4.5.1几种函数增长快慢的比较（教学课件）数学湘教版必修第一册

4.5 函数模型及其应用 4.5.1 几种函数增长快慢的比较 第4章 幂函数、指数函数和对数函数 复习引入 当底数时，指数函数和对数函数都是增函数；我们早已熟悉的一次函数，当时也是增函数；幂函数，当时是上的增函数.这些函数的函数值都随着自变量的增长而增长. 增函数的共同特点是，函数值随着自变量的增长而增长.同为增长，但增长的快慢可能不同.这好比赛跑，有冠军亚军，也有排名不上名次的. 赛跑有赛跑的规则，到最后跑到前面的才是胜利者. 例析 例 1 比较和在区间上增长的快慢. 解：如图所示. 开始一路领先，但越来越慢；匀速前进；在处两者相等. 当时，，两边开方得，即一直有，而且前者与后者之比越来越大，所以增长得更快. 新知探索 开运动会常常要分组选拔，函数赛跑也可以先分组比一比.我们考虑五类在区间上递增的函数： 指数函数算组；幂函数算组；一次函数 算组；幂函数算组；对数函数 算最后一组，组. 同一组的比赛容易分出高低，看图便知分晓. 新知探索 从图(1)看出，组，越大跑得越快；组，越小跑得越快. 从图(2)看出，组和组一起比赛，都是越大跑得越快. 新知探索 现在来看组，一次函数. 如果两个一次函数的一次项系数相等，只有常数项不同，则两个函数的差是常数.起跑时在前面的永远在前面，领先距离永远不变.从图象上看，是两条平行直线. 如果两个一次函数的一次项系数不相等，系数大的就跑得快.不管起跑时落后有多少，系数大的总能后来居上，而且遥遥领先.在方格纸上画出几个一次函数的图象便能看出这个规律. 小组选拔赛的情形一目了然.组与组之间的比赛呢？ 上面已经对，两组做了比较. 数学上可以证明，组的任一个成员总比组的增长得快. 例析 例 2 比较和在区间上增长的快慢. 解：当时，有，因而有 . 于是，对任意正数，当时，有 . 这表明无论多大，当大到一定程度，就会比的倍还大. 可见，当幂指数大于时，不论一次函数的一次项系数和常数项多么大，只要自变量足够大，幂函数的增长就比一次函数快得多. 新知探索 类似地，组的函数总比组增长得快. 总之，指数增长最快，对数增长最慢. 在区间上，，，总会存在一个，当时，就有. 新知探索 指数增长快，大家印象比较深；对数增长慢，一般不大注意. 一个城市的电话号码的位数，大致是城市人口以10为底的对数，上百万人口的城市，要发展到人口上千万，才需要把电话号码增加一位.所以电话号码的升位是一个城市的大事，也说明对数的增长多么艰难. 查英汉词典，从几万个单词中查一个单词，或从几十万个单词中查一个单词，用的功夫差不多，都要不了多久.这是因为，由于合理编排，查字典的工作量是字数的对数函数，字数增长几倍，多查几秒而已. 新知探索 在互联网上搜索资料或在计算机上查找数据，能迅速地从海量数据中找到有关的网页或文件.这也是因为，数据经过合理组织，搜索工作量是数据量的对数函数. 但要注意，这里讲的是自变量足够大的情形.具体问题要具体分析：自变量变化范围有多大，能不能提供空间让指数函数表演一番？在银行存上元，设年利率为，每年自动转存，年后连本带利是元.这笔钱的增长是指数增长.算一算，多少年才能成为亿万富翁？ 新知探索 函数增长快慢的比较，还可以看速度的变化，看它是越跑越快呢，还是越跑越慢. 计算速度的简单方法，是看单位时间内走过的路程.例如当自变量加时，看函数值改变多少，也就是看的大小. 下面，每组派一个代表来比较.先看函数值的比较表： 新知探索 再看增长量的比较表，分析这五个函数增长速度的变化各有什么特点. 从表中最后两行可以看出，和这两个函数的增长量都随着的增加而变小.但是，这两个函数增长速度的快慢，暂时还看不出明显的差别.作为练习，可以在计算机上算算看. 新知探索 比较函数增长的快慢，有些情形从图上很难看出来. 下图是函数和的图象，仅仅从这个图，看得出后来能远远超过吗？ 新知探索 下图是函数和的图象，仅仅从这个图，看得出后来能远远超过吗？ 练习 题型一：三类函数模型增长差异的比较 例1.下列函数中，增长速度最快的是（ ）. 答案：A.一次函数、指数函数和对数函数三类函数模型中，指数增长最快. 练习 方法技巧： 三类函数模型增长差异的比较： ①一次函数：的图象在上匀速上升； ②对数函数：的图象在上增长得越来越慢； ③指数函数：的图象在上增长得越来越快. 新知探索 变1.“红豆生南国，春来发几枝”给出了红豆生长时间(月)与枝数的关系图，那么最适合拟合红豆的枝数与生长时间的关系的函数是（ ）. 指数函数 对数函数 幂函数 二次函数 答案：A.根据已知所给的散点图，观察得到图象在第一象限，且从左到右图象是上升的，并且增长速度越来越快，根据四个选项中函数的增长趋势可知，用指数函数拟合最好，故选A. 新知探索 题型二：函数模型的选择 例2.学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金(单位：万元)随生源利润(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：其中哪个模型符合该校的要求？ 解：作出函数的图象，观察图象可知，在区间上， 的图象都有一部分在直线的上方，只有的图象始终在和的下方，这说明只有按模型进行奖励才符合学校的要求. 练习 方法技巧： 几类不同增长函数模型选择的方法： (1)增长速度不变，即自变量增加相同量时，函数值的增量相等，此时的函数模型是一次函数模型. (2)增长速度越来越快，即自变量增加相同量时，函数值的增量成倍增加，此时的函数模型是指数函数模型. (3)增长速度越来越慢，即自变量增加相同量时，函数值的增量越来越小，此时的函数模型是对数函数模型. 练习 变2.三个变量随着变量的变化情况如表： 则关于分别呈对数函数、指数函数、幂函数的变化的变量依次为( ). A. B. C. D. 解：由图可知：随着的增大而迅速的增大，是指数函数型变化； 随着的增大而增大，但是变化缓慢，是对数函数型变化；相对于的变化要慢一些，是幂函数型的变化.故选C. 课堂小结&作业 小结： 几类基本初等函数模型的增长特性及其性质. 作业： (1)整理并复习课件题型； (2)课本P139的练习1——3题； (3)课本P142的习题4.5的1——3题、第6题. 谢谢学习 Thank you for learning $$