精品解析：福建省福州市福建师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷

福建师大附中2024-2025学年上学期期中考试 高二数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 命题：曾豪阁 审核：周裕燕 试卷说明： （1）本卷共四大题，19小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷. （2）考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 经过点，倾斜角是的直线方程是（ ） A. B. C. D. 2. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 在圆的所有经过坐标原点的弦中，最短的弦的长度为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 4. 如图，在直三棱柱 中，，，点 是线段 上靠近 的三等分点，则直线 与 所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知实数满足，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 6. 光线通过点，在直线上反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 若直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设，是椭圆（）的左、右焦点，过的直线与交于，两点，若，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，圆与圆有2条公切线 B. 当时，是圆与圆的一条公切线 C. 当时，圆与圆相交 D. 当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为 10. 如图，边长均为1的两个正方形和正方形所在的平面互相垂直，动点，分别在正方形对角线和上移动，且，则下列说法正确的是（ ） A. ，使 B. 线段存在最小值，最小值为 C. 直线与平面所成的角恒为 D. ，都有，，共面 11. 平面直角坐标系中，若点，点，则称为点到点的“曼哈顿距离”.已知点为坐标原点，点在圆上，点在直线上，则下列说法正确的是（ ） A. 若点的横坐标为，则 B. 的最大值是 C. 的最小值是2 D. 的最小值是 Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆与圆交于，两点，则线段的垂直平分线的方程为____________. 13. 在空间直角坐标系中已知，，，为三角形边上的高，则__________． 14. 在对角线的正方体中，正方形所在平面内的动点到直线、的距离之和为，则的取值范围是_________. 四、解答题：5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线经过点，求满足下列条件的直线方程. （1）直线与直线平行； （2）直线在两坐标轴上的截距相等. 16. 如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，且平面.求： （1）求平面与平面夹角的余弦值； （2）点A到平面的距离. 17. 已知圆经过两点、，且圆的圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）若点为直线：上的动点，过点作圆的切线、，切点为、，求四边形面积的最小值，并出此时点的坐标. 18. 如图1，在直角中，，点，分别为边，的中点，将沿着折起，使得点到达点的位置，如图2，且二面角的大小为. （1）求证：平面平面； （2）在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知椭圆：，连接椭圆上任意两点的线段叫作椭圆的弦，过椭圆中心的弦叫做椭圆的直径.若椭圆的两直径的斜率之积为，则称这两直径为椭圆的共轭直径.特别地，若一条直径所在的斜率为0，另一条直径的斜率不存在时，也称这两直径为共轭直径.现已知椭圆：. （1）已知点，为椭圆上两定点，求的共轭直径的端点坐标. （2）过点作直线与椭圆交于､两点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.当的面积最大时，直径与直径是否共轭，请说明理由. （3）设和为椭圆的一对共轭直径，且线段的中点为.已知点满足：，若点在椭圆的外部，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建师大附中2024-2025学年上学期期中考试 高二数学试卷 时间：120分钟 满分：150分 命题：曾豪阁 审核：周裕燕 试卷说明： （1）本卷共四大题，19小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷. （2）考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 经过点，倾斜角是的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，求得直线的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】因为所求直线的倾斜角为，可得直线的斜率为， 又因为所求直线经过点，可得直线的方程为. 故选：B. 2. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的方程及椭圆焦点位置，列出不等式求解即得. 【详解】由方程表示焦点在轴上的椭圆，得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A 3. 在圆的所有经过坐标原点的弦中，最短的弦的长度为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用配方法化简圆的方程，结合垂径定理与勾股定理，可得答案. 【详解】由，则圆的标准方程为，如下图： 图中，，为圆的圆心，为直线与圆的交点， 易知为所有经过坐标原点的弦中的最短弦，. 故选：B. 4. 