专题05 三角函数（知识梳理+考点精讲精练+实战训练）-【学考必备】2025年高中数学学业水平合格性考试总复习（广东专用）

专题05 三角函数 目录 明晰学考要求 1 基础知识梳理 2 考点精讲讲练 6 考点一：任意角 6 考点二：弧度制与扇形 7 考点三：任意角的三角函数 8 考点四：同角三角函数基本关系 9 考点五：诱导公式 10 考点六：三角恒等变换 11 考点七：三角函数的周期性、单调性、对称性和奇偶性 12 考点八：三角函数的值域与最值 13 考点九：函数的图象变换 14 考点十：求三角函数解析式 16 实战能力训练 19 明晰学考要求 1、理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义； 2、能利用单位圆中的三角雨数线推导出的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出的图象，了解三角函数的周期性； 3、理解正弦函数、余弦函数在区间的性质(如单调性、最大值和最小值以及图象与轴的交点等)。理解正切函数在区间的单调性. 4、理解同角三角函数的基本关系式: 5、了解函数的物理意义;能画出的图象了解参数对函数图象变化的影响. 6、了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题. 基础知识梳理 一、角的有关概念 1．定义 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 2．角的分类 按旋转方向不同分类 正角：按逆时针方向旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 零角：射线没有旋转 按终边位置不同分类 象限角：角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角 轴线角：角的终边落在坐标轴上 （3）终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合或 二、弧度制 1．弧度制的定义 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． 2．弧度制下的有关公式 角的弧度数公式 弧度与角度的换算 弧长公式 扇形的面积公式 三、任意角的三角函数 1．定义设是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，点是角的终边上任意一点，到原点的距离，那么角的正弦、余弦、正切分别是．注意：正切函数的定义域是，正弦函数和余弦函数的定义域都是. 2．三角函数值在各象限内的符号三角函数值在各象限内的符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．3．特殊角的三角函数值 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 不存在 0 不存在 0 四、同角三角函数的基本关系式及诱导公式 平方关系 商的关系 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 口诀 奇变偶不变，符号看象限 五、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）；（2） （3）；（4） （5） （6） 六、二倍角公式 （1） （2） （3） （4）辅助角公式：，其中， 七、正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质 函数 图象 定义域 值域 最值 当时，； 当时， 当时，； 当时，． 既无最大值，也无最小值 周期性 最小正周期为 最小正周期为 最小正周期为 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在上是增函数； 在上是减函数． 在上是增函数； 在上是减函数． 在上是增函数． 对称性 对称中心； 对称轴， 既是中心对称图形又是轴对称图形. 对称中心； 对称轴， 既是中心对称图形又是轴对称图形. 对称中心； 无对称轴， 是中心对称图形但不是轴对称图形. 八、的图象变换 由函数的图象通过变换得到（A>0,ω>0）的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图. 考点精讲讲练 考点一：任意角 （1）写出与已知角终边相同的角的方法：先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出的值． （2）求终边落在直线上的角的集合的步骤 ①写出在范围内相应的角；②由终边相同的角的表示方法写出角的集合；③根据条件能合并的一定要合并，使结果简洁． 【典型例题】 例1．（2024高二上·北京·学业考试）在平面直角坐标系中，以为顶点，为始边，终边在轴上的角的集合为（    ） A． B． C． D． 例2．（2023高二上·福建·学业考试）已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，那么，下列各角与角终边相同的是（    ） A． B． C． D． 例3．（2022高二上·安徽合肥·学业考试）下列各角中与角的终边相同的是（    ） A． B． C． D． 例4．（2021高二上·广西·学业考试）下列选项中，角是第一象限角的是（    ） A． B． C． D． 【即时演练】 1．将化为的形式是（    ） A． B． C． D． 2．如果是锐角，那么是（    ） A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．小于180°的正角 D．钝角 3．的角属于第 象限. 4．角是第__________象限角． 考点二：弧度制与扇形 （1）弧度与角度的转换：牢记，充分利用和进行换算． （2）涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用扇形的弧长公式、面积公式直接求解或列方程(组)求解． 