助线构造全等三角形，并掌握三角形内心的性质． 【详解】解：作于M，于N，在上截取，如图： ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵P是的内心， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 8．如图，在中，，为上的点，以为半径的交于点，恰好是的切线，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识．由切线的性质得到，由三角形内角和定理求得，进而求得，根据等腰三角形的性质即可求出答案． 【详解】解：，， ， 恰好是的切线， ， ， ， ． 故选：C． 9．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点、，的半径为2（O为坐标原点），点P是直线上的一动点，过点P作的一条切线，Q为切点，则切线长的最小值为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查切线的性质定理，勾股定理的应用，直角三角形斜边上的中线的性质，解题关键在于掌握切线的性质定理和勾股定理运算． 连接，根据勾股定理知，当时，线段最短，即线段最短． 【详解】解：连接．    ∵是O的切线， ∴， 根据勾股定理知， ∵当时，线段最短， 又∵、， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 10．如图，正方形的边长为，点在上，若以为直径的与相切，则的长为(   ) A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】令切点，连接、相交于点，由切线的性质得，由正方形的性质得，从而得，，，于是，，在中利用勾股定理即可得解． 【详解】解：令切点，连接、相交于点， ∵与相切， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴即， 解得， 故选∶． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、切线的性质、垂线定义、平行线分线段成比例定理以、勾股定理及三角形的中位线性质，熟练掌握切线的性质、垂线定义以及平行线分线段成比例定理是解题的关键． 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．如图，在矩形中，，，是以为直径的圆，则直线与的位置关系是 ． 【答案】相切 【分析】此题主要考查了直线与圆的位置关系，熟记直线和圆的位置关系的判定方法是解题关键． 作于E，则，由题意得出半径，由，即可得出结论． 【详解】解：如图所示：作于E． 则， ， ， ，即圆心到直线的距离等于半径， 直线与相切． 故答案为：相切． 12．如图， 的半径为， 切于点 ， 则点到的最小距离是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，根据勾股定理求得的长，进而根据点到圆的最小距离为，即可求解． 【详解】解：∵切于点 ， ∴， 在中， ∴ ∴点到的最小距离是， 故答案为：． 13．如图，，点O在边上，与边相切于点D，交边于点E，点F在弧上，连接，则等于 ． 【答案】 【分析】本题考查圆的切线的性质和圆周角定理，解题的关键是熟练掌握相关知识． 先根据切线的性质得到，根据，得到，根据圆周角定理得到． 【详解】∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14．已知点A、B、C、D在圆O上，且切圆O于点D，于点E，对于下列说法：①圆上是优弧；②圆上是优弧；③线段是弦；④和都是圆周角；⑤是圆心角，其中正确的说法是 ． 【答案】①②③⑤ 【分析】本题考查了圆有关的概念，切线的性质，熟练掌握圆的有关概念是解题的关键．由优弧，弦，圆周角的概念及切线的性质可得出答案． 【详解】解：由图可知圆上及圆上是优弧，故①②正确， 由弦的定义可知线段是弦，故③正确； ∵切圆O于点D， ∴不是圆周角， 故④错误； ∵A，C是圆上的点， ∴是圆心角，故⑤正确； 故答案为：①②③⑤． 15．中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角为．若圆曲线的半径，则这段圆曲线的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了切线的性质、弧长公式； 由转角为可得，由切线的性质可得，根据四边形的内角和定理求出，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵转角为， ∴， ∵过点A，B的两条切线相交于点C， ∴， ∴， ∴的长为， 故答案为：． 16．如图，与直线l相交，圆心O到直线l 的距离，在直线l上取点B使，将直线l绕点B逆时针旋转后得到的直线m，若直线m恰好与相切于点C，则的半径为 ． 【答案】 【分析】连接，，首先由，得到，求出，然后证明出，，得到，进而求解即可． 【详解】如图所示，连接， ∵圆心O到直线l 的距离， ∴ ∵ ∴， ∴ ∵将直线l绕点B逆时针旋转后得到的直线m， ∴ ∴ ∵直线m恰好与相切于点C， ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴的半径为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了切线的性质，勾股定理，解直角三角形，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 三、解答题（8小题，共68分） 17．如图，是的直径，C，D是圆上两点，且有，连结，，作延长线于点E．求证：是的切线． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，根据题目已知条件并结合图形，添加适当的辅助线即可证明． 【详解】证明：连结，如下图： ∵， ∴ ，     ∵， ∴， ∴，            ∴ ， ∵， ∴， ∴是的切线． 18．如图，已知线段，以为直径作，在上取一点C，连接．延长至点D，连接，满足． (1)求证：为切线； (2)若，求的长（结果保留）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用圆周角定理得到，进而得到，得到，即可得证； （2）连接，圆周角定理，得到，利用弧长公式进行计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又为的半径， ∴为切线； （2）解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的长． 【点睛】本题考查切线的判定，圆周角定理以及求弧长．熟练掌握圆周角定理，以及弧长公式是解题的关键． 19．如图，是的直径，是上一点，过点作的切线，交的延长线于点，过点作于点．    (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的外角的性质，即可求解． （2）根据是的切线，可得，在中，勾股定理求得，根据，可得，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵于点， ∴， ∴．    （2）∵是的切线，是的半径， ∴． 在中， ∵， ∴． ∵， ∴ ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，切线的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，熟练掌握以上知识是解题的关键． 20．如图，为的直径，是延长线上一点，且为的切线，为切点，连结．    (1)求的长（结果保留）． (2)求证：为等腰三角形． 【答案】(1)； (2)证明见解析； 【分析】（1）根据切线的性质得到，，再利用弧长公式即可解答； （2）利用圆周角的性质得到，再根据等腰三角形的判定即可解答． 【详解】（1）解：连接， ∵是的切线， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为；    （2）证明：∵，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆的基本性质，等腰三角形的判定，直角三角形的性质，弧长公式，圆周角定理，掌握切线的性质及圆周角定理是解题的关键． 21．如图，在中，，过点D作于点E，交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，由，根据等边对等角得到一对角相等，再由，根据等边对等角得到又一对角相等，根据同位角相等两直线平行可得与平行，又垂直于，得与也垂直，可得为圆O的切线； （2）连接，根据直径所对的圆周角为直角可得，根据三线合一得到D为中点，由求出的长，再由的长，用勾股定理求出的长，三角形的面积有两种求法，列出两个关系式，两关系式相等可求出的长． 【详解】（1）证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2）解：连接， 为的直径， ， 又，且， ， 在中，， 根据勾股定理得：， 又， 即， ． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，平行线的性质，勾股定理以及切线的判定，其中证明切线是解题关键． 22．如图，在中，，，D是上一动点，连接，以为直径的交于点E，连接并延长交于点F，交于点G，连接．    (1)求证：点B在上． (2)当点D移动到使时，求的值． (3)求证：． 【答案】(1)见详解 (2) (3)见详解 【分析】（1）根据题意得，，即可证明； （2）连接，和，由题意得，求得，有，在中，，即可求得答案； （3）分别作，交于点，连结，由题意得，，根据同弧所对圆周角相等得，有，由，得，由，得，则，得，，由题意得，，得，有，在中，有成立，即可证得结论成立． 【详解】（1）证明：∵为的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴点B在上． （2）连接，如图，    ∵为的直径，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 在中，， ∵， ∴， （3）分别作，交于点，连结，如图，    ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， 即． 【点睛】本题属于圆综合题，考查了垂径定理、等腰直角三角形的性质、勾股定理和全等三角形的判定和性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形． 23．如图1，是内接三角形，．点是弧上一点（不与重合），连结，过点作平行线交延长线于点，请完成以下几个问题：    (1)求证：； (2)若， ①求的半径； ②当是等腰三角形时，求． 【答案】(1)证明见详解 (2)①的半径是；②的长为或 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，根据平行线的性质可得，由此即可求解； （2）①如图所示，连接，并延长交于点，连接，设，根据等腰三角形的性质，勾股定理即可求解； ②分类讨论：当时；当时，如图所示，连接交于点，连接，运用全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：①如图所示，连接，并延长交于点，连接，设，    根据等腰三角形的对称性得，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，， ∴，解得，， ∴的半径是； ②当时， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 当时，如图所示，连接交于点，连接，    ∴根据对称可知，，， ∴由勾股定理得：，则， ∴， ∵，， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查圆与几何的综合，掌握圆的基础知识，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识是解题的关键． 24．如图，是的直径，C是上的一点，过点B作的切线，过圆心O作的平行线交直线于点F，交于点E，交于点D，连接． (1)判断与的位置关系，并证明结论； (2)若四边形是平行四边形，求的值； (3)若运动后能与重合，则 ，请说明图形的运动过程． 【答案】(1)与相切，见解析 (2) (3)1，见解析 【分析】（1）连接，证明，得出，结合切线的性质得出，即可得证； （2）根据题意作出图形，连接，证明四边形为正方形，得出，，推出，再求出，即可得解； （3）若运动后能与重合，得出必有，推出，进而得出，利用表示出和，进而求得比值，将沿直线，平移长度得，再将沿的平分线对折，则与重合． 【详解】（1）解：与相切． 理由如下：连接，如图1， ∵， ∴，， ， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 是的切线， ∴， ， 是的切线； （2）解：根据题意作出图形，如图2，连接， 四边形是平行四边形， ∴，， ， ∴，， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形， 是的切线， ∴， 四边形为正方形， ，， ∴， ， ∴， ； （3）解：为直径， ， 是的切线， ∴， ∵， ∴， 若运动后能与重合， 必有， ∴， ， 连接，如图3， ∵， ∴，， ， ， ∴， ， ， ， ， ∴， ， 如图4，将沿直线，平移长度得，再将沿的平分线对折，则与重合， 故答案为：1． 【点睛】本题是圆的一个综合题，主要考查了圆的基本性质，切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，正方形的性质，平移的性质，轴对称的性质，正确作出辅助线和综合运用这些知识是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！25 学科网（北京）股份有限公司 $$