如图，在直三棱柱 中，，，点 是线段 上靠近 的三等分点，则直线 与 所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，可以用正方体模型补形解题，通过平移找出线线所成的角度借助余弦定理解题即可. 【详解】根据题意，可以补充成一个棱长为3的正方体. 如图所示.取的三等分点,连接，根据正方体性质，知道. 则为直线 与 所成角或补角. 连接，.根据正方体性质，知道． 在中，余弦定理知道，, 则直线 与 所成角的余弦值为. 故选：C． 5. 已知实数满足，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将问题转化为圆上的点与连线的斜率，利用圆的切线方程的求法可求得斜率的取值范围，进而得到最大值. 【详解】由得：， 点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 的几何意义为该圆上的点与连线的斜率， 当过点的直线斜率不存在，即为时，与圆显然不相切； 设过点的圆的切线为，即， 圆心到切线的距离，解得：， ，则的最大值为. 故选：C. 6. 光线通过点，在直线上反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出关于直线的对称点，从而得到反射光线所在直线经过点和对称点，从而得到反射光线所在直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点为，则， 解得，故. 由于反射光线所在直线经过点和， 所以反射光线所在直线的方程为，即. 故选：C. 7. 若直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据曲线即为，利用直线与圆的位置关系求解. 【详解】解：曲线即为， 表示以为圆心，以2为半径的半圆，其图象如图所示： 由圆心到直线的距离等于半径，得， 解得或， 当直线过点时，， 因为直线与曲线有公共点， 所以实数的取值范围是， 故选：A 8. 设，是椭圆（）的左、右焦点，过的直线与交于，两点，若，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，，根据椭圆的定义及勾股定理求出、，即可求出、，再由余弦定理求出与的关系，即可求出离心率. 【详解】不妨设，，，则，． 又，所以，化简得， 显然，所以，解得，，所以，， 故，解得，故的离心率为． 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，圆与圆有2条公切线 B. 当时，是圆与圆的一条公切线 C. 当时，圆与圆相交 D. 当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】由两圆的标准方程可得它们的圆心和半径，再根据圆心距与半径的关系判断出两圆的位置关系，即可得出公切线条数，可判断AC错误；利用圆心到直线的距离与半径的关系可得B正确，将两圆方程相减可得它们的公共弦所在直线的方程为，即D正确. 【详解】由可知圆心为，半径为1； 由可知圆心为，半径为，两圆圆心距为； 对于A，当时，，圆与圆相离，有4条公切线，所以A错误； 对于B，当时，与圆相切，圆心到的距离为2，即与圆也相切， 所以是圆与圆的一条公切线，即B正确； 对于C，当时，，圆与圆相离，即C错误； 对于D，当时，，此时两圆相交， 圆的一般方程为，与圆的方程相减可得， 化简可得圆与圆的公共弦所在直线的方程为，即D正确. 故选：BD 10. 如图，边长均为1的两个正方形和正方形所在的平面互相垂直，动点，分别在正方形对角线和上移动，且，则下列说法正确的是（ ） A. ，使 B. 线段存在最小值，最小值为 C. 直线与平面所成的角恒为 D. ，都有，，共面 【答案】AD 【解析】 【分析】以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，写出各点坐标，用空间向量法判断各选项． 【详解】由已知平面，以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 在坐标平面上，直线的方程为，，则， 在坐标平面上，直线的方程为，，则, ，， 易知，当时，，A正确； ，所以时，，B错； 平面的一个法向量是，， 所以与平面所成角的正弦值为，这个值不是恒为，因此角的大小不可能恒为，C错； ，， 所以，，共面，D正确， 故选：AD． 11. 平面直角坐标系中，若点，点，则称为点到点的“曼哈顿距离”.已知点为坐标原点，点在圆上，点在直线上，则下列说法正确的是（ ） A. 若点的横坐标为，则 B. 的最大值是 C. 的最小值是2 D. 的最小值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，求出点的坐标即可判断；对于B，利用基本不等式即可判断；对于C，D，利用绝对值放缩和绝对值不等式性质应用即可判断. 【详解】对于A，把代入中，可得， 则，故A正确； 对于B，设，则，于是 ， 当且仅当时等号成立，即的最大值是，故B正确； 对于C，设点，则 ，当时，等号成立， 即的最小值是，故C错误； 对于D，设点，，， 则 ，其中， 故只需当时，取得最小值为，此时，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键之一是对“曼哈顿距离”的理解，根据新定义，写出曼哈顿距离；关键之二是含有绝对值的式子的处理，可根据绝对值的放缩和绝对值不等式，去掉绝对值的符号再求相关最值. Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 圆与圆交于，两点，则线段的垂直平分线的方程为____________. 【答案】 【解析】 【分析】线段的垂直平分线的方程即为两圆圆心所在直线的方程，求出两圆圆心坐标，即可求出直线方程. 【详解】圆圆心坐标为， 圆化成标准方程为，圆心坐标为， 两圆公共弦的垂直平分线恰为过两圆圆心的直线，由， 则直线的方程为，即. 故答案为：. 13. 在空间直角坐标系中已知，，，为三角形边上的高，则__________． 【答案】3 【解析】 【分析】应用空间向量法求点到直线距离. 【详解】，，则， ， 所以， 故答案为：3 14. 在对角线的正方体中，正方形所在平面内的动点到直线、的距离之和为，则的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】将点到直线、的距离转化为和，可得，结合椭圆的定义可得点的轨迹是以为焦点的椭圆，建立平面直角坐标系得椭圆的标准方程，根据椭圆方程和平面向量数量积坐标表示可求出结果. 