【典型例题】 例1．（2023高三上·广西·学业考试）将弧度化为角度是（    ） A．45° B．60° C．75° D．90° 例2．（2023高二·安徽·学业考试）角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 例3．（2024高二下·浙江·学业考试）已知半径为1的扇形的圆心角为，则扇形的弧长等于（    ） A． B． C． D． 例4．（2023高二·湖北·学业考试）沈括的《梦溪笔谈》是中国科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以为圆心为半径的圆弧，C是的中点，D在上，且．记的弧长的近似值为，“会圆术”给出了的一种计算公式：．若，，则根据该公式计算__________ ．    【即时演练】 1．中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，记的长为，的长为，若，则扇环的圆心角的弧度数为（    ）    A．3 B．2 C． D． 2．已知的圆心角所对的弧长为，则这个扇形的面积为________. 3．已知一个扇形的圆心角为60°，所对的弧长为，则该扇形的面积为________． 4．已知圆的半径为2，则的圆心角的弧度数为________；所对的弧长为________ 考点三：任意角的三角函数 若角的终边上由一点，(与原点不重合)，则先计算，最后利用求值． 【典型例题】 例1．（2024高二上·新疆·学业考试）已知角的终边与单位圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 例2．（2024高二下·湖南·学业考试）已知，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 例3．（2024高三上·广东·学业考试）已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边过点（3，4)，则角的正切值为（    ） A． B． C． D． 例4．（2024高二下·云南·学业考试）已知是角终边上的一点，则角的正切值是________. 【即时演练】 1．已知是第四象限的角，为其终边上的一点，且，则（   ） A．4 B．4 C． D． 2．已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（    ） A． B． C． D． 3．已知角的终边上有一点，则__________. 4．若角满足，且，则角属于第________象限. 考点四：同角三角函数基本关系 （1）已知正弦（余弦），利用先求得余弦（正弦），然后利用求正切； （2）已知正切，联立公式，可直接求得正余弦 【典型例题】 例1．（2024高二下·福建·学业考试）已知是第一象限角，，则为（   ） A． B． C． D． 例2．（2024高二下·湖北·学业考试）已知，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 例3．（2022高二下·河北·学业考试）已知是第三象限角，若，则（    ） A． B． C． D． 例4．（2024高二下·云南·学业考试）已知，则（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【即时演练】 1．若，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 2．已知，是第四象限角，则________. 3．已知，则________. 4．在平面直角坐标系中，点在角α的终边上． (1)求的值； (2)求的值． 考点五：诱导公式 利用诱导公式解决给角求值问题的步骤： ①“负化正”：用公式一或三将负角转化为正角；②“大化小”：用公式一将角化为到间的角 ③“小化锐”：用公式二或四将大于的角转化为锐角；④“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值 【典型例题】 例1．（2024高二上·北京·学业考试）在下列各数中，与相等的是（    ） A． B． C． D． 例2．（2024高二下·福建·学业考试）（    ） A． B． C．- D．- 例3．（2023高三上·广西·学业考试）若，则（    ） A． B． C． D．1 例4．（2024高二下·天津河东·学业考试）（    ） A． B． C． D． 【即时演练】 1．已知，且是第二象限角，则等于（   ） A． B． C． D． 2．若，则（    ） A． B．1 C． D．或 3．若，则（    ） A． B． C． D． 4．若，则__________ 考点六：三角恒等变换 对非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，或化为正负相消的项并消项求值，将分子、分母形式进行约分求值．要善于逆用或变用公式． 【典型例题】 例1．（2024高二上·北京·学业考试）（    ） A． B． C． D． 例2．（2022高二下·河北·学业考试）若，则（    ） A． B． C．1 D． 例3．（2022高二下·河北·学业考试）（    ） A． B． C． D． 例4．（2024高二上·江苏扬州·学业考试）化简，得（    ） A． B． C． D． 【即时演练】 1．计算：等于（   ） A． B． C． D． 2．已知角终边上一点，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．已知，则________． 4．已知，，则__________ . 考点七：三角函数的周期性、单调性、对称性和奇偶性 在求形如的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换,将“”看作一个整体“”,即通过求的单调区间和对称中心（轴）而求出原函数的单调区间和对称中心（轴）. 【典型例题】 例1．（2022高二下·河北·学业考试）已知函数，当时，函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 例2．（2022高二下·河北·学业考试）已知函数为上的奇函数，则实数（    ） A． B．1 C． D．2 例3．（2024高二下·安徽·学业考试）函数的图象的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 例4．（2021高二上·新疆·学业考试）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求的单调递减区间． 【即时演练】 1．下列函数中，是奇函数且最小正周期为1的函数为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数（）的图象关于对称，则（   ） A． B． C． D． 3．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求的单调递减区间． 考点八：三角函数的值域与最值 形如或型,可先由定义域求得的范围,然后求得(或)的范围,最后求得最值. 【典型例题】 例1．（2023高二上·黑龙江·学业考试）函数的最大值为__________. 例2．（2022高三下·广东·学业考试）函数的最大值与最小值分别是（    ） A．最大值是，最小值是 B．最大值是2，最小值是 C．最大值是，最小值是 D．最大值是2，最小值是 例3．（2023高二下·北京·学业考试）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求在区间 上的最大值及相应的值． 例4．（2023高三·新疆·学业考试）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的最大值和最小值以及取得最大值和最小值时的集合. 【即时演练】 1． 的最大值是（    ） A． B． C． D． 2．函数，当__________ 时，取最小值为__________ ；当__________ 时，取最大值为__________ . 3．函数的最大值为__________ . 4．函数，的值域为________ 考点九：函数的图象变换 利用指数幂的运算性质化简求值的方法：进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序． 【典型例题】 例1．（2022高二下·河北·学业考试）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 例2．（2022高二下·河北·学业考试）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 例3．（2023高三上·广西·学业考试）为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 例4．（2024高二下·湖南·学业考试）为了得到函数的图象，只需把图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【即时演练】 1．为了得到的图象，只需把正弦曲线上所有点的（   ） A．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 2．为得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点（    ） A．横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位 B．横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位 C．横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位 D．横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位 3．若将函数的图象向左平移个单位，得到函数图象解析式是（    ） A． B． C． D． 4．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的值为（   ） A． B． C． D． 考点十：求三角函数解析式 【典型例题】 例1．（2023高三下·湖南邵阳·学业考试）已知的部分图象如图所示，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 例2．（2023高三·新疆·学业考试）已知函数（）的最小正周期为，最小值是，且图象经过点，求该函数的解析式并求其单调递增区间. 例3．（2023高二·山西·学业考试）已知函数的部分图像如图示，且，．    (1)求函数的解析式； (2)若，求的最大值和最小值． 例4．（20202已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（    ）    A． B． C． D． 【即时演练】 1．若函数的部分图象如图所示，则其解析式可以是（    ） A． B． C． D． 2．若函数的部分图像如图所示，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．函数，其中，，，它的图象如图所示，则的解析式为（    ）． A．， B．， C．， D．， 4．已知函数（，，）的最小值为－4，周期为，其图象与y轴的交点为．求该函数的解析式． 实战能力训练 1．如图，圆的半径为1，劣弧的长为，则阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 2．已知角，则角的终边落在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．若是第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 4．函数的最小正周期为（   ） A．4 B． C．8 D． 5．下列各点中，可以作为函数图象的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 6．已知角在第二象限，且 ，  则=__________ . 7．要得到函数的图象，只需将函数的图象向__________ 平移__________ 个单位. 8．若，则________． 9．函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为________ 10．（1）已知，且是第四象限的角．求及； （2）已知，求及． 11．求函数的定义域和单调区间． 12．(1)化简： (2)若，求的值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 三角函数 目录 明晰学考要求 1 基础知识梳理 2 考点精讲讲练 6 考点一：任意角 6 考点二：弧度制与扇形 9 考点三：任意角的三角函数 12 考点四：同角三角函数基本关系 14 考点五：诱导公式 16 考点六：三角恒等变换 18 考点七：三角函数的周期性、单调性、对称性和奇偶性 20 考点八：三角函数的值域与最值 23 考点九：函数的图象变换 26 考点十：求三角函数解析式 29 实战能力训练 34 明晰学考要求 1、理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义； 2、能利用单位圆中的三角雨数线推导出的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出的图象，了解三角函数的周期性； 3、理解正弦函数、余弦函数在区间的性质(如单调性、最大值和最小值以及图象与轴的交点等)。理解正切函数在区间的单调性. 4、理解同角三角函数的基本关系式: 5、了解函数的物理意义;能画出的图象了解参数对函数图象变化的影响. 6、了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题. 基础知识梳理 一、角的有关概念 1．定义 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 2．角的分类 按旋转方向不同分类 正角：按逆时针方向旋转形成的角 负角：按顺时针方向旋转形成的角 零角：射线没有旋转 按终边位置不同分类 象限角：角的终边在第几象限，这个角就是第几象限角 轴线角：角的终边落在坐标轴上 （3）终边相同的角：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合或 二、弧度制 1．弧度制的定义 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． 2．弧度制下的有关公式 角的弧度数公式 弧度与角度的换算 弧长公式 扇形的面积公式 三、任意角的三角函数 1．定义 设是一个任意角，它的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，点是角的终边上任意一点，到原点的距离，那么角的正弦、余弦、正切分别是． 注意：正切函数的定义域是，正弦函数和余弦函数的定义域都是. 2．三角函数值在各象限内的符号 三角函数值在各象限内的符号口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 3．特殊角的三角函数值 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 不存在 0 不存在 0 四、同角三角函数的基本关系式及诱导公式 平方关系 商的关系 公式 一 二 三 四 五 六 角 正弦 余弦 正切 口诀 奇变偶不变，符号看象限 五、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）；（2） （3）；（4） （5） （6） 六、二倍角公式 （1） （2） （3） （4）辅助角公式：，其中， 七、正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质 函数 图象 定义域 值域 最值 当时，； 当时， 当时，； 当时，． 既无最大值，也无最小值 周期性 最小正周期为 最小正周期为 最小正周期为 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调性 在上是增函数； 在上是减函数． 在上是增函数； 在上是减函数． 在上是增函数． 对称性 对称中心； 对称轴， 既是中心对称图形又是轴对称图形. 对称中心； 对称轴， 既是中心对称图形又是轴对称图形. 对称中心； 无对称轴， 是中心对称图形但不是轴对称图形. 八、的图象变换 由函数的图象通过变换得到（A>0,ω>0）的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图. 考点精讲讲练 考点一：任意角 （1）写出与已知角终边相同的角的方法：先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出的值． （2）求终边落在直线上的角的集合的步骤 ①写出在范围内相应的角；②由终边相同的角的表示方法写出角的集合；③根据条件能合并的一定要合并，使结果简洁． 【典型例题】 例1．（2024高二上·北京·学业考试）在平面直角坐标系中，以为顶点，为始边，终边在轴上的角的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当终边在轴非负半轴上时，有， 当终边在轴非正半轴上时，有， 故终边在轴上的角的集合为. 故选：C. 例2．（2023高二上·福建·学业考试）已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，那么，下列各角与角终边相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为与角终边相同的角的集合为，当时，得到，又，所以易知BCD均不符合题意. 故选：A. 例3．（2022高二上·安徽合肥·学业考试）下列各角中与角的终边相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】与角的终边相同的角为， 当时，，B正确； 将A，C，D代入，，得出均不是整数， 即其他三个选项均不合要求. 故选：B 例4．（2021高二上·广西·学业考试）下列选项中，角是第一象限角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由象限角的定义可知，选项A为第一象限角. 故选：A. 【即时演练】 1．将化为的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 故选：A. 2．如果是锐角，那么是（    ） A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．小于180°的正角 D．钝角 【答案】C 【详解】因为是锐角，即，所以， 故选：C. 3．的角属于第 象限. 【答案】一 【详解】由于，且为第一象限角， 故的角属于第一象限角， 故答案为：一 4．角是第 象限角． 【答案】二 【详解】，则与是终边相同角. 显然是第二象限角，故角是第二象限角. 故答案为：二. 考点二：弧度制与扇形 （1）弧度与角度的转换：牢记，充分利用和进行换算． （2）涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用扇形的弧长公式、面积公式直接求解或列方程(组)求解． 【典型例题】 例1．（2023高三上·广西·学业考试）将弧度化为角度是（    ） A．45° B．60° C．75° D．90° 【答案】B 【详解】因为, 所以， 故选：B. 例2．（2023高二·安徽·学业考试）角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 故选：A. 例3．（2024高二下·浙江·学业考试）已知半径为1的扇形的圆心角为，则扇形的弧长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，扇形的弧长为. 故选：C. 例4．（2023高二·湖北·学业考试）沈括的《梦溪笔谈》是中国科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以为圆心为半径的圆弧，C是的中点，D在上，且．记的弧长的近似值为，“会圆术”给出了的一种计算公式：．若，，则根据该公式计算 ．    【答案】/ 【详解】如图，连接，    因为是的中点， 所以， 又，所以三点共线， 即， 又， 所以， 则，故， 所以. 故答案为： 【即时演练】 1．中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，记的长为，的长为，若，则扇环的圆心角的弧度数为（    ）    A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】如图，设扇环所在圆的圆心为，圆心角为，则， 所以，得，又，所以.    故选：A 2．已知的圆心角所对的弧长为，则这个扇形的面积为 . 【答案】 【详解】，根据弧长公式， 则，所以扇形的面积为. 故答案为： 3．已知一个扇形的圆心角为60°，所对的弧长为，则该扇形的面积为 ． 【答案】 【详解】依题意，圆心角为， 所以扇形的半径， 所以扇形的面积为. 故答案为： 4．已知圆的半径为2，则的圆心角的弧度数为 ；所对的弧长为 . 【答案】 / / 【详解】的圆心角的弧度数为；所对的弧长为. 故答案为：； 考点三：任意角的三角函数 若角的终边上由一点，(与原点不重合)，则先计算，最后利用求值． 【典型例题】 例1．（2024高二上·新疆·学业考试）已知角的终边与单位圆交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得. 故选：B. 例2．（2024高二下·湖南·学业考试）已知，则是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】A 【详解】由三角函数的定义可知，为第一、二象限角或终边在轴正半轴上；由为第一、四象限角或终边在轴的正半轴上， 两个条件同时成立，则为第一象限角. 故选：A. 例3．（2024高三上·广东·学业考试）已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边过点（3，4)，则角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据公式tan = = ， 故选：B. 例4．（2024高二下·云南·学业考试）已知是角终边上的一点，则角的正切值是 . 【答案】2 【详解】因为点是角终边上的上点，所以， 故答案为：2 【即时演练】 1．已知是第四象限的角，为其终边上的一点，且，则（   ） A．4 B．4 C． D． 【答案】C 【详解】由三角函数的定义可知，解得， 因为是第四象限的角，所以，则， 故选：C. 2．已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，其中，为坐标原点， 则，所以． 故选：D. 3．已知角的终边上有一点，则 . 【答案】 【详解】由题意知角的终边上有一点， 则,故. 故答案为：. 4．若角满足，且，则角属于第 象限. 【答案】二 【详解】由且，根据各象限对应正弦、正切的函数值符号，知属于第二象限. 故答案为：二 考点四：同角三角函数基本关系 （1）已知正弦（余弦），利用先求得余弦（正弦），然后利用求正切； （2）已知正切，联立公式，可直接求得正余弦 【典型例题】 例1．（2024高二下·福建·学业考试）已知是第一象限角，，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由是第一象限角，得，而， 所以. 故选：A 例2．（2024高二下·湖北·学业考试）已知，则（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【详解】将分子分母同除以可得： . 故选：D. 例3．（2022高二下·河北·学业考试）已知是第三象限角，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】是第三象限角，则， 又，故可解得， 故选：B． 例4．（2024高二下·云南·学业考试）已知，则（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【详解】因为，显然，所以. 故选：B. 【即时演练】 1．若，则（    ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】C 【详解】因为，所以， 所以. 故选：C 2．已知，是第四象限角，则 . 【答案】 【详解】因为，是第四象限角， 则，可得. 故答案为：. 3．已知，则 . 【答案】 【详解】由， 故答案为：. 4．在平面直角坐标系中，点在角α的终边上． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由于点在角α的终边上， 所以. （2）. 考点五：诱导公式 利用诱导公式解决给角求值问题的步骤： ①“负化正”：用公式一或三将负角转化为正角；②“大化小”：用公式一将角化为到间的角 ③“小化锐”：用公式二或四将大于的角转化为锐角；④“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值 【典型例题】 例1．（2024高二上·北京·学业考试）在下列各数中，与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误； 故选：A. 例2．（2024高二下·福建·学业考试）（    ） A． B． C．- D．- 【答案】A 【详解】. 故选：A. 例3．（2023高三上·广西·学业考试）若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】. 故选：A. 例4．（2024高二下·天津河东·学业考试）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 故选：B. 【即时演练】 1．已知，且是第二象限角，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，则， 又因为，且是第二象限角，所以. 故选：C. 2．若，则（    ） A． B．1 C． D．或 【答案】C 【详解】由题意得，， 则. 故选: . 3．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：因为， 所以，， 所以， 故选：B 4．若，则 【答案】/ 【详解】已知，解得：； ， 构造齐次式可得：， 代入，得：. 故答案为： 考点六：三角恒等变换 对非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，或化为正负相消的项并消项求值，将分子、分母形式进行约分求值．要善于逆用或变用公式． 【典型例题】 例1．（2024高二上·北京·学业考试）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 故选：A. 例2．（2022高二下·河北·学业考试）若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：C 例3．（2022高二下·河北·学业考试）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】将原式变形为 则. 故选：D 例4．（2024高二上·江苏扬州·学业考试）化简，得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 故选：C. 【即时演练】 1．计算：等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 故选：A. 2．已知角终边上一点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，， 所以. 故选：D. 3．已知，则 ． 【答案】/ 【详解】由诱导公式得， 故， 所以. 故答案为： 4．已知，，则 . 【答案】 【详解】因为，， 所以，则， 所以. 故答案为：. 考点七：三角函数的周期性、单调性、对称性和奇偶性 在求形如的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换,将“”看作一个整体“”,即通过求的单调区间和对称中心（轴）而求出原函数的单调区间和对称中心（轴）. 【典型例题】 例1．（2022高二下·河北·学业考试）已知函数，当时，函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】时，，最小正周期为. 故选：C 例2．（2022高二下·河北·学业考试）已知函数为上的奇函数，则实数（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】因为函数为上的奇函数， 则，解得， 若，则，且定义域为， 则， 所以函数为上的奇函数， 综上所述：. 故选：A. 例3．（2024高二下·安徽·学业考试）函数的图象的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的对称轴方程为, 即， 当时，为对称轴. 故选：C. 例4．（2021高二上·新疆·学业考试）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求的单调递减区间． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）的最小正周期为. （2）令，，解得：，， 所以的单调递减区间为，. 【即时演练】 1．下列函数中，是奇函数且最小正周期为1的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对A，其最小正周期为，故A错误； 对B，设，且，解得， 其定义域为，关于原点对称，其最小正周期为，故B正确； 对C，其最小正周期为，故C错误； 对D，设 ，定义域为，关于原点对称， 则，则其为偶函数，故D错误. 故选：B. 2．已知函数（）的图象关于对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题设，，则，， 又，故. 故选：A 3．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 所以函数的单调递增区间为. 故选:B. 4．已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求的单调递减区间． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）的最小正周期为. （2）令，，解得：，， 所以的单调递减区间为，. 考点八：三角函数的值域与最值 形如或型,可先由定义域求得的范围,然后求得(或)的范围,最后求得最值. 【典型例题】 例1．（2023高二上·黑龙江·学业考试）函数的最大值为 . 【答案】3 【详解】因为的最大值为， 所以的最大值为3. 故答案为：. 例2．（2022高三下·广东·学业考试）函数的最大值与最小值分别是（    ） A．最大值是，最小值是 B．最大值是2，最小值是 C．最大值是，最小值是 D．最大值是2，最小值是 【答案】C 【详解】由正弦函数性质可知，， 所以，所以， 所以，函数的最大值是，最小值是. 故选：C 例3．（2023高二下·北京·学业考试）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求在区间 上的最大值及相应的值． 【答案】(1) (2)2， 【详解】（1）因为函数， 所以周期， 即函数最小正周期为. （2）因为，所以， 所以，， 所以在区间 上的最大值为2， 此时，即. 例4．（2023高三·新疆·学业考试）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的最大值和最小值以及取得最大值和最小值时的集合. 【答案】(1) (2)最大值为，取得最大值时的集合是，最小值为，取得最小值时的集合是. 【详解】（1） ， 的最小正周期. （2）当，即时， 有最大值，且； 当，即时， 有最小值，且. 综上，最大值为，取得最大值时的集合是， 最小值为，取得最小值时的集合是. 【即时演练】 1． 的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】易知，当且仅当取等号，所以最大值是1. 故选：B. 2．函数，当 时，取最小值为 ；当 时，取最大值为 . 【答案】 （） （） 【详解】设当，则， 所以当，即，时，取最小值为； 当，即，时，取最大值为； 故答案为：（），，（），. 3．函数的最大值为 . 【答案】4 【详解】当时，， 所以函数的最大值为. 故答案为：. 4．函数，的值域为 【答案】 【详解】因在上单调递减，在上单调递增， 且 故函数，的值域为. 故答案为：. 考点九：函数的图象变换 利用指数幂的运算性质化简求值的方法：进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序． 【典型例题】 例1．（2022高二下·河北·学业考试）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，得. 故选：A. 例2．（2022高二下·河北·学业考试）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由辅助角公式，将其向右平移个单位长度， 得. 故选：A 例3．（2023高三上·广西·学业考试）为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】A 【详解】为了得到函数的图象， 只需将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度. 故选：A. 例4．（2024高二下·湖南·学业考试）为了得到函数的图象，只需把图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】A 【详解】解：由到，只是横坐标由变为， 要得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度． 故选：A． 【即时演练】 1．为了得到的图象，只需把正弦曲线上所有点的（   ） A．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变 D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 【答案】B 【详解】由， 因此只需把正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变． 故选：B. 2．为得到函数的图象，只需将函数图象上所有的点（    ） A．横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位 B．横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位 C．横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位 D．横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位 【答案】C 【详解】将函数图象上所有的点横坐标缩短到原来的倍，得的图象， 再将所得图象向左平移个单位，得. 故选：C 3．若将函数的图象向左平移个单位，得到函数图象解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将函数的图象向左平移个单位后所得到的函数图象对应的解析式为：． 故答案为：C． 4．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】的图象向左平移个单位长度，得到函数， 故， 故选：A 考点十：求三角函数解析式 【典型例题】 例1．（2023高三下·湖南邵阳·学业考试）已知的部分图象如图所示，则的解析式为（    ）            A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由函数的图象，可得且， 可得，所以，即， 又由，解得， 即，因为，所以，所以. 故选：A. 例2．（2023高三·新疆·学业考试）已知函数（）的最小正周期为，最小值是，且图象经过点，求该函数的解析式并求其单调递增区间. 【答案】，递增区间为. 【详解】由题设，，故， 又图象经过点，则，可得，， 又，故，则，所以， 令，，可得，， 所以单调递增区间是. 例3．（2023高二·山西·学业考试）已知函数的部分图像如图示，且，．    (1)求函数的解析式； (2)若，求的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)的最大值为,的最小值为 【详解】（1）由图像可知，因为，所以函数图像的一条对称轴为直线， 设的最小正周期为，则，即，所以，又，所以，即， 所以，，即，．因为，所以，所以． （2）, 当即的最小值为； 当即的最大值为. 例4．（20202已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数的图象得，，即，则， ∴. ∵，则.则，得.∵， ∴当时，，则函数. 故选:D. 【即时演练】 1．若函数的部分图象如图所示，则其解析式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，函数的周期， 所以，故A和B错误， 所以函数， 由题意得，函数最大值为， 当时，，则， 所以，取，则； 当时，，则， 所以，取，则； 显然，C选项可以表示该函数图象，D选项无法表示. 故选：C 2．若函数的部分图像如图所示，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由函数的部分图像可知，，故，所以即.。 由函数图像的对称轴为，所以， 因，故，所以， 故选：D. 【点睛】此题考查由三角函数的图像求函数的解析式，解题的关键是利用“五点法”作图，属于基础题 3．函数，其中，，，它的图象如图所示，则的解析式为（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】点与代入中， ， ∴，， 故选：A． 4．已知函数（，，）的最小值为－4，周期为，其图象与y轴的交点为．求该函数的解析式． 【答案】 【详解】由已知，，∴．从而． ∵图象过点，∴，即． ∵，∴．∴函数解析式为． 实战能力训练 1．如图，圆的半径为1，劣弧的长为，则阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为劣弧的长为，所以. 则， 所以阴影部分的面积为. 故选:B 2．已知角，则角的终边落在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】，故与的角终边相同， 其中在第四象限，故角的终边落在第四象限. 故选：D 3．若是第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵是第二象限角， ∴. ∵, ∴, ∴. 故选：D. 4．函数的最小正周期为（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【详解】函数的最小正周期为. 故选：D 5．下列各点中，可以作为函数图象的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于AC，，AC不是； 对于BD，，B是，D不是. 故选：B 6．已知角在第二象限，且 ，  则= . 【答案】/ 【详解】因为，所以由诱导公式可得：， 因为角在第二象限，所以， 所以， 所以 故答案为：. 7．要得到函数的图象，只需将函数的图象向 平移 个单位. 【答案】 右 【详解】， 故要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位. 故答案为:右；. 8．若，则 ． 【答案】 【详解】因为可得，因为， 可得，解得或（舍去） 所以． 故答案为:． 9．函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为 . 【答案】 【详解】设的最小正周期为，由图可知， ，由得，，. ，， . 故答案为： 10．（1）已知，且是第四象限的角．求及； （2）已知，求及． 【答案】答案见解析 【详解】（1）是第四象限的角，则，于是，则； （2），则是第二或四象限的角， 当是第二象限角时，，由，解得； 当是第四象限角时，，由，解得； 11．求函数的定义域和单调区间． 【答案】定义域为，增区间为，没有减区间 【详解】由，解得， 所以函数的定义域为， 由解得， 所以函数的单调递增区间为，没有减区间. 12．(1)化简： (2)若，求的值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）解： （2） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$