精品解析：河南省周口市商水县大武乡第二初级中学等校2024-2025学年九年级上学期11月期中数学试题

2024-2025学年度第一学期期中考试卷 九年级数学 时间：100分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在式子，，，，，，中，二次根式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如“”这样的式子是二次根式．根据二次根式的定义解答即可． 【详解】解：，，，，是二次根式， ，没有意义， 不是二次根式， 是整式， 即二次根式有4个， 故选：C． 2. 使式子 有意义的x的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据题意得出且，即可求解． 【详解】解：由题意可知：且， 解得且. 故选：A． 3. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，最简二次根式的判断等知识点，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．注意：满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式． 先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A.，原式不是最简二次根式，故选项不符合题意； B.，原式不是最简二次根式，故选项不符合题意； C.，原式不是最简二次根式，故选项不符合题意； D.是最简二次根式，故选项符合题意； 故选：． 4. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（ ） A. B. b C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了化简绝对值，求一个数的算术平方根，实数与数轴，先根据数轴得到，则，据此化简绝对值，求算术平方根即可得到答案． 【详解】解；由题意得，， ∴， ∴， 故选：C． 5. 如果，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：可知：， 所以， 解得， 故选：B． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的乘法，二次根式的减法、二次根式的性质进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A．，故符合题意； B．，故不符合题意； C．，故不符合题意； D．，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 7. 设，则实数m所在的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的加减运算进行计算，然后估算即可求解． 【详解】解：， ∵， ∴， 即， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的加减运算，无理数的估算，正确的计算是解题的关键． 8. 从“+，﹣，×，÷”中选择一种运算符号，填入算式“（+1）□x”的“□”中，使其运算结果为有理数，则实数x不可能是（　　） A. +1 B. 5﹣1 C. ﹣2 D. 1﹣ 【答案】B 【解析】 分析】根据题意，添上一种运算符号后逐一判断即可． 【详解】解：A、（+1）﹣（+1）＝0，故本选项不合题意； B、无论是相加，相减，相乘，相除，结果都是无理数，故本选项符合题意； C、（+1）﹣（﹣2）＝3，故本选项不合题意； D、（+1）（1﹣）＝﹣2，故本选项不合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟记二次根式的混合运算法则以及平方差公式是解答本题的关键．（a+b）（a-b）=a2-b2． 9. 已知是整数，则满足条件的最小正整数n为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 先变形得到，根据题意必须是的正奇数次方，所以满足条件的最小正整数n为． 【详解】解：，而是整数， 最小正整数n为， 故选：． 10. 已知，化简二次根式正确结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查化简二次根式，根据二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故选D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知x为正整数，写出一个使在实数的范围内没有意义的x值是_______． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，可得当时，没有意义，解不等式，即可解答． 【详解】解：当时，没有意义， 解得， 为正整数， 可取1，2， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知根号下的式子小于零时，二次根式无意义，是解题的关键． 12. 若，则的值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了等式的性质，完全平方公式，代数式求值等知识点，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 由可得，然后利用完全平方公式将原式变形为，再将代入求值即可． 详解】解：， ， ， 故答案为：． 13. 计算：的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、平方差公式、幂的乘方，将式子变形为，利用平方差公式计算即可得出答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 14. 对于任意正数m，n，定义运算※如下：，计算的结果为____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据定义新运算可得：，然后利用二次根式的乘法法则，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ， 故答案为：2． 15. 若的整数部分为a，小数部分为b，则代数式的值是______． 【答案】2 【解析】 【分析】先由得到，进而得出a和b，代入求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴， ∵ 的整数部分为a，小数部分为b， ∴，． ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查无理数及代数式化简求值，解决本题的关键是要熟练掌握无理数估算方法和无理数整数和小数部分的求解方法． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求立方根，然后对各项二次根式进行化简，最后进行二次根式的加减运算即可； （2）先利用二次根式的性质对各项进行化简，然后将除法转化为乘法，再按照二次根式的乘法运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题主要考查了求一个数的立方根，利用二次根式的性质化简，二次根式的加减运算，二次根式的乘除混合运算等知识点，熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算和二次根式的混合运算． （1）利用零指数幂、负整数指数幂、绝对值、二次根式的性质、分母有理化进行计算即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式进行展开后，再进行加减法即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 18. 如图，数轴上点A和点B所对应的数分别是1和，点B关于点A的对称点是点C，设点C所对应的数为m． （1）求实数m的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出的长，利用轴对称的性质可得，由于点A所对应的数已知，因而可求出点C所对应的数，即实数m的值； （2）将代入，按照二次根式的混合运算法则计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：数轴上点A和点B所对应的数分别是1和， ， 点C与点B关于点A对称， ， 点C表示的数为：， 即：； 【小问2详解】 解：， ． 【点睛】本题主要考查了实数与数轴，数轴上两点之间的距离，轴对称的性质，代数式求值，二次根式的混合运算等知识点，熟练掌握实数与数轴并运用数形结合思想是解题的关键． 19. 已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】结合值先化简分式，再将的值代入化简后的式子求解即可． 【详解】 ． ， ， 原式． 【点睛】本题考查了分式的化简，二次根式的性质，分母有理化，正确的计算是解题的关键． 20. 如图，ABC中，已知AB=5，AC=，BC=，CD是BC边上的高． （1）判断ABC的形状； （2）CD的长． 【答案】（1）ABC为直角三角形；（2）2 【解析】 【分析】（1）在△ABC中，由勾股定理逆定理推知△ABC是直角三角形； （2）根据即可求出CD的长． 【详解】解：(1) ∴∠ACB=90°， ∴△ABC为直角三角形； (2)∵， ∴， 解得，CD=2． 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，熟知三角形面积公式是解题关键． 21. 综合与实践 “平方法”是解决二次根式大小比较和计算问题一种好方法．基于该方法，白老师提出问题：比较与的大小． 数学思考： （1）解答白老师提出的问题． 深入探究： （2）白老师让同学们思考上述问题的解决办法，并从不同的角度提出新的问题． ①“善思小组”提出问题：若，，请通过计算，判断p与q的大小． ②“智慧小组”提出问题：已知，其中x是整数，且，请直接写出的值． 【答案】（1）；（2）①；②． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式大小比较，二次根式的乘法和加减运算． （1）利用“平方法”即可解决二次根式大小比较； （2）①先计算和，据此比较即可； ②先估算的大小，根据，即可确定的值，据此求解即可． 【详解】解：（1）∵，，且，，， ∴即； （2）①∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴； ②∵，x是整数，且，， ∴，， ∴． 22. 2024年上半年磊磊家的草莓大丰收．为了运输方便，磊磊的爸爸打算把一批长为 宽为的长方形纸板制成有底无盖的盒子．如图，在长方形纸板的四个角各截去一个边长为 的小正方形，然后沿折线折起即可．现将盒子的外表面贴上彩纸，用来盛放草莓． （1）制作一个这样的盒子至少需要彩纸的面积是多少？ （2）当，时，制作一个这样的盒子至少需要彩纸的面积是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了整式的混合运算的应用，二次根式的混合运算． （1）根据图形表示出彩纸的面积即可； （2）把与的值代入，利用二次根式的混合运算法则计算即可求出值 ． 【小问1详解】 解：根据题意，需要彩纸的面积为 ； 【小问2详解】 解：当，时． ． 23. 阅读材料：像，……这样两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：；． 解答下列问题： （1）与________互为有理化因式； （2）计算：； （3）已知有理数a，b满足，求a，b的值． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式的混合运算的计算方法． （1）根据题意可以得到所求式子的分母有理化因式； （2）根据分母有理化的方法可以化简题目中的式子； （3）根据题意，对所求式子变形即可求得a、b的值． 【小问1详解】 解：， 与互为有理化因式， 故答案：； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：∵， ， ∴，， ∴，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第一学期期中考试卷 九年级数学 时间：100分钟 满分：120分 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在式子，，，，，，中，二次根式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 使式子 有意义的x的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 3. 下列二次根式是最简二次根式的是（ ） A B. C. D. 4. 实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（ ） A B. b C. D. 5. 如果，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 设，则实数m所在的范围是（ ） A. B. C. D. 8. 从“+，﹣，×，÷”中选择一种运算符号，填入算式“（+1）□x”的“□”中，使其运算结果为有理数，则实数x不可能是（　　） A. +1 B. 5﹣1 C. ﹣2 D. 1﹣ 9. 已知是整数，则满足条件的最小正整数n为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 10. 已知，化简二次根式的正确结果是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 已知x为正整数，写出一个使在实数的范围内没有意义的x值是_______． 12. 若，则的值为______________． 13. 计算：结果是______． 14. 对于任意正数m，n，定义运算※如下：，计算的结果为____． 15. 若整数部分为a，小数部分为b，则代数式的值是______． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 计算： （1） （2） 18. 如图，数轴上点A和点B所对应的数分别是1和，点B关于点A的对称点是点C，设点C所对应的数为m． （1）求实数m的值； （2）求的值． 19. 已知，求的值． 20. 如图，ABC中，已知AB=5，AC=，BC=，CD是BC边上的高． （1）判断ABC的形状； （2）CD的长． 21 综合与实践 “平方法”是解决二次根式大小比较和计算问题的一种好方法．基于该方法，白老师提出问题：比较与的大小． 数学思考： （1）解答白老师提出的问题． 深入探究： （2）白老师让同学们思考上述问题的解决办法，并从不同的角度提出新的问题． ①“善思小组”提出问题：若，，请通过计算，判断p与q的大小． ②“智慧小组”提出问题：已知，其中x是整数，且，请直接写出的值． 22. 2024年上半年磊磊家的草莓大丰收．为了运输方便，磊磊的爸爸打算把一批长为 宽为的长方形纸板制成有底无盖的盒子．如图，在长方形纸板的四个角各截去一个边长为 的小正方形，然后沿折线折起即可．现将盒子的外表面贴上彩纸，用来盛放草莓． （1）制作一个这样的盒子至少需要彩纸的面积是多少？ （2）当，时，制作一个这样的盒子至少需要彩纸的面积是多少？ 23. 阅读材料：像，……这样两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都是互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：；． 解答下列问题： （1）与________互为有理化因式； （2）计算：； （3）已知有理数a，b满足，求a，b的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$