【详解】因为，所以， 在正方体中，平面，平面， 因为平面，所以，， 所以，且， 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆， 这里，，所以，，， 以的中点为原点，为轴，的中垂线为轴建立平面直线坐标系， 所以点的轨迹方程为， 设，因为，，则，， 所以， 因为，，. 故答案为： 四、解答题：5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线经过点，求满足下列条件的直线方程. （1）直线与直线平行； （2）直线在两坐标轴上的截距相等. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由直线平行，设直线方程为，代入点可得解； （2）当直线不过坐标原点时，设直线方程为，代入点即可，，当直线过坐标原点时，可得直线方程为. 【小问1详解】 由已知直线与直线平行， 则设直线， 又直线过点， 即，解得， 则直线方程为，即； 【小问2详解】 当直线不过坐标原点时，设直线方程为， 则，解得， 即直线方程为，即； 当直线过坐标原点时，直线方程为，即， 综上所述直线方程为或. 16. 如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，，且平面.求： （1）求平面与平面夹角的余弦值； （2）点A到平面的距离. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接建立空间直角坐标系，先求法向量，再求两法向量夹角的余弦值，再求正弦值即可； （2）直接用空间向量法求点到面的距离. 【小问1详解】 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，， 所以，， 设平面的法向量，则， 令，则，， 所以，取平面法向量为， 所以，故面与面夹角的余弦值为； 【小问2详解】 因为，平面法向量为， 所以点到平面的距离. 17. 已知圆经过两点、，且圆的圆心在直线上. （1）求圆的方程； （2）若点为直线：上的动点，过点作圆的切线、，切点为、，求四边形面积的最小值，并出此时点的坐标. 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）根据圆上的两个已知点求得其对称轴，联立方程求得圆心，利用两点距离公式，可得答案； （2）根据题意，作图，结合切线的性质以及动点与直线的性质，可得答案. 【小问1详解】 由与，则直线的斜率，其中点坐标为， 所以的对称轴为直线，易知圆心在直线上， 联立，解得，则，半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 根据题意，作图如下： 由图可知：四边形的面积为，且，， 在中，，因为，所以当最小时，最小， 当时，最小，此时最小，此时，， ，所以四边形面积的最小值为， 由直线，则其斜率， 直线的斜率，则直线的方程为，整理可得， 联立，解得，则. 18. 如图1，在直角中，，点，分别为边，的中点，将沿着折起，使得点到达点的位置，如图2，且二面角的大小为. （1）求证：平面平面； （2）在棱上是否存在点，使得与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 由题意，，平面， 所以平面， 又因为图1中，分别是中点，所以， 所以平面，而平面， 所以平面平面； （2） 由题意，所以是二面角的平面角， 二面角的大小为. 则，又由已知，所以等边三角形， 取中点，连接，则， 由（1）知平面，而平面，所以， ，平面，所以平面， 以为原点，为轴，过平行的直线为，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，, ，，，， ，设平面的一个法向量为， 则，取，则， 设， ，， 与平面所成角的正弦值为， 则，解得或． 所以的值为或． 【解析】 【分析】（1）证明平面，由平行得证平面，再由面面垂直的判定定理得证面面垂直； （2）先证明是已知二面角的平面角，得，取中点，证明平面，然后以为原点，为轴，过平行的直线为，建立如图所示的空间直角坐标系，设，得各点坐标，求出平面的一个法向量，设，求得，再根据线面角的向量求法求线面角，从而可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知椭圆：，连接椭圆上任意两点的线段叫作椭圆的弦，过椭圆中心的弦叫做椭圆的直径.若椭圆的两直径的斜率之积为，则称这两直径为椭圆的共轭直径.特别地，若一条直径所在的斜率为0，另一条直径的斜率不存在时，也称这两直径为共轭直径.现已知椭圆：. （1）已知点，为椭圆上两定点，求的共轭直径的端点坐标. （2）过点作直线与椭圆交于､两点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.当的面积最大时，直径与直径是否共轭，请说明理由. （3）设和为椭圆的一对共轭直径，且线段的中点为.已知点满足：，若点在椭圆的外部，求的取值范围. 【答案】（1）和； （2）直径与直径共轭，理由如下： 由题设知，不与轴重合，故设：，､ 联立方程：， 则，，， . 当且仅当，即时取等号， 此时，故直径与直径共轭. （3）或. 【解析】 【分析】（1）设所求直线方程为：依题意可得，即可得到直线方程，再联立直线与椭圆方程求出交点坐标即可； （2）设：，､，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，则，再利用基本不等式求出面积最大值，即可求出参数的值，即可判断； （3）设点，，设：，则：，联立直线与椭圆方程，求出交点坐标，从而得到点坐标，再由在椭圆内部，即可得到不等式，解得即可； 【详解】解：（1）由题设知，设所求直线方程为：，则，则. 故共轭直径所在直线方程为：. 联立椭圆与，即可得：，. 故端点坐标为和. （2）略 （3）设点，， 当不与坐标轴重合时，设：，则：. 联立. 同理可得：，. 由椭圆的对称性，不妨设在第一象限，则必在第二象限或第四象限， 则，， 若在第二象限，则，， 从而， 则. 又在椭圆外，则， 化简可得：，即，或. 若在第四象限，同理可得，即，或. 当与轴垂直或重合时，由椭圆的对称性，不妨取，，则. 又在椭圆外，则，即，或， 综上：或. 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $