精品解析：广东省梅州市兴宁市第一中学2024-2025学年高一上学期11月期中数学试题

兴宁一中高一年级第一学期中段考数学试题 2024.11.14 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A. B. C. （） D. 3. 函数的定义域为，函数，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知幂函数是偶函数，且在上是增函数，则（ ） A. B. C. 0 D. 3 5. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知是定义在上的单调函数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8. 已知定义在上的函数，对，满足，，且对都有，则关于a的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全选对给6分，部分选对的给部分分，有错选的给0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“， 都有” 的否定是“，使得 ” B. 当时，的最小值为 C. 若不等式的解集为， 则 D. “” 是“”的必要不充分条件 10. 若定义在R上的奇函数在区间上单调递增，且，下列选项正确的是（ ） A. 方程有三个不同的实根 B. 在R上单调递增 C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集是 11. 已知函数，，函数在区间上的最大值为9，最小值为1．函数与函数图象在上有两个不同的交点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数则_______ 13. 函数在上的值域为____________. 14. 已知命题“，使”是假命题，其实数的取值为集合A，设不等式的解集为集合B，若是的充分不必要条件，则实数a的取值范围为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合. （1）求，，； （2）设集合， 且， 求实数的取值范围. 16. 求值: （1） （2） （3） 17. 已知函数 （1）若关于的不等式的解集是实数集，求a的取值范围； （2）当时， 解关于的不等式 18. 已知函数是定义在上的奇函数， 且当时，. （1）求函数在上的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）若对任意实数， 恒成立，求实数的取值范围. 19. 设函数的定义域为，对于区间（，），若满足以下两条性质之一，则称在区间上具有性质. 性质1：对任意，有； 性质2：对任意，有. （1）分别判断下列两函数在区间是否具有性质； ①；②； （2）若函数在区间（）具有性质，求的取值范围 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兴宁一中高一年级第一学期中段考数学试题 2024.11.14 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式化简集合，再由交集的概念，即可得出结果. 【详解】因为集合， ， 因此. 故选：A. 2. 下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A. B. C. （） D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本初等函数的图像即变换直接判定即可. 【详解】对A, 不是奇函数,故A错误. 对B, 令则.故为奇函数. 又,故为增函数.故B正确. 对C, （）,因为区间不关于原点对称,故不为奇函数.故C错误. 对D, 为偶函数,故D错误. 故选：B 【点睛】本题主要考查了常见函数的奇偶性与单调性分析,属于基础题. 3. 函数的定义域为，函数，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复合函数定义域的性质，结合二次根式的性质及分母不为零进行求解即可． 【详解】由函数的定义域为，可得， ∴函数的定义域为， ∴由函数，可得，解得 ∴函数的定义域为. 故选：D. 4. 已知幂函数是偶函数，且在上是增函数，则（ ） A. B. C. 0 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由函数是偶函数且在上是增函数，可知函数在上单调递减，由幂函数的性质可得，结合，即可解出或或，分别代入函数，结合是偶函数即可得出答案. 【详解】因为函数是偶函数且在上是增函数， 所以函数在上单调递减， 所以，即，解得， 又因为，所以或或， 当或时，，此时为奇函数，不满足题意； 当时，，此时为偶函数，满足题意； 所以. 故选：B 5. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数和幂函数的单调性比较大小. 【详解】先比较和的大小，，， 因为函数在定义域内为单调递增函数，所以，即， 再比较和的大小，，， 因为函数在定义域内为单调递增函数，所以，即， 又因为，所以， 故选：. 6. 已知是定义在上的单调函数，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由解析式及的单调性，结合一次函数性质列不等式组求参数范围. 【详解】由为递减函数，且在上的单调函数， 所以单调递减，则. 故选：D 7. 关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解，即可求解. 【详解】由可得； 若，则不等式解集为空集； 若，则不等式的解集为，此时要使不等式解集中恰有2个整数， 则这两个整数为2、3，则； 若，则不等式的解集为，此时要使不等式解集中恰有2个整数， 则这两个整数为；所以； 综上或， 故选：A 8. 已知定义在上的函数，对，满足，，且对都有，则关于a的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】确定函数单调递减，计算，题目变换为，即，解得答案. 【详解】取，则，即， 故在上单调递减， ， 解得， 从而，即，则， 解得 所以原不等式的解集是． 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全选对给6分，部分选对的给部分分，有错选的给0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“， 都有” 的否定是“，使得 ” B. 当时，的最小值为 C. 若不等式的解集为， 则 D. “” 是“”的必要不充分条件 【答案】BC 【解析】 【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可判断选项；根据基本不等式即判断选项；根据一元二次不等式与一元二次方程的关系即可判断；根据充分不必要条件的定义即可判断. 【详解】选项,命题“， 都有” 的否定是“，使得 ”,则选项错误； 选项,，当且仅当时，即时取等号，则选项正确； 选项,不等式的解集为，则，且和为方程 的两个根，所以，，即，，所以，则选项正确； 选项,由可知，当时，即，当时，，即，所以 ，但或，所以“” 是“”的充分不必要条件， 则选项错误； 故选：. 