第六章 反比例函数　同步练习　　2024—2025学年北师大版数学九年级上册

第六章单元综合检测 班级_______姓名_______ 考试时间：90分钟；总分：100 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．下列关于的函数中，是的反比例函数的是（  ） A． B． C． D． 2．若反比例函数的图象经过点，则下列各点在该函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 3．若反比例函数的图象经过第一、三象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知反比例函数，则下列描述不正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限 B．图象必经过点 C．图象不可能与坐标轴相交 D．随的增大而减小 5．在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（其中）的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 6．如图，直线与x轴相交于点A，与函数的图象交于点B，C，点B的横坐标是8，点C的横坐标是，则不等式组的解集是（　　） A． B． C． D． 7．已知函数的图象经过点，，如果，那么（    ） A． B． C． D． 8．如图，是反比例函数 图像上一点，过点作轴的平行线交反比例函数的图像于点，点在轴上，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 9．已知反比例函数，直线交于、两点，则代数式的值是（　　） A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，将一块含有角的直角三角板如图放置，直角顶点的坐标为，顶点的坐标，顶点恰好落在第一象限的双曲线上，则该双曲线的解析式为（　　　） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．反比例函数的图象分布情况如图所示，则k的值可以是 ．（写出一个符合条件的k值即可） 12．科技小组为了验证某电路的电压U（V）、电流I（A）、电阻三者之间的关系：，测得数据如下： 100 200 220 400 2.2 1.1 1 0.55 那么，当电阻时，电流 A． 13．在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强P（）与汽缸内气体的体积V（）成反比例，P关于V的函数图象如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了 ．    14．如图，在平面直角坐标中，菱形的顶点在轴的正半轴上，点在函数的图象上，若，且菱形的面积为，则的值为 ． 15．已知函数与函数的部分图像如图所示，有以下结论： ①当时，都随x的增大而增大； ②当时， ； ③的图像的两个交点之间的距离是2； ④函数的最小值为2； 则所有正确的结论是 ． 三、解答题 16．（6分）反比例函数的图象经过点A(2，3)． (1)求这个函数的解析式； (2)请判断点B(1，6)是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由． 17．（7分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图绳交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点A作轴，垂足为M，，，点B的纵坐标为． (1)求反比例函数表达式和一次函数的解析式； (2)直接写出当时，自变量的取值范围； (3)连接、，求的面积； (4)已知点P为图中双曲线上的一点，而且，请直接写出点P的坐标． 18．（8分）小明新买了一盏亮度可调节的台灯（如图1所示），他发现调节的原理是当电压一定时，通过调节电阻控制电流的变化从而改变灯光的明暗，台灯的电流I（单位：A）与电阻R（单位：）满足反比例函数关系，其图象如图2所示．    图1                               图2 (1)求I关于R的函数解析式； (2)当时，求I的值； (3)若该台灯工作的最小电流为0.1A，最大电流为0.25A，求该台灯的电阻R的取值范围． 19．（8分）如图，反比例函数和的图象如图所示，点是轴正半轴上一动点，过点作轴的垂线，分别与和的图象交于点，．    (1)当时，线段，求，两点的坐标及值． (2)小明同学提出了一个猜想：“当值一定时，的面积随值的增大而减小．”你认为他的猜想对吗？请说明理由． 20．（8分）喝茶前需要烧水和泡茶两个工序，电热水壶将水烧到100℃，然后继续加热1分钟后断电，烧水时水温y（℃）与时间成一次函数关系；断电后，水壶中水的温度（℃）与时间近似于反比例函数关系（如图）．已知水壶中水的初始温度是20℃，降温过程中水温不低于20℃． (1)分别求出图中AB段和CD段所对应的函数关系式； (2)从水壶中的水烧开（100℃）降到80℃就可以进行泡茶，问从水烧开到泡茶需要等待多长时间？ 21．（8分）如图，点在反比例函数的图象上，点B在y轴上，，将线段向右下方平移，得到线段，此时点C落在反比例函数的图象上，点D落在x轴正半轴上，且． (1)点B的坐标为__________，点D的坐标为__________，点C的坐标为__________（用含m的式子表示）； (2)求k的值和直线的表达式． 22．（10分）已知函数 （1）画出函数图象； 列表： x ．．． ．．． y ．．． ．．． 描点，连线得到函数图象： （2）该函数是否有最大或最小值？若有，求出其值，若没有，简述理由； （3）设是函数图象上的点，若，证明：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章单元综合检测卷答案 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B D A B D B C A 1．A 【分析】根据反比例函数的定义“”即可求解． 【详解】解：、符合反比函数定义，是反比例函数，符合题意； 、不符合反比函数定义，不是反比例函数，不符合题意； 、不符合反比函数定义，不是反比例函数，不符合题意； 、不符合反比函数定义，不是反比例函数，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查反比例函数定义的理解，掌握其定义，表达式的形式是解题的关键． 2．B 【分析】将点代入反比例函数中，求出反比例函数，观察反比例函数的特征，排除法选出选项． 【详解】解：图像经过 将点代入反比例函数得： 反比例函数为： 通过观察反比例函数可知反比例函数中和值为一正一负，排除选项、和 故选 【点睛】本题考查的是通过待定系数求反比例函数．解题时需要观察和的正负性，排除法是解这道题的技巧． 3．B 【分析】本题考查反比例函数的性质：反比例函数的图象在一、三象限，比例系数大于0．让反比例函数的比例系数大于0列式求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第一、三象限， ∴， 解得． 故选：B． 4．D 【分析】本题考查了反比例函数的图象及性质，根据可判断A；当时，，可判断B；根据可判断C；当或时，随的增大而减小可判断D，熟练掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：A、，图象位于第一、三象限，则正确，故不符合题意； B、当时，，图象必经过点，则正确，故不符合题意； C、，图象不可能与坐标轴相交，则正确，故不符合题意； D、当或时，随的增大而减小，则错误，故符合题意； 故选D． 5．A 【分析】根据一次函数与反比例函数的性质，判断图象经过的象限即可得出结果． 【详解】解：时，一次函数的图象经过第一、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第一、三象限，无选项符合题意； 时，一次函数的图象经过第二、三、四象限，反比例函数的两个分支分别位于第二、四象限，选项A符合题意． 故选：A． 【点睛】题目主要考查一次函数与反比例函数的图象判断，熟练掌握一次函数与反比例函数的基本性质是解题关键． 6．B 【分析】利用数形结合的思想，直接得出关于的不等式的解集． 【详解】解：观察图象可得， 当时，直线位于轴的上方、函数图象的下方， 不等式组的解是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用数形结合思想解答是解题关键． 7．D 【分析】先判断进而得到反比例函数的图象经过第二、四象限，由此即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴反比例函数的图象经过第二、四象限， ∵， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了比较反比例函数函数值的大小，正确判断出反比例函数图象经过的象限是解题的关键． 8．B 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，根据反比例函数系数的几何意义得出是正确解答的关键． 根据反比例函数系数的几何意义可得，，根据平行线的性质和三角形的面积公式可得，根据，求出的值即可． 【详解】解：如图，连接、，延长交轴于，则，， 轴， ， 即， ， ， ， 故选：B． 9．C 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，联立两直线解析式求出交点坐标，然后代入式子即可得出答案． 【详解】解：联立反比例函数与直线． 把①代入②得：， 整理得： 根据求根公式 解得： 把代入 ②式得 故，，，， 故， 故选：C． 10．A 【分析】过点B作BD⊥x轴于点D，易证△ACO≌△CBD（AAS），从而可求出B的坐标，进而可求出反比例函数的解析式． 【详解】 解：如图所示，过点B做BDx轴交x轴于D， ∵∠ACO+∠BCD=90°，∠ACO+∠CAO=90°， ∴∠CAO=∠BCD， 又∵AC=CB， ∴△ACO≌△CBD（AAS）， ∴AO=CD=2，OC=BD=1， ∴B点坐标为（3,1）， 设反比例函数的解析式为： 将B（3,1）代入得：k=3， ∴双曲线的解析式为：． 故选： A． 【点睛】本题考查反比例函数的综合问题，涉及全等三角形的性质与判定，反比例函数的解析式，综合程度较高． 11．0（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，对于反比例函数，当时，图象在一、三象限；当时，图象在二、四象限，据此可得，即，由此可得答案． 【详解】解：由反比例函数的图象位于第二，四象限可知，， ， 的值可以是0， 故答案为：0（答案不唯一）． 12．4 【分析】由表格数据得到定值V，代入电阻值即可求解； 【详解】解：∵ ∴V ∴当电阻时，A， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查变量间的关系，根据表格得到电压的值是解题的关键． 13．20 【分析】由图象易得P关于V的函数解析式为，然后问题可求解． 【详解】解：设P关于V的函数解析式为，由图象可把点代入得：， ∴P关于V的函数解析式为， ∴当时，则， 当时，则， ∴压强由加压到，则气体体积压缩了； 故答案为20． 【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的应用是解题的关键． 14．-9 【详解】试题解析：作于，∵四边形是菱形，∵，∴， 设，则，，，解得：． 因为点在上，所以,,∴． 15．②③④ 【分析】先补充完整两个函数的图象，再根据函数图象的增减性、对称性、交点问题可判断结论①②③，然后根据完全平方公式、偶次方的非负性可判断结论④． 【详解】当时，， 当时，， 画出两个函数的图象如下所示： 则当时，随x的增大而减小；随x的增大而增大，结论①错误 当时，函数的图象位于函数的图象的上方，则，结论②正确 当时， 即的图象位于第一象限的交点坐标为 由对称性可知，的图象位于第二象限的交点坐标为 因此，的图象的两个交点之间的距离是，结论③正确 又，当且仅当，即时，等号成立 即函数的最小值为2，结论④正确 综上，所有正确的结论是②③④ 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了正比例函数与反比例函数的综合、完全平方公式、偶次方的非负性等知识点，熟练掌握正比例函数与反比例函数的图象与性质是解题关键． 16．（1）y= （2）点B(1,6)在这个反比例函数的图象上 【分析】（1）设反比例函数的解析式是y=，只需把已知点的坐标代入，即可求得函数解析式； （2）根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断． 【详解】设反比例函数的解析式是， 则， 得． 则这个函数的表达式是； 因为， 所以点不在函数图象上． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式：设出含有待定系数的反比例函数解析式y=（k为常数，k≠0）；把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到待定系数的方程；解方程，求出待定系数；写出解析式．也考查了反比例函数图象上点的坐标特征． 17．(1)反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为 (2)当时，自变量的取值范围为或 (3) (4)点的坐标为或或或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）运用待定系数法求出反比例函数解析式，即可得出点的坐标，再根据待定系数法求解即可得出一次函数的解析式； （2）根据函数图象即可得解； （3）先求出得到，再根据计算即可得解； （4）分两种情况：过点作的平行线交反比例函数于，则直线的解析式为，联立，求解即可；②在y轴上取点N，使，过N作于H，过点O作于G，过N点作的平行线交反比例函数于， 可求出直线的解析式为，联立，求解即可． 【详解】（1）解：∵轴，垂足为M，，， ∴， 把代入反比例函数，可得， 解得：， ∴反比例函数的解析式为； 令，则， ∴， 把，代入一次函数可得， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：由图象可得：当时，自变量的取值范围为或； （3）解：在中，令，则，即， ∴， ∴； （4）解：①如图，过点作的平行线交反比例函数于，则， ， 故直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴点的坐标为或； ②在y轴上取点N，使，过N作于H，过点O作于G，过N点作的平行线交反比例函数于， 则 又， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∴点P的坐标为或， 综上，点P的坐标为或或或． 18．(1) (2) (3) 【分析】本题考查反比例函数的实际应用． （1）待定系数法求出函数解析式； （2）将，代入解析式，求出I的值，即可； （3）求出最小电流和最大电流对应的电阻R的阻值，根据增减性即可得出结果． 正确的求出函数解析式，掌握反比例函数的性质，是解题的关键． 【详解】（1）解：设，由图象可知， 当时，， ∴， ∴； （2）当时，； （3）当，， 当，， ∴该台灯的电阻R的取值范围为． 19．(1)点为，点 为，的值为． (2)小明猜想不正确，理由见解析 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，三角形面积，一次函数的性质等知识点，其中理解反比例函数的几何意义是解题的关键． （1）由过点作轴的垂线叫解析式为、两点可知：当点为，则点坐标为，点坐标为，再将，代入计算即可求解． （2）根据题意列出的关系式，再根据公式代入化简即可得出结论． 【详解】（1）由题意可知：点为，则点坐标为，点坐标为． 当时，则点为，点 为， ． ． ． ． ． 点为，点 为，的值为． （2）由题意可知：，． ． 值一定， 的面积一定， 小明猜想不正确． 20．(1)y＝100(8＜x≤9)；y＝(9＜x≤45)； (2)分钟 【分析】（1）将D点的坐标代入反比例函数的一般形式，利用待定系数法确定反比例函数的解析式；再求得点C和点B的坐标，继而用待定系数法确定一次函数的解析式； （2）将y＝80代入反比例函数的解析式，从而求得答案． 【详解】（1）解：停止加热时，设， 由题意得：50＝ ， 解得：k＝900， ∴y＝， 当y＝100时，解得：x＝9， ∴C点坐标为(9，100)， ∴B点坐标为(8，100)， 当加热烧水时，设y＝ax+20， 由题意得：100＝8a+20， 解得：a＝10， ∴当加热烧水，函数关系式为y＝10x+20(0≤x≤8)； 当停止加热，得y与x的函数关系式为y＝100(8＜x≤9)；y＝(9＜x≤45)； （2）把y＝80代入y＝，得， 因此从烧水开到泡茶需要等待分钟． 【点睛】本题考查了求一次函数解析，求反比例函数的解析式，反比例函数的实际应用，解题的关键是从实际问题中整理出反比例函数和一次函数模型，解题时注意根据图象确定对应函数的取值范围． 21．(1)（0，2），（1，0），（m＋1，2） (2)4；y＝-2x＋6 【分析】（1）根据OB＝2可得点B的坐标，根据OD＝1可得点D的坐标为（1，0），由平移规律可得点C的坐标； （2）根据点C和D的坐标列方程可得m的值，从而得k的值，再利用待定系数法可得直线AC的解析式． 【详解】（1）∵点B在y轴上，， ∴B（0，2）， ∵点D落在x轴正半轴上，且 ∴D（1，0）， ∴线段AB向下平移2个单位，再向右平移1个单位，得到线段CD， ∵点A（m，4）， ∴C（m＋1，2）， 故答案为：（0，2），（1，0），（m＋1，2）； （2）∵点A和点C在反比例函数的图象上， ∴k＝4m＝2（m＋1）， ∴m＝1， ∴A（1，4），C（2，2）， ∴k＝1×4＝4， 设直线AC的表达式为：， ∴ 解得， ∴直线AC的表达式为：y＝-2x＋6． 【点睛】此题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用以及平移的性质，根据OB和OD的长得出平移的规律是解题关键． 22．（1）见解析；（2）有，当时，最大值为3；当时，函数有最小值；（3）见解析 【分析】（1）选取特殊值，代入函数解析式，求出y值，列表，在图像中描点，画出图像即可； （2）观察图像可得函数的最大值； （3）根据，得到和互为相反数，再分，，，分别验证． 【详解】解：（1）列表如下： x ．．． -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ．．． y ．．． -1 -3 0 3 1 ．．． 函数图像如图所示： （2）根据图像可知： 当x=1时，函数有最大值3；当时，函数有最小值； （3）∵是函数图象上的点，， ∴和互为相反数， 当时，， ∴，， ∴； 当时，， 则； 同理：当时，， ， 综上：． 【点睛】本题主要考查正比例函数，反比例函数的图像和性质，描点法画函数图像，准确画出图像，理解是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$