4.5.1几种函数增长快慢的比较（2大题型提分练）数学湘教版必修第一册

4.5.1几种函数增长快慢的比较 题型一 几种不同增长的函数模型 1．某工程需要向一个容器内源源不断地注入某种液体，有三种方案可以选择，这三种方案的注入量随时间变化如下图所示：        横轴为时间（单位：小时），纵轴为注入量，根据以上信息，若使注入量最多，下列说法中错误的是（  ） A．注入时间在小时以内（含小时），采用方案一 B．注入时间恰为小时，不采用方案三 C．注入时间恰为小时，采用方案二 D．注入时间恰为小时，采用方案二 【答案】D 【分析】结合图象逐一分析即可. 【详解】对A，由图可知，注入时间在小时以内（含小时）时，方案一的注入量都大于其他两种方案，故A正确，不符合题意； 对B，当注入时间恰为小时，由图可知，方案三的注入量都小于其他两个方案，故B正确，不符合题意； 对C，当注入时间恰为小时，方案二的注入量大于其他两个方案，故C正确，不符合题意； 对D，当注入时间大于8小时，由图可知方案三的注入量最大，故应选择方案三，D错误，符合题意. 故选：D 2．在2h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．下面能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据血液药物含量变化，结合函数单调性变化可判断. 【详解】在2h内，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且为增函数，排除A，D，停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，排除C．能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是B． 故选：B． 3．下列函数中，当x充分大时，增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】当底数大于1，指数函数呈爆炸增长． 【详解】由四个选项可知，四个函数都在定义域内单调递增， 而充分大时，指数函数呈爆炸式增长． 故选：A. 4．下列函数中，增长速度越来越慢的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用指数函数，对数函数，幂函数，一次函数的增长规律可解. 【详解】指数函数先慢后爆炸性增长，对数函数先快速增后慢慢增，幂函数一直再增，后面没有变慢，一次函数匀速增加. 故选：B. 5．若某工厂去年12月份的产值是去年元月份产值的m倍，则该厂去年产值的月平均增长率为（    ） A．m B． C． D． 【答案】D 【分析】该题为平均增长率问题，设去年元月份产值为1，平均增长率为，列出方程求解即可. 【详解】由题可知，设去年元月份产值为1，月平均增长率为， 则有，解得. 故选：D 6．有一组实验数据如表，则体现这组数据的最佳函数模型是（ ）   2 3 4 5 6 1.40 2.56 5.31 11 21.30 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数据判断函数的增长速度选择函数模型. 【详解】，，，， 通过所给数据可知，y随x的增大而增大，且增长的速度越来越快， AC选项函数增长的速度越来越慢，D选项函数增长的速度不变，B选项函数增长的速度越来越快，所以B正确. 故选：B. 7．已知函数，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（    ） A．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于 B．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于 C．当时，增长速度一直快于 D．当时，增长速度有时快于 【答案】BD 【分析】由指数函数，幂函数，一次函数的图象特点逐一分析即可． 【详解】对于， 从负无穷开始，大于，然后大于，再然后再次大于，最后大于，此后再也追不上， 故随着的逐渐增大，增长速度越来越快于，A错误，BD正确； 对于，由于的增长速度是不变的，当时，大于， 当时，大于，再也追不上，其中增长速度有时快于，C错误． 故选：BD． 8．下列说法正确的是（    ） A．函数减小的速度越来越慢 B．在指数函数中，当时，底数越大，其增长速度越快 C．不存在一个实数m，使得当时， D．当，时，在区间内，对任意的，总有成立 【答案】AB 【分析】根据指数函数，对数函数，幂函数增长的特征及数形结合，对每个选项逐个判断即可. 【详解】对于A，由对数函数的性质知，函数减小的速度越来越慢，选项A正确； 对于B，由指数函数的性质知，指数函数中，当时，底数a越大，其增长速度越快；选项B正确； 对于C，由指数函数的性质知，随的增大的增长速度是非常快的，远远超过幂函数的增长速度， 因此一定存在一个实数m，使得当时，，选项C不正确； 对于D，取，由图知， 在区间内，对任意的， 不成立，选项D不正确； 故选：AB. 9．下列各项是四种生意预期的收益关于时间的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是 ． ①；②；③；④． 【答案】① 【分析】结合四种函数的增长差异即可判断． 【详解】①为指数型函数，②为幂函数型函数，③为对数型函数，④为正比例函数， 其中指数型函数增长速率最快，故从足够长远的角度看，更为有前途的生意是①． 故答案为：①． 10．已知某批药品在2023年治愈效果的普姆克系数（单位：）与月份）的部分统计数据如下表： 月 10 11 12 普姆克系数 10240 20480 40960 (1)根据上表数据，从下列两个函数模型①，②中选取一个恰当的函数模型描述该批药品在2023年治愈效果的普姆克系数与月份之间的关系，并写出这个函数解析式； (2)用（1）中的函数模型，试问哪几个月该批药品治愈效果的普姆克系数在内？ 【答案】(1)模型①，；(2)7月份，8月份，9月份. 【分析】（1）根据函数增长速度选择恰当模型，代点求解即可； （2）由题意列不等式，解指数不等式即可求解. 【详解】（1）因为函数模型①是指数型函数，其增长速度较快，函数模型②的增长速度较为缓慢， 所以根据表中数据，应选函数模型①更为恰当. 根据题意可得，当时，；当时，， 由，解得，故该函数模型的解析式为. （2）函数在其定义域内单调递增， 令，得，又，所以， 故7月份，8月份，9月份这三个月该批药品治愈效果的普姆克系数在内. 题型二 函数与方程的综合应用 1．从甲地到乙地的距离约为240km，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量（单位：L）与速度（单位：km/h）（）的下列数据： 0 40 60 80 120 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000 为描述汽车每小时耗油量与速度的关系，则下列四个函数模型中，最符合实际情况的函数模型是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出散点图，根据单调性和定义域即可得解. 【详解】作出散点图，由图可知函数模型满足：第一，定义域为；第二，在定义域单调递增且单位增长率变快；第三，函数图象过原点. A选项：函数在定义域内单调递减，故A错误； B选项：函数的单位增长率恒定不变，故B错误； C选项：满足上述三点，故C正确； D选项：函数在处无意义，D错误. 故选：C 2．在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据： 在四个函数模型（为待定系数）中，最能反映函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出散点图，对照四个选项即可得出结果. 【详解】由题，作出散点图如下， 由散点图可知，散点图和对数函数图象接近，可选择反映函数关系， 故选：C. 3．为了能在规定时间T内完成预期的运输最，某运输公司提出了四种运输方案，每种方案的运输量Q与时间t的关系如下图（四个选项）所示，其中运输效率（单位时间内的运输量）逐步提高的选项是（    ） A．   B．   C．    D．   【答案】B 【分析】根据题意可得运输效率逐步提高则函数增长逐渐加快判断即可. 【详解】由题意，运输效率逐步提高，即函数增长速率逐渐加快，选项B满足. 故选：B 4．根据下表实验数据，下列所给函数模型比较适合的是（    ） 1 2 3 4 14 20 29 43 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用一次函数指对函数及反比例函数的单调性判断即可 【详解】由图表可知：随x增大y增大，且增长越来越快，故排除A,B,D. 故选：C 5．一天，亮亮发烧了，早晨6时他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午12时亮亮的体温基本正常，但是下午18时他的体温又开始上升，直到半夜24时亮亮才感觉身上不那么发烫了．则下列各图能基本上反映出亮亮一天(0～24时)体温的变化情况的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据亮亮的体温变化判断函数图象即可. 【详解】从0时到6时，体温上升，图象是上升的，排除选项A； 从6时到12时，体温下降，图象是下降的，排除选项B； 从12时到18时，体温上升，图象是上升的，排除选项D． 故符合题意的函数图象为C. 故选：C 6．今有一组实验数据及对应散点图如下所示，则体现这些数据关系的最佳函数模型是（    ） 10 20 29 41 50 58 70 1 2 3.8 7.4 11 15 21.8 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据散点图的变化趋势及散点的分布情况判断回归方程的类型. 【详解】由散点图中各点的变化趋势：非线性、且在第一象限内上单调递增， 对于，由题意可得： 10 20 29 41 50 58 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.57 可知，近似于线性，所以适合二次函数模型. 故选：C 7．随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习，已知前年平台会员的个数如下表所示（其中第4年为预估人数，仅供参考）： 建立平台第年 会员个数（千人） (1)依据表中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台年后平台会员人数（千人），并求出你选择模型的解析式：①，②，③； (2)根据第（1）问选择的函数模型，预计平台建立多少年后会员个数将超过千人?参考数据：，，． 【答案】(1)选择③；， (2)预计平台建立年后会员数超过千人 【分析】（1）根据表格中的数据以及函数的增长速度可知，选择模型③较为合适，然后将表格中前三组数据代入函数解析式，解出、、的值，可得出函数解析式； （2）根据（1）中的函数解析式，解不等式，可得结果. 【详解】（1）解：从表格数据可以得知，函数是一个增函数，故不可能是①， 又因为数据增长的速度越来越快，②函数增长速度越来越慢 所以，选择③， 代入表格中的前三个点可得：，解得：， 所以，函数解析式为，． （2）解：由（1）可知：，则． 所以，，则． 所以，预计平台建立年后会员数超过千人. 8．在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢.在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量（单位：百万个）与培养时间（单位：小时）的关系为： 2 3 4 5 6 8 4 根据表格中的数据画出散点图如下： 为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种模型供选择： ①，②，③. (1)选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)利用和这两组数据求出你选择的函数模型的解析式，并预测从第2小时开始，至少再经过多少个小时，细菌数量达到6百万个. 【答案】(1); (2). 【分析】（1）根据函数的增长速度可求解； （2）将所选的两点坐标代入函数解析式，求出参数值，可得出函数模型的解析式，再由即可求解. 【详解】（1）随着自变量的增加，函数值的增长速度变小， 而在对称轴右方，随着自变量的增加，函数值的增长速度变大， 随着自变量的增加，函数值的增长速度变大， 故选择函数. （2）由题意可得，解得，所以. 令，解得. 故至少再经过小时，细菌数列达到6百万个. 1．自然界中许多流体是牛顿流体，其中水、酒精等大多数纯液体、轻质油、低分子化合物溶液以及低速流动的气体等均为牛顿流体；高分子聚合物的浓溶液和悬浮液等一般为非牛顿流体，非牛顿流体在实际生活和生产中有很多广泛的应用，如工业制造业常利用某些高分子聚合物做成“液体防弹衣”，已知牛顿流体符合牛顿黏性定律，即在一定温度和剪切速率范围内黏度值是保持恒定的：，其中为剪切应力，为黏度，为剪切速率；而当液体的剪切应力和剪切速率存在非线性关系时液体就称为非牛顿流体．其中宾汉流体（也叫塑性流体），是一种粘塑性材料，是非牛顿流体中比较特殊的一种，其在低应力下表现为刚体，但在高应力下表现为粘性流体（即粘度恒定），以牙膏为例，当我们挤压它的力较小时，它就表现为固体，而当力达到一个临界值，它就会变成流体，从开口流出．如图是测得的某几种液体的流变曲线，则其中属于牙膏和液体防弹衣所用液体的曲线分别是（   ） A．①和④ B．③和④ C．③和② D．①和② 【答案】D 【分析】根据题意，利用数形结合的思想，结合线性与非线性关系，可得答案. 【详解】由题意得牛顿流体黏度恒定，即在曲线中，图象为直线，即③为牛顿流体，④和②为非牛顿流体， 由题意可知牙膏是特殊的非牛顿流体，但挤压力达到一定值时变成流体其粘度不变，即此时剪切应力与剪切速率成线性关系，故牙膏所对应的曲线为①， 而液体防弹衣所用液体本身属于非牛顿流体，且根据题意表述可知剪切应力随剪切速率的增大而增大且比正常条件下的牛顿流体所对应的剪切应力大，故液体防弹衣所用液体对应曲线为2． 故选:D． 2．某同学高三阶段12次数学考试的成绩呈现前几次与后几次均连续上升，中间几次连续下降的趋势．现有三种函数模型：①，②，③ (其中为正常数，且).若要较准确反映数学成绩与考试次序关系，应选 作为模拟函数(填序号)；若，则所选函数的解析式为 ． 【答案】 ③ 【分析】根据该同学的成绩变化选定函数模型，然后根据已知条件求得解析式. 【详解】由于指数函数增长迅速，而对数型函数增长缓慢， 因此满足先上升后下降再上升的是， ∵，且，∴，解得， ∴. 故答案为：③； 3．某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q（单位：元/10kg）与上市时间t（单位：天）的数据如下表： 时间t 7 9 10 11 13 种植成本Q 19 11 10 11 19 为了描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系，现有以下四种函数模型供选择： ①，②，③，④． (1)选出你认为最符合实际的函数模型并说明理由，同时求出相应的函数解析式； (2)在第（1）问的条件下，若函数在区间上的最大值为110，最小值为10，求实数m的最大值． 【答案】(1)选择，理由见解析， (2)20 【分析】（1）由表中数据可知，先单调递减后单调递增，故选择满足题意的二次函数，然后利用待定系数法即可求解； （2）通过二次函数的性质即可求出实数m的最大值 【详解】（1）由表中数据可知，先单调递减后单调递增， 因为，，都是单调函数，所以不符合题意， 因为可先单调递减后单调递增，故符合题意， 由表格数据可得，解得， 所以，经检验其他几组数据也满足表达式 （2）由（1）知，故其对称轴为，且开口向上， ，所以， 所以实数m的最大值为20 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.5.1几种函数增长快慢的比较 题型一 几种不同增长的函数模型 1．某工程需要向一个容器内源源不断地注入某种液体，有三种方案可以选择，这三种方案的注入量随时间变化如下图所示：        横轴为时间（单位：小时），纵轴为注入量，根据以上信息，若使注入量最多，下列说法中错误的是（  ） A．注入时间在小时以内（含小时），采用方案一 B．注入时间恰为小时，不采用方案三 C．注入时间恰为小时，采用方案二 D．注入时间恰为小时，采用方案二 2．在2h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．下面能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（    ） A． B． C． D． 3．下列函数中，当x充分大时，增长速度最快的是（    ） A． B． C． D． 4．下列函数中，增长速度越来越慢的是（    ） A． B． C． D． 5．若某工厂去年12月份的产值是去年元月份产值的m倍，则该厂去年产值的月平均增长率为（    ） A．m B． C． D． 6．有一组实验数据如表，则体现这组数据的最佳函数模型是（ ）   2 3 4 5 6 1.40 2.56 5.31 11 21.30 A． B． C． D． 7．已知函数，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（    ） A．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于 B．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于 C．当时，增长速度一直快于 D．当时，增长速度有时快于 8．下列说法正确的是（    ） A．函数减小的速度越来越慢 B．在指数函数中，当时，底数越大，其增长速度越快 C．不存在一个实数m，使得当时， D．当，时，在区间内，对任意的，总有成立 9．下列各项是四种生意预期的收益关于时间的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是 ． ①；②；③；④． 10．已知某批药品在2023年治愈效果的普姆克系数（单位：）与月份）的部分统计数据如下表： 月 10 11 12 普姆克系数 10240 20480 40960 (1)根据上表数据，从下列两个函数模型①，②中选取一个恰当的函数模型描述该批药品在2023年治愈效果的普姆克系数与月份之间的关系，并写出这个函数解析式； (2)用（1）中的函数模型，试问哪几个月该批药品治愈效果的普姆克系数在内？ 题型二 函数与方程的综合应用 1．从甲地到乙地的距离约为240km，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量（单位：L）与速度（单位：km/h）（）的下列数据： 0 40 60 80 120 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000 为描述汽车每小时耗油量与速度的关系，则下列四个函数模型中，最符合实际情况的函数模型是（    ） A． B． C． D． 2．在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据： 在四个函数模型（为待定系数）中，最能反映函数关系的是（    ） A． B． C． D． 3．为了能在规定时间T内完成预期的运输最，某运输公司提出了四种运输方案，每种方案的运输量Q与时间t的关系如下图（四个选项）所示，其中运输效率（单位时间内的运输量）逐步提高的选项是（    ） A．   B．   C．    D．   4．根据下表实验数据，下列所给函数模型比较适合的是（    ） 1 2 3 4 14 20 29 43 A． B． C． D． 5．一天，亮亮发烧了，早晨6时他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午12时亮亮的体温基本正常，但是下午18时他的体温又开始上升，直到半夜24时亮亮才感觉身上不那么发烫了．则下列各图能基本上反映出亮亮一天(0～24时)体温的变化情况的是（    ） A． B． C． D． 6．今有一组实验数据及对应散点图如下所示，则体现这些数据关系的最佳函数模型是（    ） 10 20 29 41 50 58 70 1 2 3.8 7.4 11 15 21.8 A． B． C． D． 7．随着经济的发展，越来越多的家庭开始关注到家庭成员的关系，一个以“从心定义家庭关系”为主题的应用心理学的学习平台，从建立起，得到了很多人的关注，也有越来越多的人成为平台的会员，主动在平台上进行学习，已知前年平台会员的个数如下表所示（其中第4年为预估人数，仅供参考）： 建立平台第年 会员个数（千人） (1)依据表中数据，从下列三种模型中选择一个恰当的模型估算建立平台年后平台会员人数（千人），并求出你选择模型的解析式：①，②，③； (2)根据第（1）问选择的函数模型，预计平台建立多少年后会员个数将超过千人?参考数据：，，． 8．在密闭培养环境中，某类细菌的繁殖在初期会较快，随着单位体积内细菌数量的增加，繁殖速度又会减慢.在一次实验中，检测到这类细菌在培养皿中的数量（单位：百万个）与培养时间（单位：小时）的关系为： 2 3 4 5 6 8 4 根据表格中的数据画出散点图如下： 为了描述从第2小时开始细菌数量随时间变化的关系，现有以下三种模型供选择： ①，②，③. (1)选出你认为最符合实际的函数模型，并说明理由； (2)利用和这两组数据求出你选择的函数模型的解析式，并预测从第2小时开始，至少再经过多少个小时，细菌数量达到6百万个. 1．自然界中许多流体是牛顿流体，其中水、酒精等大多数纯液体、轻质油、低分子化合物溶液以及低速流动的气体等均为牛顿流体；高分子聚合物的浓溶液和悬浮液等一般为非牛顿流体，非牛顿流体在实际生活和生产中有很多广泛的应用，如工业制造业常利用某些高分子聚合物做成“液体防弹衣”，已知牛顿流体符合牛顿黏性定律，即在一定温度和剪切速率范围内黏度值是保持恒定的：，其中为剪切应力，为黏度，为剪切速率；而当液体的剪切应力和剪切速率存在非线性关系时液体就称为非牛顿流体．其中宾汉流体（也叫塑性流体），是一种粘塑性材料，是非牛顿流体中比较特殊的一种，其在低应力下表现为刚体，但在高应力下表现为粘性流体（即粘度恒定），以牙膏为例，当我们挤压它的力较小时，它就表现为固体，而当力达到一个临界值，它就会变成流体，从开口流出．如图是测得的某几种液体的流变曲线，则其中属于牙膏和液体防弹衣所用液体的曲线分别是（   ） A．①和④ B．③和④ C．③和② D．①和② 2．某同学高三阶段12次数学考试的成绩呈现前几次与后几次均连续上升，中间几次连续下降的趋势．现有三种函数模型：①，②，③ (其中为正常数，且).若要较准确反映数学成绩与考试次序关系，应选 作为模拟函数(填序号)；若，则所选函数的解析式为 ． 3．某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q（单位：元/10kg）与上市时间t（单位：天）的数据如下表： 时间t 7 9 10 11 13 种植成本Q 19 11 10 11 19 为了描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系，现有以下四种函数模型供选择： ①，②，③，④． (1)选出你认为最符合实际的函数模型并说明理由，同时求出相应的函数解析式； (2)在第（1）问的条件下，若函数在区间上的最大值为110，最小值为10，求实数m的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$