10. 若定义在R上的奇函数在区间上单调递增，且，下列选项正确的是（ ） A. 方程有三个不同的实根 B. 在R上单调递增 C. 不等式的解集为 D. 不等式的解集是 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，根据函数奇偶性得到，且，只有三个根；B选项，举出反例；C选项，分，与三种情况，结合函数单调性求出答案；D选项，分类讨论，求出解集. 【详解】A选项，因为为R上的奇函数，故， 奇函数在区间上单调递增，故在区间上单调递增， 又，所以， 故方程有三个不同的实根，A正确； B选项，当时，， 当时，，故在R上不单调递增，B错误； C选项，，当时，， 在区间上单调递增，故， 当时，，满足要求， 当时，， 在区间上单调递增，故， 综上，不等式的解集为，C正确； D选项，，显然， 当时，，，此时，满足要求， 当时，，，此时，不合要求， 当时，，，此时，满足要求， 当时，，，此时，不合要求， 当时，，，此时，满足要求， 综上，不等式的解集是. 故选：ACD 11. 已知函数，，函数在区间上的最大值为9，最小值为1．函数与函数图象在上有两个不同的交点，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用换元法将复合函数的最值转化为二次函数的最值，根据最值待定系数，再将与的图象交点个数转化为二次方程根的分布问题求解的范围即可. 【详解】令，因为，则， ， 令，， 则，且的值域即为的值域. 由，则的图象开口向上，且对称轴为， 则在上单调递增， 故，， 解得， 故， 因为函数与函数图象在上有两个不同的交点， 则方程，即在有两个不等的实数根， 令，因为，则， 即关于的方程在有两个不等的实数根， 令，，则图象开口向上，对称轴为， 且， 依题意则有，解得. 综上可得正确的只有A、C. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数则_______ 【答案】3 【解析】 【分析】代入即可求解. 【详解】由题意可得，所以， 故答案为：3 13. 函数在上的值域为____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据对勾函数的性质求出函数的单调性，求出端点函数值，即可得解. 【详解】由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增， 又，，， 所以函数在上的值域为. 故答案为： 14. 已知命题“，使”是假命题，其实数的取值为集合A，设不等式的解集为集合B，若是的充分不必要条件，则实数a的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】写出命题的否定得 ，使恒成立，求出集合 ，又是的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集，分类讨论列出满足的不等式求解即可. 【详解】解：由命题“，使”是假命题， 知命题“，使”是真命题， 所以，解得， 所以， 因为是的充分不必要条件，所以集合是集合的真子集， 设，则， 即，解得或， 所以实数a的取值范围为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合. （1）求，，； （2）设集合， 且， 求实数的取值范围. 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的运算法则计算可得； （2）依题意可得，再根据集合的包含关系得到不等式，解得答案. 【小问1详解】 因为，， 所以，，， 则； 【小问2详解】 因为,所以， 所以，解得，即实数的取值范围为. 16. 求值: （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算可得； （2）根据对数的性质及指数对数恒等式计算可得； （3）利用换底公式及对数的运算性质计算可得. 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 . 17. 已知函数 （1）若关于的不等式的解集是实数集，求a的取值范围； （2）当时， 解关于的不等式 【答案】（1） （2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为 【解析】 【分析】（1）先考虑的情况，再考虑的情况即可； （2）先进行因式分解，然后求出对应方程的两个根，再对分类讨论求出不同情况下的不等式的解集即可. 【小问1详解】 因为关于的不等式的解集是实数集， 即在上恒成立， 当时解得，不是恒成立，矛盾； 当时要使得恒成立，则需满足，解得， 综上可得； 【小问2详解】 不等式， 当时，解得，即不等式的解集为； 当时，解得，即不等式的解集为； 当时的两个根为、， 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 18. 已知函数是定义在上的奇函数， 且当时，. （1）求函数在上的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）若对任意实数， 恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）单调递增函数，证明如下： 任取，且，， ∵ ，∴，∴， 又∵，， ∴，∴在上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质求解； （2）利用单调递增函数的定义证明； （3）根据奇函数和单调递增函数的性质可得，再转化为恒成立问题求解即可. 【小问1详解】 当时，， 任取，则，， 又∵为定义在上的奇函数， ∴， 又∵也符合上式， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由得， ∴，∴，即， ∴对，都有恒成立， ∴，当时， ∴，解得， ∴实数的取值范围为. 19. 设函数的定义域为，对于区间（，），若满足以下两条性质之一，则称在区间上具有性质. 性质1：对任意，有； 性质2：对任意，有. （1）分别判断下列两函数在区间是否具有性质； ①；②； （2）若函数在区间（）具有性质，求的取值范围 【答案】（1）①具有性质，②不具有性质； （2）. 【解析】 【分析】（1）记当时，的值域为M，则性质1；性质2.然后求出①的值域，根据集合包含关系即可判断；注意当时，②的函数值不存在即可判断； （2）分，和分别求出函数值域，根据集合关系讨论即可. 【小问1详解】 记当时，的值域为M， 则性质1；性质2 . 对于①，当时，，即， 所以，，即函数满足性质1，具有T性质. 对于②，因为当时，函数值不存在，故函数不具有T性质. 【小问2详解】 由二次函数性质知，函数在上单调递增， 在上单调递减， 当时，的值域为，显然不满足性质2， 故，要使具有T性质，则， 所以，解得（舍去）或（舍去）； 当时，， 所以的值域为，满足，即满足性质1，具有T性质； 当时，的值域为， 因为，所以不是的子集， 且， 所以，此时不具有T性质. 综上，若函数在区间具有性质，则的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $